清单02 解直角三角形（知识梳理+11个题型解读+真题拔高15题）（期末复习知识清单）九年级数学上学期青岛版

清单02 解直角三角形 （知识梳理+11个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】锐角三角函数的定义 3 【考点题型二】锐角三角函数的增减性 4 【考点题型三】同角三角函数的关系 5 【考点题型四】互余两角三角函数的关系 7 【考点题型五】特殊角的三角函数值 8 【考点题型六】计算器—三角函数 9 【考点题型七】解直角三角形 10 【考点题型八】解直角三角形的应用 12 【考点题型九】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 14 【考点题型十】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 16 【考点题型十一】解直角三角形的应用-方向角问题 18 期末真题拔高训练15题 20 知识点01：三角函数的定义 在Rt△ABC中,∠C=90°,以∠A为例： 锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比 知识点02：特殊角的三角函数． 知识点03：锐角α的有关规律 （1）三角比的增减性： 正弦：锐角α的正弦值随着度数的增大而增大； 余弦：锐角α的余弦值随着度数的增大而减小； 正切：锐角α的正切值随着度数的增大而增大。 （2）三角比的取值范围： 当0°<α<90°时，0<sinα<1；0<cosα<1；tanα>o （3）互为余角的三角比的关系： 若α+β=90°，则sinα=cosβ,cosα=sinβ （4）同角的三角比的关系： 知识点04：什么叫做解直角三角形？ 在直角三角形中，由已知的元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 知识点05：解直角三角形的主要依据: （1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °； （2） 边之间的关系： a2＋b2＝c2 ; （3） 边角之间的关系： 知识点06：解直角三角形的类型: ①两条边 ②一边一角 知识点07：当三角形不是直角三角形时，怎么办呢？ 当三角形不是直角三角形时，作一边上的高，把斜三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形． 化“未知”为“已知”． 知识点08：解直角三角形应用的解题思路： 先把实际问题中的边和角首先转化到图形（特别是三角形）中，然后再利用解直角三角形的方法思路解答。 知识点09：解直角三角形应用的类型： （1）仰角、俯角 （2）方位角 （3）坡度、坡角 （4）其它应用 【考点题型一】锐角三角函数的定义 【精讲题】（2023秋•鹿邑县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可． 【规范解答】解：如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴tanA＝＝． 故选：B． 【考点评析】此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键． 【变式1-1】（2024•闵行区）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tanB＝2，BC＝2，那么AC＝　4　． 【思路点拨】利用正切的定义计算即可． 【规范解答】解：∵tanB＝＝2， ∴AC＝2BC， ∵BC＝2， ∴AC＝4， 故答案为：4． 【考点评析】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握并灵活运用各锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式1-2】（2022秋•代县期末）在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 【思路点拨】根据正弦、正切的定义计算，判断即可． 【规范解答】解：A、sinB＝， 则b＝csinB，本选项说法错误； B、b＝csinB，本选项说法正确； C、tanB＝， 则b＝atanB，本选项说法错误； D、b＝atanB，本选项说法错误； 故选：B． 【考点评析】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握正弦、正切的定义是解题的关键． 【考点题型二】锐角三角函数的增减性 【精讲题】（2023秋•宁国市期末）已知，则锐角α的取值范围是 　30°＜α＜45°　． 【思路点拨】α为锐角时，cosα随α的增大而减小，而cos45°＜cosα＜cos30°，即可得到答案． 【规范解答】解：∵cos30°＝，cos45°＝，cos＝， ∴cos45°＜cosα＜cos30°， ∵α为锐角时，cosα随α的增大而减小， ∴30°＜α＜45°． 故答案为：30°＜α＜45°． 【考点评析】本题考查锐角三角函数的增减性，关键是掌握α为锐角时，cosα随α的增大而减小． 【变式2-1】（2022秋•榕城区期末）比较大小：sin40°　＝　cos50°（填“＞”、“＜”或“＝”） 【思路点拨】直接利用锐角三角函数关系得出答案． 【规范解答】解：∵cos50°＝sin（90°﹣50°）＝sin40°， ∴sin40°＝cos50°． 故答案为：＝． 【考点评析】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确转换正余弦关系是解题关键． 【变式2-2】（2023秋•福山区期末）若∠A是锐角，且sinA＝，则（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【思路点拨】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），据此可得结论． 【规范解答】解：∵∠A是锐角，且sinA＝＜＝sin30°， ∴0°＜∠A＜30°， 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 【考点题型三】同角三角函数的关系 【精讲题】（2023秋•榆阳区校级期末）已知∠A是锐角，，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据三角函数的定义即可求解． 【规范解答】解：如图所示： ∵， 设BC＝3a，AB＝5a， 则， ∴cosA＝． 故选：B． 【考点评析】本题考查了求角的余弦值，关键是根据题意作出直角三角形． 【变式3-1】（2023秋•阳谷县期末）已知∠A为锐角，cosA＝，则tanA的值为（　　） A． B．2 C． D． 【思路点拨】由锐角的余弦定义得到cosA＝＝，令AC＝x，AB＝3x，由勾股定理得到BC＝＝2x，由锐角的正切定义即可求出tanA＝2． 【规范解答】解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵cosA＝＝， ∴令AC＝x，AB＝3x， ∴BC＝＝2x， ∴tanA＝＝＝2． 故选：B． 【考点评析】本题考查同角三角函数的关系，关键是掌握锐角的余弦，正切定义． 【变式3-2】（2023秋•临泉县期末）如果β是锐角，且tanβ＝，那么sinβ的值是 　　． 