清单02 图形的轴对称（知识梳理+16个题型解读+真题拔高15题）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版）

清单02 图形的轴对称 （知识梳理+16个题型解读48题+真题拔高15题） 题型清单目录 【知识梳理】 1 【考点题型一】生活中的轴对称现象 5 【考点题型二】轴对称图形 6 【考点题型三】轴对称的性质 7 【考点题型四】关于x轴、y轴对称的点的坐标 7 【考点题型五】等腰三角形的性质 8 【考点题型六】角平分线的性质 8 【考点题型七】线段垂直平分线的性质 9 【考点题型八】坐标与图形变化-对称 10 【考点题型九】轴对称-最短路线问题 10 【考点题型十】翻折变换（折叠问题） 11 【考点题型十一】图形的剪拼 11 【考点题型十二】等腰三角形的判定 12 【考点题型十三】等腰三角形的判定与性质 13 【考点题型十四】等边三角形的性质 14 【考点题型十五】等边三角形的判定 14 【考点题型十六】等边三角形的判定与性质 15 期末真题拔高训练15题 16 【知识梳理】 知识点01：轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 图形 定义 如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴 如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴 性质 (1)对应线段相等 AB＝①__AC__ AB＝A′B′ BC＝B′C′ AC＝A′C′ (2)对应角相等 ∠B＝∠C ∠A＝②__∠A′__ ， ∠B＝∠B′， ∠C＝∠C′ (3)对应点所连的线段被对称轴垂直平分 AD垂直平分BC MN垂直平分AA′，BB′，CC′ 区别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指③__两个__图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴 关系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称 (1)沿对称轴翻折，两个图形重合； (2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 点拨：全等的图形不一定是成轴对称的，成轴对称的图形一定是全等的，所以成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等. 轴对称作（画）图 1.画图形的对称轴 （1）如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这个图形的对称轴. （2）对于轴对称图形，只要找到任意一对对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴. 点拨 找对称点时，所找对称点最好是图形的顶点或拐点，这样作出的图形更准确. 2.画轴对称图形 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. （2）几何图形都可以看作是由点组成.对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. （3）画轴对称图形的步骤； ①确定原图形的特殊点； ②作出所有特殊点关于对称轴的对称点； ③按原图形的顺序顺次连接相应的对称点. 点拨 “特殊点”是指能确定图形形状、大小及位置的关键点.如果是多边形，这些点就是指所有的顶点；如果是线段，这些点就是指线段的两个端点等. 坐标轴对称小结： 在平面直角坐标系中 1.关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 2.关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等； 3.关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数； 4.与X轴或Y轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系； 知识点02：线段垂直平分线 1.定义 垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 2.性质 线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等 3.判定 到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 知识点03：角平分线 1.性质定理 角平分线上的点，到角的两边的距离相等 2.逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 知识点04：等腰三角形的性质与判定 1．等腰三角形 定义 有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底 性质 (1)等腰三角形两腰相等(即AB＝AC)； (2)等腰三角形的两底角__相等__(即∠B＝__∠C__)； (3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴； (4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合； (5)面积： S△ABC＝BC·AD 判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个相等的角所对的边相等(简称“__等角对等边__”) 点拨 等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 2.等边三角形 定义 三边相等的三角形是等边三角形 性质 (1)等边三角形三边相等(即AB＝BC＝AC)； (2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于__60°__(即∠A＝∠B＝∠C＝__60°__)； (3)等边三角形内、外心重合； (4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴； (5)面积：S△ABC＝BC·AD 判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【考点题型一】生活中的轴对称现象 【精讲题】（2023秋•南昌县期末）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023秋•玉山县期末）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式1-2】（2022秋•集贤县期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【考点题型二】轴对称图形 【精讲题】（2023秋•通河县期末）下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024春•市中区期末）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋•柘城县期末）如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是　 ．（只需写一个，不添加辅助线） 【考点题型三】轴对称的性质 【精讲题】（2023秋•巴东县期末）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【变式3-1】（2023秋•凤山县期末）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3-2】（2024春•长春期末）如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若PMN的周长＝8厘米，则CD为　　厘米． 【考点题型四】关于x轴、y轴对称的点的坐标 【精讲题】（2023秋•泗阳县期末）已知点A（m，﹣3）与点B（2，n）关于y轴对称，则m+n＝ 　 　． 【变式4-1】（2023秋•丹徒区期末）点A（﹣3，4）关于y轴对称的坐标为　 　． 【变式4-2】（2023秋•北流市期末）点（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 【考点题型五】等腰三角形的性质 【精讲题】（2023秋•滨江区期末）等腰三角形的一个外角是80°，则其底角等于（　　） A．40° B．80° C．100° D．40°或100° 【变式5-1】（2023秋•赤壁市期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．20°或70° B．40° C．140° D．40°或140° 【变式5-2】（2023秋•斗门区期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为 　． 【考点题型六】角平分线的性质 【精讲题】（2023秋•徐州期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝　　． 【变式6-1】（2023秋•铁岭县期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　 　． 【变式6-2】（2023秋•蒙阴县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点题型七】线段垂直平分线的性质 【精讲题】（2023秋•南浔区期末）在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【变式7-1】（2022秋•天桥区期末）如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式7-2】（2023秋•长清区期末）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是 　 　． 【考点题型八】坐标与图形变化-对称 【精讲题】（2023秋•广陵区期末）如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB＝90°，OB∥AC，点C的坐标为（4，8），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．则点E的坐标为 　 　． 【变式8-1】（2023秋•梅县区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，4）和点B（3，4）关于 　　轴对称． 【变式8-2】（2023秋•平原县期末）与点（4，5）关于直线x＝﹣1对称的点为（　　） A．（﹣4，5） B．（4，﹣5） C．（﹣6，5） D．