清单03 对圆的进一步认识（知识梳理+19个题型解读+真题拔高15题）（期末复习知识清单）九年级数学上学期青岛版

清单03 对圆的进一步认识 （知识梳理+19个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】垂径定理的应用 9 【考点题型二】圆心角、弧、弦的关系 10 【考点题型三】圆周角定理 11 【考点题型四】圆内接四边形的性质 12 【考点题型五】相交弦定理 13 【考点题型六】点与圆的位置关系 13 【考点题型七】确定圆的条件 14 【考点题型八】三角形的外接圆与外心 14 【考点题型九】直线与圆的位置关系 15 【考点题型十】切线的判定与性质 16 【考点题型十一】弦切角定理 16 【考点题型十二】切线长定理 17 【考点题型十三】切割线定理 18 【考点题型十四】三角形的内切圆与内心 19 【考点题型十五】正多边形和圆 19 【考点题型十六】弧长的计算 20 【考点题型十七】扇形面积的计算 21 【考点题型十八】圆锥的计算 21 【考点题型十九】圆柱的计算 22 期末真题拔高训练15题 22 知识点01：圆的相关概念 1.圆的概念 （1）描述性定义:在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径； （2）集合性定义: 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径； （3）圆的表示方法:用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“”，读作“圆”； （4）同圆、同心圆、等圆： ①圆心相同且半径相等的圆叫同圆； ②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； ③能够重合的两个圆叫做等圆． 2.弦与弧的相关概念： （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦； （2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍； （3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距； （4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧； （5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧； （6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆； （7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧； （8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 3.圆心角与圆周角 （1）圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角； ①将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧； ②圆心角的度数和它所对的弧的度数相等； （2）圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 知识点02：垂径定理 1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2.推论1： （1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量． 补充说明：做题过程中，定理与推论（1）可以直接使用，而推论（2）、（3）需证明后再使用． 知识点03：圆心角、弧、弦之间的关系与应用 1．圆心角、弧、弦之间的关系 1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弧也相等． 若，则，，． 2.推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 2．应用 （1）在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答； （2）有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题； 另外，证明两弦相等也常作弦心距； （3）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角； （4）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： 连过弧中点的半径；连等弧对的弦；作等弧所对的圆心角 知识点04：圆周角定理 1．圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 2．圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 注意：推论3不可以直接利用，需要证明． 知识点05：圆的内接多边形 一.  三角形的外接圆及外心 1.  三角形的外接圆 （1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 2.  三角形的外心的性质 （1） 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等； （2）对于给定的三角形，其外心是唯一的;但一个圆的内接三角形有无数个，这些三角形的外心重合. 二. 圆内接四边形 1.  圆内接四边形的概念 如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做圆内接四边形，这个圆就是四边形的外接圆． 2.  圆内接四边形的性质 性质1：圆内接四边形的对角互补． 性质2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． 3.  圆内接四边形的判定 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 补充说明：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 知识点06：点与圆的位置关系 1． 点与圆的位置关系 1.确定圆的条件 （1）圆心(定点)，确定圆的位置； （2）半径(定长)，确定圆的大小． 注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． 2.点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定． （2）设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内.如下表所示： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 点在的外部. 点在圆上 点在圆周上 点在上 点在圆内 点在圆的内部 点在的内部 2． 过已知点的圆： 1. 过已知点的圆 （1）过一点的圆有无数个；圆心为平面内除点以外的任意一点． （2）过两点的圆有无数个；这些圆的圆心在线段的垂直平分线上． （3）过三点的圆； 若点共线，则过三点的圆不存在；若点不共线，则存在唯一的圆过三点，且圆心为线段、、中垂线的交点。 （4）过（）个点的圆；可做个或个. 2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆 （1）“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； （2）“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 知识点07：直线与圆的位置关系 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点． 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线． 直线与相交 知识点08：切线的性质和判定 一．切线的性质 1.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 二．切线的判定 1.定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 2.距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 4.切线的证明方法 思路一：证明直线与圆有且只有一个公共点． 思路二：若已知条件中不知直线与圆是否有公共点，则过圆心向直线作垂线段，证明垂线段长（）等于半径（）． 思路三：若已知直线与圆的公共点，则连接这点与圆心的半径，证明此半径垂直于直线． 三．切线长 1．切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫这点到圆的切线长． 2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 如图，由可得：①②，即：是的平分线． 四．三角形的内切圆 1．三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2．直角三角形内切圆的半径与三边的关系： 设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径为，其中．若，则． 知识点09：正多边形和圆 一. 正多边形的概念及性质 1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形． 2. 正多边形的相关概念： （1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； （2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径； （3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； （4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 补充说明：正多边形的性质： （1）正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形； （2）正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴； （3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． 二. 正多边形与圆的关系 1. 把一个圆等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正边形；这个圆叫这个正边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形． 2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆． 三. 正多边形有关的计算 1. 正边形的每个内角都等于； 2. 正边形的每一个外角与中心角相等，等于； 3. 设正边形的边长为，半径为，边心距为，周长为，面积为；则： 知识点10：与圆有关的计算 一．弧长公式 1.圆的周长： 2.弧长公式：（其中，表示弧长，表示这段弧所对圆心角度数值；表示该弧所在圆的半径）． 二．扇形面积公式 1.圆的面积公式： 2.扇形面积公式：（表示扇形圆心角度数值；表示半径）． 三．圆锥、圆柱的侧面积与全面积 1.圆锥 （1）圆锥的侧面积：（以下公式中的均指扇形母线长）； （2）圆锥的全面积：； （3）圆锥的体积：； （4）圆锥的高、底面半径、母线之间的关系：； （5）设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的圆心角为；则有： 2.圆柱 （1）圆柱的侧面积： （2）圆柱的全面积： 四．不规则图形面积的巧算 一般利用拼凑法，割补法，把不规则图形切割拼接成面积容易计算的图形再进行计算，例如：弓形面积：． 【考点题型一】垂径定理的应用 【精讲题】（2023秋•故城县期末）如图是一个半径为5cm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB＝8cm，则油面的深度为（　　） A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm 【变式1-1】（2022秋•河北区校级期末）蔬菜基地圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD为　　m． 【变式1-2】（2023秋•凉州区期末）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上顶端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（　　）mm． A．4 B．6 C．7 D．8 【考点题型二】圆心角、弧、弦的关系 【精讲题】（2023秋•同心县期末）如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠A的度数是 　 　°． 【变式2-1】（2023秋•东明县期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE＝　 　． 