【思路点拨】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝β，根据已知可设AC＝3x，则BC＝4x，从而利用勾股定理求出AB的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【规范解答】解：如图： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝β， ∴tanβ＝＝， ∴设AC＝3x，则BC＝4x， ∴AB＝＝＝5x， ∴sinβ＝＝＝， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【考点题型四】互余两角三角函数的关系 【精讲题】（2023秋•渌口区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知，那么cosB的值是 　　． 【思路点拨】根据锐角三角函数的定义得出cosB＝sinA即可． 【规范解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴cosB＝＝， 故答案为：． 【考点评析】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义以及互余两角三角函数的关系是正确解答的前提． 【变式4-1】（2023秋•滁州期末）已知锐角α满足cosα＝sin55°，则α＝　35　°． 【思路点拨】根据题意利用正弦余弦等值则角度互余，即可得到本题答案． 【规范解答】解：∵cosα＝sin55°， ∴α+55°＝90°，即：α＝35°， 故答案为：35． 【考点评析】本题考查正弦余弦关系，掌握互余两角的正弦余弦关系是解题关键． 【变式4-2】（2023秋•新蔡县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先利用正弦定义得到sinB＝＝，则可设AC＝3x，AB＝5x，利用勾股定理计算出BC＝4x，然后根据正切的定义求解． 【规范解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝＝， ∴设AC＝3x，AB＝5x， ∴BC＝＝＝4x， ∴tanA＝＝＝． 故选：A． 【考点评析】本题考查了互余两角三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．也考查了锐角三角函数的定义． 【考点题型五】特殊角的三角函数值 【精讲题】（2023秋•宁明县期末）已知，则∠A＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【思路点拨】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【规范解答】解：由题意，得∠A＝60°， 故选：C． 【考点评析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【变式5-1】（2023秋•攸县期末）△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【思路点拨】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案． 【规范解答】解：∵sinA＝，cosB＝， ∴∠A＝45°，∠B＝60°， ∴∠C＝75°， ∴△ABC的形状是锐角三角形． 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 【变式5-2】（2023秋•杜尔伯特县期末）已知：tan（α﹣30°）＝1，则锐角∠α的度数为　75°　． 【思路点拨】直接利用特殊角的三角函数值得出答案． 【规范解答】解：∵tan（α﹣30°）＝1， ∴α﹣30°＝45°， ∴锐角∠α的度数为75°． 故答案为：75°． 【考点评析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 【考点题型六】计算器—三角函数 【精讲题】（2023秋•牟平区期末）利用科学计算器计算cos35°，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果． 【规范解答】解：利用该型号计算器计算 ，按键顺序正确的是： 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了计算器﹣三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣． 【变式6-1】（2022秋•牟平区期末）已知sinA＝0.8917，运用科学计算器求锐角A时，若要显示以“度”、“分”、“秒”为单位的结果，按下的键是（　　） A．sin﹣1 B．2ndF C．DMS D．ab/c 【思路点拨】根据用计算器求锐角的方法和步骤，即可得出结论． 【规范解答】解：科学计算器求锐角A时，若要显示以“度”“分”“秒”为单位的结果，按下的键是“DMS”， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了用计算器求三角函数，解题的关键是熟练利用计算器． 【变式6-2】（2023秋•宝丰县期末）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据计算器计算的输入顺序计算即可． 【规范解答】解：根据科学计算器计算知，计算按键顺序为： 故选：A． 【考点评析】本题主要考查用计算器计算的知识，熟练掌握科学计算器的使用方法是解题的关键． 【考点题型七】解直角三角形 【精讲题】（2022秋•天元区校级期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（　　） A．6 B．7.5 C．8 D．12.5 【思路点拨】根据正弦值的定义解决此题． 【规范解答】解：如图． ∵∠C＝90°，AB＝8，sinA＝， ∴sinA＝． ∴BC＝6． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查正弦值的定义，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键． 【变式7-1】（2023秋•海安市期末）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 【思路点拨】根据勾股定理可以得到AC、BC、AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到△ABC的形状，从而可以求得图中∠ABC的正切值． 【规范解答】解：由图可得， BC＝＝，AC＝＝2，AB＝＝5， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴tan∠ABC＝＝＝2， 故选：A． 【考点评析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是判断出△ABC的形状，利用数形结合的思想解答． 【变式7-2】（2023秋•东台市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，∠A＝α，易知，小明同学想求tan2α的值，他在AC上取点D，使得BD＝AD，则tan2α＝　　． 【思路点拨】令CD＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，得到BD＝AD＝8﹣x，由勾股定理得到（8﹣x）2＝x2+42，求出x＝3，得到CD＝3，由三角形外角的性质得到∠CDB＝∠A+∠ABD＝2α，由锐角的正切定义求出tan2α＝＝． 