（4，﹣7） 【考点题型九】轴对称-最短路线问题 【精讲题】（2024春•怀化期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 【变式9-1】（2023秋•张家港市期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），点B（﹣5，6），在x轴上确定点C，使得△ABC的周长最小，则点C的坐标是（　　） A．（﹣4，0） B．（﹣3，0） C．（﹣2，0） D．（﹣2.5，0） 【变式9-2】（2023秋•丹江口市期末）如图，△ABC中，BC＝20，∠ABC＝15°，点F、E分别是AB，BC上的动点，则EF+FC的最小值＝　 　． 【考点题型十】翻折变换（折叠问题） 【精讲题】（2024春•利通区期末）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数等于　　． 【变式10-1】（2023秋•广汉市期末）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB的度数是 　 　． 【变式10-2】（2024春•定陶区期末）如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE长为（　　） A．4.8 B．5 C．5.8 D．6 【考点题型十一】图形的剪拼 【精讲题】（2023秋•乐山期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是 　　． 【变式11-1】（2023秋•徐州期末）如图，将长3cm、宽1cm的长方形剪拼成一个正方形，则正方形边长为 　 　 cm． 【变式11-2】（2023春•台江区期末）如图1，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中S2部分的面积是 　． 【考点题型十二】等腰三角形的判定 【精讲题】（2023秋•安陆市期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分别是线段BC、AC上的一点，根据下列条件之一，不能确定△ADE是等腰三角形的是（　　） A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝72° C．∠1+2∠2＝90° D．2∠1＝∠2+72° 【变式12-1】（2023秋•江阳区期末）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式12-2】（2024春•新郑市期末）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　 　． 【考点题型十三】等腰三角形的判定与性质 【精讲题】（2023秋•靖江市期末）如图，已知△ABC的面积为18，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是　 　． 【变式13-1】（2023秋•邹平市校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E，F．当EF＝5，BE＝2时，CF的长为 　 　． 【变式13-2】（2023秋•凉州区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（　　） A．15 B．18 C．20 D．22 【考点题型十四】等边三角形的性质 【精讲题】（2023秋•梁山县期末）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【变式14-1】（2023秋•龙山区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（　　） A．25° B．60° C．85° D．95° 【变式14-2】（2023秋•定州市期末）如图，在等边三角形ABC中AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE＝CD，则BE的长为 　 　． 【考点题型十五】等边三角形的判定 【精讲题】（2023秋•淮南期末）在△ABC中，∠B＝∠C，若添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是 　 　．（写出一个即可） 【变式15-1】（2022秋•环江县期末）如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上的一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　　s时，△POQ是等边三角形． 【变式15-2】（2023秋•泉港区期末）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能 【考点题型十六】等边三角形的判定与性质 【精讲题】（2023秋•永州期末）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式16-1】（2023秋•岳阳楼区期末）下列说法错误的是（　　） A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 D．三个角都相等的三角形是等边三角形． 【变式16-2】（2023秋•碑林区校级期末）如图，四边形ABCD，AD＝1，，BC＝3，点E为AB的中点，连接DE、CE，使得∠DEA+∠CEB＝60°，则DC的最大值为 　　 ． 期末真题拔高训练15题 1．（2023秋•公安县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是（　　） A．12 B．8 C．24 D．11 2．（2023秋•南召县期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形的三线合一 D．DE是BC的垂直平分线 3．（2023秋•麻栗坡县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝65°，点E，F分别是AB，BC上的点，沿着EF将△BEF折叠得到△DEF．若DE∥AC，则∠DFE的度数为（　　） A．110° B．115° C．120° D．125° 4．（2023秋•江岸区期末）如图，在△ABC中，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠至△ADB'，∠ACB＝2α，连接B'C，B'C平分∠ACB，则∠AB'D的度数是（　　） A． B．60°+α C． D．90°﹣α 5．（2023秋•咸宁期末）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 6．（2023秋•颍州区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD＝12，AD是边BC上的中线． （1）若∠C＝m°，则∠BAD的度数是 　 　；（用含m的式子表示） （2）若点P是线段AD上的一个动点，点Q为线段AB上的一个动点，则PB+PQ的最小值是 　 　． 7．（2023秋•武隆区期末）一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是 　 　． 8．（2023秋•旌阳区校级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线MN分别交AB，AC边于M，N点．若点D为BC边上一动点，点P为直线MN上一动点，当PC+PD的值最小时，△CDP周长为 　 　． 9．（2023秋•南昌期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为（2，2），一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，请写出所有满足条件的点B的坐标　 　． 10．（2023秋•泌阳县期末）如图，在等边△ABC中，CD⊥AB于D，E是线段CD上一点，F是边AC上一点，且满足BE＝EF，G是AF的中点，连接EG，则下列五个结论：①AD＝BD；②∠BEF＝150°；③∠AFE＝∠CBE；④EG＝EC；⑤当∠ABE＝15°时，EG＝FG，其中正确的有 　 　．（填序号） 11．（2023秋•临潼区期末）已知：如图，AE是△ABC外角的平分线，且AE∥BC．求证：△ABC是等腰三角形． 12．（2023秋•槐荫区期末）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AE＝AB． 13．（2023秋•临潼区期末）已知：如图，AE是△ABC外角的平分线，且AE∥BC．求证：△ABC是等腰三角形． 14．（2023秋•槐荫区期末）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AE＝AB． 15．（2023秋•长兴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若AD＝13，BE＝5，F为AB的中点，求EF的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 图形的轴对称 （知识梳理+16个题型解读48题+真题拔高15题） 题型清单目录 【知识梳理】 1 【考点题型一】生活中的轴对称现象 5 【考点题型二】轴对称图形 6 【考点题型三】轴对称的性质 8 【考点题型四】关于x轴、y轴对称的点的坐标 10 【考点题型五】等腰三角形的性质 11 【考点题型六】角平分线的性质 13 【考点题型七】线段垂直平分线的性质 15 【考点题型八】坐标与图形变化-对称 17 【考点题型九】轴对称-最短路线问题 19 【考点题型十】翻折变换（折叠问题） 22 【考点题型十一】图形的剪拼 24 【考点题型十二】等腰三角形的判定 25 【考点题型十三】等腰三角形的判定与性质 28 【考点题型十四】等边三角形的性质 31 【考点题型十五】等边三角形的判定 32 【考点题型十六】等边三角形的判定与性质 34 期末真题拔高训练15题 36 【知识梳理】 知识点01：轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 图形 定义 如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴 如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴 性质 (1)对应线段相等 AB＝①__AC__ AB＝A′B′ BC＝B′C′ AC＝A′C′ (2)对应角相等 ∠B＝∠C ∠A＝②__∠A′__ ， ∠B＝∠B′， ∠C＝∠C′ (3)对应点所连的线段被对称轴垂直平分 AD垂直平分BC MN垂直平分AA′，BB′，CC′ 区别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指③__两个__图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴 关系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称 (1)沿对称轴翻折，两个图形重合； (2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 点拨：全等的图形不一定是成轴对称的，成轴对称的图形一定是全等的，所以成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等. 