清单01 全等三角形（知识梳理+10个题型解读+真题拔高15题）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版）

清单01 全等三角形 （知识梳理+18个题型解读56题+真题拔高15题） 题型清单目录 【知识梳理】 1 【考点题型一】图形的全等 4 【考点题型二】全等三角形的概念和性质 6 【考点题型三】用SSS证明三角形全等 8 【考点题型四】全等的性质和SSS的综合 10 【考点题型五】用SAS证明三角形全等 12 【考点题型六】全等的性质与SAS的综合 15 【考点题型七】用ASA（AAS）证明三角形全等 18 【考点题型八】全等的性质与ASA（AAS）综合 20 【考点题型九】用HL证明三角形全等 23 【考点题型十】全等的性质与HL综合 24 【考点题型十一】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 27 【考点题型十二】灵活选用判定方法证全等 29 【考点题型十三】结合尺规作图的全等问题 32 【考点题型十四】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 33 【考点题型十五】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 38 【考点题型十六】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 42 【考点题型十七】其他模型（全等三角形的辅助线问题） 46 【考点题型十八】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 50 期末真题拔高训练15题 56 【知识梳理】 知识点01：全等图形 （一）全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形. （二）特征：（1）形状相同。（2）大小相等。（3）对应边相等、对应角相等。 知识点02：全等三角形及其性质 （一）全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 点拨：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. （二）表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 点拨： （1）书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 （2）找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法： ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。 ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 ③有公共边的，公共边是对应边。 ④有公共角的，公共角是对应角。 ⑤有对顶角的，对顶角是对应角。 ⑥两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。 ⑦由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角。 知识点03：全等变换（拓展） （一）全等变换定义： 一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换。（二）三种基本全等变换： （1）旋转 （2）翻转 （3）平移 知识点04：全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 知识点05：全等三角形的判定 （一）判定定理 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 点拨： 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL） 注意： （1）“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等； 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 （2）“HL”与“SSA” 一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理。 （二）证题的思路 知识点06：尺规作图 （一）尺规作图的概念 在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。 （二）基本作图 1.　作一条线段与已知线段相等 已知：线段（如图所示）。 求作：一条线段长度等于。 作法：①任何一条射线；②在射线上截取（以为圆心，以的长为半径画弧，交于点），则即为所求作的线段。 2.　作一个角等于已知角 已知：（如图所示）。 求作：，使 作法：（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点 （2）作射线，以点为圆心，以长为半径面弧，交于点； （三）运用基本作图作三角形 在作三角形时，一般先画出草图，分析作图步骤以及相应的字母表示，选择正确的作图程序，再按分析后编写的字母写出已知，求作，按步骤一边画图一边写好作法。 作法中不需要重述基本作图的过程。 例如：已知线段和，如图所示，求作使 作法：如图所示。 ①作线段 ②在的同侧作与交于点则就是所求作的三角形。 【考点题型一】图形的全等 【精讲题】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小红学习了全等三角形后写了如下语句，正确的个数为（    ） ①面积相等的两个三角形一定全等    ②周长相等的两个三角形一定全等 ③直角边分别相等的两个直角三角形全等    ④全等三角形对应边上的中线相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握形状大小都完全相同的两个三角形全等，全等三角形对应边相等． 根据全等三角形的定义，即可判断①②；根据全等三角形的判定定理，即可判断③；根据全等三角形的性质，即可判断④． 【规范解答】解：①面积相等的两个三角形不一定全等，故①不正确，不符合题意； ②周长相等的两个三角形不一定全等，故②不正确，不符合题意； ③直角边分别相等的两个直角三角形全等，故③正确，符合题意； ④全等三角形对应边上的中线相等，故④正确，符合题意； 综上：正确的有③④，共2个， 故选：B． 【变式1-1】（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形≌四边形，则的大小是 ． 【答案】/95度 【思路点拨】此题主要考查了全等图形，四边形内角和定理．利用全等图形的定义可得，然后再利用四边形内角和为可得答案． 【规范解答】解：四边形四边形， ， ， 故答案为：． 【变式1-2】（21-22八年级上·河北石家庄·期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（　　） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】B 【思路点拨】根据全等图形的定义进行判断即可． 【规范解答】解：观察图①④⑤⑥四组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形，共4组， 故选：B． 【考点题型二】全等三角形的概念和性质 【精讲题】（23-24八年级上·山西临汾·期末）如图，已知，点在同一条直线上，若，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据得到，得到，从而解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-1】（22-23八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使以A，B，D为顶点的三角形与全等（点D不与点C重合），那么点D的坐标是 . 【答案】或或 【思路点拨】根据题意画出图形，根据A、B、C的坐标和全等三角形的性质即可得出答案． 【规范解答】解：符合题意的有3个，如图， ∵点A、B、C坐标为，，， ∴的坐标是，的坐标是，的坐标是， 故答案为：或或． 【变式2-2】（22-23八年级上·河南开封·期末）下列说法中，正确的有（    ） ①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等 ④若，则， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】根据全等的定义和性质判断即可． 【规范解答】①形状大小都相同的两个图形是全等形，故①错误； ②面积相等的两个图形不一定是全等形，故②错误； ③全等三角形的周长相等，面积相等，是对的，故③正确； ④若，则，，故④错误； 故正确的有1个． 故选：A 【考点题型三】用SSS证明三角形全等 【精讲题】（23-24八年级上·河南南阳·期末）尺规作图：作等于已知．示意图如图所示，则说明时，的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．根据证明三角形全等，可得结论． 【规范解答】解：在和中， ， ， ， 故选：A． 【变式3-1】（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，在中，，，则由“”可以判定（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．由图形可知，为公共边；再结合已知条件找出两个三角形，即可求解． 【规范解答】解：，，， ， 故选：B． 