【变式2-2】（2023秋•琼中县期末）如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 【考点题型三】圆周角定理 【精讲题】（2023秋•宁津县期末）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．80° 【变式3-1】（2023秋•宁波期末）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为（　　） A． B．2 C． D． 【变式3-2】（2022秋•襄州区期末）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为 　　． 【考点题型四】圆内接四边形的性质 【精讲题】（2021秋•福山区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是 　 　． 【变式4-1】（2022秋•天山区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝　　°． 【变式4-2】（2023秋•嵩明县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝125°，则∠A的度数为（　　） A．25° B．30° C．50° D．55° 【考点题型五】相交弦定理 【精讲题】（2023秋•高港区期末）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（　　） A．6 B．7 C．12 D．16． 【变式5-1】（2022秋•开福区校级期末）如图点P为弦AB上一点，连接OP，过P作PC⊥PO，PC交⊙O于点C，若AP＝4，PB＝2，则PC的长为　　． 【变式5-2】（2023秋•岳麓区校级期末）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是　　mm． 【考点题型六】点与圆的位置关系 【精讲题】（2023秋•宁波期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-1】（2023秋•门头沟区期末）已知⊙O的半径为4，如果OP的长为3，则点P在（　　） A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．不确定 【变式6-2】（2023秋•泰兴市期末）⊙O半径为4，点A到点O距离为3，则点A在⊙O 　　（填“上”“内”或“外”）． 【考点题型七】确定圆的条件 【精讲题】（2023秋•遵化市期末）已知平面直角坐标系中的三个点分别为A（1，﹣1）、B（﹣2，5）、C（4，﹣6），则A、B、C这三个点 　　确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【变式7-1】（2022秋•潢川县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧所在圆的半径长是 　　． 【变式7-2】（2024秋•江阴市校级月考）下列说法，错误的是（　　） A．直径是弦 B．等弧所对的圆心角相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．过三点可以确定一个圆 【考点题型八】三角形的外接圆与外心 【精讲题】（2023秋•滨湖区期末）若等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，则△ABC底角的度数为（　　） A．65° B．25° C．65°或 25° D．65°或 30° 【变式8-1】（2023秋•石家庄期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【变式8-2】（2022秋•越秀区校级期末）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE＝2，则BC＝　　． 【考点题型九】直线与圆的位置关系 【精讲题】（2023秋•东湖区期末）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　） A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 【变式9-1】（2023秋•青山区期末）已知⊙O的半径是6.5cm，点P是直线l上一点，且OP＝6cm．那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【变式9-2】（2023秋•朝阳区期末）⊙O的直径为15cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是 　 　（填“相交”、“相切”或“相离”）． 【考点题型十】切线的判定与性质 【精讲题】（2023秋•西宁期末）如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，长为半径作圆．将射线BA绕点B顺时针旋转，使射线BA与⊙O相切，则旋转角的度数是 　 　． 【变式10-1】（2022秋•任城区期末）如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作⊙A．已知点B（﹣4，0），连接AB，线段AB与x轴所成的角∠ABO为锐角，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值为 　　． 【变式10-2】（2022秋•泰山区期末）如图，线段AB是⊙O的直径，⊙O交线段BC于D，且D是BC中点，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（　　） ①CE•CA＝CD•CB；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线；⑤AD2＝AE•AB． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点题型十一】弦切角定理 【精讲题】（2022秋•谯城区期末）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝70°，则∠BAC等于　 　． 【变式11-1】（2023秋•重庆期末）已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为　 ． 【变式11-2】（2022秋•苏州期末）点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（　　） A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125° 【考点题型十二】切线长定理 【精讲题】（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　） A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化 【变式12-1】（2022秋•宛城区校级期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．16 【变式12-2】（2023秋•城关区校级期末）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　） A．5 B．7 C．12 D．10 【考点题型十三】切割线定理 【精讲题】（2022秋•十堰期末）如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为的中点，DE垂直于AC的延长线于E，连接BC，若DE＝6cm，CE＝2cm，下列结论一定错误的是（　　） A．DE是⊙O的切线 B．直径AB长为20cm C．弦AC长为16cm D．C为的中点 【变式13-1】（2023秋•平谷区期末）如图，点C、O在线段AB上，且AC＝CO＝OB＝5，过点A作以BC为直径的⊙O切线，D为切点，则AD的长为（　　） A．5 B．6 C． D．10 【变式13-2】（2022秋•江西期末）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC＝3，PB＝1，则该半圆的半径为　　． 【考点题型十四】三角形的内切圆与内心 【精讲题】（2023秋•金安区校级期末）已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为（　　） A．4π B．8π C．12π D．16π 【变式14-1】（2023秋•禹城市期末）正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（　　） A．1：2：3 B．2：3：4 C．1：： D．1：：2 【变式14-2】（2023秋•阿荣旗期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为 　． 【考点题型十五】正多边形和圆 【精讲题】（2023秋•仙游县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为 　　． 【变式15-1】（2023秋•滨湖区期末）半径相等的圆内接正三角形与正方形的边长之比为　　． 【变式15-2】（2023秋•德宏州期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM为（　　） A．4 B． C． D． 【考点题型十六】弧长的计算 【精讲题】（2023秋•冠县期末）一个扇形的半径为6，弧长等于5π，则扇形的圆心角度数为（　　） A．30° B．60° C．150° D．210° 【变式16-1】（2023秋•桦甸市期末）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（　　） A．12π B．π C．2π D．3π 【变式16-2】（2023秋•湖北期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为 　　． 【考点题型十七】扇形面积的计算 【精讲题】（2023秋•青岛期末）如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝120°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为 　　． 【变式17-1】（2023秋•武城县期末）如图，AB＝8，以AB为直径的半圆绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是　　． 【变式17-2】（2023秋•怀仁市期末）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【考点题型十八】圆锥的计算 【精讲题】（2023秋•城关区校级期末）如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（　　） A．180° B．216° C．240° D．270° 【变式18-1】（2023秋•滨湖区期末）用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径等于（　　） A．3 B．5 C． D． 【变式18-2】（2023秋•曲阳县期末）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是　　． 【考点题型十九】圆柱的计算 【精讲题】（2022秋•吴兴区期末）圆柱的底面半径为1cm，母线长为5cm，则该圆柱的侧面积为 　　cm2． 【变式19-1】（2022秋•衢州期末）已知圆柱的底面半径为2cm，母线长为3cm，则这个圆柱的全面积为 　　cm2． 【变式19-2】（2023秋•龙潭区期末）如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚，如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（　　） A．64πm2 B．72πm2 C．68πm2 D．80πm2 期末真题拔高训练15题 1．（2023秋•阜平县期末）如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长PC为（　　） A．3 B．2 C． D． 2．（2023秋•海沧区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）都在⊙M上，则原点O到⊙M上一点的最短距离为（　　） A．2﹣2 B．2 C．2 D．2+2 3．（2023秋•金安区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣8，﹣4），则点N的坐标为（　　） A．（﹣5，﹣4） B．（﹣4，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣2，﹣4） 4．（2023秋•滨湖区期末）若直线l与半径为6的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d为（　　） A．d＜6 B．d＝6 C．d＞6 D．d≤6 5．（2023秋•张掖期末）如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的直径为5，BC＝4，则AB的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．5 6．（2023秋•望奎县期末）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为 　 　cm． 