轴对称作（画）图 1.画图形的对称轴 （1）如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这个图形的对称轴. （2）对于轴对称图形，只要找到任意一对对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴. 点拨 找对称点时，所找对称点最好是图形的顶点或拐点，这样作出的图形更准确. 2.画轴对称图形 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. （2）几何图形都可以看作是由点组成.对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. （3）画轴对称图形的步骤； ①确定原图形的特殊点； ②作出所有特殊点关于对称轴的对称点； ③按原图形的顺序顺次连接相应的对称点. 点拨 “特殊点”是指能确定图形形状、大小及位置的关键点.如果是多边形，这些点就是指所有的顶点；如果是线段，这些点就是指线段的两个端点等. 坐标轴对称小结： 在平面直角坐标系中 1.关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 2.关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等； 3.关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数； 4.与X轴或Y轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系； 知识点02：线段垂直平分线 1.定义 垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 2.性质 线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等 3.判定 到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 知识点03：角平分线 1.性质定理 角平分线上的点，到角的两边的距离相等 2.逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 知识点04：等腰三角形的性质与判定 1．等腰三角形 定义 有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底 性质 (1)等腰三角形两腰相等(即AB＝AC)； (2)等腰三角形的两底角__相等__(即∠B＝__∠C__)； (3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴； (4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合； (5)面积： S△ABC＝BC·AD 判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个相等的角所对的边相等(简称“__等角对等边__”) 点拨 等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 2.等边三角形 定义 三边相等的三角形是等边三角形 性质 (1)等边三角形三边相等(即AB＝BC＝AC)； (2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于__60°__(即∠A＝∠B＝∠C＝__60°__)； (3)等边三角形内、外心重合； (4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴； (5)面积：S△ABC＝BC·AD 判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【考点题型一】生活中的轴对称现象 【精讲题】（2023秋•南昌县期末）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴． 【规范解答】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了轴对称的图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键． 【变式1-1】（2023秋•玉山县期末）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【思路点拨】要击中点N，则需要满足点M反弹后经过的直线过N点，画出反射路线即可得出答案． 【规范解答】解： 可以瞄准点D击球． 故选：D． 【考点评析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【变式1-2】（2022秋•集贤县期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【思路点拨】利用轴对称画图可得答案． 【规范解答】解：如图所示， ， 球最后落入的球袋是2号袋， 故选：B． 【考点评析】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形． 【考点题型二】轴对称图形 【精讲题】（2023秋•通河县期末）下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据轴对称图形的概念判断即可． 【规范解答】解：A、不是轴对称图形 B、不是轴对称图形 C、不是轴对称图形 D、是轴对称图形； 故选：D． 【考点评析】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【变式2-1】（2024春•市中区期末）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【规范解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D． 【考点评析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【变式2-2】（2023秋•柘城县期末）如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是　AD＝CD　．（只需写一个，不添加辅助线） 【思路点拨】轴对称图形的定义即可得到结论． 【规范解答】解：AD＝CD， 理由：在△ABD与△CBD中，， ∴△ABD≌△CBD， ∴四边形ABCD是一个轴对称图形， 故答案为：AD＝CD． 【考点评析】本题考查了轴对称图形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【考点题型三】轴对称的性质 【精讲题】（2023秋•巴东县期末）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【思路点拨】根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 由图①的折叠方式可知， ∠BAD＝∠CAD， 所以AD是△ABC的角平分线． 由图②的折叠方式可知， ∠ADB＝∠ADB′， 又因为∠ADB+∠ADB′＝180°， 所以∠ADB＝∠ADB′＝90°， 即AD⊥BC， 所以AD是△ABC的高线． 由图③的折叠方式可知， CD＝BD， 所以AD是△ABC的中线． 故选：C． 【考点评析】本题考查轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高线，熟知三角形角平分线、中线和高线的定义即可解决问题． 【变式3-1】（2023秋•凤山县期末）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【思路点拨】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可． 【规范解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键． 【变式3-2】（2024春•长春期末）如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若PMN的周长＝8厘米，则CD为　8　厘米． 【思路点拨】根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知． 【规范解答】解：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D， 故有MP＝MC，NP＝ND； 则CD＝CM+MN+ND＝PM+MN+PN＝8cm． 故答案为：8． 【考点评析】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【考点题型四】关于x轴、y轴对称的点的坐标 【精讲题】（2023秋•泗阳县期末）已知点A（m，﹣3）与点B（2，n）关于y轴对称，则m+n＝ 　﹣5　． 【思路点拨】根据关于y轴对称的点的坐标特点解答即可． 【规范解答】解：∵点A（m，﹣3）与点B（2，n）关于y轴对称， ∴m＝﹣2，n＝﹣3， ∴m+n＝﹣2﹣3＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【考点评析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练的掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同． 【变式4-1】（2023秋•丹徒区期末）点A（﹣3，4）关于y轴对称的坐标为　（3，4）　． 【思路点拨】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案． 【规范解答】解：点A（﹣3，4）关于y轴对称的坐标为（3，4）． 故答案为：（3，4）； 【考点评析】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 【变式4-2】（2023秋•北流市期末）点（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 【思路点拨】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【规范解答】解：点（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣3）． 故选：A． 【考点评析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【考点题型五】等腰三角形的性质 【精讲题】（2023秋•滨江区期末）等腰三角形的一个外角是80°，则其底角等于（　　） A．40° B．80° C．100° D．40°或100° 【思路点拨】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解． 