【变式3-2】（23-24八年级上·北京房山·期末）如图，在和中，，请添加一个条件______，使得；并写出证明的过程． 【答案】或或，证明见解析． 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，由已知条件：及公共边，要使，可添加或或，根据全等三角形的判定即可求证，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【规范解答】解：若添加条件为：，证明如下： 在和中， ∵， ∴； 若添加条件为：，证明如下： 在和中， ∵， ∴ 若添加条件为：，证明如下： ∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ∵， ∴． 【考点题型四】全等的性质和SSS的综合 【精讲题】（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识．用证明，则，即可得到解答． 【规范解答】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是， 证明如下： 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴， 即为的平分线． 故选：A． 【变式4-1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在和中 ，与相交于点P，若则的度数为 ，的度数为    【答案】 【思路点拨】由条件可证明，根据全等三角形的性质得到的度数；利用三角形内角和可求得，即可作答． 本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 【规范解答】解：依题意， 在和中， ， ，， ， ； 如图：，   ， ∴， ， ， ， 故答案为：，． 【变式4-2】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，已知，，求证． 【答案】证明见解析． 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，直接利用“”证明全等，再根据全等三角形的性质即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【考点题型五】用SAS证明三角形全等 【精讲题】（22-23八年级上·山东潍坊·期末）如图，将两根同样的钢条AC和BD的中点O固定在一起，使其可以绕着O点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据△OAB≌△OCD，CD的长就等于工件内槽的宽AB，这里判定△OAB≌△OCD的依据是（　　）        A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【答案】A 【规范解答】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 已知两边和夹角相等，利用可证两个三角形全等． 【思路点拨】解：如图：在与中， ， ∴． 故选：A．    【变式5-1】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，已知，请你添加一个条件，证明：． (1)你添加的条件是______； (2)请写出证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见详解 【思路点拨】本题主要考查了添加条件使三角形全等并证明， （1）根据，这两个条件，结合全等三角形的判定方法写出第三个条件即可． （2）利用证明即可． 【规范解答】（1）解：添加， （2）证明：在和中， ， ∴ 【变式5-2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路点拨】（）证明即可求证； （）证明即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【考点题型六】全等的性质与SAS的综合 【精讲题】（21-22八年级上·甘肃天水·期末）如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，由可判定，由全等三角形的性质即可得证；掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 【规范解答】证明：， ， 即， 在和中， ， （）， ． 【变式6-1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为15，平分．若M，N分别是上的动点，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路点拨】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键． 如图，在截取，使得，连接，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小，如图，作于，则的最小值为，由，计算求解即可． 【规范解答】解：如图，在截取，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为6， 故选：D． 【变式6-2】（24-25八年级上·云南曲靖·期末）以点A 为顶点作两个等腰直角三角形（，），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接，． (1)求证：． (2)延长 ，交 于点 F，求的度数． (3)若按图2放置，试探究 与之间的关系．（只写结论，不必说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) (3)且 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，，，利用“”可证明，则； （2）由得到，利用三角形内角和定理可得到； （3）与（1）一样可证明，得到，，利用三角形内角和定理得到． 【规范解答】（1）证明：∵，是等腰直角三角形， ，，， 在和中， ， ∴， ； （2）解：∵， ， 而在中， 又 ； （3）解：且，理由如下： 如图2， ∵，是等腰直角三角形 ，，， ， 在和中， ， ∴ ，， ， ， ∴， ∴与之间的关系为：且． 【考点题型七】用ASA（AAS）证明三角形全等 【精讲题】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，小明不小心把一块三角形的陶瓷片打碎成了三块，他经过思考，决定只带碎片①去商店配一块与原来一样的三角形陶瓷片．他用到的判定三角形全等的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的应用(有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等)；学会把实际问题数学化为正确解答本题的关键． 显然第①中有完整的三个条件，用易证现要的三角形与原三角形全等． 【规范解答】解∶因为第①块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用易证三角形全等，故应带第①块， 故选∶B． 【变式7-1】（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可． 【规范解答】证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴． 【变式7-2】（22-23八年级上·重庆丰都·期末）如图，三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，根据图形结合全等三角形的判定方法求解即可． 【规范解答】解：根据图形，三角形未遮挡部分满足“角边角”，根据全等三角形的判定， 小明所画的三角形与原来三角形全等， ∴这两个三角形全等的依据， 故选：B． 【考点题型八】全等的性质与ASA（AAS）综合 【精讲题】（24-25八年级上·全国·期末）如图，垂直于 的平分线交于点D，交于点E，，若 的面积为2，则 的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积比等于底边长度之比是解题的关键．先证明，从而可得到，然后先求得的面积，接下来，可得到的面积． 【规范解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，的面积为2， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式8-1】（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且． (1)与全等吗？请说明你的理由； (2)若，，的面积为3，请直接写出的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)6 【思路点拨】（1）根据中线的性质可得，根据平行线的性质可得，根据全等三角形的判定即可证明； （2）过点作交于点，根据全等三角形的性质可得的面积为3，根据三角形的面积公式求得，即可求解． 本题考查了中线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：， 理由如下： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：过点作交于点，如图： ∵的面积为3， ∴的面积为3， ∴， 则的面积为． 【变式8-2】（22-23八年级上·山西阳泉·期末）如图，在中，点D在边上，，，．若，，求的长．    【答案】2 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用平行线的性质得，再利用证明，可得，从而计算可得． 