7．（2023秋•石景山区期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝60°，PA＝6，则⊙O的半径为 　 　． 8．（2023秋•宣化区期末）如图，⊙O的半径为6，直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边与圆交于点B、C，则弦BC的长为 　 　． 9．（2021秋•乳山市期末）如图，AB为⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径长为　 　． 10．（2023秋•滨湖区期末）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝65°，则∠ACD＝　 　°． 11．（2023秋•虞城县期末）如图，在⊙O中，AB，BC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为D，E，求证：四边形ODBE是正方形． 12．（2023秋•嘉兴期末）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水部分弓形的高为6cm． （1）求截面中弦AB的长； （2）求截面中有水部分弓形的面积． 13．（2023秋•盖州市期末）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．连接DE，且ED＝EC． （1）求证：AB＝AC； （2）若AB＝4，BC＝2．求CD的长． 14．（2023秋•西峡县期末）如图，AB是⊙O的直径，D为AB上一点，C为⊙O上一点，且AD＝AC，延长CD交⊙O于E，连CB． （1）求证：∠CAB＝2∠BCD； （2）若∠BCE＝15°，AB＝6，求CE的长． 15．（2023秋•北流市期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA． （1）求证：EA与⊙O相切； （2）若CE＝3，CF＝2，求⊙O的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 对圆的进一步认识 （知识梳理+19个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】垂径定理的应用 9 【考点题型二】圆心角、弧、弦的关系 11 【考点题型三】圆周角定理 13 【考点题型四】圆内接四边形的性质 16 【考点题型五】相交弦定理 17 【考点题型六】点与圆的位置关系 19 【考点题型七】确定圆的条件 20 【考点题型八】三角形的外接圆与外心 22 【考点题型九】直线与圆的位置关系 24 【考点题型十】切线的判定与性质 25 【考点题型十一】弦切角定理 29 【考点题型十二】切线长定理 31 【考点题型十三】切割线定理 33 【考点题型十四】三角形的内切圆与内心 35 【考点题型十五】正多边形和圆 37 【考点题型十六】弧长的计算 39 【考点题型十七】扇形面积的计算 41 【考点题型十八】圆锥的计算 44 【考点题型十九】圆柱的计算 45 期末真题拔高训练15题 46 知识点01：圆的相关概念 1.圆的概念 （1）描述性定义:在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径； （2）集合性定义: 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径； （3）圆的表示方法:用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“”，读作“圆”； （4）同圆、同心圆、等圆： ①圆心相同且半径相等的圆叫同圆； ②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； ③能够重合的两个圆叫做等圆． 2.弦与弧的相关概念： （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦； （2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍； （3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距； （4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧； （5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧； （6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆； （7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧； （8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 3.圆心角与圆周角 （1）圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角； ①将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧； ②圆心角的度数和它所对的弧的度数相等； （2）圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 知识点02：垂径定理 1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2.推论1： （1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量． 补充说明：做题过程中，定理与推论（1）可以直接使用，而推论（2）、（3）需证明后再使用． 知识点03：圆心角、弧、弦之间的关系与应用 1．圆心角、弧、弦之间的关系 1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弧也相等． 若，则，，． 2.推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 2．应用 （1）在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答； （2）有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题； 另外，证明两弦相等也常作弦心距； （3）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角； （4）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： 连过弧中点的半径；连等弧对的弦；作等弧所对的圆心角 知识点04：圆周角定理 1．圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 2．圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 注意：推论3不可以直接利用，需要证明． 知识点05：圆的内接多边形 一.  三角形的外接圆及外心 1.  三角形的外接圆 （1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 2.  三角形的外心的性质 （1） 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等； （2）对于给定的三角形，其外心是唯一的;但一个圆的内接三角形有无数个，这些三角形的外心重合. 二. 圆内接四边形 1.  圆内接四边形的概念 如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做圆内接四边形，这个圆就是四边形的外接圆． 2.  圆内接四边形的性质 性质1：圆内接四边形的对角互补． 性质2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． 3.  圆内接四边形的判定 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 补充说明：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 知识点06：点与圆的位置关系 1． 点与圆的位置关系 1.确定圆的条件 （1）圆心(定点)，确定圆的位置； （2）半径(定长)，确定圆的大小． 注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． 2.点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定． （2）设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内.如下表所示： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 点在的外部. 点在圆上 点在圆周上 点在上 点在圆内 点在圆的内部 点在的内部 2． 过已知点的圆： 1. 过已知点的圆 （1）过一点的圆有无数个；圆心为平面内除点以外的任意一点． （2）过两点的圆有无数个；这些圆的圆心在线段的垂直平分线上． （3）过三点的圆； 若点共线，则过三点的圆不存在；若点不共线，则存在唯一的圆过三点，且圆心为线段、、中垂线的交点。 （4）过（）个点的圆；可做个或个. 2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆 （1）“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； （2）“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 知识点07：直线与圆的位置关系 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点． 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线． 直线与相交 知识点08：切线的性质和判定 一．切线的性质 1.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 二．切线的判定 1.定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 2.距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 4.切线的证明方法 思路一：证明直线与圆有且只有一个公共点． 思路二：若已知条件中不知直线与圆是否有公共点，则过圆心向直线作垂线段，证明垂线段长（）等于半径（）． 思路三：若已知直线与圆的公共点，则连接这点与圆心的半径，证明此半径垂直于直线． 三．切线长 1．切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫这点到圆的切线长． 2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 如图，由可得：①②，即：是的平分线． 四．三角形的内切圆 1．三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2．直角三角形内切圆的半径与三边的关系： 设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径为，其中．若，则． 知识点09：正多边形和圆 一. 正多边形的概念及性质 1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形． 2. 正多边形的相关概念： （1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； （2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径； （3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； （4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 补充说明：正多边形的性质： （1）正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形； （2）正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴； （3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． 二. 正多边形与圆的关系 1. 把一个圆等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正边形；这个圆叫这个正边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形． 2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆． 三. 正多边形有关的计算 1. 正边形的每个内角都等于； 2. 正边形的每一个外角与中心角相等，等于； 3. 设正边形的边长为，半径为，边心距为，周长为，面积为；则： 知识点10：与圆有关的计算 一．弧长公式 1.圆的周长： 2.弧长公式：（其中，表示弧长，表示这段弧所对圆心角度数值；表示该弧所在圆的半径）． 