【规范解答】解：∵等腰三角形的一个外角为80°， ∴相邻角为180°﹣80°＝100°， ∵三角形的底角不能为钝角， ∴100°角为顶角， ∴底角为：（180°﹣100°）÷2＝40°． 故答案为：A． 【考点评析】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【变式5-1】（2023秋•赤壁市期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．20°或70° B．40° C．140° D．40°或140° 【思路点拨】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【规范解答】解：如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD＝50°， ∴顶角∠A＝90°﹣50°＝40°； 如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD＝50°， ∴顶角∠BAC＝50°+90°＝140°， 综上所述，顶角等于40°或140°． 故选：D． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 【变式5-2】（2023秋•斗门区期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为 　9　． 【思路点拨】过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【规范解答】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F， ∵AB＝AC，BC＝6， ∴BH＝HC＝3， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACH+∠ECF＝90°， ∵∠CAH+∠ACH＝90°， ∴∠ECF＝∠CAH， 在△ACH与△CEF中， ， ∴△ACH≌△CEF（AAS）， ∴EF＝CH＝3， ∴△BCE的面积＝＝＝9． 故答案为：9． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 【考点题型六】角平分线的性质 【精讲题】（2023秋•徐州期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝　1　． 【思路点拨】过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质可得DE＝DF＝1，然后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【规范解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝1， ∵AC＝2， ∴S△ACD＝AC•DF ＝×2×1 ＝1， 故答案为：1． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式6-1】（2023秋•铁岭县期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　42　． 【思路点拨】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF＝4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案． 【规范解答】解： 过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE＝OD，OD＝OF， 即OE＝OF＝OD＝4， ∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC ＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD ＝×4×（AB+AC+BC） ＝×4×21＝42， 故答案为：42． 【考点评析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 【变式6-2】（2023秋•蒙阴县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案． 【规范解答】解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5， ∵△ABC的面积为9， ∴△ADC的面积为9﹣5＝4， ∴AC×DF＝4， ∴AC×2＝4， ∴AC＝4， 故选：C． 【考点评析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 【考点题型七】线段垂直平分线的性质 【精讲题】（2023秋•南浔区期末）在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PC，进而得出∠PAC＝∠C＝50°，结合图形计算，得到答案． 【规范解答】解：在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°， 则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°， 根据线段垂直平分线的性质，得PA＝PC， ∴∠PAC＝∠C＝50°， ∴∠BAP＝∠BAC﹣∠PAC＝95°﹣50°＝45°， 故选：C． 【考点评析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边对等角，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 【变式7-1】（2022秋•天桥区期末）如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，CQ＝AQ，求出∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，再求出∠BAP+∠CAQ＝70°，再求出答案即可． 【规范解答】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°， ∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线， ∴AP＝BP，CQ＝AQ， ∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C， ∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°， ∵∠BAC＝110°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°， 故选：A． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质得出AP＝BP和AQ＝CQ是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②等边对等角，③三角形内角和等于180°． 【变式7-2】（2023秋•长清区期末）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是 　15cm　． 【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，AB＝6cm，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【规范解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，AE＝3cm， ∴DA＝DB，AB＝6cm， ∵△ADC的周长为9cm， ∴AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝9cm， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝15（cm）， 故答案为：15cm． 【考点评析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【考点题型八】坐标与图形变化-对称 【精讲题】（2023秋•广陵区期末）如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB＝90°，OB∥AC，点C的坐标为（4，8），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．则点E的坐标为 　（0，3）　． 【思路点拨】利用轴对称的性质可得出AD＝AC＝8，∠CAB＝∠DAB，再通过平行线得出∠ABO＝∠CAB，进而得出∠ABO＝∠DAB，最后利用等角对等边，结合勾股定理即可解决问题． 【规范解答】解：因为∠ACB＝90°，OB∥AC， 所以∠OBC＝90°， 又因为∠BOA＝90°， 所以四边形BOAC是矩形． 因为点C的坐标为（4，8）， 所以AC＝8，BC＝4， 所以BD＝BC＝4，AD＝AC＝8． 因为点D和点C关于AB成轴对称， 所以∠CAB＝∠DAB， 又因为OB∥AC， 所以∠OBA＝∠CAB， 所以∠OBA＝∠DAB， 所以BE＝AE． 令BE＝AE＝x， 则DE＝8﹣x． 在△BDE中， BD2+DE2＝BE2， 即42+（8﹣x）2＝x2， 解得x＝5， 所以BE＝5， 所以OE＝8﹣5＝3， 即点E的坐标为（0，3）． 故答案为：（0，3）． 【考点评析】本题考查坐标与图形变化﹣对称，熟知轴对称的性质及利用勾股定理求出BE的长是解题的关键． 【变式8-1】（2023秋•梅县区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，4）和点B（3，4）关于 　y　轴对称． 【思路点拨】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案． 【规范解答】解：∵点A（﹣3，4）和点B（3，4）的横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴点A（﹣3，4）和点B（3，4）关于y轴对称． 故答案为：y． 【考点评析】此题主要考查了坐标与图形变化﹣对称，关于x轴、y轴对称的点的坐标的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键． 【变式8-2】（2023秋•平原县期末）与点（4，5）关于直线x＝﹣1对称的点为（　　） A．（﹣4，5） B．（4，﹣5） C．（﹣6，5） D．（4，﹣7） 【思路点拨】点（4，5）与关于直线x＝﹣1对称的点纵坐标不变，两点到x＝﹣1的距离相等，据此可得其横坐标． 【规范解答】解：点（4，5）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标是（﹣6，5）． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查坐标与图形的变化，掌握①关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数．