【规范解答】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【考点题型九】用HL证明三角形全等 【精讲题】（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图，要根据“HL”判定 ，则需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查直角三角形全等的判定．根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【规范解答】解：，， ， ∵， ∴， ∴， 要根据“”证明，还要添加一个条件是． 故选：A． 【变式9-1】（22-23八年级上·广西贺州·期末）如图，已知，E、在线段上，与交于点，且，．求证： 【答案】见详解 【思路点拨】由于与是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由通过等量代换得到． 【规范解答】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 【变式9-2】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定定理．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【规范解答】解：还需要添加的条件是， 理由是：∵，， ， 在和中， ， ∴， 故选：C． 【考点题型十】全等的性质与HL综合 【精讲题】（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【规范解答】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式10-1】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， （1）由题所给条件可得，即得； （2）证明，结合（1）可得，则． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （2）解：在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式10-2】（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由“”可证； （2）先由（1）可知，证，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得证． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴在与中， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ∵，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【考点题型十一】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【精讲题】（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，点、、、在同一直线上，，添加下列条件仍不能判定与全等的是（    ） A．，； B．，； C．，； D．，； 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，理解并掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法“边边边，边角边，角角边，角边角，斜边直角边”进行推理判定即可求解． 【规范解答】解：已知点、、、在同一直线上，， A、添加，，可以运用“角角边”的方法判定与全等，不符合题意； B、添加，，不能用“边边角”判定三角形全等，符合题意； C、添加，， ∵， ∴， ∴可以运用“角角边”的方法判定与全等，不符合题意； D、添加，， ∵， ∴，即， ∴可以运用“边角边”的方法判定与全等，不符合题意； 故选：B ． 【变式11-1】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，与交于点C，．试添加一个条件，使得，你所添加的条件是 ． 【答案】（或或）（答案不唯一） 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 根据全等三角形的判定定理，依据已有的条件，得到，，再添加一边即可得到使得． 【规范解答】解：∵ ∴，， 当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：（或或）（答案不唯一）． 【变式11-2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，，点在上，．添加下列条件，不能使得的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据三角形全等的判定方法：，，，，，逐项进行推论验证即可得到答案． 【规范解答】解： ，， ， A、由，可得，结合，得到，在和中，，，，可得，故不符合题意； B、在和中，，，可得，故不符合题意； C、由，，条件不足，无法证明，故符合题意； D、在和中，，，，可得，故不符合题意； 故选：C． 【考点题型十二】灵活选用判定方法证全等 【精讲题】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，，添加下列条件仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法： 、、、． 【规范解答】解：．，，，可利用证明，故该选项不符合题意； ．，，，可利用证明，故该选项不符合题意； ．由可得出，再结合，，可利用证明，故该选项不符合题意； ．用，，，无法证明．故该选项符合题意； 故选：D． 【变式12-1】（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)证明见解析 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【规范解答】（1）解：①根据题意可得已知：，，，求证； ②根据题意可得已知：，，，求证； （2）解：选择①②③，证明④ ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 选择①②④，证明③ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即。 【变式12-2】（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图下列各组条件中，可以判定的条件是（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【思路点拨】此题考查全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理，，，，是解题的关键． 依据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【规范解答】解：A．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，不能证明，故此选项不符合题意； B．与不是两个三角形中的对应边，不能证明，故此选项不符合题意； C．由得，即可根据证明，故此选项符合题意； D．根据不能证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 【考点题型十三】结合尺规作图的全等问题 【精讲题】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．由全等三角形的判定方法，逐项进行判断即可． 【规范解答】解：A、C选项中的条件没有边的长度，因此不能画出唯一的，故A、C不符合题意； B选项只是知道两边的长度，不能画出唯一的； D．已知两角和这两角的夹边，能够画出唯一的，故D符合题意． 故选：D． 【变式13-1】（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明）    【答案】见解析 【思路点拨】利用证明，可得结论． 【规范解答】解：①利用刻度尺在、上分别截取， ②连接，利用刻度尺作出的中点F， ③作射线， 由作图可知： ，，， ∴， ∴， 则为的平分线．    【变式13-2】（22-23八年级上·湖南怀化·期末）根据下列条件，能唯一画出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【思路点拨】根据三角形的三边关系和全等三角形的判定方法逐项判断即得答案. 【规范解答】解：A、∵，，，而，∴不能画出三角形； B、∵，，，而不是的夹角，∴不能画出唯一的三角形； C、∵，，，且是的夹边，∴根据角边角可判断能画出唯一的三角形； D、∵，，只有一个角和一条边，∴不能画出唯一的三角形； 故选：C. 【考点题型十四】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲题】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，AD为的中线，，则AD的长可能是（    ） A．0.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的常见模型—倍长中线模型及三角形三边关系的应用．倍长，构造，推出，再利用三角形三边关系求解即可． 【规范解答】解：如图，延长至E，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 观察四个选项，B选项符合题意， 故选：B． 