清单01 图形的相似（知识梳理+11个题型解读+真题拔高15题）（期末复习知识清单）九年级数学上学期青岛版

清单01 图形的相似 （知识梳理+11个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】相似图形 2 【考点题型二】相似多边形的性质 3 【考点题型三】相似三角形的性质 5 【考点题型四】相似三角形的判定 6 【考点题型五】相似三角形的判定与性质 8 【考点题型六】相似三角形的应用 11 【考点题型七】几何变换的类型 13 【考点题型八】几何变换综合题 15 【考点题型九】作图-相似变换 19 【考点题型十】位似变换 22 【考点题型十一】作图-位似变换 24 期末真题拔高训练15题 27 知识点01：成比例线段 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比， 如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 线段的比要注意以下几点： 线段的比是正数；单位要统一；线段的比与线段的长度无关 知识点02：图形的相似 (1) 形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例. (2) 相似多边形 (3) 相似比：相似多边形对应边的比 知识点03：相似三角形的判定 ◑通过定义 ◑平行于三角形一边的直线 ◑三边成比例 ◑两边成比例且夹角相等 ◑两角分别相等 ◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例 知识点04：相似三角形的性质 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方 知识点05：相似三角形的应用 (1) 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. (2) 测距(不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 知识点06：位似 (1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比) (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在一条直线上. (3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小. (4) 平面直角坐标系中的位似 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k. 【考点题型一】相似图形 【精讲题】（2021秋•滨江区期末）下列两个图形一定是相似图形的是（　　） A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【思路点拨】根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可． 【规范解答】解：A、两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意； B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意； C、两等腰三角形不一定相似，故此选项不符合题意； D、两个等边三角形一定相似，故此选项符合题意； 故选：D． 【考点评析】此题主要考查了相似图形，关键是掌握相似图形定义． 【变式1-1】（2023秋•三明期末）下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个菱形 【思路点拨】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【规范解答】解：A、两个平行四边形不一定相似，故本选项错误； B、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故本选项正确； C、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个菱形，形状不一定相同，故本选项错误． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中． 【变式1-2】（2023秋•秦都区期末）四边形ABCD～四边形A'B'C'D'，AB：A'B'＝1：4，若四边形ABCD的周长为3，则四边形A'B'C'D'的周长为 　12　． 【思路点拨】根据相似形周长的比等于相似比确定答案即可． 【规范解答】解：∵四边形ABCD～四边形A'B'C'D'，AB：A'B'＝1：4， ∴L四边形ABCD：L四边形A'B'C'D'＝1：4， ∵四边形ABCD的周长为3， ∴四边形A'B'C'D'的周长为3×4＝12， 故答案为：12． 【考点评析】本题考查了相似图形的知识，解题的关键是了解相似形周长的比等于相似比，难度不大． 【考点题型二】相似多边形的性质 【精讲题】（2023秋•慈溪市期末）若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积的比为 　1：4　． 【思路点拨】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算． 【规范解答】解：相似多边形的相似比是1：2， 面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4． 故答案为：1：4． 【考点评析】本题考查了相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键． 【变式2-1】（2023秋•郏县期末）书画经装裱后更便于收藏．如图，ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A'B'C'D'，两矩形的对应边互相平行，且AB与A'B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A'D'的距离、BC与B′C′距离都等于a cm，且矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，整幅书画最美观此时，a的值为 　12　． 【思路点拨】根据相似多边形的性质即可解答． 【规范解答】解：由题意AD＝30cm，AB＝90cm，A'B'＝（90+2a）cm，A'D'＝30+8＝38cm， ∵矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'， ∴， ∴， 解得a＝12， 故答案为：12． 【考点评析】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【变式2-2】（2023秋•隆昌市校级期末）如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD，BC的中点E，F的连线对折，若对折后的矩形AEFB与原矩形ABCD相似，则AE：AB＝（　　） A． B． C．1：2 D． 【思路点拨】根据矩形的性质可得AB＝CD，再根据线段的中点定义可得AE＝AD，然后利用相似多边形的性质进行计算，即可解答． 【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝AD， ∵矩形AEFB与原矩形ABCD相似， ∴， ∴， ∴AD2＝CD2， ∴AD2＝2CD2， ∴CD：AD＝AE：AB＝1：． 故选：A． 【考点评析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【考点题型三】相似三角形的性质 【精讲题】（2023秋•庄河市期末）若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2：3，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（　　） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 【思路点拨】利用相似三角形的性质求解． 【规范解答】、解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2：3， ∴． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解是解题的关键． 【变式3-1】（2023秋•东莞市期末）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【思路点拨】根据相似三角形的性质判断即可． 【规范解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2， ∴，A正确； ∴，B错误； ∴，C错误； ∴OA：OC＝3：2，D错误； 故选：A． 