②关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数．③关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b），④关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）是解题的关键． 【考点题型九】轴对称-最短路线问题 【精讲题】（2024春•怀化期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 【思路点拨】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值． 【规范解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q， ∵AD是∠BAC的平分线． ∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度， ∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8， ∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC， ∴CM＝＝， 即PC+PQ的最小值为． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置． 【变式9-1】（2023秋•张家港市期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），点B（﹣5，6），在x轴上确定点C，使得△ABC的周长最小，则点C的坐标是（　　） A．（﹣4，0） B．（﹣3，0） C．（﹣2，0） D．（﹣2.5，0） 【思路点拨】作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点C，连接BC，此时△ABC的周长最小，求出直线AB'的解析式y＝2x+4与x轴的交点即可． 【规范解答】解：作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点C，连接BC， ∴BC＝B'C， ∴BC+AC＝B'C+AC≥AB'，此时△ABC的周长最小， ∵B（﹣5，6）， ∴B'（﹣5，﹣6）， 设直线AB'的解析式为y＝kx+b， 将点A（﹣1，2），B'（﹣5，﹣6）代入， 得， ∴， ∴y＝2x+4， 令y＝0，则x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）， 故选：C． 【考点评析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【变式9-2】（2023秋•丹江口市期末）如图，△ABC中，BC＝20，∠ABC＝15°，点F、E分别是AB，BC上的动点，则EF+FC的最小值＝　10　． 【思路点拨】作点C关于AB的对称点C′，连接BC′，作C′E⊥BC交AB于点F，当C′E⊥BC时，EF+FC有最小值C′E，据此即可求解． 【规范解答】解：作点C关于AB的对称点C′，连接BC′，作C′E⊥BC交AB于点F，如图所示： 则CF＝C′F，BC′＝BC＝20，∠C′BA＝∠ABC＝15°， ∴EF+FC＝EF+C′F，∠CBC′＝30°， ∵点E别是BC上的动点， ∴C′E⊥BC时，EF+FC有最小值C′E， ∵∠CBC′＝30°， ∴， 故答案为：10． 【考点评析】本题考查了轴对称的性质、含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【考点题型十】翻折变换（折叠问题） 【精讲题】（2024春•利通区期末）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数等于　115°　． 【思路点拨】根据折叠的性质，得∠BFE＝（180°﹣∠1），再根据平行线的性质即可求得∠AEF的度数． 【规范解答】解：根据长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，得 ∠BFE＝（180°﹣∠1）＝65°． ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝115°． 【考点评析】此题综合运用了折叠的性质和平行线的性质． 【变式10-1】（2023秋•广汉市期末）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB的度数是 　36°　． 【思路点拨】根据折叠的性质可得∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，由角平分线的定义可得∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案． 【规范解答】解：由折叠可知，∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF， ∵DG平分∠ADB， ∴∠BDG＝∠GDF， ∴∠EDF＝∠BDG， ∴∠BDE＝∠EDF+∠GDF+∠BDG＝3∠GDF， ∴∠BDC＝∠BDE＝3∠GDF， ∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF， ∵∠BDC+∠BDA＝90°＝3∠GDF+2∠GDF＝5∠GDF， ∴∠GDF＝18°， ∴∠ADB＝2∠GDF＝2×18°＝36°． 故答案为：36°． 【考点评析】此题考查的是角的运算及角平分线的定义，正确掌握折叠的性质是解决此题的关键． 【变式10-2】（2024春•定陶区期末）如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE长为（　　） A．4.8 B．5 C．5.8 D．6 【思路点拨】设DE＝EB＝x，在Rt△ADE中，利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【规范解答】解：∵四边形EFCD是由四边形EFCB翻折得到， ∴可以假设DE＝EB＝x， 在Rt△ADE中，∵∠A＝90°，AD＝4，DE＝x，AE＝10﹣x， ∴x2＝42+（10﹣x）2， ∴x＝5.8． ∴DE＝5.8， 故选：C． 【考点评析】本题考查翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型． 【考点题型十一】图形的剪拼 【精讲题】（2023秋•乐山期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是 　4　． 【思路点拨】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案． 【规范解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为：9+9＝18， 则大正方形的边长为：， ∵＜＜， ∴4＜＜4.5， ∴大正方形的边长最接近的整数是4． 故答案为：4． 【考点评析】本题考查算术平方根的几何意义，无理数大小估计，正确掌握算术平方根的定义是解题关键． 【变式11-1】（2023秋•徐州期末）如图，将长3cm、宽1cm的长方形剪拼成一个正方形，则正方形边长为 　　cm． 【思路点拨】设正方形边长为x cm，根据正方形和矩形的面积相等列方程即可得到结论． 【规范解答】解：设正方形边长为x cm， 根据题意得，x2＝1×3， 解得x＝（负值舍去）， 答：正方形边长为cm， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了图形的剪拼，正方形和矩形的面积公式，正确的识别图形是解题的关键． 【变式11-2】（2023春•台江区期末）如图1，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中S2部分的面积是　64　． 【思路点拨】根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，以及长方形的长为24，宽为16，得出a+b＝24，a﹣b＝16，进而得出a，b的长，即可得出答案． 【规范解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 根据题意得出：， 解得：， 故图2中S2部分的面积是：4×（20﹣4）＝64， 故答案为：64． 【考点评析】此题主要考查了正方形的性质以及二元一次方程组的应用，根据已知得出a+b＝24，a﹣b＝16是解题关键． 【考点题型十二】等腰三角形的判定 【精讲题】（2023秋•安陆市期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分别是线段BC、AC上的一点，根据下列条件之一，不能确定△ADE是等腰三角形的是（　　） A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝72° C．∠1+2∠2＝90° D．2∠1＝∠2+72° 【思路点拨】首先求出∠BAC＝108°，则∠DAE＝108°﹣∠1，再求出∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2，分别根据四个选项中的条件求出∠DAE，∠AED，∠ADE的大小，然后再进行比较即可得出答案． 【规范解答】解：∵∠B＝∠C＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝108°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣∠1， ∵∠AED是△CDE的外角， ∴∠AED＝∠C+∠2＝36°+∠2， ∴∠ADC＝∠B+∠1＝36°+∠1， ∴∠ADE＝∠ADC﹣∠2＝36°+∠1﹣∠2， 对于选项A，当∠1＝2∠2时， ∴∠DAE＝108°﹣∠1＝180°﹣2∠2 ∠AED＝36°+∠2， ∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+2∠2﹣∠2＝36°+∠2， ∴∠AED＝∠ADE， 故选项A能确定△△ADE是等腰三角形； 对于选项B，当∠1+∠2＝72°时， 则∠1＝72°﹣∠2， ∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（72°﹣∠2）＝36°+∠2， ∠AED＝36°+∠2， ∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+72°﹣∠2﹣∠2＝108°﹣2∠2， ∴∠DAE＝∠AED， 故选项B能确定△△ADE是等腰三角形； 对于选项C，当∠1+2∠2＝90°时， 则∠1＝90°﹣2∠2， ∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（90°﹣2∠2）＝18°+2∠2， ∠AED＝36°+∠2， ∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+90°﹣2∠2﹣∠2＝126°﹣3∠2， ∴∠DAE≠∠AED≠∠ADE， 故选项C不能确定△△ADE是等腰三角形； 对于选项D，当2∠1＝∠2+72°时， 则∠1＝∠2+36°， ∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（∠2+36°）＝72°﹣∠2， ∠AED＝36°+∠2， ∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+（∠2+36°）﹣∠2＝72°﹣∠2， ∴∠DAE＝∠ADE， 故选项D能确定△ADE是等腰三角形． 