【规范解答】解：令CD＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x， ∴BD＝AD＝8﹣x， ∵∠C＝90°， ∴BD2＝CD2+BC2， ∴（8﹣x）2＝x2+42， ∴x＝3， ∴CD＝3， ∵AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝α， ∴∠CDB＝∠A+∠ABD＝2α ∴tan2α＝＝． 故答案为：． 【考点评析】本题考查解直角三角形，关键是由勾股定理列出关于x的方程，掌握锐角的正切定义． 【考点题型八】解直角三角形的应用 【精讲题】（2023秋•百色期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为 　11.2　cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） 【思路点拨】先利用等腰三角形的三线合一性质可得BD＝22cm，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【规范解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝BC＝22（cm）， 在Rt△ABD中，∠ABC＝27°， ∴AD＝BD•tan27°≈22×0.51≈11.2（cm）， ∴高AD约为11.2cm， 故答案为：11.2． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式8-1】（2022秋•埇桥区期末）课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是 　8　米．（结果保留根号） 【思路点拨】直接利用锐角三角函数关系得出tan30°＝，求出即可． 【规范解答】解：由题意可得出： tan30°＝， 则AB＝BCtan30°＝24×＝8（m）， 故答案为：8． 【考点评析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键． 【变式8-2】（2023秋•宝山区期末）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是（　　） A．50sin24°米 B．50cos24°米 C．米 D．米 【思路点拨】根据图形和锐角三角函数，可以表示出BC的值． 【规范解答】解：∵∠BCA＝90°，AB＝50m，∠A＝24°， ∴sinA＝， ∴BC＝50sinA＝50sin24°（米）， 故选：A． 【考点评析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【考点题型九】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【精讲题】（2023秋•东辽县期末）已知，斜坡的坡度i＝1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（　　） A．20米 B．20米 C．40米 D．米 【思路点拨】设小明上升的距离x米，根据坡度的概念用x表示出小明行走的水平距离，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【规范解答】解：设小明上升的距离x米， ∵斜坡的坡度i＝1：2， ∴小明行走的水平距离2x米， 由勾股定理得：x2+（2x）2＝1002， 解得：x＝20（负值舍去）， 则小明上升的距离是20米， 故选：A． 【考点评析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 【变式9-1】（2023秋•裕华区校级期末）如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（　　）米． A． B． C．200cos20° D．200sin20° 【思路点拨】根据正弦的定义进行解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴AB＝AC•sin∠C＝200sin20°， 故选：D． 【考点评析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式9-2】（2024春•郴州期末）如图是南通八佰伴商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是10m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是　5m　． 【思路点拨】过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM＝30°，根据BC＝10m，利用三角函数的知识解直角三角形即可． 【规范解答】解：过C作CM⊥AB于M， ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBM＝180°﹣150°＝30°， 在Rt△CBM中， ∵BC＝10m，∠CBM＝30°， ∴＝sin∠CBM＝sin30°＝， ∴CM＝BC＝5m， 即从点B到点C上升的高度h是5m． 故答案为：5m． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角建立直角三角形，利用三角函数解直角三角形． 【考点题型十】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【精讲题】（2023秋•香坊区期末）如图，AC是操场上直立的一根旗杆，旗杆AC上有一点B，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的D点到B点的仰角∠BDC＝45°，到A点的仰角∠ADC＝60°，若BC＝3米，则旗杆的高度AC＝　3　米． 【思路点拨】在Rt△BDC中，根据∠BDC＝45°，求出DC＝BC＝3米，在Rt△ADC中，根据∠ADC＝60°即可求出AC的高度． 【规范解答】解：在Rt△BDC中， ∵∠BDC＝45°， ∴DC＝BC＝3米， 在Rt△ADC中， ∵∠ADC＝60°， ∴AC＝DCtan60°＝3×＝3（米）． 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形，解直角三角形，难度一般． 【变式10-1】（2023秋•泰山区期末）泰安某公园内有一塔亭，某课外实践小组为测量该塔亭的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝12m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知测角仪DA的高度为1.5m，则该塔亭BC的高度为 　（6）　m．（保留根号） 【思路点拨】求出∠DBF＝30°，由直角三角形的性质求出BG的长，则可得出答案． 【规范解答】解：∵AE＝12m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°， ∴∠DBF＝30°， ∴AE＝DF＝BF＝12m， ∴（m）， ∵DA的高度为1.5m， ∴， 故答案为：（）． 【考点评析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式10-2】（2023秋•五华区校级期末）如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为32°，若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆AB的长可表示为（　　） A．