清单03 分式（知识梳理+20个题型解读+真题拔高15题）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版）

清单03 分式 （知识梳理+20个题型解读60题+真题拔高15题） 题型清单目录 【知识梳理】 1 【考点题型一】分式的定义 5 【考点题型二】分式有意义的条件 6 【考点题型三】分式的值为零的条件 7 【考点题型四】分式的值 8 【考点题型五】分式的基本性质 9 【考点题型六】约分 10 【考点题型七】最简分式 11 【考点题型八】最简公分母 12 【考点题型九】分式的乘除法 14 【考点题型十】分式的加减法 15 【考点题型十一】分式的混合运算 16 【考点题型十二】分式的化简求值 17 【考点题型十三】分式方程的解 18 【考点题型十四】解分式方程 19 【考点题型十五】换元法解分式方程 20 【考点题型十六】分式方程的增根 22 【考点题型十七】由实际问题抽象出分式方程 24 【考点题型十八】分式方程的应用 25 【考点题型十九】比例的性质 27 【考点题型二十】比例线段 28 期末真题拔高训练15题 29 【知识梳理】 知识点01：分式的概念 一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式．分式会中叫作分子，叫作分母． 注意：(1)判断一个式子是否为分式，关键是看分母中是否有字母． (2)分式与整式的根本区别：分式的分母中含有字母，如，是整式，而是分式． (3)分式有无意义的条件：①若，则分式有意义；②若，则分式无意义． (4)分式的值为零的条件：若，则分式的值为零，反之也成立． 知识点02：分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变． 用式子表示是：，，其中，，是整式． 注意：(1)分式的基本性质可类比分数的基本性质去理解记忆．利用分式的基本性质，可以在不改变分式的值的条件下，对分式作一系列的变形． (2)当分式的分子(或分母)是多项式，运用分式的基本性质时，要先把分式的分子(或分母)用括号括上．再将分子与分母同乘(或除以)相同的整式． 知识点03：约分、最简分式及通分的概念 1.约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分． 说明：约分的关键是准确找出分子与分母的公因式，找公因式的方法：(1)当分子和分母都是单项式时，先找出它们系数的最大公约数，再确定相同字母的最低次幂，它们的乘积就是分子与分母的公因式．(2)当分子、分母是多项式时，先将分子、分母因式分解，把分子、分母化为几个因式的积后，再找出分子、分母的公因式． 约分应注意一定要把公因式约尽，还应注意分子、分母的整体都要除以同一个公因式．当分子或分母是多项式时，要用分子、分母的公因式去除整个多项式，不能只除某一项，更不能减去某一项．例如是错误的． 2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式．判断一个分式是否为最简分式，关键是确定其分子与分母是否有公因式(1除外)． 分式的约分，一般要约去分子和分母的所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式． 注意：(1)最简分式与小学学过的最简分数类似． (2)最简分式是对一个独立的分式而言的，最大的特点是只有一条分数线．形如，的分式都不是最简分式． 3.通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 4.最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积，叫作最简公分母． 注意：确定最简公分母的一般方法： (1)如果各分母都是单项式，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的．这样得到的积就是最简公分母． (2)如果各分母都是多项式，就要把它们分解因式，再按照分母是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去求． 知识点04：分式的乘除法 分式的乘除法与分数的乘除法类似，法则如下： 1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示是：． 2.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示是：． 3.分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方，用式子表示是：(是正整数)． 注意：(1)法则中的字母，，，所代表的可以是单项式，也可以是多项式． (2)运算的结果必须是最简分式或整式． 知识点05：分式的加减法 1．同分母分式加减法的法则 与同分母的分数加减法类似，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示是：． 注意：(1)“同分母分式相加减”是把各个分式的“分子的整体”相加减，即当分子是多项式时，应将各分子加括号，括号不能省略， (2)运算结果必须化为最简分式或整式． 2．异分母分式加减法的法则 与异分母的分数加减法类似，异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示是：． 知识点06：分式的混合运算 分式的混合运算的顺序是：先乘方，再乘除，最后算加减；遇到括号，先算括号内的；在同级运算中，从左向右依次进行． 注意：(1)实数的运算律对分式同样适用，注意灵活运用，提高解题的质量和速度． (2)结果必须化为最简分式或整式． (3)分子或分母的系数是负数时，要把“－”提到分数线的前边． (4)对于分式的乘除混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，分子、分母是多项式时，可先将分子、分母分解因式，再相乘． 知识点07：比和比例 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 4、比例外项：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。 5、比例内项：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b=b:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。 8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 9、比例的基本性质：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命题也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d 10、比例的基本性质推论：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。 11、合比性质：如果，那么 12．等比性质：如果，（），那么 说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。 知识点08：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫作分式方程，如，等. 注意 分式方程有两个重要特征：①是方程；②分母中含有未知数. 知识点09：解分式方程的基本思路、方法和一般步骤 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法. 解分式方程的一般步骤：“一化，二解，三检验”. 即： 注意 在去分母前，需确定分式方程的最简公分母，若分母是多项式，应先分解因式，再确定最简分母. 知识点10：验根的方法 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入原分式方程的最简公分母，如果最简公分母的值为0，那么这个解不是原分式方程的解. 注意 验根时也可以将整式方程的解代入原分式方程检验，这种方法虽然计算量大，但是能检查解分；式方程的过程中有无计算错误. 知识点11：列分式方程解应用题 列分式方程解应用题的步骤类似于列一元一次方程解应用题，即审题、设未知数、列方程、解方程、检验并写出答案. 注意 列分式方程解应用题的检验要分两步：第一步检验得到的未知数的值是不是原分式方程的根；第二步检验得到的未知数的值是否符合实际问题的意义 【考点题型一】分式的定义 【精讲题】（2023秋•德惠市期末）在代数式，，，，x+中，是分式的有　2　个． 【思路点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【规范解答】解：在代数式，，，，x+中，是分式的有，， 故答案为：2 【考点评析】本题考查的是分式的定义，熟知一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式是解答此题的关键． 【变式1-1】（2022秋•绥棱县校级期末）下列式子①，②，③，④中，是分式的有　①③　个． 【思路点拨】根据分式的定义即可求出答案． 【规范解答】解：①，③，是分式， 故答案为：①③ 【考点评析】本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型． 