综上所述：选项C不能确定△△ADE是等腰三角形． 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，熟练掌握等腰三角形的判定，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角定理进行角度计算是解决问题的关键． 【变式12-1】（2023秋•江阳区期末）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【规范解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个； 当AB为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 【变式12-2】（2024春•新郑市期末）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　120°或75°或30°　． 【思路点拨】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【规范解答】 解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝30°， ①当E在E1时，OE＝CE， ∵∠AOC＝∠OCE＝30°， ∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°； ②当E在E2点时，OC＝OE， 则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°； ③当E在E3时，OC＝CE， 则∠OEC＝∠AOC＝30°； 故答案为：120°或75°或30°． 【考点评析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想． 【考点题型十三】等腰三角形的判定与性质 【精讲题】（2023秋•靖江市期末）如图，已知△ABC的面积为18，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是　9　． 【思路点拨】根据已知条件证得△ABP≌△DBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PD，得出S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△DCP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可． 【规范解答】解：如图，延长AP交BC于点D， ∵BP平分∠ABC ∴∠ABP＝∠DBP，且BP＝BP，∠APB＝∠DPB ∴△ABP≌△DBP（ASA） ∴AP＝PD， ∴S△ABP＝S△BPD，S△APC＝S△CDP， ∴S△PBC＝S△ABC＝9， 故答案为：9． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 【变式13-1】（2023秋•邹平市校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E，F．当EF＝5，BE＝2时，CF的长为 　3　． 【思路点拨】利用平行和角平分线得到BE＝OE，OF＝CF，可得出结论EF＝BE+CF，由此即可求得CF的长． 【规范解答】解：如图，∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO； ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC， ∴∠EOB＝∠EBO， ∴BE＝OE；同理可证CF＝OF， ∴EF＝BE+CF， ∵EF＝5，BE＝2， ∴OF＝EF﹣OE＝EF﹣BE＝3， ∴CF＝OF＝3， 故答案为：3． 【考点评析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，结合平行得到BE＝EO，CF＝OF是解题的关键． 【变式13-2】（2023秋•凉州区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（　　） A．15 B．18 C．20 D．22 【思路点拨】利用平行线的性质和角平分线的定义可得到∠EBD＝∠EDB，所以可得ED＝EB，同理可得DF＝FC，所以△AEF的周长即为AB+AC，可得出答案． 【规范解答】解：∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴ED＝EB， 同理可证得DF＝FC， ∴AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝20， 即△AEF的周长为20， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由条件得到ED＝EB，DF＝FC是解题的关键． 【考点题型十四】等边三角形的性质 【精讲题】（2023秋•梁山县期末）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【思路点拨】根据等边三角形的性质解答即可． 【规范解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC， ∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm， ∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB， ∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E， ∴CD＝CE＝2cm， 故选：B． 【考点评析】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一解答． 【变式14-1】（2023秋•龙山区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（　　） A．25° B．60° C．85° D．95° 【思路点拨】等边三角形的三个角都为60°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和． 【规范解答】解：∠ADB＝∠DBC+∠C＝35°+60°＝95°． 故选：D． 【考点评析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三个角都为60°，和三角形的外角的性质． 【变式14-2】（2023秋•定州市期末）如图，在等边三角形ABC中AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE＝CD，则BE的长为 　3　． 【思路点拨】由等边三角形的性质可得AC＝BC＝AB＝2，根据BD是∠ABC的高线，可得AD＝CD＝1，再由题中条件CE＝CD，即可求得BE． 【规范解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC＝AB＝2， ∵BD是∠ABC的高线， ∴D为AC的中点， ∴AD＝CD＝AC， ∵CE＝CD， ∴CE＝AC＝1， ∴BE＝BC+CE＝2+1＝3． 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD＝CD＝AC是正确解答本题的关键． 【考点题型十五】等边三角形的判定 【精讲题】（2023秋•淮南期末）在△ABC中，∠B＝∠C，若添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是 　∠B＝∠A（答案不唯一）　．（写出一个即可） 【思路点拨】根据三个角都相等的三角形是等边三角形添加∠B＝∠C即可． 【规范解答】解：添加∠B＝∠A． ∵∠A＝∠B，∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形． 故答案为：∠B＝∠A．（答案不唯一） 【考点评析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的判定方法：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【变式15-1】（2022秋•环江县期末）如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上的一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　6　s时，△POQ是等边三角形． 【思路点拨】有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，根据等边三角形的判定方法可知，当点P运动到射线OB上且OQ＝OP时△POQ是等边三角形． 【规范解答】解：点P、Q运动的是t s，由题意得： t＝2t﹣6， 解得t＝6， 即当P、Q运动的是6s时，△POQ是等边三角形． 故答案为：6． 【考点评析】本题考查了等边三角形的判定，掌握等边三角形的判定方法是解题的关键． 【变式15-2】（2023秋•泉港区期末）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能 【思路点拨】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断． 【规范解答】解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形， 根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了等边三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握判定方法，此题比较简单，易于掌握． 【考点题型十六】等边三角形的判定与性质 【精讲题】（2023秋•永州期末）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【思路点拨】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数． 【规范解答】解：连接AB， 根据题意得：OB＝OA＝AB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°． 故选：C． 