【变式14-1】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【规范解答】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式14-2】（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． (3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 【答案】(1)B (2)C (3)证明见解析 【思路点拨】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理去选择即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可； （3）由“”可证，可得，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证，可得平分． 【规范解答】（1）解：延长到点，使， ， 在和中， ， ， 故选：B． （2）解：， ， ，，， ， ， 故选：C； （3）证明：如图，延长至，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【考点题型十五】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲题】（21-22九年级上·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P的坐标是（0，3），把线段AP绕点P逆时针旋转90°后得到线段PQ，则点Q的坐标是 ． 【答案】（3，7） 【思路点拨】过Q作QE⊥y轴于E点，证明△QEP≌△POA，得到EQ=PO=3，EP=OA=4后即可求解． 【规范解答】解：过Q作QE⊥y轴于E点，如下图所示： ∵旋转90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵EQ⊥y轴， ∴∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3， 且∠QEP=∠POA=90°，PQ=PA， ∴△QEP≌△POA(AAS)， ∴EQ=PO=3，EP=OA=4， ∴EO=EP+PO=4+3=7， ∴点Q的坐标是(3，7)， 故答案为：(3，7)． 【变式15-1】（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路点拨】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可． （2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可． 【规范解答】（1）解：， ， 又，， ， 在中，， 故答案为：． （2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知： ，，， （同角的余角相等），   在与中有： （）， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【变式15-2】（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】根据题意过点B'作B'H⊥AC于H，由全等三角形的判定得出△ACB≌△B'HA（AAS），得AC＝B'H＝4，则有S△AB'C＝AC•B′H即可求得答案． 【规范解答】解：过点B'作B'H⊥AC于H， ∴∠AHB'＝90°，∠BAB'=90°， ∴∠HAB'+∠HB'A＝90°，∠BAC+∠CAB'＝90°， ∴∠HB'A＝∠CAB， 在△ACB和△B'HA中， ， ∴△ACB≌△B'HA（AAS）， ∴AC＝B'H， ∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC＝＝＝4， ∴AC＝B'H＝4， ∴S△AB'C＝AC•B′H＝×4×4＝8． 故答案为：8． 【考点题型十六】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲题】（21-22九年级上·福建宁德·期末）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 ． 【答案】（﹣2，3） 【思路点拨】作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，先证明△AOD≌△COE，因为C（3，2），所以OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，再根据点A在第二象限求出点A的坐标． 【规范解答】解：如图， 作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC， ∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD， 在△AOD和△COE中， ， △AOD≌△COE（AAS）， ∵C（3，2）， ∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2， ∵点A在第二象限， ∴A（﹣2，3）， 故答案为：（﹣2，3）． 【变式16-1】（23-24八年级上·湖北恩施·期末）如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． (1)简单说明你设计的方案，并画出图形； (2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． 【答案】(1)方案见解析； (2)证明见解析． 【思路点拨】本题考查全等三角形的应用---方案设计，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键， （1）根据全等三角形的性质设计图形即可； （2）利用“”即可证明方案的可行性． 【规范解答】（1）解：如图所示： 过B作，过D作，取的中点C，连接并延长交于点E 测量线段的长即可． （2）证明：∵，， ∴ ， ∵C为的中点， ∴， ∴在和中： ∴， ∴． 【变式16-2】（22-23八年级上·云南玉溪·期末）数学探究： (1)如图一，在平面直角坐标系中点，，连接，以为直角边在第一象限内作等腰直角，则点B的坐标是________________． (2)如图二，，．当点C在x轴负半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第三象限时，作轴于点D，试判断a，m，n之间的关系，请证明你的结论． 【答案】(1)、 (2)，证明见解析 【思路点拨】（1）画出图形，作坐标轴的垂线，证明全等即可； （2）作轴于E，即可． 【规范解答】（1）∵，， ∴，， 当时，过B作于， ∵等腰直角， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点B的坐标是 同理，当时，过B作于，此时， 点B的坐标是 综上，点B的坐标是、； 故答案为：、； （2）． 证明：作轴于E， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴， ∴，， ∵轴于E，BD⊥y轴于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点题型十七】其他模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲题】（18-19八年级上·河北沧州·期末）某中学八年级学生在学习等腰三角形的相关知识时时，经历了以下学习过程： （1）【探究发现】如图1，在中，若平分，时，可以得出，为中点，请用所学知识证明此结论． （2）【学以致用】如果和等腰有一个公共的顶点，如图2，若顶点与顶点也重合，且，试探究线段和的数量关系，并证明． （3）【拓展应用】如图3，在（2）的前提下，若顶点与顶点不重合，，（2）中的结论还成立吗？证明你的结论 【答案】（1）详见详解；（2）DF＝2BE，证明详见详解；（3）DF＝2BE，证明详见详解 【思路点拨】（1）只要证明△ADB≌△ADC（ASA）即可； （2）如图2中，延长BE交CA的延长线于K，只要证明△BAK≌△CAD（ASA）即可； （3）作FK∥CA交BE的延长线于K，交AB于J，利用（2）中的结论证明即可． 【规范解答】解：（1）如图1中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵DA平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC， ∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADC（ASA）， ∴AB＝AC，BD＝DC． （2）结论：DF＝2BE． 理由：如图2中，延长BE交CA的延长线于K． ∵CE平分∠BCK，CE⊥BK， ∴由（1）中结论可知：CB＝CK，BE＝KE， ∵∠BAK＝∠CAD＝∠CEK＝90°， ∴∠ABK+∠K＝90°，∠ACE+∠K＝90°， ∴∠ABK＝∠ACD，∵AB＝AC， ∴△BAK≌△CAD（ASA），CD＝BK， ∴CD＝2BE， 即DF＝2BE． （3）如图3中，结论不变：DF＝2BE． 理由：作FK∥CA交BE的延长线于K，交AB于J． ∵FK∥AC，∴∠FJB＝∠A＝90°，∠BFK＝∠BCA， 由（2）可知Rt△ABC为等腰三角形 ∵∠JBF＝45°， ∴△BJF是等腰直角三角形， ∵∠BFE＝∠ACB，∴∠BFE＝∠BFJ， 由（2）可知：DF＝2BE． 