米 B．米 C．2a•tan32°米 D．2a•cos32°米 【思路点拨】利用32°的正切值表示出BC，利用中点定义可得到所求的线段的长． 【规范解答】解：在Rt△BDC中， ∵∠CDB＝32°，BD＝a米， ∴BC＝BD•tan32°＝a•tan32°， ∵点C是AB的中点， ∴AB＝2BC＝2a•tan32°米， 故电线杆AB的长可表示为2a•tan32°米， 故选：C． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键． 【考点题型十一】解直角三角形的应用-方向角问题 【精讲题】（2022秋•青浦区校级期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（　　） A．10海里 B．5海里 C．5海里 D．海里 【思路点拨】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，根据三角函数的定义即可得到结论． 【规范解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里， ∴AC＝BC•tan60°＝5（海里）， 即海监船C与货轮A的距离是5海里， 故选：B． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形并求解． 【变式11-1】（2023秋•秦州区期末）如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　） A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里 【思路点拨】作CE⊥AB交AB 的延长线于E，根据三角形的外角性质求出∠ACB＝30°，得到BC＝AB＝12，根据正弦的定义列式计算即可． 【规范解答】解：作CE⊥AB交AB 的延长线于E， 由题意得，AB＝24×＝12，∠CBE＝60°，∠CAE＝30°， ∴∠ACB＝30°， ∴∠CAE＝∠ACB， ∴BC＝AB＝12， 在Rt△CBE中，sin∠CBE＝， ∴CE＝BC×sin∠CBE＝12×＝6（海里）， 故选：B． 【考点评析】本题考查的是直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式11-2】（2023秋•右玉县期末）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝　7　海里． 【思路点拨】过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求的∠PBD的度数是30度，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解． 【规范解答】解：过P作PD⊥AB于点D． ∵∠PBD＝90°﹣60°＝30° 且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15° ∴∠PAB＝∠APB ∴BP＝AB＝7（海里） 故答案为：7． 【考点评析】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．正确证明△APB是等腰三角形是解决本题的关键． 期末真题拔高训练15题 1．（2024•闵行区）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，那么cosA的值是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据直角三角形中余弦的定义cosA＝计算即可． 【规范解答】解：根据题意，得cosA＝＝， 故选：B． 【考点评析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中计算锐角三角函数的方法是本题的关键． 2．（2023秋•泉州期末）在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠BAD＝，tan∠CAD＝，则∠BAC的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【思路点拨】根据题意画出图形即可解决问题． 【规范解答】解：△ABC如图所示， ∵tan∠BAD＝，tan∠CAD＝， 则令AD＝x， ∴BD＝，CD＝． 在Rt△ABD中， AB＝， 同理可得，AC＝． 过点C作AB的垂线，垂足为E， 则， ∴CE＝． 在Rt△ACE中， sin∠BAC＝， ∴∠BAC＝45°． 故选：B． 【考点评析】本题考查解直角三角形，能根据题意画出草图及熟知特殊角的三角函数值是解题的关键． 3．（2023秋•福山区期末）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】过点A作BC的垂线，构造直角三角形即可解决问题． 【规范解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中， AB＝， cos∠B＝． 故选：B． 【考点评析】本题考查解直角三角形，熟知余弦的定义是解题的关键． 4．（2023秋•张掖期末）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】如图，取格点E，连接CE．构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可． 【规范解答】解：如图，取格点E，连接CE． 由题意：∠BEC＝90°，BE＝EC＝，BC＝2， ∴cosB＝＝， 故选：C． 【考点评析】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． 5．（2023秋•赤坎区校级期末）如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（　　） A．1 B． C． D． 【思路点拨】利用网格特点得到∠ACB＝90°，然后利用正切的定义求解． 【规范解答】解：由图得：BC＝4，AC＝3，∠ACB＝90°， ∴， 故选：C． 【考点评析】本题考查了解直角三角形，解决本题的关键是掌握正切的定义． 6．（2023秋•常宁市期末）若α，β均为锐角，且|sinα﹣|+（﹣tanβ）2＝0，则α+β＝　90　°． 【思路点拨】根据特殊角的三角函数值、绝对值的非负性、偶次方的非负性解决此题． 【规范解答】解：∵|sinα﹣|≥0，（﹣tanβ）2≥0， ∴当|sinα﹣|+（﹣tanβ）2＝0，则sinα＝，tanβ＝． 又∵α，β均为锐角， ∴α＝30°，β＝60°． ∴α+β＝30°+60°＝90°． 故答案为：90． 【考点评析】本题主要考查特殊角的三角函数值、绝对值的非负性、偶次方的非负性，熟练掌握特殊角的三角函数值、绝对值的非负性、偶次方的非负性是解决本题的关键． 7．（2023秋•扶绥县期末）如图，在△ABC中，，点D在边AB上．若AD＝AC，则tan∠BCD的值为 　　． 【思路点拨】过D作DH⊥BC于H，sinB＝＝，令AC＝3x，BC＝5x，由勾股定理得AB＝＝4x，求出BD＝AB﹣AD＝x，由锐角的正弦求出DH＝x，由勾股定理得BH＝＝x，求出CH＝BC﹣BH＝x，由锐角的正切即可求出tan∠BCD＝＝． 【规范解答】解：过D作DH⊥BC于H， ∵∠A＝90°， ∴sinB＝＝， ∴令AC＝3x，BC＝5x， ∴AB＝＝4x， ∵AD＝AC＝3x， ∴BD＝AB﹣AD＝x， ∵sinB＝＝， ∴DH＝x， ∴BH＝＝x， ∴CH＝BC﹣BH＝x， ∴tan∠BCD＝＝． 