【考点评析】此题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB＝OA＝AB． 【变式16-1】（2023秋•岳阳楼区期末）下列说法错误的是（　　） A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 D．三个角都相等的三角形是等边三角形． 【思路点拨】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案． 【规范解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意； B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意； C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意； D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意； 故选：C． 【考点评析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【变式16-2】（2023秋•碑林区校级期末）如图，四边形ABCD，AD＝1，，BC＝3，点E为AB的中点，连接DE、CE，使得∠DEA+∠CEB＝60°，则DC的最大值为 　　． 【思路点拨】将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿CE翻折得到△NCE，连接MN，证明△EMN是等边三角形，根据两点之间，线段最短可得CD≤DM+MN+CN，即可求出最大值． 【规范解答】解：将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿CE翻折得到△NCE，连接MN， 由翻折可知：∠AED＝∠MED，∠BEC＝∠NEC，AD＝MD＝1，BC＝NC＝3， ∵E是AB中点，， ∴， ∵∠DEA+∠CEB＝60°， ∴∠AEM+∠BEN＝120°， ∴∠MEN＝60°， ∴△EMN是等边三角形， ∴， ∴CD≤DM+MN+CN， 当D，M，N，C共线时，CD取得最大值为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了等边三角形的判定和性质，折叠问题，两点之间线段最短，证明△EMN是等边三角形是解题的关键． 期末真题拔高训练15题 1．（2023秋•公安县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是（　　） A．12 B．8 C．24 D．11 【思路点拨】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质求出DE，根据三角形面积公式即可求出答案． 【规范解答】解：过D作DE⊥AB于E，如图所示： ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵AD平分∠BAC，CD＝3， ∴CD＝DE＝3， ∴ 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了角平分线性质的应用，解题的关键是求出△ABD的高的长度． 2．（2023秋•南召县期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形的三线合一 D．DE是BC的垂直平分线 【思路点拨】根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE， ∴AE⊥BC， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的三线合一， 故选：C． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，①等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（2023秋•麻栗坡县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝65°，点E，F分别是AB，BC上的点，沿着EF将△BEF折叠得到△DEF．若DE∥AC，则∠DFE的度数为（　　） A．110° B．115° C．120° D．125° 【思路点拨】根据DE∥AC可得∠DEB＝∠A＝90°，由翻折可得，由三角形的内角和可求得∠B＝25°，即可求解． 【规范解答】解：∵DE∥AC，∠A＝90°， ∴∠DEB＝∠A＝90°， 由翻折可得：， ∵∠A＝90°，∠C＝65°， ∴∠B＝25°， ∴∠EFB＝180°﹣45°﹣25°＝110°， 由翻折可得：∠DFE＝∠EFB＝110°． 故选：A． 【考点评析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，三角形的内角和定理，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 4．（2023秋•江岸区期末）如图，在△ABC中，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠至△ADB'，∠ACB＝2α，连接B'C，B'C平分∠ACB，则∠AB'D的度数是（　　） A． B．60°+α C． D．90°﹣α 【思路点拨】连接BB′，过点B′作B′E⊥BC于E，B′F⊥AC于F，连接BB′，过点B′作B′E⊥BC于E，B′F⊥AC于F，可得△ABB′是等边三角形，得出AB′＝BB′，∠B′BA＝∠B′AB＝60°，运用HL可证得Rt△BB′E≌Rt△AB′F（HL），得出∠B′BE＝∠B′AF，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【规范解答】解：如图，连接BB′，过点B′作B′E⊥BC于E，B′F⊥AC于F， 则∠CEB′＝∠CFB′＝∠BEB′＝∠AFB′＝90°， 由折叠可知，∠BAD＝∠B'AD＝30°，AB＝AB′， ∴∠BAB′＝∠BAD+∠B'AD＝60°， ∴△ABB′是等边三角形， ∴AB′＝BB′，∠B′BA＝∠B′AB＝60°， ∵B′C平分∠ACB，∠ACB＝2α， ∴∠ACB′＝∠BCB′＝∠ACB＝α， 又∵B′E⊥BC，B′F⊥AC， ∴B′E＝B′F， 在Rt△BB′E和Rt△AB′F中， ， ∴Rt△BB′E≌Rt△AB′F（HL）， ∴∠B′BE＝∠B′AF， ∴∠B′BA+∠B′BE＝∠B′AB+∠B′AF， 即∠ABC＝∠BAC， ∵∠ACB＝2α，∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC＝∠BAC＝＝90°﹣α， ∴∠AB'D＝90°﹣α， 故选：D． 【考点评析】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 5．（2023秋•咸宁期末）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 【思路点拨】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【规范解答】解：连接AD． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6cm， ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为BM+MD的最小值， ∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm． 故选：D． 【考点评析】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 6．（2023秋•颍州区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD＝12，AD是边BC上的中线． （1）若∠C＝m°，则∠BAD的度数是 　90°﹣m°　；（用含m的式子表示） （2）若点P是线段AD上的一个动点，点Q为线段AB上的一个动点，则PB+PQ的最小值是 　　． 【思路点拨】（1）先证明AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，则∠ADC＝90°，所以∠BAD＝∠CAD＝90°﹣m°，于是得到问题的答案； （2）作CE⊥AB于点E，连接PC、CQ，则PB＝PC，由PC+PQ≥CQ，可知当CQ与CE重合时，PB+PQ＝PC+PQ＝CE，此时PB+PQ的值最小，由AB•CE＝BC•AD＝S△ABC，求得CE＝，则PB+PQ的最小值是，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，∠ACB＝m°， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣∠ACB＝90°﹣m°， 故答案为：90°﹣m°． （2）作CE⊥AB于点E，连接PC、CQ， ∵AD垂直平分BC， ∴点B与点C关于直线AD对称， ∴PB＝PC， ∴PB+PQ＝PC+PQ， ∵PC+PQ≥CQ， ∴当PC+PQ＝CQ，且CQ的值最小时，PC+PQ的值最小，此时PB+PQ的值最小， ∴当CQ与CE重合时，PB+PQ＝PC+PQ＝CE，此时PB+PQ的值最小， ∵AB•CE＝BC•AD＝S△ABC，AB＝13，BC＝10，AD＝12， ∴×13CE＝×10×12， ∴CE＝， ∴PB+PQ的最小值是， 故答案为：． 【考点评析】此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 7．（2023秋•武隆区期末）一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是 　88°，90°，99°，108°，116°　． 【思路点拨】当它为顶角时，根据等腰三角形的性质，可以求得最大角是90度，如图①所示；当它是侧角时，用同样的方法，可求得最大角有4种情况． 【规范解答】解：如图①所示，当∠BAC＝48°时，那么它的最大内角是90° 当∠ACB＝48°时，有以下4种情况， 故答案为：88°，90°，99°，108°，116° 【考点评析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，此题涉及等知识点并不多，但是要分4种情况解答，因此，属于难题． 8．（2023秋•旌阳区校级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线MN分别交AB，AC边于M，N点．若点D为BC边上一动点，点P为直线MN上一动点，当PC+PD的值最小时，△CDP周长为 　11　． 