【变式1-2】（2023秋•娄底期末）下列各式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据分式的定义即可得出答案． 【规范解答】解：是分式，其余各选项都是整式， 故选：B． 【考点评析】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键，注意π是数字． 【考点题型二】分式有意义的条件 【精讲题】（2024春•历下区期末）无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据分式有意义的条件是分母不等于零判断． 【规范解答】解：A．当a＝1时，分式没有意义．故本选项不合题意； B．当a＝0时，分式没有意义．故本选项不合题意； C．当a＝1时，分式没有意义．故本选项不合题意； D．因为a2≥0，所以2a2+1≠0，所以分式总有意义，故本选项符合题意． 故选：D． 【考点评析】本题的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 【变式2-1】（2023秋•长葛市期末）使分式有意义的条件是（　　） A．x＝±1 B．x≠±1 C．x≠1 D．x≠﹣1 【思路点拨】直接利用分式有意义的条件，即分母不能为零，进而得出答案． 【规范解答】解：分式有意义的条件是：x﹣1≠0， 解得：x≠1． 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键． 【变式2-2】（2023秋•天元区期末）若分式有意义，则x的取值范围是 　x≠2　． 【思路点拨】根据分式有意义的条件是分母不等于零得出x﹣2≠0，求解即可． 【规范解答】解：∵分式有意义， ∴x﹣2≠0， ∴x≠2， 故答案为：x≠2． 【考点评析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解此题的关键． 【考点题型三】分式的值为零的条件 【精讲题】（2024春•市北区期末）若分式的值为0，则x的值为　﹣1　． 【思路点拨】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0． 【规范解答】解：由题意可得x+1＝0且x﹣3≠0， 解得x＝﹣1． 故答案为﹣1． 【考点评析】本题考查了分式的值是0的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 【变式3-1】（2024春•玄武区期末）若分式的值为0，则x的值是 　2　． 【思路点拨】直接利用分式的值为零，则分子为零，再利用分式有意义的条件，其分母不为零，进而得出答案． 【规范解答】解：∵分式的值为0， ∴x2﹣4＝0且x+2≠0， 解得：x＝2． 故答案为：2． 【考点评析】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式有意义的条件，注意分式有意义的条件是解题关键． 【变式3-2】（2023秋•陇西县期末）若分式的值为零，则x的值为（　　） A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0 【思路点拨】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零． 【规范解答】解：依题意，得 x2﹣4＝0，且x+2≠0， 解得，x＝2． 故选：B． 【考点评析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 【考点题型四】分式的值 【精讲题】（2023秋•上饶期末）如果分式的值为负数，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】由于分式的值为负数，而分子为正数，则分母1﹣2x小于0，然后解不等式即可． 【规范解答】解：∵分式的值为负数， ∴1﹣2x＜0， ∴x＞． 故选：D． 【考点评析】本题考查了分式的值，解题的关键是得到关于x的不等式． 【变式4-1】（2023秋•平山县期末）如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　　） A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处 【思路点拨】根据分式的基本性质解决此题． 【规范解答】解：＝＜1． ∵x为正整数， ∴x最小值为1． ∴当x＝1时，取最小值． ∴． ∴分式的值落在线②处． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查分式的基本性质、分式的值，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键． 【变式4-2】（2023秋•湖北期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，则的值是 　﹣2　． 【思路点拨】由a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，可得出a+b＝0，cd＝1，m2＝4，代入计算即可． 【规范解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2， ∴a+b＝0，cd＝1，m2＝4， ∴＝0﹣4+2＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【考点评析】本题主要考查相反数、倒数及绝对值的计算，掌握互为相反数的两数和为0、互为倒数的两数积为1是解题的关键． 【考点题型五】分式的基本性质 【精讲题】（2023秋•石景山区期末）在括号内填入适当的整式对分式变形：，变形的依据是 　分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变　． 【思路点拨】根据分式的基本性质进行解题即可． 【规范解答】解：n2÷n＝n， 则＝， 变形的依据是：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变． 故答案为：mn，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变． 【考点评析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【变式5-1】（2023秋•应城市期末）已知，则＝　　． 【思路点拨】由题意易得a＝5b，然后代入求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴a＝5b， ∴； 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【变式5-2】（2023秋•铁岭县期末）若把分式中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【思路点拨】根据分式的性质：分子分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，可得答案． 【规范解答】解：把分式中的x和y都扩大到原来的2倍， ＝×， 分式的值缩小为原来的， 故选：C． 【考点评析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质是解题关键． 【考点题型六】约分 【精讲题】（2024春•肥乡区期末）下列式子的化简结果为的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据分式的性质化简得出答案． 【规范解答】解：A，B，D选项无法化简，C选项＝． 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了约分，正确化简分式是解题关键． 【变式6-1】（2024春•商水县期末）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】约去分子与分母中相同的因式2ab即可． 【规范解答】解：＝， 故选：C． 【考点评析】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 【变式6-2】（2023秋•济宁期末）化简分式：＝　a　． 【思路点拨】直接利用分式的性质化简得出答案． 【规范解答】解：＝a． 故答案为：a． 【考点评析】此题主要考查了约分，正确化简分式是解题关键． 【考点题型七】最简分式 【精讲题】（2023秋•重庆期末）将分式化为最简分式，所得结果是 　　． 【思路点拨】先把分子分母因式分解，然后约去公因式（x+3）即可． 【规范解答】解：＝＝． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【变式7-1】（2022秋•新华区校级期末）有分别写有x，x+1，x﹣1的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 　x　的卡片． 【思路点拨】直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义分析得出答案． 【规范解答】解：∵＝＝， ＝＝， ∴，都不是最简分式， 无法化简，是最简分式， 故使得分式为最简分式，则应选择写有x的卡片． 故答案为：x． 【考点评析】此题主要考查了最简分式，正确掌握相关定义是解题关键． 