【考点评析】本题考查解直角三角形，关键是过D作DH⊥BC于H，构造直角三角形． 8．（2018秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cosB＝，则＝　　． 【思路点拨】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，设BD＝5x，AB＝13x，根据勾股定理得到AD＝＝12x，求得BC＝2BD＝10x，根据相似三角形的性质得到BE＝x，CE＝x，于是得到结论． 【规范解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵cosB＝＝， 设BD＝5x，AB＝13x， ∴AD＝＝12x， ∴BC＝2BD＝10x， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBE， ∴， ∴＝， ∴BE＝x，CE＝x， ∴＝＝＝， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 9．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是线段AC上的动点，设∠BDC＝α，∠BAC＝β，有以下说法： ①当0°＜β＜α＜90°时，tanα＞tanβ． ②当0°＜β＜α＜90°时，cosα＞cosβ． ③D为AC中点时，sin∠DBA＝． ④BD平分∠CBA时，tanβ＝2tanα． 其中，正确的是 　①　．（填序号） 【思路点拨】结合图形可知α＞β，利用正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，即可判断①和②，要求sin∠DBA的值，想到构造直角三角形，所以过点D作DE⊥AB，垂足为E，利用面积法先求出DE的长，然后在Rt△BDE中进行计算，即可判断③，根据④BD平分∠CBA时，想到角平分线的性质定理，所以过点D作DF⊥AB，垂足为F，利用面积法求出DF的长，最后求出tanα与tanβ即可判断④． 【规范解答】解：∵∠BDC是△BAD的外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠BDC＞∠A， 即α＞β， 当0°＜β＜α＜90°时，tanα＞tanβ， 故①正确； 当0°＜β＜α＜90°时，cosα＜cosβ， 故②错误； ∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB＝＝＝5， 过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵D为AC中点时， ∴CD＝AD＝AC＝2， ∴BD＝＝＝， ∵△ABC的面积＝△BCD的面积+△BDA的面积， ∴AC•BC＝CD•BC+AB•DE， ∴3×4＝2×3+5DE， ∴DE＝， 在Rt△BDE中，sin∠DBA＝＝＝， 故③错误； 过点D作DF⊥AB，垂足为F， ∵BD平分∠CBA，DF⊥AB，DC⊥BC， ∴DC＝DF， ∵△ABC的面积＝△BCD的面积+△BDA的面积， ∴AC•BC＝CD•BC+AB•DF， ∴3×4＝3DC+5DF， ∴8DC＝12， ∴DC＝， 在Rt△BCD中，tan∠BDC＝tanα＝＝＝2， 在Rt△BCA中，tan∠BAC＝tanβ＝＝， ∴tanβ≠2tanα， 故④错误； 所以，正确的是：①， 故答案为：①． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质，解直角三角形，锐角三角函数的增减性，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 10．（2021秋•庐阳区期末）如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，则tan∠BAC＝　2　． 【思路点拨】连接BC，根据勾股定理求出AC、BC、AB长，根据勾股定理的逆定理得出△ACB是直角三角形，再解直角三角形求出答案即可． 【规范解答】解：连接BC， ∵AC2＝22+12＝4+1＝5，BC2＝22+42＝4+16＝20，AB2＝32+42＝9+16＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ACB是直角三角形（∠ACB＝90°）， ∴tan∠BAC＝＝＝＝＝2， 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识点，能根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形是解此题的关键． 11．（2022秋•宣城期末）居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，∠AOB＝120°，OA＝OB＝40cm；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'，并将显示屏OB旋转到O'B'的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知B'、O'、C三点在一条直线上，且B'C⊥AC，∠O'AC＝37°（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）． （1）求散热架ACO'底边AC的长； （2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？ 【思路点拨】（1）利用AC＝AO'cos∠O'AC计算即可； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，先计算BD，再解△O'AC，计算O′C＝AO′sin37°，得到B′C＝O′B+O′C，再计算B'C﹣BD即可得解． 【规范解答】解：（1）∵O′C⊥AC， ∴∠ACO′＝90°， ∵∠CAO′＝37°，cos37°≈0.8， ∴AC≈0.8AO′＝0.8×40＝32（cm）， 答：AC的长约为32cm； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BOD＝60°， ∴∠OBD＝30°， ∴， ∴， ∵O′C⊥OA，∠CAO′＝37°， ∴O′C＝AO′sin37°≈40×0.6＝24（cm）， ∴B′C＝O′B+O′C≈40+24＝64（cm）， 因为64﹣34.6＝29.4（cm）． 所以显示屏顶部B′比原来升高了约29.4cm． 【考点评析】本题主要考查解直角三角形的应用，结合图形，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 12．（2023春•宁阳县期末）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）． （1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度； （2）求大树AB的高度（结果保留根号）． 【思路点拨】（1）作DG⊥CE于G，解Rt△CDG，即可求出DG； （2）过点D作DH⊥AB于点H，设AB＝x m米，用含x的代数式表示出AH、DH，根据列出方程，解方程得到答案． 【规范解答】解：（1）过点D作DG⊥BE于点G． 由题意知i＝1：3， ∴CG＝3DG． 又CD＝4，， 即DG2+9DG2＝160， ∴DG＝4米． 答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为4米． （2）过点D作DH⊥AB于点H， ∵DG＝4，CG＝3DG ∴CG＝3×4＝12（ m）． 