【考点评析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 【变式3-2】（2023秋•亭湖区校级期末）如果两个相似三角形对应边上的高之比是4：9，那么它们的周长之比等于 　4：9　． 【思路点拨】根据相似三角形的性质得出即可． 【规范解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是4：9， ∴它们的周长之比等于4：9， 故答案为：4：9． 【考点评析】本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键． 【考点题型四】相似三角形的判定 【精讲题】（2023秋•成都期末）已知∠1＝∠2，请添加一个条件　∠B＝∠D　，使△ABC∽△ADE． 【思路点拨】假设△ABC∽△ADE可得∠1+∠DAC＝∠2+∠EAC，∠B＝∠D，已知∠1＝∠2，则∠1+∠DAC＝∠2+∠EAC，故添加∠B＝∠D即可使得△ABC∽△ADE． 【规范解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠B＝∠D ∴△ABC∽△ADE， 故添加∠B＝∠D即可使得△ABC∽△ADE． 【考点评析】本题考查了相似三角形对应角相等的性质和相似三角形的判定，添加∠B＝∠D并证明△ABC∽△ADE是解题的关键． 【变式4-1】（2022秋•郾城区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，点D为AC中点，点E在AB上，当AE为 　3或　时，△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【思路点拨】先得到，再分与两种情况讨论即可解答． 【规范解答】解：当时， ∵∠A＝∠A， ∴△AED∽△ABC， ∴， 当时， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 综上，AE＝3或， 故答案为：3或． 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用及熟练掌握相似三角形的判定定理． 【变式4-2】（2023秋•南乐县期末）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 【思路点拨】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案． 【规范解答】解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意； D、当AC2＝AD•AB时，即，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意； 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 【考点题型五】相似三角形的判定与性质 【精讲题】（2023秋•召陵区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF与AC相交于点E，交CD的延长线于点G，若BE＝2，则EG的值为 　3　． 【思路点拨】利用平行四边形的性质，可得出AD∥BC，AD＝BC，结合AF＝2FD，可得出AF＝BC，DF＝BC，由AF∥BC，可得出△AEF∽△CEB，利用相似三角形的性质，可求出EF的长，由DF∥BC，可得出△GFD∽△GBC，利用相似三角形的性质，可求出GF的长，再结合EG＝EF+GF，即可求出结论． 【规范解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AF＝2FD， ∴AF＝AD＝BC，DF＝AD＝BC． ∵AF∥BC， ∴△AEF∽△CEB， ∴＝，即＝， ∴EF＝． ∵DF∥BC， ∴△GFD∽△GBC， ∴＝，即＝， ∴GF＝， ∴EG＝EF+GF＝+＝3． 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，利用相似三角形的性质，求出EF和GF的长是解题的关键． 【变式5-1】（2023秋•乐陵市期末）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得∠C＝∠D，∠A＝∠B，则△AOC∽△BOD，由相似三角形的性质得，代入数值即可求解． 【规范解答】解：∵AC∥BD， ∴∠C＝∠D，∠A＝∠B， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝6，OC＝3，OD＝2， ∴， ∴OB＝4． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例时解题关键． 【变式5-2】（2024秋•昆都仑区期中）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（　　） A．18 B． C． D． 【思路点拨】先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论． 【规范解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝12，BM＝5， ∴MC＝12﹣5＝7． ∵ME⊥AM， ∴∠AME＝90°， ∴∠AMB+∠CMG＝90°． ∵∠AMB+∠BAM＝90°， ∴∠BAM＝∠CMG，∠B＝∠C＝90°， ∴△ABM∽△MCG， ∴＝，即＝，解得CG＝， ∴DG＝12﹣＝． ∵AE∥BC， ∴∠E＝CMG，∠EDG＝∠C， ∴△MCG∽△EDG， ∴＝，即＝，解得DE＝． 故选：C． 【考点评析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 【考点题型六】相似三角形的应用 【精讲题】（2024春•招远市期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M、N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝100步，NF＝225步，那么该正方形城邑边长AD约为（　　）步． A．300 B．260 C．225 D．185 【思路点拨】由题意可知△AME∽△FNA，根据相似三角形性质得到，设AD＝2a，由M、N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点可知AM＝AN＝a，则，解得a＝150，从而得到正方形城邑边长AD＝2a＝300步． 【规范解答】解：∵ME⊥AD，NF⊥AB， ∴∠FNA＝∠AME＝90°， 在正方形ABCD中，∠MAN＝90°，EF过点A， ∴FN∥AM，则∠F＝∠EAM， ∴△AME∽△FNA， ∴， ∵M、N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，设AD＝2a， ∴AM＝AN＝a， ∵ME＝100步，NF＝225步， ∴，即a2＝100×225， 解得a＝150， ∴正方形城邑边长AD＝2a＝300步， 故选：A． 【考点评析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【变式6-1】（2023秋•玄武区期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝0.4m，BD＝0.2m，AQ＝12m，则树高PQ＝　6　m． 【思路点拨】根据题意可知：△ABC∽△AQP，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到PQ的长． 【规范解答】解：由题意可得， BC∥PQ，AB＝0.4m，BD＝0.2m，AQ＝12m， ∴△ABD∽△AQP， ∴， 即， 解得QP＝6， ∴树高PQ＝6m， 故答案为：6． 【考点评析】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式6-2】（2023秋•开福区校级期末）如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在AB外选一点C，连接AC和BC，延长AC到D，延长BC到E，，连接DE，使DE∥AB．若小吴测得DE的长为300米，则AB＝　600　米． 【思路点拨】利用两角相等可以得到△ABC∽△DEC，再利用相似性质即可求解． 【规范解答】解：∵DE∥AB， ∴∠ABC＝∠CED， 在△ABC和△DEC中， ∠ABC＝∠CED，∠ACB＝∠DCE， ∴△ABC∽△DEC， ∴， ∵，即：，DE＝300米， ∴，AB＝600米， 故答案为：600． 【考点评析】本题考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【考点题型七】几何变换的类型 【精讲题】（2022秋•五华县期末）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（　　） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 【思路点拨】根据位似的定义，即可解决问题． 