【变式7-2】（2023秋•磁县期末）下列分式，，，，中，最简分式的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据最简分式的定义逐个判断即可． 【规范解答】解：＝，＝，＝b+2，这三个不是最简分式， 所以最简分式有：，，共2个， 故选：B． 【考点评析】本题考查了分式的基本性质和最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键． 【考点题型八】最简公分母 【精讲题】（2023秋•呼和浩特期末）分式与的最简公分母是（　　） A．（x+y）2 B．2（x+y）3 C．2（x+y）2 D．2x+2y 【思路点拨】先把因式分解，再根据最简公分母的概念解答． 【规范解答】解：＝， ∴与的最简公分母是2（x+y）2， 故选：C． 【考点评析】本题考查的是最简公分母，各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【变式8-1】（2024春•东坡区期末）下列说法错误的是（　　） A．当x＝2时，分式无意义 B．当x＞5时，分式的值为正数 C．当分式时，m＝±3 D．分式与的最简公分母是3ab2 【思路点拨】根据分式无意义的条件判断A；根据分式值为正数的条件判断B；根据分式的值为0的条件判断C；根据确定最简公分母的方法判断D． 【规范解答】解：A、当x＝2时，分式无意义，故本选项说法正确，不符合题意； B、当x＞5时，分式的值为正数，故本选项说法正确，不符合题意； C、当分式时，m＝3，故本选项说法错误，符合题意； D、分式与的最简公分母是3ab2，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【考点评析】本题考查了分式无意义的条件，分式值为正数的条件，分式的值为0的条件，确定最简公分母的方法，都是基础知识，需熟练掌握． 【变式8-2】（2023秋•斗门区期末）对分式和进行通分，它们的最简公分母为 　6a2b　． 【思路点拨】根据确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母即可得出答案． 【规范解答】解：对分式和进行通分， 则它们的最简公分母为：6a2b． 故答案为：6a2b． 【考点评析】此题主要考查了最简公分母，正确掌握最简公分母的定义是解题关键． 【考点题型九】分式的乘除法 【精讲题】（2024春•鼓楼区校级期末）计算：＝　　． 【思路点拨】根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可 【规范解答】解：， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【变式9-1】（2022秋•玉林期末）计算：＝　　． 【思路点拨】根据分式的乘法法则即可得． 【规范解答】解：原式＝， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键． 【变式9-2】（2023秋•巴东县期末）若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　） A． B．x2﹣6 C．x2﹣6x D．x﹣6 【思路点拨】设“□”中的式子为M，把除法运算化乘法运算，约分得到原式＝，然后把各选项的式子分别代入即可得到答案． 【规范解答】解：设“□”中的式子为M， 原式＝• ＝， 所以当M＝x2﹣6x＝x（x﹣6）时， 原式＝＝1，结果为整式， 故选：C． 【考点评析】本题考查了分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 【考点题型十】分式的加减法 【精讲题】（2024春•衡阳县期末）已知：，则的值等于（　　） A．6 B．﹣6 C． D． 【思路点拨】根据条件得到a﹣b＝﹣4ab，然后整体代入到代数式中求值即可． 【规范解答】解：∵﹣＝4， ∴＝4， ∴a﹣b＝﹣4ab， ∴原式＝ ＝ ＝ ＝6． 故选：A． 【考点评析】本题考查了分式的加减法，掌握整体代入到代数式中求值是关键． 【变式10-1】（2023秋•潍城区期末）已知，则代数式的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【思路点拨】根据求出y﹣x＝2xy，x﹣y＝﹣2xy，变形后代入，即可求出答案． 【规范解答】解：∵， ∴y﹣x＝2xy， ∴x﹣y＝﹣2xy， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝﹣3． 故选：B． 【考点评析】本题考查了分式的加减，能求出y﹣x＝2xy是解此题的关键． 【变式10-2】（2023秋•青龙县期末）计算的结果是 　　． 【思路点拨】先把分母是多项式的分解因式，然后再通分，最后按照同分母的分式相加即可． 【规范解答】解：原式＝ ＝ ＝． 【考点评析】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和几种常见的分解因式的方法． 【考点题型十一】分式的混合运算 【精讲题】（2024春•普陀区期末）关于x的方程a2x+x＝1的解是　　． 【思路点拨】方程合并后，将x系数化为1，即可求出解． 【规范解答】解：方程合并得：（a2+1）x＝1， 解得：x＝， 故答案为： 【考点评析】此题考查了分式的混合运算，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式11-1】（2023秋•潍坊期末）计算的结果是 　1　． 【思路点拨】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【规范解答】解： ＝• ＝• ＝1， 故答案为：1． 【考点评析】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式11-2】（2023秋•洛南县校级期末）若a≠b，则下列分式化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据分式的基本性质和各个选项中的式子，可以判断是否正确，本题得以解决． 【规范解答】解：∵a≠b， ∴≠，故选项A错误，不符合题意； 当a＝1，b＝2时，≠，故选项B错误，不符合题意； ＝，故选项C正确，符合题意； ≠，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【考点评析】本题考查分式的基本性质，属于基础题，灵活运用分式的基本性质是解题的关键． 【考点题型十二】分式的化简求值 【精讲题】（2024春•修水县期末）已知＝2，则的值为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【思路点拨】将已知等式两边平方可得x2﹣2+＝4，移项可得答案． 【规范解答】解：∵＝2， ∴（）2＝4， 即x2﹣2+＝4， ∴＝6， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式． 【变式12-1】（2023秋•秦皇岛期末）用替换分式中的n后，经过化简结果是（　　） A． B．2m C． D． 【思路点拨】把代入原式，把分数线化为除法进行分式的运算． 【规范解答】解：把代入原式得（﹣1）÷（+1） ＝（）÷（） ＝× ＝； 故选：A． 【考点评析】此题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握代入求值法，把分数线化为除法进行分式的运算是解题关键． 【变式12-2】（2024春•惠安县期末）已知，则的值是 　7　． 【思路点拨】根据（x±y）2＝x2±2xy+y2，直接作答即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 则， 故答案为：7． 【考点评析】本题考查了完全平方公式，分式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． 【考点题型十三】分式方程的解 【精讲题】（2023秋•莘县期末）若关于x的方程无解，则a的值是 　﹣1或2．　． 【思路点拨】根据分式方程的解的定义解决此题． 【规范解答】解：， 去分母，得2＝ax+x﹣1． 移项，得ax+x＝2+1． 合并同类项，得（a+1）x＝3． ∵关于x的方程无解， ∴a+1＝0或． ∴a＝﹣1或a＝2． 故答案为：﹣1或2． 【考点评析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解决本题的关键． 【变式13-1】（2023秋•广水市期末）若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为 　m＞2且m≠3　． 【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由解为负数确定出m的范围即可． 【规范解答】解：去分母得：2（x+3）＝3（x+m）， 解得：x＝﹣3m+6， 由分式方程解为负数， ∴﹣3m+6＜0，且﹣3m+6≠﹣3且﹣3m+6≠﹣m， 解得：m＞2且m≠3． 故答案为：m＞2且m≠3． 【考点评析】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件． 【变式13-2】（2023秋•双桥区校级期末）已知关于x的方程的解是x＝﹣2，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【思路点拨】将x＝﹣2代入得，，然后解分式方程即可． 