设大树高为x m． ∵∠ACB＝45°， ∴CB＝AB＝x m，DH＝BG＝BC+CG＝（x+12）m，AH＝AB﹣DG＝（x﹣4）m． 又∠ADH＝30°， ∴，即，解得． 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：大树AB的高度是． 【考点评析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度比问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念、坡度比的概念． 13．（2023秋•舒城县期末）如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A处（点G、A、C在同一水平线上）测得大树顶端B的仰角为45°，沿着坡度的斜坡AE走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为31°，点A、B、C、D在同一平面内． （1）填空：∠EAG＝　30　°，∠ADB＝　61　°； （2）求斜坡上点D到AG的距离； （3）求大树BC的高度（结果精确到0.1米．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，，） 【思路点拨】（1）由坡度可求∠EAG，由平行线的性质和已知条件可求∠ADB； （2）过D向AG作垂线，利用锐角三角函数进行求解； （3）设BC＝x，求出，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解． 【规范解答】解：（1）如图所示，作DF⊥AG、DH⊥BC ∵ ∴ ∴∠EAG＝30° ∵DH∥CG ∴∠ADB＝∠ADH+∠BDH＝30°+31°＝61° 故答案为：30，61； （2）在Rt△AFD中，∠DAF＝30°，AD＝6， DF＝AD⋅sin30°＝3， 答：点D到AG的距离为3米． 故答案为：3米； （3）由图可知，四边形DFCH是矩形， ∴CH＝DF＝3 设BC＝x，则BH＝BC﹣CH＝x﹣3， 在Rt△ACB中，∵∠BAC＝45°， ∴AC＝BC⋅tan45°＝x； 在Rt△AFD中， ∴； 在Rt△BHD中，， ∴， 解得， 答：大树BC的高度约为15.3米． 故答案为：15.3米． 【考点评析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握斜坡的坡度即是正切值，利用锐角三角函数列方程求解． 14．（2023秋•沙坪坝区校级期末）小明从家A步行前往公园E，已知点E在点A的正东方向，但是由于AE道路施工，小明先沿正北方向走了400米到达B处，再从B处沿北偏东60°方向行走400米到达C处，从C处沿正东方向走了300米到达D处，在D处休息了6分钟，最终沿D﹣E方向到达E处，已知点E在点D的南偏东45°方向．小明从家出发的同时，爷爷从家选择另一路线A﹣F﹣E步行前往E处，已知点F在点A的南偏东60°方向，且点F在点E的正南方向．（参考数据：，） （1）求AE的长度（结果精确到1米）； （2）已知小明步行速度为80米/分钟，爷爷步行速度为70米/分钟，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？ 【思路点拨】（1）通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出CP，DN、DE，进而求出AE即可； （2）分别求出小明、爷爷所走的路程，再根据速度、路程、时间的关系求出他们所用的时间即可． 【规范解答】解：（1）如图，由题意可知，AB＝BC＝400米，CD＝300米，∠PBC＝60°，∠FAE＝90°﹣30°＝60°，∠NDE＝45°， 在Rt△PBC中，BC＝400米，∠PBC＝60°， ∴PB＝BC＝200（米），PC＝BC＝200（米）， ∴AP＝CM＝DN＝400+200＝600（米）， 在Rt△DEN中，∠NDE＝45°， ∴DN＝NE＝600米， ∴AE＝AM+MN+NE ＝200+300+600 ＝200+900 ≈1246（米）， 答：AE的长约为1246米； （2）在Rt△DEN中，∠NDE＝45°，DN＝NE＝600米， ∴DE＝DN＝600（米）， 在Rt△AEF中，∠EAF＝30°，AE＝（200+900）米， ∴EF＝AE＝（200+300）米，AF＝2EF＝（400+600）米， 所以小明所走的总路程为AB+BC+CD+DE＝400+400+300+600≈1948.4（米），所用的时间为1948.4÷80+6≈30.4（分）， 爷爷所走的总路程为AF+EF＝600+900≈2158.8（米），所用的时间为2158.8÷70≈30.84（分）， 由于30.4＜30.84， 所以小明先到公园． 【考点评析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 15．（2022秋•万州区校级期末）为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD＝135°，通道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度i＝1：． （1）求通道斜面AB的长； （2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．（答案均精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈2.24，≈2.45） 【思路点拨】（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，解Rt△CMD，得出DM＝CM＝CD＝3，则AN＝DM＝3，再解Rt△ANB，由通道斜面AB的坡度i＝1：，得出BN＝AN＝6，然后根据勾股定理求出AB； （2）先解Rt△MED，求出EM＝DM＝3，那么EC＝EM﹣CM＝3﹣3，再根据BE＝BC﹣EC即可求解． 【规范解答】解：（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M， ∵∠BCD＝135°， ∴∠DCM＝45°． ∵在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，CD＝6， ∴DM＝CM＝CD＝3， ∴AN＝DM＝3， ∵通道斜面AB的坡度i＝1：， ∴tan∠ABN＝＝， ∴BN＝AN＝6， ∴AB＝＝3≈7.4． 即通道斜面AB的长约为7.4米； （2）∵在Rt△MED中，∠EMD＝90°，∠DEM＝30°，DM＝3， ∴EM＝DM＝3， ∴EC＝EM﹣CM＝3﹣3， ∴BE＝BC﹣EC＝8﹣（3﹣3）＝8+3﹣3≈4.9． 即此时BE的长约为4.9米． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 解直角三角形 （知识梳理+11个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】锐角三角函数的定义 3 【考点题型二】锐角三角函数的增减性 4 【考点题型三】同角三角函数的关系 4 【考点题型四】互余两角三角函数的关系 4 【考点题型五】特殊角的三角函数值 4 【考点题型六】计算器—三角函数 5 【考点题型七】解直角三角形 5 【考点题型八】解直角三角形的应用 6 【考点题型九】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 7 【考点题型十】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 8 【考点题型十一】解直角三角形的应用-方向角问题 9 期末真题拔高训练15题 9 知识点01：三角函数的定义 在Rt△ABC中,∠C=90°,以∠A为例： 锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比 知识点02：特殊角的三角函数． 