【规范解答】解：根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似． 故选：D． 【考点评析】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义． 【变式7-1】（2023秋•长沙县期末）如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： （1）填写完整：点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； A（2，3）与D 　（﹣2，﹣3）　；B 　（1，2）　与E（﹣1，﹣2），C（3，1）与F 　（﹣3，﹣1）　． 对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均 　互为相反数　． （2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值． 【思路点拨】（1）根据各点在坐标系中位置写出各点坐标即可； （2）根据（1）中各对应点的坐标特点得出关于a，b的方程，求出a，b的值即可． 【规范解答】解：（1）由图可知，D（﹣2，﹣3），B（1，2），F（﹣3，﹣1），对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数． 故答案为：（﹣2，﹣3），（1，2），（﹣3，﹣1），互为相反数； （2）由（1）知对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数， ∵点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点， ∴a+3＝﹣2a，4﹣b＝3﹣2b， ∴a＝﹣1，b＝﹣1． 【考点评析】本题考查的是几何变换的类型，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． 【变式7-2】（2021秋•微山县期末）如图，图2是由图1经过平移得到的，图2还可以看作是由图1经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称．下面说法正确的是（　　） A．①②都不可行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 【思路点拨】根据旋转变换，轴对称变换的性质判断即可． 【规范解答】解：图2是由图1两次旋转180°得到， 图2是由图1两次轴对称变换得到． 故选：B． 【考点评析】本题考查几何变换类型，旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【考点题型八】几何变换综合题 【精讲题】（2022秋•安新县期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，每个小方格的边长为1个单位长度．正方形ABCD顶点都在格点上，其中点A的坐标为（1，1）．若将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°，点B到达点B1，点C到达点C1，点D到达点D1，若线段AC1的长度与点D1的横坐标的差恰好是一元二次方程x2+ax+1＝0的一个根，则a的值为　﹣2　． 【思路点拨】首先根据题意，作出旋转后的图形，由A的坐标为（1，1）可知一格代表单位1，求出AC的长，即AC1的长，由图象可以写出D1的横坐标，根据线段AC1的长度与点D1的横坐标的差恰好是一元二次方程x2+ax+1＝0的一个根，作差代入，求出a的值． 【规范解答】解：由题意作图如右： ∵A的坐标为（1，1）， ∴D（0，3），C（2，4），D1（3，2）， 根据旋转的性质知AC＝AC1＝＝， ∵D1（3，2）， ∴D1横坐标为x＝3， ∴线段AC1的长度与点D1的横坐标的差为﹣3； ∵﹣3是一元二次方程x2+ax+1＝0的一个根， ∴+（﹣3）a+1＝0， 整理得a＝﹣2． 故答案为﹣2． 【考点评析】本题主要考查几何变换综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质及数形结合进行解题的思路，此题难度不大． 【变式8-1】（2023秋•丰台区期末）在△ABC中，AB＝AC，0°＜∠BAC＜90°，将线段AC绕点A逆时针旋转α得到线段AD，连接BD，CD． （1）如图1，当∠BAC＝α时，则∠ABD＝　90°﹣α　（用含有α的式子表示）； （2）如图2，当α＝90°时，作∠BAD的角平分线交BC的延长线于点F．交BD于点E，连接DF． ①依题意在图2中补全图形，并求∠DBC的度数； ②用等式表示线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； （2）①根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； ②由等腰三角形的性质可得BE＝DE，AF⊥BD，由等腰直角三角形的性质可得DF＝EF，HF＝FC，由“AAS”可证△ABE≌△ACH，可得CH＝AE，即可求解． 【规范解答】解：（1）∵将线段AC绕点A逆时针旋转α得到线段AD， ∴AC＝AD，∠CAD＝α， ∴∠BAD＝2α， ∵AB＝AC， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝＝90°﹣α， 故答案为：90﹣α； （2）①如图所示： ∵AB＝AC＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°+∠BAC， ∴∠ABC＝90°﹣，∠ABD＝＝45°﹣， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝45°； ②DF＝AF﹣FC，理由如下： 如图2，过点C作CH⊥AF于H， ∵AB＝AD，AF平分∠BAD， ∴BE＝DE，AF⊥BD， ∵∠DBC＝45°， ∴∠DBC＝∠EFB＝45°， ∴EB＝EF＝ED， ∴DF＝EF， ∵CH⊥AF，∠EFB＝45°， ∴∠HCF＝∠EFB＝45°， ∴CH＝FH， ∴HF＝FC， ∵∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝﹣∠BAC＝45°﹣， ∴∠CAF＝∠ABD， 又∵∠AEB＝∠AHC＝90°，AB＝AC， ∴△ABE≌△ACH（AAS）， ∴CH＝AE， ∴AE＝HF， ∴DF＝EF＝（AF﹣HF）＝（AF﹣FC）＝AF﹣FC． 【考点评析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式8-2】（2023秋•安次区期末）如图1，（1）已知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是 　AD＝BE　． （2）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F． ①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论； ②图2中求∠AFB的度数． 【思路点拨】（1）根据等边三角形的定义，即可确定线段AD和BE的数量关系； （2）①根据全等三角形判定方法SAS得出△ACD≌△BCE，则AD＝BE； ②由①可得△ACD≌△BCE，则根据全等三角形的性质得出∠CAD＝∠CBF，对顶角相等可得∠AOC＝∠BOF，即可得出∠AFB＝60°． 【规范解答】解：（1）∵△CAB和△CDE均为等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE， ∴AD＝BE， 故答案为：AD＝BE； （2）①∵△ABC和△CDE均为等边三角形， ∴CA＝CA，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； ②∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBF， 设BC交AF于点O， 又∵∠AOC＝∠BOF， ∴∠BFO＝∠ACO＝60°， ∴∠AFB＝60°， 所以∠AFB的度数为60°． 【考点评析】本题考查了等边三角形的定义，全等三角形的性质及判定方法等知识点． 【考点题型九】作图-相似变换 【精讲题】（2023秋•萧县期末）网格中每个小正方形的边长都是1． （1）将图①中的格点三角形ABC平移，使点A平移至点A′，画出平移后的三角形； （2）在图②中画一个格点三角形PQR，使△PQR∽△ABC，且相似比为：1． 【思路点拨】（1）根据网格结构，点A向右平移3个单位，向上平移2个单位得到A′，然后根据此规律找出点B′、C′的位置，顺次连接即可； （2）根据网格结构，作出PQ＝AB，QR＝BC，PR＝AC的三角形即可． 【规范解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形； （2）如图所示，△DEF即为所求作的三角形． 