清单02 有理数的运算（知识梳理+11个题型解读+真题拔高15题）（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材青岛版

清单02 有理数的运算 （知识梳理+11个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】有理数的加减混合运算 2 【考点题型二】有理数加减法中的简便运算 4 【考点题型三】有理数加减混合运算的应用 6 【考点题型四】有理数乘除混合运算 8 【考点题型五】有理数的乘方运算 9 【考点题型六】乘方的应用 11 【考点题型七】用科学记数法表示较大的数 12 【考点题型八】有理数的四则混合运算 14 【考点题型九】有理数四则混合运算的实际应用 15 【考点题型十】程序流程图与有理数计算 18 【考点题型十一】含乘方的有理数混合运算 21 期末真题拔高训练15题 23 知识点01:有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点02:有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 知识点03:科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【考点题型一】有理数的加减混合运算 【精讲题】（22-23七年级上·河北邢台·期末）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减的运算法则．由有理数的加减的运算法则进行判断，即可进行判断． 【规范解答】解：根据题意， 甲：，故甲错误； 乙：；故乙正确； 故选：D． 【变式1-1】（20-21七年级下·湖北随州·期末）已知表示不超过的最大整数．如：，．现定义：，如，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数大小的比较，有理数的加减运算，根据题意列出算式计算即可求解，理解题意是解题的关键． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图，乐乐将分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在 a、b、c、d 分别标上其中的一个数，则 的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的加法，根据三个数的和相等依次列式计算即可求解． 【规范解答】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ 又， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（22-23七年级上·湖南邵阳·期末）在，，，， ， ， ，这些数中，正有理数有个，非负整数有个，分数有个，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的减法运算，根据正有理数、非负整数及分数的定义先求出的值，再进行计算即可，熟知有理数的分类是解题的关键． 【规范解答】解：∵，，是正有理数，共个， ，是非负整数，共个， ，，，是分数，共个， ∴，，， ∴， 故选：． 【考点题型二】有理数加减法中的简便运算 【精讲题】（22-23七年级上·全国·期末） 【答案】 【思路点拨】利用有理数的加法结合律，交换律计算即可． 【规范解答】解： ． 【变式2-1】（23-24七年级上·湖北武汉·期末） ， ， ． 【答案】 2 【思路点拨】本题主要考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．根据有理数的运算计算结果即可． 【规范解答】解：， ， ． 故答案为2，，． 【变式2-2】（22-23七年级上·福建泉州·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】按照有理数的加减法运算法则和运算律进行计算． 【规范解答】解：原式 ． 【变式2-3】（22-23七年级上·全国·期末）计算： 【答案】 【思路点拨】先分组，将放在一起计算得到整数，再将结果相加即可； 【规范解答】解： 【考点题型三】有理数加减混合运算的应用 【精讲题】（23-24七年级下·福建莆田·期末）将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【思路点拨】本题考查了整数运算的综合运用，解题的关键是明确三个田字格的所有数字之和中，有两个数被重复计算了．先求出所有数字之和，得出，且n为整数，则，进而推出当时，n有最大值，即可解答． 【规范解答】解：， ∵所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于， ∴，且n为整数， 整理得：， ∴当最大时，n有最大值， ∵n为整数， ∴当时，n有最大值， 此时， 故选：A． 【变式3-1】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数加减混合运算的应用，读懂题意列式子，进行有理数的加减运算即可，做题的关键是读懂题意，列出正确的式子，进行有理数的加减运算． 【规范解答】解：半夜的气温是：， 故答案为：． 【变式3-2】（22-23七年级上·云南红河·期末）某自行车厂计划每天生产20辆自行车，由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 变化量 (1)前三天共生产了多少辆自行车？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产几辆自行车？ 【答案】(1)前三天共生产了67辆自行车 (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产14辆自行车 【思路点拨】本题考查的是有理数的运算和正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量并根据题意进行有理数的加减运算． （1）计算出这一周前三天超产或减产量，得到答案； （2）计算产量最多的一天与产量最少的一天的差即可． 【规范解答】（1）解：（辆） （辆） 答：前三天共生产了67辆自行车． （2）解：（辆） 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产14辆自行车． 【变式3-3】（23-24七年级上·广西北海·期末）某地区的气温在一段时间里，先从上升了，后下降了，则此时的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了有理数加减混合计算的实际应用，温度上升用加法，温度下降用减法，据此列式计算即可． 【规范解答】解：， ∴此时的气温是， 故选：B． 【考点题型四】有理数乘除混合运算 【精讲题】（22-23七年级上·云南红河·期末）计算的结果是（    ） A． B．100 C．4 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的乘除混合运算，先确定运算结果的符号，    依次计算即可． 根据有理数的乘除法法则进行计算即可． 【规范解答】解： ； 故选：D． 【变式4-1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】此题考查了有理数的乘除混合运算，根据有理数的乘除混合运算结合题意即可求解． 【规范解答】解： ． 【变式4-2】（23-24七年级上·北京房山·期末）计算： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查的是加减混合运算，乘除混合运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先把减法化为加法运算，再计算即可； （2）先确定运算符号，再按照从左至右的顺序计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2） 【变式4-3】（23-24七年级上·浙江·期末）计算： ． 【答案】 【思路点拨】根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，计算即可，本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】， 故答案为：． 【考点题型五】有理数的乘方运算 【精讲题】（24-25七年级上·全国·期末）下列算式中，运算结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查有理数的乘方，化简绝对值．利用有理数的乘方，化简绝对值,有理数的乘法运算即可作答． 【规范解答】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 【变式5-1】（24-25七年级上·全国·期末）下列各组数中，结果一定相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方的定义，绝对值的性质对各选项分析判断即可得解． 