知识点03：锐角α的有关规律 （1）三角比的增减性： 正弦：锐角α的正弦值随着度数的增大而增大； 余弦：锐角α的余弦值随着度数的增大而减小； 正切：锐角α的正切值随着度数的增大而增大。 （2）三角比的取值范围： 当0°<α<90°时，0<sinα<1；0<cosα<1；tanα>o （3）互为余角的三角比的关系： 若α+β=90°，则sinα=cosβ,cosα=sinβ （4）同角的三角比的关系： 知识点04：什么叫做解直角三角形？ 在直角三角形中，由已知的元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 知识点05：解直角三角形的主要依据: （1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °； （2） 边之间的关系： a2＋b2＝c2 ; （3） 边角之间的关系： 知识点06：解直角三角形的类型: ①两条边 ②一边一角 知识点07：当三角形不是直角三角形时，怎么办呢？ 当三角形不是直角三角形时，作一边上的高，把斜三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形． 化“未知”为“已知”． 知识点08：解直角三角形应用的解题思路： 先把实际问题中的边和角首先转化到图形（特别是三角形）中，然后再利用解直角三角形的方法思路解答。 知识点09：解直角三角形应用的类型： （1）仰角、俯角 （2）方位角 （3）坡度、坡角 （4）其它应用 【考点题型一】锐角三角函数的定义 【精讲题】（2023秋•鹿邑县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024•闵行区）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tanB＝2，BC＝2，那么AC＝　 　． 【变式1-2】（2022秋•代县期末）在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 【考点题型二】锐角三角函数的增减性 【精讲题】（2023秋•宁国市期末）已知，则锐角α的取值范围是 　 　． 【变式2-1】（2022秋•榕城区期末）比较大小：sin40°　 　cos50°（填“＞”、“＜”或“＝”） 【变式2-2】（2023秋•福山区期末）若∠A是锐角，且sinA＝，则（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【考点题型三】同角三角函数的关系 【精讲题】（2023秋•榆阳区校级期末）已知∠A是锐角，，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023秋•阳谷县期末）已知∠A为锐角，cosA＝，则tanA的值为（　　） A． B．2 C． D． 【变式3-2】（2023秋•临泉县期末）如果β是锐角，且tanβ＝，那么sinβ的值是 　　． 【考点题型四】互余两角三角函数的关系 【精讲题】（2023秋•渌口区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知，那么cosB的值是 　　． 【变式4-1】（2023秋•滁州期末）已知锐角α满足cosα＝sin55°，则α＝　 　°． 【变式4-2】（2023秋•新蔡县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【考点题型五】特殊角的三角函数值 【精讲题】（2023秋•宁明县期末）已知，则∠A＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式5-1】（2023秋•攸县期末）△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【变式5-2】（2023秋•杜尔伯特县期末）已知：tan（α﹣30°）＝1，则锐角∠α的度数为　 　． 【考点题型六】计算器—三角函数 【精讲题】（2023秋•牟平区期末）利用科学计算器计算cos35°，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（2022秋•牟平区期末）已知sinA＝0.8917，运用科学计算器求锐角A时，若要显示以“度”、“分”、“秒”为单位的结果，按下的键是（　　） A．sin﹣1 B．2ndF C．DMS D．ab/c 【变式6-2】（2023秋•宝丰县期末）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型七】解直角三角形 【精讲题】（2022秋•天元区校级期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（　　） A．6 B．7.5 C．8 D．12.5 【变式7-1】（2023秋•海安市期末）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 【变式7-2】（2023秋•东台市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，∠A＝α，易知，小明同学想求tan2α的值，他在AC上取点D，使得BD＝AD，则tan2α＝　　． 【考点题型八】解直角三角形的应用 【精讲题】（2023秋•百色期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为 　11.2　cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） 【变式8-1】（2022秋•埇桥区期末）课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是 　　米．（结果保留根号） 【变式8-2】（2023秋•宝山区期末）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是（　　） A．50sin24°米 B．50cos24°米 C．米 D．米 【考点题型九】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【精讲题】（2023秋•东辽县期末）已知，斜坡的坡度i＝1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（　　） A．20米 B．20米 C．40米 D．米 【变式9-1】（2023秋•裕华区校级期末）如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（　　）米． A． B． C．200cos20° D．200sin20° 【变式9-2】（2024春•郴州期末）如图是南通八佰伴商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是10m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是　 　． 