【规范解答】解：将x＝﹣2代入得，， ∴2a＝a+1， 解得a＝1， 经检验，当a＝1时，2a+2≠0， ∴a＝1是原分式方程的解， 故选：B． 【考点评析】本题考查了解分式方程．正确的解分式方程是解题的关键． 【考点题型十四】解分式方程 【精讲题】（2023秋•盐池县期末）把分式方程＝化为整式方程，方程两边需同时乘以（　　） A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4） 【思路点拨】首先找最简公分母，再化成整式方程． 【规范解答】解：由2x﹣4＝2（x﹣2），另一个分母为2x， 故可得方程最简公分母为2x（x﹣2）． 故选：C． 【考点评析】本题考查的是解分式方程，最简公分母的确定时将分式方程转化为整式方程的第一步，因此要根据所给分母确定最简公分母． 【变式14-1】（2021秋•环江县期末）方程＝的解为（　　） A．x＝7 B．x＝﹣7 C．x＝5 D．x＝﹣5 【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【规范解答】解：去分母得：x+1＝2x﹣6， 解得：x＝7， 经检验x＝7是分式方程的解， 故选：A． 【考点评析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【变式14-2】（2024春•月湖区期末）分式方程的解为 　x＝1　． 【思路点拨】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【规范解答】解：原方程去分母得：6x＝x+5， 解得：x＝1， 检验：将x＝1代入2x（x+5）得2×1×6＝12≠0， 故原方程的解为x＝1， 故答案为：x＝1． 【考点评析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 【考点题型十五】换元法解分式方程 【精讲题】（2023秋•乌拉特前旗期末）解方程：． 【思路点拨】此题应先设3x﹣1为y，然后将原方程化为3y﹣2＝5解得y＝，最后求出x的值． 【规范解答】解：设3x﹣1＝y则原方程可化为：3y﹣2＝5， 解得y＝， ∴有3x﹣1＝，解得x＝， 将x＝代入最简公分母进行检验，6x﹣2≠0， ∴x＝是原分式的解． 【考点评析】本题主要考查用换元法解分式方程，求出结果一定要注意必须检验． 【变式15-1】（2022秋•青浦区校级期末）用换元法解方程x2+3x﹣＝8，若设x2+3x＝y，则原方程可化成关于y的整式方程为　y2﹣8y﹣20＝0（或写成y2﹣20＝8y）　． 【思路点拨】方程的两个部分具备倒数关系，若设x2+3x＝y，则原方程另一个分式为20×．可用换元法转化为关于y的分式方程．去分母即可． 【规范解答】解：把x2+3x＝y代入原方程得：y﹣20×＝8， 方程两边同乘以y得：y2﹣8y﹣20＝0． 【考点评析】换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 【变式15-2】（2023秋•岱岳区期末）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：，经检验：x＝﹣1或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （2）利用上述方法解方程：． （3）模仿上述换元法解方程组：． 【思路点拨】（1）根据题意作答即可； （2）根据换元法设，则原方程化为：，然后解方程，并求出x的值即可； （3）根据换元法设，，则原方程组可化为，然后解方程组，并求出x，y的值即可． 【规范解答】解：（1）由题意知，原方程可化为， 故答案为：； （2）设，则原方程化为：， 方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0， 解得：y＝±1， 经检验：y＝±1都是方程的解． 当y＝1时，，该方程无解； 当y＝﹣1时，，解得：； 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． （3）设，，则原方程组可化为， 解得， ∴． 【考点评析】本题考查了换元法解分式方程，换元法解二元一次方程组．理解题意，熟练掌握换元法是解题的关键． 【考点题型十六】分式方程的增根 【精讲题】（2023秋•乳山市期末）关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 【思路点拨】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣1＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【规范解答】解：去分母，得：m﹣3＝x﹣1， 由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1， 把x＝1代入整式方程，可得：m＝3． 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【变式16-1】（2023秋•鄂伦春自治旗期末）若关于x的方程有增根，则k的值为（　　） A．3 B．1 C．0 D．﹣1 【思路点拨】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程算出k的值． 【规范解答】解：方程两边都乘x﹣1， 得：3＝x﹣1+k， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣1＝0， 解得x＝1， 当x＝1时，k＝3． 故k的值为3． 故选：A． 【考点评析】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【变式16-2】（2023秋•宁津县期末）若关于x的分式方程+1＝有增根，则k＝　﹣4　． 【思路点拨】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出k的值即可． 【规范解答】解：去分母，得：5+k+x﹣2＝1， 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程，可得：k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【考点评析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【考点题型十七】由实际问题抽象出分式方程 【精讲题】（2023秋•怀仁市期末）为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2千米，设甲每小时骑行x千米，根据题意列出的方程是 　　． 【思路点拨】根据甲匀速骑行40公里的时间与乙匀速骑行35公里的时间相同，可以列出相应的分式方程． 【规范解答】解：设甲每小时骑行x千米，则乙每小时骑行（x﹣2）千米， 根据题意，得． 故答案为：． 【考点评析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系． 【变式17-1】（2024春•凤翔区期末）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站15公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，若孔子和学生们同时到达书院，设学生们步行的速度为每小时x公里，则可列方程 　＝+1　． 【思路点拨】根据时间＝距离÷速度，结合学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院列分式方程即可． 【规范解答】解：设学生步行的速度为每小时x里，则牛车的速度是每小时1.5x里， ∵学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院， ∴＝+1， 故答案为：＝+1． 【考点评析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，正确找到等量关系列出方程是解题关键． 【变式17-2】（2023秋•台州期末）为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校10km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了20min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为x km/h，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为3x km/h，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可． 【规范解答】解：∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为x km/h， ∴汽车的速度为3x km/h， 根据题意得：． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意、找到等量关系成为解题的关键． 【考点题型十八】分式方程的应用 【精讲题】（2023秋•藁城区期末）“某学校改造过程中整修门口3000m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路x m，可得方程，则题目中用“…”表示的条件应是（　　） A．