二．扇形面积公式 1.圆的面积公式： 2.扇形面积公式：（表示扇形圆心角度数值；表示半径）． 三．圆锥、圆柱的侧面积与全面积 1.圆锥 （1）圆锥的侧面积：（以下公式中的均指扇形母线长）； （2）圆锥的全面积：； （3）圆锥的体积：； （4）圆锥的高、底面半径、母线之间的关系：； （5）设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的圆心角为；则有： 2.圆柱 （1）圆柱的侧面积： （2）圆柱的全面积： 四．不规则图形面积的巧算 一般利用拼凑法，割补法，把不规则图形切割拼接成面积容易计算的图形再进行计算，例如：弓形面积：． 【考点题型一】垂径定理的应用 【精讲题】（2023秋•故城县期末）如图是一个半径为5cm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB＝8cm，则油面的深度为（　　） A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm 【思路点拨】首先过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理求得AD的长，又由⊙O的直径为100cm，得出半径OA的长，然后根据勾股定理，求得OD的长，继而求得油面的最大深度． 【规范解答】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA， ∴AD＝AB＝×6＝4cm， 在Rt△AOD中，OD＝＝＝3cm， ∴DE＝OE﹣OD＝5﹣3＝2（cm）． ∴油面的最大深度为2cm． 故选：A． 【考点评析】此题考查了垂径定理的应用，难度不大，解题的关键是辅助线的作法，注意勾股定理的应用． 【变式1-1】（2022秋•河北区校级期末）蔬菜基地圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD为　4　m． 【思路点拨】根据垂径定理和勾股定理求解． 【规范解答】解：∵CD垂直平分AB， ∴AD＝8． ∴OD＝＝6m， ∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）． 故答案为：4． 【考点评析】此题考查了垂径定理的应用与勾股定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用． 【变式1-2】（2023秋•凉州区期末）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上顶端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（　　）mm． A．4 B．6 C．7 D．8 【思路点拨】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长． 【规范解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD， ∵钢珠的直径是10mm， ∴钢珠的半径是5mm， ∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OD＝3mm， 在Rt△AOD中， ∵AD＝＝＝4（mm）， ∴AB＝2AD＝2×4＝8（mm）． 故选：D． 【考点评析】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【考点题型二】圆心角、弧、弦的关系 【精讲题】（2023秋•同心县期末）如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠A的度数是 　55　°． 【思路点拨】根据＝，得出∠AOD＝∠DOC，根据平角的定义求出∠AOD＝70°，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：∵AB是⊙O的直径，＝， ∴∠AOD＝∠DOC， ∵∠COB＝40°， ∴∠AOD＝×（180°﹣40°）＝70°， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠D＝×（180°﹣70°）＝55°， 故答案为：55． 【考点评析】本题主要考查了弧、圆心角的关系，根据等边对等角求角度，熟练掌握等弧对等角是解题的关键． 【变式2-1】（2023秋•东明县期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE＝　40°　． 【思路点拨】根据邻补角的概念求出∠BOE，根据圆心角、弧、弦的关系解答． 【规范解答】解：∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°， ∵C、D是的三等分点， ∴＝＝， ∴∠COE＝∠COD＝∠BOD＝120°×＝40°， 故答案为：40°． 【考点评析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 【变式2-2】（2023秋•琼中县期末）如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 【思路点拨】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解． 【规范解答】解：∵AB是直径， ∴∠AOB＝180°， ∵∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝120°， ∵， ∴． 故选：B． 【考点评析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系定理． 【考点题型三】圆周角定理 【精讲题】（2023秋•宁津县期末）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．80° 【思路点拨】根据以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，可知A、C、B、D四点共圆，再根据圆周角定理求解即可． 【规范解答】解：设AB的中点为O，连接OD，如图所示： ∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC， ∴A、C、B、D四点共圆， ∵量角器上点D对应的读数是100°， ∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°， ∴∠BCD＝∠BOD＝40°， 故选：B． 【考点评析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【变式3-1】（2023秋•宁波期末）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为（　　） A． B．2 C． D． 【思路点拨】连接OD，由圆周角定理得出∠AOD＝45°，根据垂径定理可得CE＝DE＝CD，证出△DOE为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案． 【规范解答】解：连接OD，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AB＝4， ∴OD＝2，CE＝DE＝CD， ∵∠ACD＝22.5°， ∴∠AOD＝2∠ACD＝45°， ∴△DOE为等腰直角三角形， ∴DE＝OD＝， ∴CD＝2DE＝2， 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【变式3-2】（2022秋•襄州区期末）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为 　4　． 【思路点拨】由垂径定理得到CE＝DE，再由圆周角定理得∠BOC＝45°，得△OCE为等腰直角三角形，然后由等腰直角三角形的性质求出CE的长，从而得到CD的长． 【规范解答】解：∵AB⊥CD， ∴CE＝DE，∠OEC＝90°， ∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°， ∴△OCE为等腰直角三角形， ∴CE＝OE＝OC＝2， ∴CD＝2CE＝4． 故答案为：4． 【考点评析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，证明△OCE为等腰直角三角形是解题的关键． 【考点题型四】圆内接四边形的性质 【精讲题】（2021秋•福山区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是 　30o　． 【思路点拨】根据圆内接四边形的性质求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，结合图形计算，得到答案． 【规范解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∵∠BCD＝2∠BAD， ∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°， 故答案为：30°． 【考点评析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【变式4-1】（2022秋•天山区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝　130　°． 【思路点拨】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【规范解答】解：∵∠BOD＝100°， ∴∠A＝50°． ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130． 【考点评析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键． 【变式4-2】（2023秋•嵩明县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝125°，则∠A的度数为（　　） A．25° B．30° C．50° D．55° 【思路点拨】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【规范解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠C+∠A＝180°， ∵∠C＝125°， ∴∠A＝55°， 故选：D． 【考点评析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【考点题型五】相交弦定理 【精讲题】（2023秋•高港区期末）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（　　） A．6 B．7 C．12 D．16． 【思路点拨】由题意可知AB＝AC＝AD，点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF即可求出答案． 【规范解答】解：∵AB＝AC＝AD， ∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动， AE＝3，EC＝1， ∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4， EF＝AE+AF＝3+4＝7， 由相交弦定理可得， BE•DE＝CE•EF＝1×7＝7， 故选：B． 【考点评析】本题考查了相交弦定理，根据圆心和半径构建圆是解题的关键． 【变式5-1】（2022秋•开福区校级期末）如图点P为弦AB上一点，连接OP，过P作PC⊥PO，PC交⊙O于点C，若AP＝4，PB＝2，则PC的长为　　． 【思路点拨】首先延长CP交⊙O于点D，由PC⊥OP，根据垂径定理，即可得PC＝PD，又由相交弦定理，即可得PC•PD＝PB•PA，继而求得PC的长． 【规范解答】解：延长CP交⊙O于点D， ∵PC⊥OP， ∴PC＝PD， ∵PC•PD＝PB•PA， ∴PC2＝PB•PA， ∵AP＝4，PB＝2， ∴PC2＝8， ∴PC的长为2； 故答案为：2． 【考点评析】此题考查了垂径定理与相交弦定理．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用． 【变式5-2】（2023秋•岳麓区校级期末）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是　8　mm． 【思路点拨】根据垂径定理和相交弦定理求解． 【规范解答】解：钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， 则下面的距离就是2． 利用相交弦定理可得：2×8＝AB×AB， 解得AB＝8． 故答案为：8． 【考点评析】本题的关键是利用垂径定理和相交弦定理求线段的长． 【考点题型六】点与圆的位置关系 【精讲题】（2023秋•宁波期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【规范解答】解：∵O的半径为5，点P在⊙O外， ∴OP＞5， 故选：D． 【考点评析】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 【变式6-1】（2023秋•门头沟区期末）已知⊙O的半径为4，如果OP的长为3，则点P在（　　） A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．