【考点评析】本题考查了利用相似变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出相应的点的位置是解题的关键． 【变式9-1】（2023秋•滨湖区期末）已知在四边形ABCD中，P是CD边上一点，且△ADP∽△PCB．分别在图①和图②中用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，四边形ABCD是矩形； （2）如图②，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝45°． 【思路点拨】（1）以AB为直径作⊙O交CD于点P，P′，点P，P′即为所求． （2）作等腰直角三角形，△AOB（OA＝OB，∠AOB＝90°），以O为圆心，OA为半径作⊙O，交CD于P，P′，点P′P′即为所求． 【规范解答】解：（1）如图①中，点P，点P′即为所求． （2）如图②点P，点P′即为所求． 【考点评析】本题考查作图﹣相似变换，矩形的性质圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型． 【变式9-2】（2022秋•西安期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．请用尺规作图法在AC边上求作一点D，使得△BDC∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法） 【思路点拨】作∠ABC的角平分线BD交AC于点D． 【规范解答】解：如图，点D即为所求． 【考点评析】本题考查的是作图﹣基本作图，相似三角形的判定和性质，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 【考点题型十】位似变换 【精讲题】（2022秋•龙岗区校级期末）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．12 C．9 D．6 【思路点拨】根据位似变换的概念得到△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【规范解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形， ∴△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1， ∴△OBC≌△OB1C1， ∴＝＝， ∴＝（）2， ∵S＝3， ∴△ABC的面积＝3×4＝12， 故选：B． 【考点评析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、相似三角形的性质是解题的关键． 【变式10-1】（2023秋•方城县期末）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点O，OC'：CC'＝3：1，△A'B'C'的面积为18，则△ABC面积为（　　） A．54 B．32 C．24 D． 【思路点拨】根据位似变换的概念得到△ABC∽△A'B'C'，A′C′∥AC，得到△A′OC′∽△AOC，根据相似三角形的性质得到＝＝，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【规范解答】解：∵OC'：CC'＝3：1， ∴OC'：OC＝3：4， ∵△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点O， ∴△ABC∽△A'B'C'，A′C′∥AC， ∴△A′OC′∽△AOC， ∴＝＝， ∴＝（）2＝， ∵△A'B'C'的面积为18， ∴△ABC面积为32， 故选：B． 【考点评析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【变式10-2】（2022秋•漳州期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（3，3）、B（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB放大到原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标为 　（6，6）　． 【思路点拨】由以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB放大到原来的2倍后得到线段CD得出A点的对应点是C点，且位似比为1：2，再根据点A的坐标即可得出点C的坐标． 【规范解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB放大到原来的2倍后得到线段CD， ∴A点的对应点是C点， ∵A（3，3），位似比为1：2， ∴C（6，6）， 故答案为：（6，6）． 【考点评析】本题考查了位似变换的性质，熟练掌握位似比与对应点坐标的关系是解题的关键． 【考点题型十一】作图-位似变换 【精讲题】（2023秋•富锦市校级期末）在平面直角坐标系中，A（﹣2，4），B（1，3），现以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为，则A的对应点A′的坐标为 　（﹣1，2）或（1，﹣2）　． 【思路点拨】利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的A的横纵坐标都乘以或﹣得到A的对应点A′的坐标． 【规范解答】解：∵以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为， 而A（﹣2，4）， ∴A的对应点A′的坐标为（﹣2×，4×）或[﹣2×（﹣），4×（﹣）]， 即（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）． 【考点评析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 【变式11-1】（2023秋•沭阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别为A（6，3），O（0，0），B（0，6）． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△AOB缩小得到△A1OB1，相似比为，请画出△A1OB1； （2）直接写出点A1的坐标（ 　3　，　　）； （3）求出△A1OB1的面积． 【思路点拨】（1）根据位似的性质作图即可． （2）由位似的性质可得出答案． （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：（1）如图，△A1OB1即为所求. （2）∵以原点O为位似中心，将△AOB缩小得到△A1OB1，相似比为，A（6，3）， ∴点A1的坐标为（3，）． 故答案为：3；． （3）△A1OB1的面积为． 【考点评析】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【变式11-2】（2023秋•西安期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）． （1）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且相似比为2：1，点A，C的对应点分别为A1，C1； （2）直接写出点A1和点C1的坐标：A1（ 　1　，　1　），C1（ 　﹣3　，　﹣1　）． 【思路点拨】（1）根据位似的性质画图即可． （2）由图可得答案． 【规范解答】解：（1）如图，△A1BC1即为所求． （2）由图可得，A1（1，1），C1（﹣3，﹣1）． 故答案为：1；1；﹣3；﹣1． 【考点评析】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 期末真题拔高训练15题 1．（2023秋•清远期末）如图，在△ABC中，D是AC上一点，下列给出的条件不能得出△ABD∽△ACB的是（　　） A． B．∠ABD＝∠ACB C．AB2＝AD•AC D．∠ADB＝∠ABC 【思路点拨】依据相似三角形的判定定理：两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，逐项分析即可． 【规范解答】解：A．∠A＝∠A，，不能得到△ABD∽△ACB，故符合题意； B．∠A＝∠A，∠ABD＝∠ACB，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到△ABD∽△ACB，故不符合题意； C．∠A＝∠A，AB2＝AD⋅AC，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到△ABD∽△ACB，故不符合题意； D．∠A＝∠A，∠ADB＝∠ABC，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到△ABD∽△ACB，故不符合题意； 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键． 