每天比原计划多修10m，结果延期20天完成 B．每天比原计划多修10m，结果提前20天完成 C．每天比原计划少修10m，结果延期20天完成 D．每天比原计划少修10m，结果提前20天完成 【思路点拨】由x代表的含义找出（x﹣10）代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论． 【规范解答】解：设实际每天整修道路x m，则（x﹣10）m表示：实际施工时，每天比原计划多修10m， ∵方程，其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间， ∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前20天完成． 故选：B． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键． 【变式18-1】（2023秋•硚口区期末）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索．”此题中第一个农妇的每个鸡蛋价格是（　　） A．个克罗索 B．个克罗索 C．个克罗索 D．个克罗索 【思路点拨】设第一个农妇所带鸡蛋个数为x个，利用两人卖的钱数相同列出方程，解方程即可得出结论． 【规范解答】解：设第一个农妇所带鸡蛋个数为x个，则第二个农妇所带鸡蛋个数为（100﹣x）个，由题意得： ＝•（100﹣x）， 解得：x＝40． 经检验，x＝40是原方程的根， ∴第一个农妇的每个鸡蛋价格是＝（元）． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键． 【变式18-2】（2023秋•保定期末）两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通．记总工程量为1． （1）甲队单独施工1天完成总工程的 　　； （2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为 　×（7+5）+＝1　． 【思路点拨】（1）由甲队先独立施工1周完成总工程的，即可得出结果； （2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据“甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通，记总工程量为1”，列出分式方程即可． 【规范解答】解：（1）∵甲队先独立施工1周完成总工程的， ∴甲队单独施工1天完成总工程的：÷7＝， 故答案为：； （2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天， 根据题意得：×（7+5）+＝1， 故答案为：×（7+5）+＝1． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【考点题型十九】比例的性质 【精讲题】（2023秋•潮南区校级期末）若，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【思路点拨】根据分比性质可得﹣1＝，进而可得结果． 【规范解答】解：因为， 所以﹣1＝， 所以＝， 所以＝， 则的值为． 故选：C． 【考点评析】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握分比性质． 【变式19-1】（2019秋•曹县期末）已知x：y＝3：2，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用已知得出x＝y，进而代入化简得出答案． 【规范解答】解：∵x：y＝3：2， ∴＝， ∴x＝y， ∴＝＝， 故选：B． 【考点评析】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数代入化简是解题关键． 【变式19-2】（2023秋•冠县期末）已知，且a+b﹣2c＝9，则c的值为 　12　． 【思路点拨】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b﹣2c＝9，得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x， ∵a+b﹣2c＝9， ∴6x+5x﹣8x＝9， 解得：x＝3， 故c＝12． 故答案为：12． 【考点评析】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质． 【考点题型二十】比例线段 【精讲题】（2023秋•潍坊期末）若四条均不相等线段的长度分别为m，n，e，f，且满足mn＝ef，则下列各式不正确的是（　　） A．m：n＝e：f B．m：f＝e：n C． D． 【思路点拨】利用内项之积等于外项之积可对A、B选项进行判断；根据分比性质对C选项进行判断；利用等比性质对D选项进行判断． 【规范解答】解：∵mn＝ef， ∴m：f＝e：n，＝，＝， ∴＝，＝． 故选：A． 【考点评析】本题考查了比例线段：灵活运用比例的性质是解决问题的关键． 【变式20-1】（2023秋•定陶区期末）已知a、b、c是△ABC的三边长，且． （1）求的值； （2）若△ABC的周长为60，求各边的长． 【思路点拨】（1）设＝＝＝k，易得a＝5k，b＝4k，c＝6k，然后把它们分别代入中，再进行分式的运算即可； （2）根据三角形周长定义得到5k+4k+6k＝60，解关于k的方程求出k，然后计算5k、4k和6k即可． 【规范解答】解：（1）设＝＝＝k，则a＝5k，b＝4k，c＝6k， 所以＝＝； （2）5k+4k+6k＝60， 解得k＝4， 所以a＝20，b＝16，c＝24． 【考点评析】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【变式20-2】（2022秋•港北区期末）已知四个数﹣3，9，2，d成比例，则d等于（　　） A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6 【思路点拨】根据成比例的定义得到﹣3：9＝2：d，然后利用比例的性质可求出d的值． 【规范解答】解：根据题意得﹣3：9＝2：d， 所以﹣3d＝18， 解得d＝﹣6． 故选：D． 【考点评析】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 期末真题拔高训练15题 1．（2023秋•中山区期末）分式有意义的条件是（　　） A．x＝﹣3 B．x≠0 C．x≠﹣3 D．x≠3 【思路点拨】根据分式有意义的条件得出3﹣x≠0，再求出答案即可． 【规范解答】解：要使分式有意义，必须3﹣x≠0， 解得：x≠3． 故选：D． 【考点评析】本题考查了分式有意义的条件，能根据分式有意义的条件得出3﹣x≠0是解此题的关键． 2．（2023秋•环翠区期末）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】当一个分式的分子与分母只有公因数1时，‌这个分式被称为最简分式，由最简分式的定义逐项判断即可得出答案． 【规范解答】解：A、，故不是最简分式，不符合题意； B、，故不是最简分式，不符合题意； C、，故不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查了最简分式的定义，熟练掌握最简分式是关键． 3．（2023秋•上期末）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】把各个分式化简，只有D不能化简． 【规范解答】解：∵A：＝﹣， B：＝， C：＝﹣， 故选：D． 【考点评析】本题考查了最简分式，掌握最简分式的定义是解题的关键． 4．（2023秋•江阳区期末）若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1或﹣2 C．0 D．0或﹣1 【思路点拨】先去分母，将分式方化为整式方程求解，再根据分式方程无解的情况：有增根或整式方程无解，即可进行解答． 【规范解答】解：去分母得mx﹣2＝﹣（x+1）， 整理得（m+1）x＝1， ， ∵原方程无解， ∴m+1＝0或， 解得：m＝﹣1或﹣2， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程是关键． 5．（2023秋•南充期末）若整数m使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（　　） A．7 B．5 C．0 D．﹣2 【思路点拨】先解已知条件中的分式方程，根据已知条件求出符合题意的m的值，再解关于y的不等式组，求出m的取值范围，从而求出所有符合条件的整数m的值，最后求出它们的和即可． 【规范解答】解：， 方程两边同时乘x﹣1得： m＝﹣2+3（x﹣1）， m＝﹣2+3x﹣3， m＝3x﹣5， 3x＝5+m， ， ∵整数m使得关于x的方程的解为非负整数， ∴5+m＝0或3或6或9或12…， 解得：m＝﹣5或﹣2或1或4或7…， ， 由①得： 4y﹣1＜3y+9， 4y﹣3y＜9+1， y＜10， 由②得：y≥m， ∴m的取值范围为：m≤y＜10， ∵关于y的不等式组至少有3个整数解， ∴m≤7， ∴m＝﹣5或﹣2或1或4或7， ∵分式方程中的分母x﹣1≠0， ∴，即m≠﹣2， ∴m＝﹣5或1或4或7， ∴所有符合条件的整数m的和为：﹣5+1+4+7＝7， 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤和注意事项． 