【变式17-1】（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【思路点拨】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【规范解答】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【变式17-2】（22-23八年级上·重庆长寿·期末）如图，已知在中，，是延长线上一点，点在上，且，请判断并写出与之间的关系，并进行证明. 【答案】AE=CF,AE⊥CF 【思路点拨】根据“SAS”可判断△ABE≌△CBF，根据全等的性质有AE=CF，∠1=∠2（详解中图形），根据对顶角相等有∠3=∠4，再利用三角形内角和定理可得到∠CHE=∠ABE=90°，则AE⊥CF． 【规范解答】 解：与之间的关系:AE=CF，AE⊥CE．理由如下： 延长AE交CF于H，如上图， ∵∠ABC=90°， ∴， 在△ABE和△CBF中 ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴AE=CF，∠1=∠2， ∵∠3=∠4（对顶角相等），∠CHE=180°-∠2-∠4，∠ABE=180°-∠1-∠3 ∴∠CHE=∠ABE=90°， ∴EH⊥CF，即AE⊥CF 则有AE与CF垂直且相等． 【考点题型十八】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【精讲题】（22-23八年级上·上海静安·期末）如图，已知在中，平分，，则 . （用含的代数式表示）. 【答案】a-b 【思路点拨】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，根据SAS证明△ADC≌△A′DC，根据△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A，再证明DA′=A′B即可解决问题. 【规范解答】在CB上截取CA′=CA，连接DA′， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠A′CD， 在△ADC和△A′DC中， ， ∴△ADC≌△A′DC（SAS）， ∴DA′=DA，∠CA′D=∠A， ∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB， ∴∠A′DB=∠B， ∴BA′=A′D=AD， ∴BC=CA′+BA′=AC+AD ∴AD=BC-AC=a-b， 故答案为：a-b. 【变式18-1】（22-23八年级上·山西朔州·期末）（1）问题背景：如图①：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点且．探究图中线段、、之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________； （2）探索延伸：如图②，若在四边形中，，．分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时后，甲、乙两舰艇分别到达处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）问题背景：，理由见详解；（2）探索延伸：成立，理由见详解；（3）实际应用：两舰艇之间的距离为海里 【思路点拨】（1）问题背景：，，，可证，由，，为公共边，可证，由此即可求解； （2）探索延伸：根据“问题背景”的提示，延长到点，使，由此即可求解； （3）实际应用：如图所示（见详解），延长，使得，连接，证明，，可知，由此即可求解． 【规范解答】解：（1）问题背景：根据题意，在，中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴在，中， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）探索延伸：如图所示，延长到点，使， ∵，， ∴， 在，中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在，中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴成立； （3）实际应用：如图所示，延长，使得，连接， ∵舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，舰艇乙沿北偏东的方向行驶， ∴，，， ∴在，中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在，中， ， ∴， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时， ∴，， ∴（海里）， ∴两舰艇之间的距离为海里． 【变式18-2】（22-23八年级上·湖南株洲·期末）如图1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直线m经过点A，过点B作BD⊥m于D， CE⊥m于E．我们把这种常见图形称为“K”字图． （1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE＝BD＋CE，现请你替悟空同学完成证明过程． （2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则结论DE＝BD＋CE，还成立吗？如果成立，请证明之． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【思路点拨】（1）先证∠ABD=∠EAC，再证△ABD ≌ △CAE（AAS）即可； （2）先证出∠ABD ＝ ∠EAC，再证△ABD ≌ △CAE（AAS）即可． 【规范解答】证明：（1）∵AB⊥AC,BD⊥DE,CE⊥DE, ∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°, ∴∠DAB+∠ABD=∠EAC+∠DAB=90°, ∴∠ABD=∠EAC, 在△ABD和 △CAE中， ， ∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）， ∴ BD ＝ AE ，AD ＝ CE， ∴ DE ＝ AE ＋ DA ； （2）成立， 理由如下：∵  ∠BAC ＋ ∠BAD ＋ ∠EAC ＝ 180° ，   ∠ADB＋ ∠BAD ＋ ∠ABD  ＝ 180°， ∠BAC ＝ ∠BDA， ∴∠ABD ＝ ∠EAC ， 在△ABD和 △CAE中， ， ∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）， ∴ BD ＝ AE，AD ＝ CE， ∴ DE ＝ AE ＋ DA ＝ BD ＋ CE． 期末真题拔高训练15题 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，小亮要测量池塘，两端的距离，他设计了一个测量方案． 先在平地上取可以直接到达点和点的，两点，与相交于点，且，，又测得的周长为，则A，B两端的距离为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据证明，则，由的周长为，可得，即，求出的长，进而可得结果． 【规范解答】解：∵ ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∵ ∴， ∴， 故选：C． 2．（22-23八年级上·北京东城·期末）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形的判定等知识点，掌握尺规作图作一个角等于已知角的作法成为解题的关键．根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹，结合全等三角形的判定定理即可解答． 【规范解答】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是． 故选：B． 3．（23-24八年级上·山西临汾·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有且只有一条直线与已知直线垂直 C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0 D．两边和一角对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了命题与定理、全等三角形的判定、三角形的三边关系以及外角等知识点，正确掌握相关定理是解题关键． 根据全等三角形的判定方法、三角形的三边关系、三角形的外角相关知识逐项判定即可． 【规范解答】解：A．三角形一个外角大于它不相邻的任何一个内角，故此命题是假命题，不符合题意； B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此命题是假命题，不符合题意； C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0，故此命题为真命题，符合题意； D．两边对应相等，且两边的夹角相等，则这两个三角形全等，故此命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 4．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，点分别在x轴，y轴的正半轴上．点在线段上，过A作分别交x轴，y轴于点B，C，点P为线段上任意一点（P不与A，E重合），连接，过E作，交的延长线于点G，交的延长线于点D．有以下结论①，②，③，④，其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积、坐标与图形的性质等知识，作轴于，于，首先证明四边形是正方形，再证明、、即可解决问题． 