2．（2023秋•梁溪区校级期末）如图，△ADC∽△BAC，下列结论错误的是（　　） A．∠ADC＝∠BAC B． C．CA平分∠BCD D．AC2＝BC•CD 【思路点拨】直接利用相似三角形的性质对A选项、B选项、C选项进行判断；先利用相似三角形的性质得到AC：BC＝CD：AC，然后利用比例的性质对D选项进行判断． 【规范解答】解：∵△ADC∽△BAC， ∴∠ADC＝∠BAC，所以A选项不符合题意； ＝，所以B选项符合题意； ∵△ADC∽△BAC， ∴∠ACD＝∠BCA， ∴CA平分∠BCD，所以C选项不符合题意； ∵△ADC∽△BAC， ∴AC：BC＝CD：AC， ∴AC2＝BC•CD，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 3．（2023秋•温州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点D，使∠CBD＝∠BAC，延长BC至点E，使得DE＝DB．若，则等于（　　） A．k﹣1 B． C．k D． 【思路点拨】由AB＝AC，得∠BCD＝∠ABC，而∠CBD＝∠BAC，可证明∠BDC＝∠ABC，则∠BDC＝∠BCD，即可推导出DE＝DB＝BC，∠CBD＝∠E，所以∠A＝∠E，再证明∠ADB＝∠ECD，则△ADB∽△ECD，所以＝＝，则＝＝＝k﹣1，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：∵AB＝AC， ∴∠BCD＝∠ABC， ∵∠CBD＝∠BAC， ∴∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABC， ∴∠BDC＝∠BCD， ∴DB＝BC， ∵DE＝DB， ∴DE＝DB＝BC，∠CBD＝∠E， ∴∠A＝∠E， ∵∠ADB+∠BDC＝180°，∠ECD+∠BCD＝180°， ∴∠ADB＝∠ECD， ∴△ADB∽△ECD， ∴＝＝， ∴＝＝＝﹣1＝k﹣1， 故选：A． 【考点评析】此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明DE＝DB＝BC及△ADB∽△ECD是解题的关键． 4．（2023秋•天桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．当t为何值时，△APQ与△ABC相似（　　） A．3 B． C．或 D．3或 【思路点拨】由勾股定理求出AB长，分两种情况，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；分别列出关于t的方程，求出t，即可解决问题． 【规范解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝5（cm）， 由题意得：AQ＝t cm，AP＝（5﹣t）cm， 当AQ：AC＝AP：AB时， ∵∠PAQ＝∠BAC， ∴△APQ∽△ABC， 此时t：4＝（5﹣t）：5， ∴t＝； 当AQ：AB＝AP：AC时， ∵∠PAQ＝∠BAC， ∴△APQ∽△ACB， 此时（5﹣t）：4＝t：5， ∴t＝， ∴当t为或时，△APQ与△ABC相似． 故选：C． 【考点评析】本题考查相似三角形的判定，关键是要分两种情况讨论． 5．（2023秋•滨城区期末）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，使△ADE与△ACB一定相似的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【思路点拨】由相似三角形的判定，即可判断． 【规范解答】解：∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C，而∠DAE＝∠BAC，由两角对应相等的两个三角形相似，判定△ADE∽△ACB，故①②符合题意； ③，两三角形两边对应成比例，但夹角∠AED和∠B不一定相等，△ADE与△ACB不一定相似，故③不符合题意； ④，而∠DAE＝∠CAB，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定△ADE∽△ACB，过④符合题意． 故选：B． 【考点评析】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法． 6．（2023秋•硚口区校级期末）《墨子•天志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′：AB＝2：1，则四边形A′B′C′D′的周长为 　8　． 【思路点拨】利用“相似多边形的周长之比等于相似比”求得答案． 【规范解答】解：根据题意知，正方形ABCD∽正方形A'B'C'D'，且相似比为：AB：A'B'＝2：1， ∴正方形ABCD的周长：四边形A'B'C'D'的周长＝AB：A'B'＝2：1． ∵正方形ABCD的周长为4， ∴四边形A′B′C′D′的周长为8． 故答案为：8． 【考点评析】本题考查位似变换，相似多边形的性质，圆的周长等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7．（2023秋•牧野区校级期末）如图所示，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣2，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的3倍，设点B的对应点B′的横坐标是7，则点B的横坐标是 　﹣5　． 【思路点拨】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣2﹣x，B′、C间的横坐标的长度为7﹣（﹣2）＝9，然后根据位似图形的性质解答即可． 【规范解答】解：设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣2﹣x，B′、C间的横坐标的长度为7﹣（﹣2）＝9， ∵△ABC放大到原来的3倍得到△A′B′C， ∴3（﹣2﹣x）＝9， 解得：x＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【考点评析】本题考查的是位似图形的性质，灵活运用位似图形坐标的性质列方程计算是解题的关键． 8．（2022秋•秦都区期末）如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝5m，则路灯的高度OP为 　　m． 【思路点拨】找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：∵AB∥OP， ∴△CAB∽△COP， ∴＝， ∴＝， ∴OP＝． 故答案为：． 【考点评析】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 9．（2023秋•常宁市期末）我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们 可以解释为：如图，矩形BCDE的边BE、CD表示井的直径，A在CB的延长线上，CD＝5尺，AB＝5尺，AD交BE于F，BF＝0.4尺，根据以上条件，可求得井深BC为 　57.5　尺． 【思路点拨】利用相似三角形的性质，构建方程求解即可． 【规范解答】解：设BC＝x尺． ∵四边形BCDE是矩形， ∴BF∥CD， ∴△AFB∽△ADC， ∴＝， ∴＝， 解得x＝57.5， 经检验：x＝57.5是分式方程的解． ∴BC＝57.5（尺）． 故答案为：57.5． 【考点评析】本题考查相似三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 10．（2023秋•宿城区校级期末）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为　8.4或2或12　． 【思路点拨】设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，根据垂直的定义得到∠B＝∠D＝90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△ABP∽△PDC，即；然后分别解方程求出x即可． 【规范解答】解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x， ∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D， ∴∠B＝∠D＝90°， 当时，△ABP∽△CDP， 即， 解得：x＝， ∴BP＝14﹣＝8.4， 当时，△ABP∽△PDC，即； 整理得x2﹣14x+24＝0， 解得x1＝2，x2＝12， BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2， ∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似． 