6．（2023秋•湖南期末）已知，则m的值 　3或﹣1　． 【思路点拨】分两种情况：当a+b+c+d≠0时，当a+b+c+d＝0时，然后分别进行计算即可解答． 【规范解答】解：分两种情况： 当a+b+c+d≠0时， 根据等比性质可得： m＝ ＝ ＝3； 当a+b+c+d＝0时，a+b+c＝﹣d， ∴m＝ ＝ ＝﹣1； 综上所述，m的值为3或﹣1， 故答案为：3或﹣1． 【考点评析】本题考查了比例的性质，分两种情况进行计算是解题的关键． 7．（2023秋•玉环市期末）已知，则x2﹣y2＝　　． 【思路点拨】先根据已知条件，把分式通分，求出x+y，再利用完全平方公式求出x2+y2，x﹣y，最后把所求代数式分解因式，再把x+y和x﹣y的值代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ， ， x+y＝4， ∴（x+y）2＝16， x2+y2+2xy＝16， x2+y2＝12， ∴（x﹣y）2 ＝x2+y2﹣2xy ＝12﹣2×2 ＝12﹣4 ＝8， ∴， ∴当时， x2﹣y2 ＝（x+y）（x﹣y） ＝ ＝， 当时， x2﹣y2 ＝（x+y）（x﹣y） ＝ ＝， 综上可知：， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了分式的加减和代数式求值，解题关键是熟练掌握分式的通分和完全平方公式的应用． 8．（2023秋•呈贡区期末）若关于x的方程无解，则m的值是 　﹣1或2　． 【思路点拨】先按照解分式方程的一般步骤解方程，然后根据分式方程无解，列出关于m的方程，解方程即可． 【规范解答】解：， 方程两边同时乘x﹣2得： mx＝4﹣（x﹣2）， mx＝4﹣x+2， mx+x＝6， （m+1）x＝6， ， ∵关于x的方程 无解， ∴m+1＝0，， 解得：m＝﹣1或2， 故答案为：﹣1或2． 【考点评析】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程无解；②分式的分母为0． 9．（2023秋•合江县校级期末）已知关于x的分式方程有增根，则a的值为 　5　． 【思路点拨】根据题意可得（11﹣2a）x＝（3a﹣10），从而可得：x＝5或﹣，然后把x的值代入整式方程中进行计算，即可解答． 【规范解答】解：去分母得：x﹣5﹣（a﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， 整理得：（11﹣2a）x＝（3a﹣10）， 由分式方程有增根得： 11﹣2a≠0，即：， 当时，即：a＝5， 当时，a不存在， ∴a＝5， 故答案为：5． 【考点评析】本题考查了分式方程有增根问题，先去分母，根据分式方程有增根进而可求解，熟练掌握分式方程分母为0时的解就是分式方程的增根是解题的关键． 10．（2023秋•互助县期末）若分式无解，则m＝　3　． 【思路点拨】将原方程去分母得：m﹣2﹣x＝3（x﹣1），由原方程无解求出x的值，再把x的值代入这个整方程即可． 【规范解答】解：原方程去分母得：m﹣2﹣x＝3（x﹣1）， ∵分式无解， ∴x﹣1＝0， ∴x＝1， 把x＝1代入m﹣2﹣x＝3（x﹣1）得，m﹣2﹣1＝0， ∴m＝3， 故答案为：3． 【考点评析】本题主要考查了分式方程无解的问题，掌握分式方程无解（即产生增根）的原因是解题的关键． 11．（2023秋•乳山市期末）先化简，再求值：，其中a＝﹣1，b＝2． 【思路点拨】先根据分式的混合运算进行计算，然后将字母的值代入，即可求解． 【规范解答】解：原式＝ ＝ ＝． 将a＝﹣1，b＝2代入， 原式＝＝． 【考点评析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据分式的运算法则进行解答． 12．（2023秋•长葛市期末）先化简，再求值：，其中m＝﹣2． 【思路点拨】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将m的值代入原式即可求出答案． 【规范解答】解：原式＝（﹣）÷ ＝÷ ＝• ＝， 当m＝﹣2时， 原式＝． 【考点评析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则． 13．（2023秋•蒙阴县期末）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均速度是线路一上行驶的平均速度的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少30分钟，求汽车在线路一上和线路二上行驶的平均速度． 【思路点拨】根据“时间＝路程÷速度”表示汽车在两个线路上行驶的时间，利用“线路二的用时预计比线路一用时少30分钟”建立方程求解． 【规范解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8x km/h， 根据题意，得， 解得x＝50， 经检验：x＝50是原分式方程的解， 此时50×1.8＝90（km/h）， 答：汽车在线路一上的平均速度是50km/h，汽车在线路二上行驶的平均速度90km/h． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，利用路程、速度、时间的关系建立分式方程是解题的关键． 14．（2023秋•澄迈县期末）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个，求篮球、排球的进价分别为每个多少元？ 【思路点拨】设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元，由等量关系，3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元， 根据题意得， 解得x＝80（元）， 经检验x＝80是原分式方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝120（元）， 答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解答本题的关键． 15．（2023秋•益阳期末）先化简，再求值：，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值． 【思路点拨】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用分式有意义的条件选取符合条件的a的值代入计算即可． 【规范解答】解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝﹣a﹣1， 根据分式有意义的条件知a≠﹣1且a≠2， 则a＝3， 原式＝﹣3﹣1＝﹣4． 【考点评析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 分式 （知识梳理+20个题型解读60题+真题拔高15题） 题型清单目录 【知识梳理】 1 【考点题型一】分式的定义 5 【考点题型二】分式有意义的条件 6 【考点题型三】分式的值为零的条件 6 【考点题型四】分式的值 6 【考点题型五】分式的基本性质 7 【考点题型六】约分 7 【考点题型七】最简分式 7 【考点题型八】最简公分母 8 【考点题型九】分式的乘除法 8 【考点题型十】分式的加减法 8 【考点题型十一】分式的混合运算 9 【考点题型十二】分式的化简求值 9 【考点题型十三】分式方程的解 9 【考点题型十四】解分式方程 9 【考点题型十五】换元法解分式方程 10 【考点题型十六】分式方程的增根 11 【考点题型十七】由实际问题抽象出分式方程 11 【考点题型十八】分式方程的应用 11 【考点题型十九】比例的性质 12 【考点题型二十】比例线段 12 期末真题拔高训练15题 13 【知识梳理】 知识点01：分式的概念 一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式．分式会中叫作分子，叫作分母． 注意：(1)判断一个式子是否为分式，关键是看分母中是否有字母． (2)分式与整式的根本区别：分式的分母中含有字母，如，是整式，而是分式． (3)分式有无意义的条件：①若，则分式有意义；②若，则分式无意义． (4)分式的值为零的条件：若，则分式的值为零，反之也成立． 知识点02：分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变． 用式子表示是：，，其中，，是整式． 注意：(1)分式的基本性质可类比分数的基本性质去理解记忆．利用分式的基本性质，可以在不改变分式的值的条件下，对分式作一系列的变形． (2)当分式的分子(或分母)是多项式，运用分式的基本性质时，要先把分式的分子(或分母)用括号括上．再将分子与分母同乘(或除以)相同的整式． 知识点03：约分、最简分式及通分的概念 1.约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分． 说明：约分的关键是准确找出分子与分母的公因式，找公因式的方法：(1)当分子和分母都是单项式时，先找出它们系数的最大公约数，再确定相同字母的最低次幂，它们的乘积就是分子与分母的公因式．(2)当分子、分母是多项式时，先将分子、分母因式分解，把分子、分母化为几个因式的积后，再找出分子、分母的公因式． 