【规范解答】解：如图，作轴于，于， ， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，故①正确； 同理可证， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 当为定值时，点是动点，故，故②错误； 综上所述，C． 5．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点绕原点O逆时针旋转得到点B，点B关于x轴对称的点为C，则点C的坐标是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，根据旋转的性质及已知条件可证得，即，最后再根据点关于x轴对称的坐标特点即可解答． 【规范解答】解：如图：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， ∵点绕原点O逆时针旋转得到点B， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵关于x轴对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，点B关于x轴对称的点为C， ∴． 故选：A． 6．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；首先求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可． 【规范解答】解：设经过秒后，使与全等， 厘米，点为的中点， 厘米， ， 要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 时，，； 时，，； 即点的运动速度是厘米/秒或厘米/秒． 故答案为：或． 7．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为．当与全等时，x的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【规范解答】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ， ，， 解得，； ②当时 ，， 解得，， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 8．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）如图，的角平分线，交于点，，用等式表示线段，，的数量关系为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，及角平分线的定义，三角形的内角和定理，在上找到使得，连接，由，是的角平分线， 得，然后证明，即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】证明：如图，在上找到使得，连接，   ∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∵的角平分线，交于点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，是的高，是外一点，，若，，则的面积是 ． 【答案】100 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，涉及同角的余角相等等知识，先由同角的余角相等得到，进而根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可．根据证明与全等是解决问题的关键． 【规范解答】解：在上截取，连接，如图所示： 在中，，则， 是的高， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． ， ， ， ， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定；熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； 依题意，，进而得到．再证明，再由三角形内角和定理可得，最后利用证明得出，，即可求得，进而根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可求解． 【规范解答】解：且 由外角定理可得， 又， ∴∠CAF＝∠BCE， 在和中， ． ，， ，， ， 的面积为，， ， ， ∴ 的面积是 故答案为：， ． 11．（23-24八年级上·北京·期末）如图，点F，C在上，，，，求证： 【答案】证明见解析 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再利用定理证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【规范解答】证明：∵点在上，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 12．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【思路点拨】本题主要考查平行线的性质，三角形全等的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 现根据平行线的性质可得，再根据证明，即可得出． 【规范解答】证明：∵， ， 在和中， ， ∴， ． 13．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）先证明，再根据，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵于点于点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ． 14．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，由得到，由得到，又由即可证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】证明：∵ ∴, ∵ ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 15．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：，，的关系； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质和线段和差关系， （1）根据题意利用证明，则有，，结合即可证明结论； （2）根据题意利用证明，则有，，结合即可证明结论． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵于D，于E． ∴， ∴，． ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴，． ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 全等三角形 （知识梳理+18个题型解读56题+真题拔高15题） 题型清单目录 【知识梳理】 1 【考点题型一】图形的全等 5 【考点题型二】全等三角形的概念和性质 6 【考点题型三】用SSS证明三角形全等 7 【考点题型四】全等的性质和SSS的综合 8 【考点题型五】用SAS证明三角形全等 9 【考点题型六】全等的性质与SAS的综合 10 【考点题型七】用ASA（AAS）证明三角形全等 11 【考点题型八】全等的性质与ASA（AAS）综合 12 【考点题型九】用HL证明三角形全等 13 【考点题型十】全等的性质与HL综合 14 【考点题型十一】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 15 【考点题型十二】灵活选用判定方法证全等 16 【考点题型十三】结合尺规作图的全等问题 17 【考点题型十四】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 18 【考点题型十五】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 19 【考点题型十六】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 21 【考点题型十七】其他模型（全等三角形的辅助线问题） 23 【考点题型十八】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 24 期末真题拔高训练15题 26 【知识梳理】 知识点01：全等图形 （一）全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形. （二）特征：（1）形状相同。（2）大小相等。（3）对应边相等、对应角相等。 知识点02：全等三角形及其性质 （一）全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 点拨：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. （二）表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 点拨： （1）书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 （2）找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法： ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。 ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 ③有公共边的，公共边是对应边。 ④有公共角的，公共角是对应角。 ⑤有对顶角的，对顶角是对应角。 ⑥两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。 ⑦由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角。 知识点03：全等变换（拓展） （一）全等变换定义： 一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换。（二）三种基本全等变换： （1）旋转 （2）翻转 （3）平移 知识点04：全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 知识点05：全等三角形的判定 （一）判定定理 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 点拨： 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL） 注意： （1）“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等； 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 （2）“HL”与“SSA” 一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理。 （二）证题的思路 知识点06：尺规作图 （一）尺规作图的概念 在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。 （二）基本作图 1.　作一条线段与已知线段相等 已知：线段（如图所示）。 求作：一条线段长度等于。 作法：①任何一条射线；②在射线上截取（以为圆心，以的长为半径画弧，交于点），则即为所求作的线段。 2.　作一个角等于已知角 已知：（如图所示）。 求作：，使 作法：（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点 （2）作射线，以点为圆心，以长为半径面弧，交于点； （三）运用基本作图作三角形 在作三角形时，一般先画出草图，分析作图步骤以及相应的字母表示，选择正确的作图程序，再按分析后编写的字母写出已知，求作，按步骤一边画图一边写好作法。 作法中不需要重述基本作图的过程。 例如：已知线段和，如图所示，求作使 作法：如图所示。 ①作线段 ②在的同侧作与交于点则就是所求作的三角形。 【考点题型一】图形的全等 【精讲题】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小红学习了全等三角形后写了如下语句，正确的个数为（    ） ①面积相等的两个三角形一定全等    ②周长相等的两个三角形一定全等 ③直角边分别相等的两个直角三角形全等    ④全等三角形对应边上的中线相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形≌四边形，则的大小是 ． 【变式1-2】（21-22八年级上·河北石家庄·期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（　　） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【考点题型二】全等三角形的概念和性质 【精讲题】（23-24八年级上·山西临汾·期末）如图，已知，点在同一条直线上，若，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-1】（22-23八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使以A，B，D为顶点的三角形与全等（点D不与点C重合），那么点D的坐标是 . 【变式2-2】（22-23八年级上·河南开封·期末）下列说法中，正确的有（    ） ①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等 ④若，则， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型三】用SSS证明三角形全等 【精讲题】（23-24八年级上·河南南阳·期末）尺规作图：作等于已知．示意图如图所示，则说明时，的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，在中，，，则由“”可以判定（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级上·北京房山·期末）如图，在和中，，请添加一个条件______，使得；并写出证明的过程． 【考点题型四】全等的性质和SSS的综合 【精讲题】（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在和中 ，与相交于点P，若则的度数为 ，的度数为    【变式4-2】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，已知，，求证． 【考点题型五】用SAS证明三角形全等 【精讲题】（22-23八年级上·山东潍坊·期末）如图，将两根同样的钢条AC和BD的中点O固定在一起，使其可以绕着O点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据△OAB≌△OCD，CD的长就等于工件内槽的宽AB，这里判定△OAB≌△OCD的依据是（　　）        A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【变式5-1】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，已知，请你添加一个条件，证明：． (1)你添加的条件是______； (2)请写出证明过程． 【变式5-2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 【考点题型六】全等的性质与SAS的综合 【精讲题】（21-22八年级上·甘肃天水·期末）如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．求证：． 【变式6-1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为15，平分．若M，N分别是上的动点，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-2】（24-25八年级上·云南曲靖·期末）以点A 为顶点作两个等腰直角三角形（，），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接，． (1)求证：． (2)延长 ，交 于点 F，求的度数． (3)若按图2放置，试探究 与之间的关系．（只写结论，不必说明理由） 【考点题型七】用ASA（AAS）证明三角形全等 【精讲题】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，小明不小心把一块三角形的陶瓷片打碎成了三块，他经过思考，决定只带碎片①去商店配一块与原来一样的三角形陶瓷片．他用到的判定三角形全等的方法是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 【变式7-2】（22-23八年级上·重庆丰都·期末）如图，三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】全等的性质与ASA（AAS）综合 【精讲题】（24-25八年级上·全国·期末）如图，垂直于 的平分线交于点D，交于点E，，若 的面积为2，则 的面积为 ． 【变式8-1】（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且． (1)与全等吗？请说明你的理由； (2)若，，的面积为3，请直接写出的面积． 【变式8-2】（22-23八年级上·山西阳泉·期末）如图，在中，点D在边上，，，．若，，求的长．    【考点题型九】用HL证明三角形全等 【精讲题】（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图，要根据“HL”判定 ，则需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（22-23八年级上·广西贺州·期末）如图，已知，E、在线段上，与交于点，且，．求证： 【变式9-2】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十】全等的性质与HL综合 【精讲题】（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，．求证：． 【变式10-1】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式10-2】（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： (1)； (2)． 【考点题型十一】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【精讲题】（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，点、、、在同一直线上，，添加下列条件仍不能判定与全等的是（    ） A．，； B．，； C．，； D．，； 【变式11-1】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，与交于点C，．试添加一个条件，使得，你所添加的条件是 ． 