不确定 【思路点拨】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d，圆的半径r，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【规范解答】解：∵OP＝3，r＝4， ∴OP＜r， ∴点P在圆内． 故选：A． 【考点评析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论． 【变式6-2】（2023秋•泰兴市期末）⊙O半径为4，点A到点O距离为3，则点A在⊙O 　内　（填“上”“内”或“外”）． 【思路点拨】根据⊙O的半径r＝4，且点A到圆心O的距离d＝3知d＜r，据此可得答案． 【规范解答】解：∵⊙O的半径r＝4，且点A到圆心O的距离d＝3， ∴d＜r， ∴点A在⊙O内， 故答案为：内． 【考点评析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r． 【考点题型七】确定圆的条件 【精讲题】（2023秋•遵化市期末）已知平面直角坐标系中的三个点分别为A（1，﹣1）、B（﹣2，5）、C（4，﹣6），则A、B、C这三个点 　能　确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【思路点拨】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线AB上，然后根据确定圆的条件进行判断． 【规范解答】解：能．理由如下： 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（1，﹣1），B（﹣2，5）代入得 ， 解得， 所以直线AB的解析式为y＝﹣2x+1， 当x＝4时，y＝﹣2x+1＝﹣8+1＝﹣7， 所以点C（4，﹣6）不在直线AB上， 即点A、B、C不共线， 所以过A、B、C这三个点能确定一个圆． 【考点评析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．会利用待定系数法求一次函数解析式． 【变式7-1】（2022秋•潢川县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧所在圆的半径长是 　　． 【思路点拨】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，根据勾股定理即可求得半径． 【规范解答】解：如图所示，作弦AB和BC的垂直平分线交于点O，连接OB，设BC的中点为D， 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， ∴点O即为圆心， ∵BD＝1，OD＝2， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查垂径定理，解题的关键是根据垂径定理找到圆心的位置． 【变式7-2】（2024秋•江阴市校级月考）下列说法，错误的是（　　） A．直径是弦 B．等弧所对的圆心角相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．过三点可以确定一个圆 【思路点拨】根据直径与弦的关系，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理以及确定圆的条件进行一一分析判断． 【规范解答】解：A、经过圆心的弦叫直径，直径是最长的弦，原说法正确； B、等弧所对的圆心角相等，原说法正确； C、由垂径定理知，弦的垂直平分线一定经过圆心，原说法正确； D、过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原说法错误． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了圆的有关概念和性质，属于基础知识，属于只记知识． 【考点题型八】三角形的外接圆与外心 【精讲题】（2023秋•滨湖区期末）若等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，则△ABC底角的度数为（　　） A．65° B．25° C．65°或 25° D．65°或 30° 【思路点拨】画出相应图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形2种情况解答即可． 【规范解答】解：（1）圆心O在△ABC外部， 在优弧BC上任选一点D，连接BD，CD． ∴∠BDC＝∠BOC＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝130°； ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝25°； （2）圆心O在△ABC内部．∠BAC＝∠BOC＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°． 综上所述，△ABC底角的度数为65°或 25°， 故选：C． 【考点评析】本题考查的是三角形外接圆和外心，三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补． 【变式8-1】（2023秋•石家庄期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【思路点拨】根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【规范解答】解：根据题意可知，点D是△ABC外心． 故选：A． 【考点评析】本题考查了三角形的外接圆与外心，属于基础题型，比较简单． 【变式8-2】（2022秋•越秀区校级期末）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE＝2，则BC＝　4　． 【思路点拨】由OD⊥AB，OE⊥AC，根据垂径定理得到AD＝DB，AE＝CE，则根据三角形中位线定义得到DE为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线定理得DE＝BC，再把DE＝2代入计算即可． 【规范解答】解：∵OD⊥AB， ∴AD＝DB， ∵OE⊥AC， ∴AE＝CE， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC， ∴BC＝2DE＝2×2＝4． 故答案为：4 【考点评析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形中位线定理． 【考点题型九】直线与圆的位置关系 【精讲题】（2023秋•东湖区期末）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　） A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 【思路点拨】根据直线与圆的位置关系解答即可． 【规范解答】解：∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4是四个半径为5的等圆， ∴圆心到直线l的距离为4是⊙O3， 故选：C． 【考点评析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆． 【变式9-1】（2023秋•青山区期末）已知⊙O的半径是6.5cm，点P是直线l上一点，且OP＝6cm．那么直线l与⊙O的公共点的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【思路点拨】根据直线与圆的位置关系判定方法，当d＜r，直线与圆相交即可得出答案． 【规范解答】解：∵⊙O的半径是6.5cm，点P是直线l上一点，且OP＝6cm， ∴r＞d， ∴直线l与⊙O的关系是：相交． 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据已知得出r＞d是解决问题的关键． 【变式9-2】（2023秋•朝阳区期末）⊙O的直径为15cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是 　相切　（填“相交”、“相切”或“相离”）． 【思路点拨】由⊙O的直径为15cm，求得⊙O的半径为7.5cm，而圆心O与直线l的距离为7.5cm，则圆心O与直线l的距离等于⊙O的半径，所以l与⊙O相切，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：∵⊙O的直径为15cm，×15＝7.5（cm）， ∴⊙O的半径为7.5cm， ∵圆心O与直线l的距离为7.5cm， ∴圆心O与直线l的距离等于⊙O的半径， ∴l与⊙O相切， 故答案为：相切． 【考点评析】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地求出⊙O的半径长并且证明圆心O与直线l的距离等于⊙O的半径是解题的关键． 【考点题型十】切线的判定与性质 【精讲题】（2023秋•西宁期末）如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，长为半径作圆．将射线BA绕点B顺时针旋转，使射线BA与⊙O相切，则旋转角的度数是 　40°或100°　． 【思路点拨】当BA′与⊙O相切时，可连接圆心与切点，通过构建直角三角形，求出∠A′BO的度数，然后再根据BA′的不同位置分类讨论． 【规范解答】解：如图： ①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB＝90°， Rt△OPB中，OB＝2OP， ∴∠A′BO＝30°， ∵∠ABC＝70°， ∴∠ABA′＝40°； ②当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时， 同①，可求得∠A′BO＝30°； 此时∠ABA′＝70°+30°＝100°， 故旋转角α的度数为40°或100°． 故答案为：40°或100°． 【考点评析】此题主要考查的是切线的性质以及旋转的性质，需注意切线的位置有两种情况，不要漏解． 【变式10-1】（2022秋•任城区期末）如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作⊙A．已知点B（﹣4，0），连接AB，线段AB与x轴所成的角∠ABO为锐角，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值为 　或　． 【思路点拨】分两种情况，⊙A在第二象限，与两坐标轴同时相切，⊙A在第四象限，与两坐标轴同时相切． 【规范解答】解：如图： 分两种情况： 当⊙A在第二象限，与两坐标轴同时相切， 设⊙A与x轴相切于点M，连接AM， 则AM⊥x轴， 在Rt△ABM中，AM＝1，BM＝OB﹣OM＝4﹣1＝3， ∴tan∠ABO＝＝， 当⊙A在第四象限，与两坐标轴同时相切， 设⊙A′与x轴相切于点M′，连接AM′， 则AM′⊥x轴， 在Rt△A′BM′中，AM′＝1，BM′＝OB+OM＝4+1＝5， ∴tan∠A′BO＝＝， 综上所述：tan∠ABO的值为：或． 【考点评析】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况是解题的关键． 【变式10-2】（2022秋•泰山区期末）如图，线段AB是⊙O的直径，⊙O交线段BC于D，且D是BC中点，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（　　） ①CE•CA＝CD•CB；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线；⑤AD2＝AE•AB． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】由DE与AC垂直，得到三角形CDE为直角三角形，而由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为90°，得到AD与BC垂直，又D为BC中点，进而得到AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到AC与AB相等，故三角形ABC不是直角三角形，所以三角形CDE与ABC不相似，CE•CA与CD•CB不相等，选项①错误；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，故AO为AC的一半，选项③正确；由OD为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得到OD与AC平行，由AC与DE垂直得到OD与DE垂直，即∠ODE为90°，故DE为圆O的切线，选项④正确；由两对对应角相等得到三角形ADE与三角形ACD相似，根据对应边成比例得到选项⑤正确，从而得到所有正确选项的个数． 【规范解答】解：显然，△CED为直角三角形，而△ABC不是直角三角形，故两三角形不相似， 所以CE•CA≠CD•CB，选项①错误； 连接OD，∵D为BC中点，O为AB中点， ∴DO为△ABC的中位线， ∴OD∥AC， 又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE为圆O的切线，选项④正确； 又OB＝OD，∴∠ODB＝∠B， ∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°， ∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°， ∴∠EDA＝∠BDO， ∴∠EDA＝∠B，选项②正确； 由D为BC中点，且AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， ∴AC＝AB，又OA＝AB， ∴OA＝AC，选项③正确； ∵∠DAC＝∠EAD，∠DEA＝∠CDA＝90°， ∴△ADE∽△ACD， ∴＝，即AD2＝AE•AB，选项⑤正确； 则正确结论的个数为4个． 