故答案为：8.4或2或12． 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 11．（2023秋•商河县期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长． 【思路点拨】（1）根据相似三角形的判定即可求出证． （2）设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值． 【规范解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB； （2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB， ∴＝， 设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x， ∵AE＝4，AC＝9， ∴＝， 解得：x＝（负值舍去）， ∴BD的长是． 【考点评析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型． 12．（2023秋•和平县期末）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长． 【思路点拨】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE； （2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入数值求得结果． 【规范解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC， ∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°， ∴∠BAD＝∠CDE ∴△ABD∽△DCE； （2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE， ∴＝， 设CD＝x，则BD＝3﹣x， ∴＝， ∴x＝1或x＝2， ∴DC＝1或DC＝2． 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用． 13．（2024春•太平区期末）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段BC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到线段DC，取AD中点H，直线CH与直线BD交于点E，连接AE． 【感知特殊】 （1）如图1，当α＝30°时，小组探究得出：△AED为等腰直角三角形，请写出证明过程； 【探究一般】 （2）①如图2，当0°＜α＜90°时，试探究线段EA，EC，EB之间的数量关系并证明； ②当90°＜α＜180°时，直接写出线段EA，EC，EB之间的数量关系． 【应用迁移】 （3）已知，在线段DC的旋转过程中，当AE＝3时，求线段EC的长． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得CH垂直平分AD，∠EDA＝45°＝∠EAD，从而得证； （2）①，过点C作CF⊥CE，交直线BD与点F，利用ASA得到△FBC≌△EAC，从而得BF＝AE，△ECF是等腰直角三角形，即可得证； ②EA﹣EB＝EC．过点C作CF⊥CE，交BD于点F，利用AAS证得△CBE≌△CDF，得到EB＝DF，由（1）得EA＝ED，利用EA﹣EB＝ED﹣DF＝EF＝EC，即可得证； （3）在Rt△ACB中求得AB＝，在△AEB中，利用勾股定理得EB＝1，再利用（2）中的结论，即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCD＝α＝30°， ∴∠ACD＝120°， ∵CA＝CB＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA＝30°， ∵H是AD的中点， ∴CH垂直平分AD， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， 在△BCD中，CB＝CD，∠BCD＝30°， ∴∠CDB＝∠CBD＝75°， ∴∠EDA＝∠CDB﹣∠CDA＝75°﹣30°＝45°＝∠EAD， ∴∠AED＝180°﹣∠EDA﹣∠EAD＝90°， ∴△AED是等腰直角三角形； （2）解：①EA+EB＝EC，理由如下： 如图2.1，过点C作CF⊥CE，交直线BD与点F， ∴∠ECF＝∠ACB＝90°， ∴∠ECF﹣∠ECB＝∠ACB﹣∠ECB，即∠BCF＝∠ACE， 在四边形ACBE中，∠AEB＝∠ACB＝90°， ∴∠EAC+∠EBC＝360°﹣∠AEB﹣∠ACB＝180°， ∵∠FBC+∠EBC＝180°， ∴∠FBC＝∠EAC， 在△FBC和△EAC中， ∠FBC＝∠EAC BC＝AC ∠BCF＝∠ACE ∴△FBC≌△EAC（ASA）， ∴BF＝AE，CE＝CF， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EF＝EC； ∵EF＝EB+BF＝EB+EA， ∴EB+EA＝EC； ②EA﹣EB＝EC．理由如下： 如图2.2，过点C作CF⊥CE，交BD于点F， 由①得，△ECF是等腰直角三角形，EF＝EC，∠CEF＝∠CFE＝45°， ∴∠CFD＝∠CEB＝135°， ∵CB＝CD， ∴∠CBE＝CDF， 在△CBE和△CDF中， ∠CBE＝∠CDFB ∠CEB＝∠CFD BC＝DC ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴EB＝DF， 由（1）得EA＝ED， ∴EA﹣EB＝ED﹣DF＝EF＝EC； （3）解：当 0°＜a＜90° 时，EB+EA＝EC，如图3.1， 在Rt△ACB中，AC＝BC＝， ∴AB＝AC＝， 在△AEB 中，AE＝3，， ∴EB＝＝＝1， ∴EC＝EB+EA＝1+3＝4， ∴EC＝2； Ⅱ．当 90°＜a＜180° 时，，如图3.2， 同理可得，EB＝1， ∴EC＝EA﹣EB＝5﹣3＝2， ∴EC＝； 综上所述，在线段DC的旋转过程中，EC＝2或． 【考点评析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 14．（2023秋•梁溪区期末）如图，点D、E、F分别在等边△ABC的三边AB、AC、BC上，且DE⊥EF，∠DFE＝60°． （1）求证：△DBF∽△FCE； （2）若EC＝1，求BF的长． 【思路点拨】（1）根据题中条件可推出∠B＝∠C＝60°，即可推出∠BDF+∠DFB＝120°，根据∠DFE＝60°可推出∠DFB+∠EFC＝120°，证出∠BDF＝∠EFC，即可证出△BDF∽△CFE； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得DF＝2EF，结合（1）利用比例即可求出BF的长． 【规范解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BDF+∠DFB＝180°﹣∠B＝120°， ∵∠DFE＝60°， ∴∠DFB+∠EFC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BDF＝∠EFC， ∴△BDF∽△CFE； （2）解：∵DE⊥EF，∠DFE＝60°， ∴∠EDF＝30°， ∴DF＝2EF， 由（1）知：△BDF∽△CFE， ∴＝＝2， ∵EC＝1， ∴BF＝2． 【考点评析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，解题关键是证出△BDF和△CFE相似． 15．（2023秋•驻马店期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解； （2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可． 【规范解答】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G 如图 ∴DF∥AG，＝ ∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6． ∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t， ∴＝ 解得DF＝（10﹣t） ∵S△BDE＝BE•DF＝7.5 ∴（10﹣t）•t＝15 解得t＝5． 答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2． （2）存在．理由如下： ①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA， ∴＝即＝， 解得t＝， ②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC， ＝即＝， 解得t＝． 