约分应注意一定要把公因式约尽，还应注意分子、分母的整体都要除以同一个公因式．当分子或分母是多项式时，要用分子、分母的公因式去除整个多项式，不能只除某一项，更不能减去某一项．例如是错误的． 2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式．判断一个分式是否为最简分式，关键是确定其分子与分母是否有公因式(1除外)． 分式的约分，一般要约去分子和分母的所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式． 注意：(1)最简分式与小学学过的最简分数类似． (2)最简分式是对一个独立的分式而言的，最大的特点是只有一条分数线．形如，的分式都不是最简分式． 3.通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 4.最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积，叫作最简公分母． 注意：确定最简公分母的一般方法： (1)如果各分母都是单项式，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的．这样得到的积就是最简公分母． (2)如果各分母都是多项式，就要把它们分解因式，再按照分母是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去求． 知识点04：分式的乘除法 分式的乘除法与分数的乘除法类似，法则如下： 1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示是：． 2.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示是：． 3.分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方，用式子表示是：(是正整数)． 注意：(1)法则中的字母，，，所代表的可以是单项式，也可以是多项式． (2)运算的结果必须是最简分式或整式． 知识点05：分式的加减法 1．同分母分式加减法的法则 与同分母的分数加减法类似，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示是：． 注意：(1)“同分母分式相加减”是把各个分式的“分子的整体”相加减，即当分子是多项式时，应将各分子加括号，括号不能省略， (2)运算结果必须化为最简分式或整式． 2．异分母分式加减法的法则 与异分母的分数加减法类似，异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示是：． 知识点06：分式的混合运算 分式的混合运算的顺序是：先乘方，再乘除，最后算加减；遇到括号，先算括号内的；在同级运算中，从左向右依次进行． 注意：(1)实数的运算律对分式同样适用，注意灵活运用，提高解题的质量和速度． (2)结果必须化为最简分式或整式． (3)分子或分母的系数是负数时，要把“－”提到分数线的前边． (4)对于分式的乘除混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，分子、分母是多项式时，可先将分子、分母分解因式，再相乘． 知识点07：比和比例 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 4、比例外项：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。 5、比例内项：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b=b:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。 8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 9、比例的基本性质：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命题也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d 10、比例的基本性质推论：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。 11、合比性质：如果，那么 12．等比性质：如果，（），那么 说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。 知识点08：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫作分式方程，如，等. 注意 分式方程有两个重要特征：①是方程；②分母中含有未知数. 知识点09：解分式方程的基本思路、方法和一般步骤 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法. 解分式方程的一般步骤：“一化，二解，三检验”. 即： 注意 在去分母前，需确定分式方程的最简公分母，若分母是多项式，应先分解因式，再确定最简分母. 知识点10：验根的方法 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入原分式方程的最简公分母，如果最简公分母的值为0，那么这个解不是原分式方程的解. 注意 验根时也可以将整式方程的解代入原分式方程检验，这种方法虽然计算量大，但是能检查解分；式方程的过程中有无计算错误. 知识点11：列分式方程解应用题 列分式方程解应用题的步骤类似于列一元一次方程解应用题，即审题、设未知数、列方程、解方程、检验并写出答案. 注意 列分式方程解应用题的检验要分两步：第一步检验得到的未知数的值是不是原分式方程的根；第二步检验得到的未知数的值是否符合实际问题的意义 【考点题型一】分式的定义 【精讲题】（2023秋•德惠市期末）在代数式，，，，x+中，是分式的有　 　个． 【变式1-1】（2022秋•绥棱县校级期末）下列式子①，②，③，④中，是分式的有　　个． 【变式1-2】（2023秋•娄底期末）下列各式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型二】分式有意义的条件 【精讲题】（2024春•历下区期末）无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋•长葛市期末）使分式有意义的条件是（　　） A．x＝±1 B．x≠±1 C．x≠1 D．x≠﹣1 【变式2-2】（2023秋•天元区期末）若分式有意义，则x的取值范围是 　 　． 【考点题型三】分式的值为零的条件 【精讲题】（2024春•市北区期末）若分式的值为0，则x的值为　 　． 【变式3-1】（2024春•玄武区期末）若分式的值为0，则x的值是 　 　． 【变式3-2】（2023秋•陇西县期末）若分式的值为零，则x的值为（　　） A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0 【考点题型四】分式的值 【精讲题】（2023秋•上饶期末）如果分式的值为负数，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023秋•平山县期末）如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　　） A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处 【变式4-2】（2023秋•湖北期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，则的值是 　 　． 【考点题型五】分式的基本性质 【精讲题】（2023秋•石景山区期末）在括号内填入适当的整式对分式变形：，变形的依据是 　 　． 【变式5-1】（2023秋•应城市期末）已知，则＝　　． 【变式5-2】（2023秋•铁岭县期末）若把分式中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【考点题型六】约分 【精讲题】（2024春•肥乡区期末）下列式子的化简结果为的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024春•商水县期末）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（2023秋•济宁期末）化简分式：＝　 　． 【考点题型七】最简分式 【精讲题】（2023秋•重庆期末）将分式化为最简分式，所得结果是 　　． 【变式7-1】（2022秋•新华区校级期末）有分别写有x，x+1，x﹣1的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 　　的卡片． 【变式7-2】（2023秋•磁县期末）下列分式，，，，中，最简分式的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型八】最简公分母 【精讲题】（2023秋•呼和浩特期末）分式与的最简公分母是（　　） A．（x+y）2 B．2（x+y）3 C．2（x+y）2 D．2x+2y 【变式8-1】（2024春•东坡区期末）下列说法错误的是（　　） A．当x＝2时，分式无意义 B．当x＞5时，分式的值为正数 C．当分式时，m＝±3 D．