故选：C． 【考点评析】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，及三角形的中位线定理．证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线． 【考点题型十一】弦切角定理 【精讲题】（2022秋•谯城区期末）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝70°，则∠BAC等于　20°　． 【思路点拨】OA＝OB可知∠BAO＝∠B＝70°，得知∠O＝40°，由弦切角等于所对应的圆周角知∠O＝2∠BAC． 【规范解答】解：根据题意知，OA＝OB， ∴∠BAO＝∠B＝70°， ∴在△AOB中，∠O＝40°； ∵AC为切线， ∴∠O＝2∠BAC， ∴∠BAC＝20°． 【考点评析】本题考查了切线的性质以及弦切角定理，是基础题型． 【变式11-1】（2023秋•重庆期末）已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为　40度　． 【思路点拨】连接DB，即∠ADB＝90°，又∠BCD＝130°，故∠DAB＝50°，所以∠DBA＝40°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果． 【规范解答】解：连接BD，则∠ADB＝90°， 又∠BCD＝130°， 故∠DAB＝50°， 所以∠DBA＝40°； 又因为PD为切线， 故∠PDA＝∠ABD＝40°， 即∠PDA＝40°． 【考点评析】考查圆与切线的位置关系及其切线角之间的关系． 【变式11-2】（2022秋•苏州期末）点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（　　） A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125° 【思路点拨】分两种情况讨论：点C在劣弧AB上；点C在优弧AMB上；再根据弦切角定理和切线的性质求得∠ACB． 【规范解答】解：如图， ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠P＝70°， ∴∠AOB＝110°， ∴∠ACB＝55°， 当点C在劣弧AB上， ∵∠AOB＝110°， ∴弧ACB的度数为250°， ∴∠ACB＝125°． 故选：D． 【考点评析】本题考查了弦切角定理和切线的性质，是基础知识要熟练掌握． 【考点题型十二】切线长定理 【精讲题】（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　） A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化 【思路点拨】利用切线长定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，FN＝EN，进而得出答案． 【规范解答】解：设E、F分别是⊙O的切点， ∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm， ∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm， 故DM＝MF，FN＝EN， ∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）． 故选：B． 【考点评析】此题主要考查了切线长定理，得出AM+AN+MN＝AD+AE是解题关键． 【变式12-1】（2022秋•宛城区校级期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．16 【思路点拨】根据切线长定理，可得BI＝BG，CI＝CH，DG＝DF，EF＝EH，则C△ADE＝AD+AE+DE＝AD+AE+DF+EF＝AD+DG+EH+AE＝AG+AH＝C△ABC﹣（BG+CH+BC），据此即可求解． 【规范解答】解：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切， ∴BI＝BG，CI＝CH，DG＝DF，EF＝EH． ∴BG+CH＝BI+CI＝BC＝9， ∴C△ADE＝AD+AE+DE＝AD+AE+DF+EF＝AD+DG+EH+AE＝AG+AH＝C△ABC﹣（BG+EH+BC）＝25﹣2×9＝7． 故选：A． 【考点评析】本题考查了切线长定理，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键． 【变式12-2】（2023秋•城关区校级期末）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　） A．5 B．7 C．12 D．10 【思路点拨】根据切线长定理得到PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【规范解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，PA＝6， ∴PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE， ∴△PCD的周长＝PC+CE+PD+DE＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝12， 故选：C． 【考点评析】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 【考点题型十三】切割线定理 【精讲题】（2022秋•十堰期末）如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为的中点，DE垂直于AC的延长线于E，连接BC，若DE＝6cm，CE＝2cm，下列结论一定错误的是（　　） A．DE是⊙O的切线 B．直径AB长为20cm C．弦AC长为16cm D．C为的中点 【思路点拨】AB是圆的直径，则∠ACB＝90°，根据DE垂直于AC的延长线于E，可以证得ED∥BC，则DE⊥OD，即可证得DE是圆的切线，根据切割线定理即可求得AC的长，连接OD，交BC与点F，则四边形DECF是矩形，根据垂径定理即可求得半径． 【规范解答】解：连接OD，OC ∵D是弧BC的中点，则OD⊥BC， ∴DE是圆的切线．故A正确； ∴DE2＝CE•AE（连接CD，AD，延长DO交⊙O于T，连接CT，先证明∠EDC＝∠T，再证明∠EAD＝∠T，可得∠EDC＝∠EAD，由∠E＝∠E，∠EDC＝∠EAD，可得△EDC∽△EAD，可得结论）， 即：36＝2AE， ∴AE＝18，则AC＝AE﹣CE＝18﹣2＝16cm．故C正确； ∵AB是圆的直径． ∴∠ACB＝90°， ∵DE垂直于AC的延长线于E． D是弧BC的中点，则OD⊥BC， ∴四边形CFDE是矩形． ∴CF＝DE＝6cm．BC＝2CF＝12cm． 在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB＝＝＝20cm．故B正确； 在直角△ABC中，AC＝16，AB＝20， 则∠ABC≠30°， 而D是弧BC的中点． ∴弧AC≠弧CD． 故D错误． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了垂径定理，以及切割线定理，利用垂径定理可以把圆的弦、半径的计算转化为解直角三角形． 【变式13-1】（2023秋•平谷区期末）如图，点C、O在线段AB上，且AC＝CO＝OB＝5，过点A作以BC为直径的⊙O切线，D为切点，则AD的长为（　　） A．5 B．6 C． D．10 【思路点拨】利用切割线定理得到AD2＝AC•AB，而AC＝5，AD＝AC+CO+CB＝15，代入计算可以求出AD的长． 【规范解答】解：∵AD是⊙O的切线，ACB是⊙O的割线， ∴AD2＝AC•AB， 又AC＝5，AB＝AC+CO+OB＝15， ∴AD2＝5×15＝75， ∴AD＝5．（AD＝﹣5不合题意舍去）． 故选：C． 【考点评析】本题考查的是切割线定理，利用切割线定理列出等式，然后把AC，AB的长代入计算求出线段AD的长． 【变式13-2】（2022秋•江西期末）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC＝3，PB＝1，则该半圆的半径为　4　． 【思路点拨】根据切割线定理求得PA的长，进一步求得圆的半径． 【规范解答】解：∵PC切半圆与点C， ∴PC2＝PA•PB， 即PA＝9， 则AB＝9﹣1＝8， 则圆的半径是4． 故答案为4． 【考点评析】此题考查了切割线定理． 【考点题型十四】三角形的内切圆与内心 【精讲题】（2023秋•金安区校级期末）已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为（　　） A．4π B．8π C．12π D．16π 【思路点拨】根据题意判断三角形是等边三角形，作出图形，根据内切圆的半径为2求出外接圆的半径，利用圆面积公式即可求出答案． 【规范解答】解：∵一个三角形的内心与外心重合， ∴该三角形是等边三角形， 根据题意，如图，△ABC是等边三角形，其内心外心均为点O，连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，则OD＝2， ∵∠ABC＝60°，OB平分∠ABC， ∴， 在Rt△OBD中， OB＝2OD＝4， ∴△ABC的外接圆半径为4， ∴它的外接圆的面积为π×42＝16π， 故选：D． 【考点评析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【变式14-1】（2023秋•禹城市期末）正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（　　） A．1：2：3 B．2：3：4 C．1：： D．1：：2 【思路点拨】画出图形，连接OB，连接AO并延长交BC于点D，得到直角三角形BOD，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到R＝2r，然后求出h与r的关系，计算r，R与h的比． 【规范解答】解：如图：在直角三角形BOD中，∠OBD＝30°， ∴R＝2r， ∵AD是BC边上的高h，OA＝OB， ∴h＝R+r＝3r． ∴r：R：h＝r：2r：3r＝1：2：3． 即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3． 故选：A． 【考点评析】本题考查的是正多边形和圆，连接OB，连接AO并延长得到直角三角形，利用直角三角形求出R，r和h的比值． 【变式14-2】（2023秋•阿荣旗期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为　14　． 【思路点拨】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CF＝CE，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【规范解答】解：△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F， ∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CF＝CE， ∴BD+CF＝BE+CE＝BC＝5， ∴△ABC的周长＝AD+DB+BC+CF+AF＝AD+AF+BC+（BD+CF）＝14， 故答案为：14． 【考点评析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握切线长定理是解题的关键． 【考点题型十五】正多边形和圆 【精讲题】（2023秋•仙游县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为 　2π　． 【思路点拨】如图，连接OA，OB．利用弧长公式计算即可． 【规范解答】解：如图，连接OA，OB． 由题意OA＝B＝6，∠AOB＝60°， ∴的长＝＝2π． 故答案为：2π． 【考点评析】本题考查正多边形与圆，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式15-1】（2023秋•滨湖区期末）半径相等的圆内接正三角形与正方形的边长之比为　：　． 【思路点拨】可以构造一个由正多边形的半径、边心距和半边组成的直角三角形来解决问题． 【规范解答】解：设其半径是R，则其正三角形的边长是R， 正方形的边长是R，则它们的比是：． 故答案为：：． 【考点评析】此题考查正多边形与圆，能够构造一个由正多边形的半径、边心距和半边组成的直角三角形．该正多边形的半径即是圆的半径，其半边所对的角是它的中心角的一半，即． 【变式15-2】（2023秋•德宏州期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM为（　　） A．4 B． C． D． 【思路点拨】连接OB、OC，证明△OBC是等边三角形，得出BC＝OB＝2，由垂径定理求出BM，再由勾股定理求出OM即可． 【规范解答】解：连接OB、OC，如图所示： 则∠BOC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝6， ∵OM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝3， ∴OM＝＝3， 故选：B． 