【考点题型十】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【精讲题】（2023秋•香坊区期末）如图，AC是操场上直立的一根旗杆，旗杆AC上有一点B，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的D点到B点的仰角∠BDC＝45°，到A点的仰角∠ADC＝60°，若BC＝3米，则旗杆的高度AC＝　　米． 【变式10-1】（2023秋•泰山区期末）泰安某公园内有一塔亭，某课外实践小组为测量该塔亭的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝12m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知测角仪DA的高度为1.5m，则该塔亭BC的高度为 　　 m．（保留根号） 【变式10-2】（2023秋•五华区校级期末）如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为32°，若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆AB的长可表示为（　　） A．米 B．米 C．2a•tan32°米 D．2a•cos32°米 【考点题型十一】解直角三角形的应用-方向角问题 【精讲题】（2022秋•青浦区校级期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（　　） A．10海里 B．5海里 C．5海里 D．海里 【变式11-1】（2023秋•秦州区期末）如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　） A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里 【变式11-2】（2023秋•右玉县期末）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝　　海里． 期末真题拔高训练15题 1．（2024•闵行区）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，那么cosA的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•泉州期末）在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠BAD＝，tan∠CAD＝，则∠BAC的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．（2023秋•福山区期末）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•张掖期末）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•赤坎区校级期末）如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（　　） A．1 B． C． D． 6．（2023秋•常宁市期末）若α，β均为锐角，且|sinα﹣|+（﹣tanβ）2＝0，则α+β＝　 　°． 7．（2023秋•扶绥县期末）如图，在△ABC中，，点D在边AB上．若AD＝AC，则tan∠BCD的值为 　 　． 8．（2018秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cosB＝，则＝　 　． 9．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是线段AC上的动点，设∠BDC＝α，∠BAC＝β，有以下说法： ①当0°＜β＜α＜90°时，tanα＞tanβ． ②当0°＜β＜α＜90°时，cosα＞cosβ． ③D为AC中点时，sin∠DBA＝． ④BD平分∠CBA时，tanβ＝2tanα． 其中，正确的是 　 　．（填序号） 10．（2021秋•庐阳区期末）如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，则tan∠BAC＝　 　． 11．（2022秋•宣城期末）居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，∠AOB＝120°，OA＝OB＝40cm；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'，并将显示屏OB旋转到O'B'的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知B'、O'、C三点在一条直线上，且B'C⊥AC，∠O'AC＝37°（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）． （1）求散热架ACO'底边AC的长； （2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？ 12．（2023春•宁阳县期末）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）． （1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度； （2）求大树AB的高度（结果保留根号）． 13．（2023秋•舒城县期末）如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A处（点G、A、C在同一水平线上）测得大树顶端B的仰角为45°，沿着坡度的斜坡AE走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为31°，点A、B、C、D在同一平面内． （1）填空：∠EAG＝　 　°，∠ADB＝　 　°； （2）求斜坡上点D到AG的距离； （3）求大树BC的高度（结果精确到0.1米．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，，） 14．（2023秋•沙坪坝区校级期末）小明从家A步行前往公园E，已知点E在点A的正东方向，但是由于AE道路施工，小明先沿正北方向走了400米到达B处，再从B处沿北偏东60°方向行走400米到达C处，从C处沿正东方向走了300米到达D处，在D处休息了6分钟，最终沿D﹣E方向到达E处，已知点E在点D的南偏东45°方向．小明从家出发的同时，爷爷从家选择另一路线A﹣F﹣E步行前往E处，已知点F在点A的南偏东60°方向，且点F在点E的正南方向．（参考数据：，） （1）求AE的长度（结果精确到1米）； （2）已知小明步行速度为80米/分钟，爷爷步行速度为70米/分钟，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？ 15．（2022秋•万州区校级期末）为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD＝135°，通道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度i＝1：． （1）求通道斜面AB的长； （2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．（答案均精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈2.24，≈2.45） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$