【变式11-2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，，点在上，．添加下列条件，不能使得的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型十二】灵活选用判定方法证全等 【精讲题】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，，添加下列条件仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【变式12-2】（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图下列各组条件中，可以判定的条件是（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【考点题型十三】结合尺规作图的全等问题 【精讲题】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 【变式13-1】（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明）    【变式13-2】（22-23八年级上·湖南怀化·期末）根据下列条件，能唯一画出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【考点题型十四】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲题】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，AD为的中线，，则AD的长可能是（    ） A．0.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式14-1】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【变式14-2】（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． (3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 【考点题型十五】旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲题】（21-22九年级上·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P的坐标是（0，3），把线段AP绕点P逆时针旋转90°后得到线段PQ，则点Q的坐标是 ． 【变式15-1】（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【变式15-2】（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 ． 【考点题型十六】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲题】（21-22九年级上·福建宁德·期末）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 ． 【变式16-1】（23-24八年级上·湖北恩施·期末）如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． (1)简单说明你设计的方案，并画出图形； (2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． 【变式16-2】（22-23八年级上·云南玉溪·期末）数学探究： (1)如图一，在平面直角坐标系中点，，连接，以为直角边在第一象限内作等腰直角，则点B的坐标是________________． (2)如图二，，．当点C在x轴负半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第三象限时，作轴于点D，试判断a，m，n之间的关系，请证明你的结论． 【考点题型十七】其他模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲题】（18-19八年级上·河北沧州·期末）某中学八年级学生在学习等腰三角形的相关知识时时，经历了以下学习过程： （1）【探究发现】如图1，在中，若平分，时，可以得出，为中点，请用所学知识证明此结论． （2）【学以致用】如果和等腰有一个公共的顶点，如图2，若顶点与顶点也重合，且，试探究线段和的数量关系，并证明． （3）【拓展应用】如图3，在（2）的前提下，若顶点与顶点不重合，，（2）中的结论还成立吗？证明你的结论 【变式17-1】（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【变式17-2】（22-23八年级上·重庆长寿·期末）如图，已知在中，，是延长线上一点，点在上，且，请判断并写出与之间的关系，并进行证明. 【考点题型十八】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【精讲题】（22-23八年级上·上海静安·期末）如图，已知在中，平分，，则 . （用含的代数式表示）. 【变式18-1】（22-23八年级上·山西朔州·期末）（1）问题背景：如图①：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点且．探究图中线段、、之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________； （2）探索延伸：如图②，若在四边形中，，．分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时后，甲、乙两舰艇分别到达处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【变式18-2】（22-23八年级上·湖南株洲·期末）如图1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直线m经过点A，过点B作BD⊥m于D， CE⊥m于E．我们把这种常见图形称为“K”字图． （1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE＝BD＋CE，现请你替悟空同学完成证明过程． （2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则结论DE＝BD＋CE，还成立吗？如果成立，请证明之． 期末真题拔高训练15题 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，小亮要测量池塘，两端的距离，他设计了一个测量方案． 先在平地上取可以直接到达点和点的，两点，与相交于点，且，，又测得的周长为，则A，B两端的距离为（　　）    A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·北京东城·期末）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山西临汾·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有且只有一条直线与已知直线垂直 C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0 D．两边和一角对应相等的两个三角形全等 4．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，点分别在x轴，y轴的正半轴上．点在线段上，过A作分别交x轴，y轴于点B，C，点P为线段上任意一点（P不与A，E重合），连接，过E作，交的延长线于点G，交的延长线于点D．有以下结论①，②，③，④，其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③ 5．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点绕原点O逆时针旋转得到点B，点B关于x轴对称的点为C，则点C的坐标是（　　）． A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 7．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为．当与全等时，x的值为 ． 8．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）如图，的角平分线，交于点，，用等式表示线段，，的数量关系为 ． 9．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，是的高，是外一点，，若，，则的面积是 ． 10．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 11．（23-24八年级上·北京·期末）如图，点F，C在上，，，，求证： 12．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，，，，在同一条直线上，，，．求证：． 13．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：． 14．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，求证：． 15．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：，，的关系； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$