【考点评析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键． 【考点题型十六】弧长的计算 【精讲题】（2023秋•冠县期末）一个扇形的半径为6，弧长等于5π，则扇形的圆心角度数为（　　） A．30° B．60° C．150° D．210° 【思路点拨】根据弧长公式，其中n为圆心角，r为半径，代入数值即可求解． 【规范解答】解：根据题意得到， 解得n＝150， 即扇形的圆心角度数为150°． 故选：C． 【考点评析】此题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【变式16-1】（2023秋•桦甸市期末）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（　　） A．12π B．π C．2π D．3π 【思路点拨】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可． 【规范解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C， 由题意得，OC＝OA， ∴∠OAC＝30°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAC＝30°， ∴∠AOB＝120°， ∴劣的长＝＝2π， 故选：C． 【考点评析】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键． 【变式16-2】（2023秋•湖北期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为 　π　． 【思路点拨】根据圆周角的性质，计算出弧CD所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可． 【规范解答】解：如图，连接OA、OD、OC， ∵∠B＝58°，∠ACD＝40°． ∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°， ∴∠DOC＝36°， ∴弧CD的长为． 故答案为：π． 【考点评析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是关键． 【考点题型十七】扇形面积的计算 【精讲题】（2023秋•青岛期末）如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝120°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为 　9　． 【思路点拨】根据阴影部分的面积等于扇形BD面积O减去S弓形OD面积计算即可． 【规范解答】解：由折叠可知， S弓形AD＝S弓形OD，DA＝DO， ∵OA＝OD， ∴AD＝OD＝OA， ∴△AOD为等边三角形， ∴∠AOD＝60°，∠DOB＝60°， ∵AD＝OD＝OA＝6， ∴CD＝3， ∴S弓形AD＝S扇形ADO﹣S△ADO＝﹣＝6π﹣9， ∴S弓形OD＝6π﹣9， 阴影部分的面积＝S扇形BDO﹣S弓形OD＝﹣（6π﹣9）＝9， 故答案为：9． 【考点评析】本题考查了扇形面积与等边三角形的性质，熟练运用扇形公式是解题的关键． 【变式17-1】（2023秋•武城县期末）如图，AB＝8，以AB为直径的半圆绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是　π　． 【思路点拨】根据题意得出AB＝AB′＝8，∠BAB′＝60°，根据图形得出图中阴影部分的面积S＝+π×82﹣π×82，求出即可． 【规范解答】解： ∵AB＝AB′＝8，∠BAB′＝60° ∴图中阴影部分的面积是： S＝S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O ＝+π×82﹣π×82 ＝π． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，扇形的面积的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较好，难度适中． 【变式17-2】（2023秋•怀仁市期末）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】连接OC，根据直角三角形的性质求出AB，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，得到，进而得到OC为△AOB的中线，得到S△AOC＝S△BOC，推出阴影部分的面积等于S扇形AOC﹣S扇形DOC，计算即可． 【规范解答】解：连接OC， ∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，OA＝4， ∴AB＝2OA＝8， ∵OA＝OC，∠OAB＝60°， ∴△AOC为等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴∠COB＝30°， ∴， ∴OC为△AOB的中线， ∴S△AOC＝S△BOC， ∴阴影部分的面积为 ． 故选：A． 【考点评析】本题考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形的面积．正确的分割图形，利用分割法求面积，是解题的关键． 【考点题型十八】圆锥的计算 【精讲题】（2023秋•城关区校级期末）如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（　　） A．180° B．216° C．240° D．270° 【思路点拨】首先利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，再利用底面周长＝展开图的弧长可得． 【规范解答】解：∵圆锥的母线长为5cm，高是4cm， ∴圆锥底面圆的半径为：＝3（cm）， ∴2π×3＝， 解得n＝216°． 故选：B． 【考点评析】此题主要考查了圆锥的有关计算，解答本题的关键是有确定底面周长＝展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值． 【变式18-1】（2023秋•滨湖区期末）用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径等于（　　） A．3 B．5 C． D． 【思路点拨】用到的等量关系为：圆锥的弧长＝底面周长． 【规范解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2Rπ，半圆的弧长＝×2π×5＝2πR， ∴R＝． 故选：D． 【考点评析】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式，弧长公式求解． 【变式18-2】（2023秋•曲阳县期末）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是　15π　． 【思路点拨】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【规范解答】解：圆锥的侧面积＝•2π•3•5＝15π． 故答案为15π． 【考点评析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【考点题型十九】圆柱的计算 【精讲题】（2022秋•吴兴区期末）圆柱的底面半径为1cm，母线长为5cm，则该圆柱的侧面积为 　10π　cm2． 【思路点拨】根据已知中圆柱的底面半径为1cm，母线长为5cm，代入圆柱侧面积公式，可得答案． 【规范解答】解：∵圆柱的底面半径为1cm，母线长为5cm， ∴圆柱的侧面积S＝2πrl＝2π×1×5＝10πcm2， 故答案为：10π． 【考点评析】本题考查的知识点是圆柱的侧面积公式，难度不大，直接代入运算即可，属于基础题． 【变式19-1】（2022秋•衢州期末）已知圆柱的底面半径为2cm，母线长为3cm，则这个圆柱的全面积为 　20π　cm2． 【思路点拨】先求出圆柱的底面积与侧面积，再根据全面积等于两个底面与一个侧面的面积之和计算即可得解． 【规范解答】解：底面积＝πr2＝π•22＝4π（cm2）， 侧面积＝2πr•l＝2π×2×3＝12π（cm2）， 所以，圆柱的全面积＝2×4π+12π＝8π+12π＝20π（cm2）． 故答案为：20πcm2． 【考点评析】本题考查了几何体的表面积，认识立体图形并熟悉圆柱有两个底面和一个侧面是解题的关键． 【变式19-2】（2023秋•龙潭区期末）如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚，如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（　　） A．64πm2 B．72πm2 C．68πm2 D．80πm2 【思路点拨】由图可知，需要的塑料膜的面积应该是以大棚长为长，以半圆形截面的弧长为宽的矩形的面积，半圆形截面弧长为：2π，再加上前后两个半圆面积，进而得出塑料膜的面积． 【规范解答】解：∵半圆的直径为4m， ∴半径为2m， ∴塑料膜的面积＝2π×32+π×22＝68π（平方米）． 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了圆柱的有关计算，本题中半圆形截面的弧长就是塑料薄膜的一边，弄清了这点，计算薄膜的面积就容易多了． 期末真题拔高训练15题 1．（2023秋•阜平县期末）如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长PC为（　　） A．3 B．2 C． D． 【思路点拨】设钟表的中心为点O，连接BC，OD，根据题意可得：点O在BC上，∠DOC＝60°，然后利用圆周角定理可得∠DBC＝30°，再利用切线的性质可得∠BCP＝90°，最后在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【规范解答】解：设钟表的中心为点O，连接BC，OD， 由题意得：点O在BC上，∠DOC＝2×30°＝60°， ∴， ∵PC与⊙O相切于点C， ∴∠BCP＝90°， ∵， ∴， 故选：B． 【考点评析】本题考查了切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（2023秋•海沧区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）都在⊙M上，则原点O到⊙M上一点的最短距离为（　　） A．2﹣2 B．2 C．2 D．2+2 【思路点拨】分别作AB、BC的垂直平分线，其交点即为M点，进而求得圆的半径，从而求得原点O到⊙M上一点的最短距离为：2﹣2． 【规范解答】解：分别作AB、BC的垂直平分线，其交点即为M点，M点的坐标为（﹣2，0）， ∴OM＝2， ∵点A（0，4）， ∴AM＝＝2， 则原点O到⊙M上一点的最短距离为：2﹣2． 故选：A． 【考点评析】本题考查了坐标与图形性质，点和圆的位置关系，求得圆心的坐标是解题的关键． 3．（2023秋•金安区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣8，﹣4），则点N的坐标为（　　） A．（﹣5，﹣4） B．（﹣4，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣2，﹣4） 【思路点拨】作AB⊥MN于B，连结AM，如图，设⊙A的半径为r，先根据切线的性质得OA＝r，则点A的坐标为（﹣r，0），得到B点坐标为（﹣r，﹣4），然后在Rt△ABM中，根据勾股定理求得r＝5，据此求解即可． 【规范解答】解：作AB⊥MN于B，连结AM，如图，设⊙A的半径为r． ∵⊙A与y轴相切于原点O， ∴OA＝r， ∴点A的坐标为（﹣r，0）． ∵AB⊥MN， ∴BM＝BN． ∵MN∥x轴，M（﹣8，﹣4）， ∴B点坐标为（﹣r，﹣4）． 在Rt△ABM中，AB＝4，AM＝r，BM＝8﹣r． ∵AB2+BM2＝AM2， ∴42+（8﹣r）2＝r2， 解得：r＝5， ∴BM＝3， ∴BN＝3， ∴N点坐标为（﹣2，﹣4）． 故选：D． 【考点评析】本题考查了切线的性质，掌握坐标与图形的性质，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 4．（2023秋•滨湖区期末）若直线l与半径为6的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d为（　　） A．d＜6 B．d＝6 C．d＞6 D．d≤6 【思路点拨】根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得0≤d＜6． 【规范解答】解：∵⊙O的半径为6，直线L与⊙O相交， ∴圆心到直线的距离小于圆的半径， 即0≤d＜6． 故选：A． 【考点评析】此题考查直线和圆的位置关系，熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系．同时注意圆心到直线的距离应是非负数． 5．（2023秋•张掖期末）如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的直径为5，BC＝4，则AB的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．5 【思路点拨】根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，求出AD，再根据勾股定理求出AB即可． 