答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似． 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 图形的相似 （知识梳理+11个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】相似图形 2 【考点题型二】相似多边形的性质 3 【考点题型三】相似三角形的性质 3 【考点题型四】相似三角形的判定 4 【考点题型五】相似三角形的判定与性质 4 【考点题型六】相似三角形的应用 5 【考点题型七】几何变换的类型 6 【考点题型八】几何变换综合题 7 【考点题型九】作图-相似变换 9 【考点题型十】位似变换 11 【考点题型十一】作图-位似变换 11 期末真题拔高训练15题 13 知识点01：成比例线段 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比， 如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 线段的比要注意以下几点： 线段的比是正数；单位要统一；线段的比与线段的长度无关 知识点02：图形的相似 (1) 形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例. (2) 相似多边形 (3) 相似比：相似多边形对应边的比 知识点03：相似三角形的判定 ◑通过定义 ◑平行于三角形一边的直线 ◑三边成比例 ◑两边成比例且夹角相等 ◑两角分别相等 ◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例 知识点04：相似三角形的性质 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方 知识点05：相似三角形的应用 (1) 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. (2) 测距(不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 知识点06：位似 (1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比) (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在一条直线上. (3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小. (4) 平面直角坐标系中的位似 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k. 【考点题型一】相似图形 【精讲题】（2021秋•滨江区期末）下列两个图形一定是相似图形的是（　　） A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【变式1-1】（2023秋•三明期末）下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个菱形 【变式1-2】（2023秋•秦都区期末）四边形ABCD～四边形A'B'C'D'，AB：A'B'＝1：4，若四边形ABCD的周长为3，则四边形A'B'C'D'的周长为 　 　． 【考点题型二】相似多边形的性质 【精讲题】（2023秋•慈溪市期末）若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积的比为 　 　． 【变式2-1】（2023秋•郏县期末）书画经装裱后更便于收藏．如图，ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A'B'C'D'，两矩形的对应边互相平行，且AB与A'B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A'D'的距离、BC与B′C′距离都等于a cm，且矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，整幅书画最美观此时，a的值为 　 　． 【变式2-2】（2023秋•隆昌市校级期末）如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD，BC的中点E，F的连线对折，若对折后的矩形AEFB与原矩形ABCD相似，则AE：AB＝（　　） A． B． C．1：2 D． 【考点题型三】相似三角形的性质 【精讲题】（2023秋•庄河市期末）若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2：3，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（　　） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 【变式3-1】（2023秋•东莞市期末）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【变式3-2】（2023秋•亭湖区校级期末）如果两个相似三角形对应边上的高之比是4：9，那么它们的周长之比等于 　 　． 【考点题型四】相似三角形的判定 【精讲题】（2023秋•成都期末）已知∠1＝∠2，请添加一个条件　 　，使△ABC∽△ADE． 【变式4-1】（2022秋•郾城区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，点D为AC中点，点E在AB上，当AE为 　 　时，△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【变式4-2】（2023秋•南乐县期末）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 【考点题型五】相似三角形的判定与性质 【精讲题】（2023秋•召陵区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF与AC相交于点E，交CD的延长线于点G，若BE＝2，则EG的值为 　 ． 【变式5-1】（2023秋•乐陵市期末）如图，线段AB，CD相交于点O，AC∥BD，若OA＝6，OC＝3，OD＝2，则OB的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-2】（2024秋•昆都仑区期中）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（　　） A．18 B． C． D． 【考点题型六】相似三角形的应用 【精讲题】（2024春•招远市期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M、N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝100步，NF＝225步，那么该正方形城邑边长AD约为（　　）步． A．300 B．260 C．225 D．185 【变式6-1】（2023秋•玄武区期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝0.4m，BD＝0.2m，AQ＝12m，则树高PQ＝　 m． 【变式6-2】（2023秋•开福区校级期末）如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在AB外选一点C，连接AC和BC，延长AC到D，延长BC到E，，连接DE，使DE∥AB．若小吴测得DE的长为300米，则AB＝　 　米． 【考点题型七】几何变换的类型 【精讲题】（2022秋•五华县期末）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（　　） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 【变式7-1】（2023秋•长沙县期末）如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： （1）填写完整：点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； A（2，3）与D 　 　；B 　 　与E（﹣1，﹣2），C（3，1）与F 　 　． 对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均 　 　． （2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值． 【变式7-2】（2021秋•微山县期末）如图，图2是由图1经过平移得到的，图2还可以看作是由图1经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称．下面说法正确的是（　　） A．