【思路点拨】作AE⊥BC于点E，连接AP、AD，由AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是18，求得BE＝CE＝2，AE＝9，由MN垂直平分AC，得PC＝PA，由PA+PD≥AD，可知当PD与AE重合，且A、P、D三点在同一条直线上时，PC+PD的值最小，求得PC+PD+CE＝AE+CE＝11，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：作AE⊥BC于点E，连接AP、AD，则∠AEB＝90°， ∵AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是18， ∴BE＝CE＝BC＝2，×4AE＝18， ∴AE＝9， ∵MN垂直平分AC， ∴PC＝PA， ∴PC+PD＝PA+AD， ∵PA+PD≥AD， ∴当PA+PD＝AD，且AD的值最小时，PA+PD的值最小， ∴当PD与AE重合，且A、P、D三点在同一条直线上时，PC+PD＝PA+AD＝AE，此时PC+PD的值最小， ∴PC+PD+CE＝AE+CE＝9+2＝11， ∴当PC+PD的值最小时，△CDP周长为11， 故答案为：11． 【考点评析】此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 9．（2023秋•南昌期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为（2，2），一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，请写出所有满足条件的点B的坐标　（0，2），（0，0），（0，4﹣2）　． 【思路点拨】分三种情况：①当OA＝AP时，由已知可得B（0，2）；②当AP＝OP时，B与O重合，即B（0，0）；③当OP＝OA＝2时，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，证明△PNB≌△PMA（ASA），可得BN＝AM＝2﹣2，即有OB＝NO﹣BN＝4﹣2，故B（0，4﹣2）． 【规范解答】解：①当OA＝AP时，如图： ∵P的坐标为（2，2）， ∴此时A（2，0）， ∵∠APB＝90°， ∴B（0，2）； ②当AP＝OP时，如图： ∵P的坐标为（2，2）， ∴∠POA＝∠PAO＝45°， ∴∠P＝90°， ∴此时B与O重合，即B（0，0）； ③当OP＝OA＝2时，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，如图： ∵∠APB＝90°， ∴∠NPB＝90°﹣∠BPM＝∠MPA， ∵NP＝MP＝2，∠PNB＝∠PMA， ∴△PNB≌△PMA（ASA）， ∴BN＝AM＝2﹣2， ∴OB＝NO﹣BN＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2， ∴B（0，4﹣2）， 综上所述，点B的坐标是（0，2）或（0，0）或（0，4﹣2）， 故答案为：（0，2），（0，0），（0，4﹣2）． 【考点评析】此题考查了等腰三角形的性质、三角函数的定义以及旋转的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想以及数形结合思想的应用． 10．（2023秋•泌阳县期末）如图，在等边△ABC中，CD⊥AB于D，E是线段CD上一点，F是边AC上一点，且满足BE＝EF，G是AF的中点，连接EG，则下列五个结论：①AD＝BD；②∠BEF＝150°；③∠AFE＝∠CBE；④EG＝EC；⑤当∠ABE＝15°时，EG＝FG，其中正确的有 　①③④⑤　．（填序号） 【思路点拨】根据等腰三角形的“三线合一”可以得到AD＝BD，即①正确； 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到AE＝BE，再根据三角形的一个内角等于与它不相邻的两个内角的和可以得到∠CEF＝∠AFE﹣30°和∠CEB＝90°+∠BAE，再根据∠BEF＝∠CEB+∠CEF即可求得，即②错误； 根据SSS可以得到△CBE≌△CAE，由全等三角形的对应边相等可得∠CBE＝∠FAE，再根据∠AFE＝∠FAE即可求得，即③正确； 根据等腰三角形的“三线合一”可以得到EG⊥AF，再根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半即可为求得，即④正确； 根据已知条件∠ABE＝15°可以得到∠FAE＝45°，再根据∠CGE＝90°可以得到∠GEF﹣∠AFE＝45°，由等角对等边即可求得，即⑤正确． 【规范解答】解：如图：连接AE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵CD⊥AB， ∴CD是等边△ABC的底边AB上的高， ∴AD＝BD＝AB， 故①正确； ∠ACD＝∠BCD＝ACB＝×60°＝30°， ∵CD⊥AB，AD＝BD， ∴CD是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE ∴∠ABE＝∠BAE， ∵BE＝EF， ∴AE＝EF， ∴∠FAE＝∠AFE， ∵∠AFE是△EFC的外角， ∴∠AFE＝∠ACD+∠CEF， ∵∠ACD＝30°， ∴∠CEF＝∠AFE﹣∠ACD＝∠FAE﹣30°， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∵∠CEB是△DBE的外角， ∴∠CEB＝∠BDC+∠ABE＝90°+∠BAE， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BEF＝∠CEB+∠CEF ＝90°+∠BAE+∠FAE﹣30° ＝90°+∠BAC﹣30° ＝90+60°﹣30°＝120°， 故②错误； 在△CBE和△CAE中， ， ∴△CBE≌△CAE（SSS）， ∴∠CBE＝∠FAE， ∵∠AFE＝∠FAE， ∴∠AFE＝∠CBE， 故③正确； ∵AE＝EF，G是AF的中点 ∴EG是等腰△EAF的底边AF上的中线， ∵EG⊥AF， ∴∠CGE＝90°， ∵∠ACD＝30° ∴EG＝EC， 故④正确； ∵∠ABE＝15°，∠ABE＝∠BAE， ∴∠BAE＝15°， ∵∠BAC＝60°， ∵∠FAE＝∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣15°＝45°， ∵∠FAE＝∠AFE， ∴∠AFE＝45°， ∵∠CGE＝90°， ∵∠GEF＝∠AFE＝45°， ∴EG＝FG， 故⑤正确； 其中正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 11．（2023秋•临潼区期末）已知：如图，AE是△ABC外角的平分线，且AE∥BC．求证：△ABC是等腰三角形． 【思路点拨】由AE∥BC，根据平行线的性质，可求得∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C，又由AE是△ABC外角的平分线，即可得∠B＝∠C，继而证得结论． 【规范解答】证明：∵AE∥BC， ∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C， ∵AE是△ABC外角的平分线， ∴∠DAE＝∠EAC， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形． 【考点评析】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线的定义．注意等角对等边定理的应用是解此题的关键． 12．（2023秋•槐荫区期末）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AE＝AB． 【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可． （2）根据等边三角形的性质解答即可． 【规范解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°． ∴△ADE是等边三角形． （2）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC． ∵BD平分∠ABC， ∴AD＝AC． ∵△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD． ∴AE＝AB． 【考点评析】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答． 13．（2023秋•临潼区期末）已知：如图，AE是△ABC外角的平分线，且AE∥BC．求证：△ABC是等腰三角形． 【思路点拨】由AE∥BC，根据平行线的性质，可求得∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C，又由AE是△ABC外角的平分线，即可得∠B＝∠C，继而证得结论． 【规范解答】证明：∵AE∥BC， ∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C， ∵AE是△ABC外角的平分线， ∴∠DAE＝∠EAC， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形． 【考点评析】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线的定义．注意等角对等边定理的应用是解此题的关键． 14．（2023秋•槐荫区期末）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AE＝AB． 【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可． （2）根据等边三角形的性质解答即可． 【规范解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°． ∴△ADE是等边三角形． （2）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC． ∵BD平分∠ABC， ∴AD＝AC． ∵△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD． ∴AE＝AB． 【考点评析】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答． 15．（2023秋•长兴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若AD＝13，BE＝5，F为AB的中点，求EF的长． 【思路点拨】（1）因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，再利用DE⊥BC进行角之间的转换，得出∠D＝∠DFA，推导出△ADF是等腰三角形； （2）根据勾股定理计算EF的长． 【规范解答】解：（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°， ∴∠BFE＝∠D， 又∵∠BFE＝∠AFD， ∴∠D＝∠AFD， ∴△ADF 是等腰三角形； （2）∵F为AB的中点， ∴AF＝BF， ∵△ADF是等腰三角形， BF＝AF＝AD＝13， ∵DE⊥BC， ∴EF＝＝12， 答：EF的长为12． 【考点评析】本题考查的重点是等腰三角形的定义，熟练运用角度之间的转换，掌握勾股定理求线段的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$