【规范解答】解：连接OB， ∵AO⊥BC，AO过O，BC＝4， ∴BD＝CD＝2，∠BDO＝90°， 由勾股定理得：OD＝＝＝， ∴AD＝OA+OD＝+＝4， 在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝＝2， 故选：A． 【考点评析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键． 6．（2023秋•望奎县期末）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为 　或　cm． 【思路点拨】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【规范解答】解：连接AC，AO， ∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm， ∴AM＝AB＝×8＝4cm，OD＝OC＝5cm， 当C点位置如图1所示时， ∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB， ∴OM＝＝3cm， ∴CM＝OC+OM＝5+3＝8cm， ∴AC＝cm； 当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm， ∵OC＝5cm， ∴MC＝5﹣3＝2cm， 在Rt△AMC中，AC＝cm． 故答案为：或． 【考点评析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 7．（2023秋•石景山区期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝60°，PA＝6，则⊙O的半径为 　2　． 【思路点拨】连接OB，OP，由切线的性质定理得到OB⊥PB，由切线长定理推出PO平分∠APB，得到∠OPB＝∠APB＝30°，由锐角的正切求出OB＝PB•tan30°＝2，得到⊙O的半径是2． 【规范解答】解：连接OB，OP， ∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点， ∴OB⊥PB，PO平分∠APB， ∵∠APB＝60°， ∴∠OPB＝∠APB＝30°， ∵tanOPB＝tan30°＝， ∴OB＝PB•tan30°＝6×＝2． ∴⊙O的半径是2． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查切线的性质，切线长定理，解直角三角形，关键是由切线长定理推出∠OPB＝∠APB＝30°． 8．（2023秋•宣化区期末）如图，⊙O的半径为6，直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边与圆交于点B、C，则弦BC的长为 　6　． 【思路点拨】连接OC，OB，根据圆周角定理得出∠COB＝2∠BAC＝60°，继而得出△OCB是等边三角形，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接OC，OB， ∵弧BC＝弧BC，∠BAC＝30°， ∴∠COB＝2∠BAC＝60°， 又∵OC＝OB＝6， ∴△OCB是等边三角形， ∴BC＝6， 故答案为：6． 【考点评析】本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 9．（2021秋•乳山市期末）如图，AB为⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径长为　5　． 【思路点拨】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，再连接OA，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值即可． 【规范解答】解：∵⊙O的弦AB＝8，半径OD⊥AB， ∴AC＝AB＝×8＝4， 设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣CD＝r﹣2，连接OA， 在Rt△OAC中， OA2＝OC2+AC2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5． 故答案为：5． 【考点评析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 10．（2023秋•滨湖区期末）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝65°，则∠ACD＝　40　°． 【思路点拨】由圆内接四边形的性质求出∠ADC＝180°﹣∠ABC＝115°，由圆周角定理求出∠ACB＝90°，得出∠BAC＝25°，由弦切角定理得出∠MCA＝∠ABC＝65°，由三角形的外角性质得出∠DCM＝∠ADC﹣∠AMC＝25°，即可求出∠ACD的度数． 【规范解答】解：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝115°，∠BAC＝90°﹣∠ABC＝25°， ∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M， ∴∠MCA＝∠ABC＝65°，∠AMC＝90°， ∵∠ADC＝∠AMC+∠DCM， ∴∠DCM＝∠ADC﹣∠AMC＝25°， ∴∠ACD＝∠MCA﹣∠DCM＝65°﹣25°＝40°； 故答案为40． 【考点评析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键． 11．（2023秋•虞城县期末）如图，在⊙O中，AB，BC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为D，E，求证：四边形ODBE是正方形． 【思路点拨】先根据垂径定理，由OD⊥AB，OE⊥AC得到AD＝AB，BE＝BC，且∠BDO＝∠B＝∠OEB＝90°，加上∠DAE＝90°，则可判断四边形ODBE是矩形，由于AB＝AC，所以BD＝BE，于是可判断四边形ADOE是正方形． 【规范解答】证明：∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，AB⊥BC， ∴BD＝AB，BE＝BC，∠BDO＝∠B＝∠OEB＝90°， ∴四边形ODBE是矩形， ∵AB＝BC， ∴BD＝BE， ∴四边形ODBE是正方形． 【考点评析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了正方形的判定． 12．（2023秋•嘉兴期末）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水部分弓形的高为6cm． （1）求截面中弦AB的长； （2）求截面中有水部分弓形的面积． 【思路点拨】（1）连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，由于弓形的高为6cm可求出OE的长，在Rt△AOE中利用三角函数的定义可求出∠AOE＝60°，解直角三角形求得AE，进一步求得AB； （2）由垂径定理可知，∠AOE＝∠BOE，进而可求出∠AOB的度数，根据扇形及三角形的面积可求出弓形的面积． 【规范解答】解：连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E， ∵弓形的高为6cm，截面半径为12cm， ∴OE＝OD﹣DE＝12﹣6＝6cm， 在Rt△AOE中，OE＝OB＝6cm， ∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°， ∴AE＝OA＝×12＝6（cm）， ∴AB＝2AE＝12cm； （2）∵∠AOE＝60°， ∴∠AOB＝2∠AOE＝2×60°＝120°， ∴S弓形＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣12×6＝（）（cm2）． 【考点评析】本题考查的是垂径定理、解直角三角形、扇形及三角形的面积，根据题意画出图形是解答此题的关键． 13．（2023秋•盖州市期末）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．连接DE，且ED＝EC． （1）求证：AB＝AC； （2）若AB＝4，BC＝2．求CD的长． 【思路点拨】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠C，由圆内接四边形的性质得到∠EDC＝∠B，由此推得∠B＝∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论； （2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB＝AC，证明△CDE∽△CBA后即可求得CD的长． 【规范解答】（1）证明：∵ED＝EC， ∴∠EDC＝∠C， ∵∠EDC＝∠B，（∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B） ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC； （2）方法一： 解：连接AE， ∵AB为直径， ∴AE⊥BC， 由（1）知AB＝AC， ∴BE＝CE＝BC＝， ∵△CDE∽△CBA， ∴， ∴CE•CB＝CD•CA，AC＝AB＝4， ∴•2＝4CD， ∴CD＝． 方法二： 解：连接BD， ∵AB为直径， ∴BD⊥AC， 设CD＝a， 由（1）知AC＝AB＝4， 则AD＝4﹣a， 在Rt△ABD中，由勾股定理可得： BD2＝AB2﹣AD2＝42﹣（4﹣a）2 在Rt△CBD中，由勾股定理可得： BD2＝BC2﹣CD2＝（2）2﹣a2 ∴42﹣（4﹣a）2＝（2）2﹣a2 整理得：a＝， 即：CD＝． 【考点评析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 14．（2023秋•西峡县期末）如图，AB是⊙O的直径，D为AB上一点，C为⊙O上一点，且AD＝AC，延长CD交⊙O于E，连CB． （1）求证：∠CAB＝2∠BCD； （2）若∠BCE＝15°，AB＝6，求CE的长． 【思路点拨】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠ACD＝90°﹣∠BCD，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠A+90°﹣∠BCD+90°﹣∠BCD＝180°，从而得到结论； （2）连接OC、OE，如图，利用（1）的结论和圆周角定理得到∠A＝∠BOE＝30°，则∠COB＝60°，所以∠COE＝90°，然后利用勾股定理计算CE的长． 【规范解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠BCD， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， ∴∠A+90°﹣∠BCD+90°﹣∠BCD＝180°， ∴∠A＝2∠BCD； （2）解：连接OC、OE，如图， 由（1）得∠A＝2∠BCE＝2×15°＝30°， ∵∠BOE＝2∠BCE＝2×15°＝30°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A＝60°， ∵∠COE＝∠COB+∠BOE＝60°+30°＝90°， 而， ∴． 【考点评析】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，三角形外角的性质．熟练掌握圆周角定理及其推论是解题的关键． 15．（2023秋•北流市期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA． （1）求证：EA与⊙O相切； （2）若CE＝3，CF＝2，求⊙O的半径． 【思路点拨】（1）连接OC，则∠OCE＝90°，由D为中点可知EO⊥AC，则有CE＝AE，可得∠ECA＝∠EAC，且∠OCA＝∠OAC，利用角的和差可求得∠EAO＝90°，可知EA为切线； （2）连接BC，可证明△FBC∽△FCA，再由切线长定理可知CE＝AE，在Rt△AEF中可求得AF＝8，再利用线段的比可求得AB的长，可得半径． 【规范解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵EF为切线， ∴∠OCE＝90°， ∵D为AC中点， ∴OE⊥AC， ∴EC＝EA， ∴∠ECA＝∠EAC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠OAC+∠EAC＝∠OCA+∠ECA＝90°， 即∠EAO＝90°， ∴EA为⊙O的切线； （2）解：连接BC， ∵AB为直径， ∴∠BCA＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵EF为切线， ∴∠BCF+∠BCO＝90°，且∠BCO＝∠CBA， ∴∠BCF＝∠CAF， ∴△BCF∽△CAF， ∴， 由（1）知EA为⊙O切线，则EA＝EC＝3，EF＝EC+FC＝5， 在Rt△AEF中，可求得AF＝4， ∴，解得BF＝1， ∴AB＝AF﹣BF＝3， ∴⊙O的半径为． 【考点评析】本题主要考查切线的判定和性质及相似三角形的判定和性质，在（2）中利用相似求得BF的长是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$