①②都不可行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 【考点题型八】几何变换综合题 【精讲题】（2022秋•安新县期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，每个小方格的边长为1个单位长度．正方形ABCD顶点都在格点上，其中点A的坐标为（1，1）．若将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°，点B到达点B1，点C到达点C1，点D到达点D1，若线段AC1的长度与点D1的横坐标的差恰好是一元二次方程x2+ax+1＝0的一个根，则a的值为　 　． 【变式8-1】（2023秋•丰台区期末）在△ABC中，AB＝AC，0°＜∠BAC＜90°，将线段AC绕点A逆时针旋转α得到线段AD，连接BD，CD． （1）如图1，当∠BAC＝α时，则∠ABD＝　 　（用含有α的式子表示）； （2）如图2，当α＝90°时，作∠BAD的角平分线交BC的延长线于点F．交BD于点E，连接DF． ①依题意在图2中补全图形，并求∠DBC的度数； ②用等式表示线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明． 【变式8-2】（2023秋•安次区期末）如图1，（1）已知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是 　． （2）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F． ①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论； ②图2中求∠AFB的度数． 【考点题型九】作图-相似变换 【精讲题】（2023秋•萧县期末）网格中每个小正方形的边长都是1． （1）将图①中的格点三角形ABC平移，使点A平移至点A′，画出平移后的三角形； （2）在图②中画一个格点三角形PQR，使△PQR∽△ABC，且相似比为：1． 【变式9-1】（2023秋•滨湖区期末）已知在四边形ABCD中，P是CD边上一点，且△ADP∽△PCB．分别在图①和图②中用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，四边形ABCD是矩形； （2）如图②，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝45°． 【变式9-2】（2022秋•西安期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．请用尺规作图法在AC边上求作一点D，使得△BDC∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法） 【考点题型十】位似变换 【精讲题】（2022秋•龙岗区校级期末）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．12 C．9 D．6 【变式10-1】（2023秋•方城县期末）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点O，OC'：CC'＝3：1，△A'B'C'的面积为18，则△ABC面积为（　　） A．54 B．32 C．24 D． 【变式10-2】（2022秋•漳州期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（3，3）、B（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB放大到原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标为 　 　． 【考点题型十一】作图-位似变换 【精讲题】（2023秋•富锦市校级期末）在平面直角坐标系中，A（﹣2，4），B（1，3），现以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为，则A的对应点A′的坐标为 　 　． 【变式11-1】（2023秋•沭阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别为A（6，3），O（0，0），B（0，6）． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△AOB缩小得到△A1OB1，相似比为，请画出△A1OB1； （2）直接写出点A1的坐标（ 　　，　　）； （3）求出△A1OB1的面积． 【变式11-2】（2023秋•西安期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）． （1）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且相似比为2：1，点A，C的对应点分别为A1，C1； （2）直接写出点A1和点C1的坐标：A1（ 　　，　　），C1（ 　　，　　）． 期末真题拔高训练15题 1．（2023秋•清远期末）如图，在△ABC中，D是AC上一点，下列给出的条件不能得出△ABD∽△ACB的是（　　） A． B．∠ABD＝∠ACB C．AB2＝AD•AC D．∠ADB＝∠ABC 2．（2023秋•梁溪区校级期末）如图，△ADC∽△BAC，下列结论错误的是（　　） A．∠ADC＝∠BAC B． C．CA平分∠BCD D．AC2＝BC•CD 3．（2023秋•温州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点D，使∠CBD＝∠BAC，延长BC至点E，使得DE＝DB．若，则等于（　　） A．k﹣1 B． C．k D． 4．（2023秋•天桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．当t为何值时，△APQ与△ABC相似（　　） A．3 B． C．或 D．3或 5．（2023秋•滨城区期末）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，使△ADE与△ACB一定相似的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．（2023秋•硚口区校级期末）《墨子•天志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′：AB＝2：1，则四边形A′B′C′D′的周长为 　 　． 7．（2023秋•牧野区校级期末）如图所示，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣2，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的3倍，设点B的对应点B′的横坐标是7，则点B的横坐标是 　 　． 8．（2022秋•秦都区期末）如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝5m，则路灯的高度OP为 　 　m． 9．（2023秋•常宁市期末）我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们 可以解释为：如图，矩形BCDE的边BE、CD表示井的直径，A在CB的延长线上，CD＝5尺，AB＝5尺，AD交BE于F，BF＝0.4尺，根据以上条件，可求得井深BC为 　 　尺． 10．（2023秋•宿城区校级期末）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为　 　． 11．（2023秋•商河县期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长． 12．（2023秋•和平县期末）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长． 13．（2024春•太平区期末）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段BC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到线段DC，取AD中点H，直线CH与直线BD交于点E，连接AE． 【感知特殊】 （1）如图1，当α＝30°时，小组探究得出：△AED为等腰直角三角形，请写出证明过程； 【探究一般】 （2）①如图2，当0°＜α＜90°时，试探究线段EA，EC，EB之间的数量关系并证明； ②当90°＜α＜180°时，直接写出线段EA，EC，EB之间的数量关系． 【应用迁移】 （3）已知，在线段DC的旋转过程中，当AE＝3时，求线段EC的长． 14．（2023秋•梁溪区期末）如图，点D、E、F分别在等边△ABC的三边AB、AC、BC上，且DE⊥EF，∠DFE＝60°． （1）求证：△DBF∽△FCE； （2）若EC＝1，求BF的长． 15．（2023秋•驻马店期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$