分式与的最简公分母是3ab2 【变式8-2】（2023秋•斗门区期末）对分式和进行通分，它们的最简公分母为 　 　． 【考点题型九】分式的乘除法 【精讲题】（2024春•鼓楼区校级期末）计算：＝　　． 【变式9-1】（2022秋•玉林期末）计算：＝　　． 【变式9-2】（2023秋•巴东县期末）若计算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　） A． B．x2﹣6 C．x2﹣6x D．x﹣6 【考点题型十】分式的加减法 【精讲题】（2024春•衡阳县期末）已知：，则的值等于（　　） A．6 B．﹣6 C． D． 【变式10-1】（2023秋•潍城区期末）已知，则代数式的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【变式10-2】（2023秋•青龙县期末）计算的结果是 　　． 【考点题型十一】分式的混合运算 【精讲题】（2024春•普陀区期末）关于x的方程a2x+x＝1的解是　　． 【变式11-1】（2023秋•潍坊期末）计算的结果是 　　． 【变式11-2】（2023秋•洛南县校级期末）若a≠b，则下列分式化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型十二】分式的化简求值 【精讲题】（2024春•修水县期末）已知＝2，则的值为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式12-1】（2023秋•秦皇岛期末）用替换分式中的n后，经过化简结果是（　　） A． B．2m C． D． 【变式12-2】（2024春•惠安县期末）已知，则的值是 　　． 【考点题型十三】分式方程的解 【精讲题】（2023秋•莘县期末）若关于x的方程无解，则a的值是 　 　． 【变式13-1】（2023秋•广水市期末）若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为 　 　． 【变式13-2】（2023秋•双桥区校级期末）已知关于x的方程的解是x＝﹣2，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【考点题型十四】解分式方程 【精讲题】（2023秋•盐池县期末）把分式方程＝化为整式方程，方程两边需同时乘以（　　） A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4） 【变式14-1】（2021秋•环江县期末）方程＝的解为（　　） A．x＝7 B．x＝﹣7 C．x＝5 D．x＝﹣5 【变式14-2】（2024春•月湖区期末）分式方程的解为 　 　． 【考点题型十五】换元法解分式方程 【精讲题】（2023秋•乌拉特前旗期末）解方程：． 【变式15-1】（2022秋•青浦区校级期末）用换元法解方程x2+3x﹣＝8，若设x2+3x＝y，则原方程可化成关于y的整式方程为　 　． 【变式15-2】（2023秋•岱岳区期末）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：，经检验：x＝﹣1或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （2）利用上述方法解方程：． （3）模仿上述换元法解方程组：． 【考点题型十六】分式方程的增根 【精讲题】（2023秋•乳山市期末）关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 【变式16-1】（2023秋•鄂伦春自治旗期末）若关于x的方程有增根，则k的值为（　　） A．3 B．1 C．0 D．﹣1 【变式16-2】（2023秋•宁津县期末）若关于x的分式方程+1＝有增根，则k＝　 　． 【考点题型十七】由实际问题抽象出分式方程 【精讲题】（2023秋•怀仁市期末）为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2千米，设甲每小时骑行x千米，根据题意列出的方程是 　　 ． 【变式17-1】（2024春•凤翔区期末）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站15公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，若孔子和学生们同时到达书院，设学生们步行的速度为每小时x公里，则可列方程 　　 ． 【变式17-2】（2023秋•台州期末）为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校10km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了20min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为x km/h，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型十八】分式方程的应用 【精讲题】（2023秋•藁城区期末）“某学校改造过程中整修门口3000m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路x m，可得方程，则题目中用“…”表示的条件应是（　　） A．每天比原计划多修10m，结果延期20天完成 B．每天比原计划多修10m，结果提前20天完成 C．每天比原计划少修10m，结果延期20天完成 D．每天比原计划少修10m，结果提前20天完成 【变式18-1】（2023秋•硚口区期末）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索．”此题中第一个农妇的每个鸡蛋价格是（　　） A．个克罗索 B．个克罗索 C．个克罗索 D．个克罗索 【变式18-2】（2023秋•保定期末）两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通．记总工程量为1． （1）甲队单独施工1天完成总工程的 　　 ； （2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为 　 ． 【考点题型十九】比例的性质 【精讲题】（2023秋•潮南区校级期末）若，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【变式19-1】（2019秋•曹县期末）已知x：y＝3：2，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【变式19-2】（2023秋•冠县期末）已知，且a+b﹣2c＝9，则c的值为 　 ． =【考点题型二十】比例线段 【精讲题】（2023秋•潍坊期末）若四条均不相等线段的长度分别为m，n，e，f，且满足mn＝ef，则下列各式不正确的是（　　） A．m：n＝e：f B．m：f＝e：n C． D． 【变式20-1】（2023秋•定陶区期末）已知a、b、c是△ABC的三边长，且． （1）求的值； （2）若△ABC的周长为60，求各边的长． 【变式20-2】（2022秋•港北区期末）已知四个数﹣3，9，2，d成比例，则d等于（　　） A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6 期末真题拔高训练15题 1．（2023秋•中山区期末）分式有意义的条件是（　　） A．x＝﹣3 B．x≠0 C．x≠﹣3 D．x≠3 2．（2023秋•环翠区期末）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•上期末）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•江阳区期末）若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1或﹣2 C．0 D．0或﹣1 5．（2023秋•南充期末）若整数m使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（　　） A．7 B．5 C．0 D．﹣2 6．（2023秋•湖南期末）已知，则m的值 　 　． 7．（2023秋•玉环市期末）已知，则x2﹣y2＝　 　． 8．（2023秋•呈贡区期末）若关于x的方程无解，则m的值是 　 　． 9．（2023秋•合江县校级期末）已知关于x的分式方程有增根，则a的值为 　 　． 10．（2023秋•互助县期末）若分式无解，则m＝　 　． 11．（2023秋•乳山市期末）先化简，再求值：，其中a＝﹣1，b＝2． 12．（2023秋•长葛市期末）先化简，再求值：，其中m＝﹣2． 13．（2023秋•蒙阴县期末）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均速度是线路一上行驶的平均速度的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少30分钟，求汽车在线路一上和线路二上行驶的平均速度． 14．（2023秋•澄迈县期末）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个，求篮球、排球的进价分别为每个多少元？ 15．（2023秋•益阳期末）先化简，再求值：，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$