【规范解答】解：A、，所以与不一定相等，故A选项不符合题意； B、，，所以与不一定相等，故B选项不符合题意； C、，，所以与不一定相等，故C选项不符合题意； D、，，所以与一定相等，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式5-2】（24-25七年级上·全国·期末）在，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】考查了有理数的乘方、绝对值、相反数等知识，判断一个数是正数还是负数，要把它化简成最简形式再判断．先把各式化简，然后根据负数的定义判断即可． 【规范解答】解：，，，， ∴负数有，，共2个． 故选：B． 【变式5-3】（24-25七年级上·全国·期末）有下列算式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中运算结果为正数的是 ，为负数的是 ，为0的是 ．（填序号） 【答案】 ①②④⑤ ⑥ ③ 【思路点拨】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方法则，进行判断即可，再进行分类即可． 【规范解答】解：① 的结果为正数；②的结果为正数；③；④；⑤为正数；⑥为负数， ∴结果为正数的是①②④⑤；为负数的是⑥；为0的是③； 故答案为：①②④⑤；⑥；③ 【考点题型六】乘方的应用 【精讲题】（23-24七年级上·河南郑州·期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”．大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……．文中的鸟巢共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了有理数的乘方．由题意得出算式，求解即可． 【规范解答】解：（个）； 答：文中的鸟巢共有个． 故选：C． 【变式6-1】（23-24七年级上·云南曲靖·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（    ） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查数字的变化规律，乘方运算．根据尾数的循环性得出结论即可， 【规范解答】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 【变式6-2】（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）一根长的小木棒，如果第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，截第四次后，剩下的小木棒的长度为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了有理数乘方的应用，列出正确的算式是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【规范解答】解析：解：根据题意得：， 则截第四次后，剩下的小木棒的长度为． 故答案为：． 【变式6-3】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）设，其中整数满足（n为整数），则当，时， ；当，时，m的最大值为 ． 【答案】 3 196 【思路点拨】本题考查有理数的乘方，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据有理数的乘方法则，计算即可． 【规范解答】解：当，时，则， ， ∴， 当，时，则， ∵，， ∴，，中，最大为7， ∵整数满足， ∴当，，时，， 当，，时，， ∴的最大值为． 故答案为：196． 【考点题型七】用科学记数法表示较大的数 【精讲题】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）据灯塔专业版显示，某电影票房突破55亿元，观影总人次达亿，荣登年度全球票房冠军．将数据55亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【规范解答】解：55亿， 故选：C． 【变式7-1】（24-25七年级上·全国·期末）长沙市文化旅游广电数据显示，年中秋、国庆双节长假首日接待游客约人次，与去年长假首日同比增长．将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【规范解答】解：， 故选B． 【变式7-2】（23-24七年级上·上海杨浦·期末）把用科学记数法表示为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【变式7-3】（23-24七年级下·山东东营·期末）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用，经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000401千克，将0.00000401用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，小数点向左移动为正，小数点向右移动为负，）．根据题意利用科学记数法定义即可得到本题答案． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【考点题型八】有理数的四则混合运算 【精讲题】（22-23七年级上·四川绵阳·期末）计算： ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查的是有理数的混合运算，先计算括号内的运算，再计算除法运算即可． 【规范解答】解： ； 故答案为： 【变式8-1】（23-24七年级上·湖南株洲·期末）计算： ． 【答案】11 【思路点拨】本题主要考查了有理数混合运算， 有理数乘法运算律，按照有理数乘法运算律展开计算乘法，最后再计算加减法即可. 【规范解答】解： ， 故答案为：11. 【变式8-2】（23-24七年级上·吉林·期末）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，根据先乘除后加减的顺序计算即可，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【规范解答】解： ． 【变式8-3】（23-24七年级上·云南昭通·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【思路点拨】题目主要考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘除法运算，然后计算加减法即可； （2）先计算有理数的乘方运算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 【考点题型九】有理数四则混合运算的实际应用 【精讲题】（22-23七年级上·陕西榆林·期末）《行程问题》老李和老王两人沿铁路线相向而行，速度相同，一列火车从老李身边开过用了秒，分钟后火车又从老王身边开过，用了秒，那么从火车遇到老王开始，再过 秒，老李、老王两人相遇． 【答案】 【思路点拨】本题考查相遇问题，路程、速度、时间三者之间的关系．利用已知信息先求出火车速度是人步行速度的倍数，相遇问题，利用路程速度、时间关系即可解答． 【规范解答】解：解：根据题意可知 ①火车速度是人步行速度的： ， ②相遇时间： （分钟）， （秒）． 故答案为：720． 【变式9-1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）中牟“最美”公交线路—“798线路”，是一趟途经方特、绿博园、电影小镇、只有河南、海昌海洋公园等多个景点的环形旅游专线，其中的11个站点如图所示．小明从方特南门开始乘坐这辆公交车，在图中11个公交站点提供志愿服务，到A站下车时，本次志愿者活动结束，约定向海宁皮革城方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，．    (1)请你通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求小明在志愿服务期间乘坐公交车行进的路程是多少千米？ 【答案】(1)站是河南这一站 (2)小明在志愿服务期间乘坐公交行进的路程是千米 【思路点拨】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【规范解答】（1）解： （站）， 即站是河南这一站； （2）解： （站， （千米）， 即小明在志愿服务期间乘坐公交行进的路程是千米． 【变式9-2】（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯的高为． (1)问2个叠放在一起的纸杯的高是多少？ (2)若一批这样的纸杯按照图2的方式叠放，测得总高度为，求纸杯个数． 【答案】(1) (2)101个 【思路点拨】本题考查了有理数混合运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据图1中的数据求出每增加一个纸杯增加的高度即可； （2）根据总高度求出纸杯的个数即可． 【规范解答】（1）根据题意得： ， ， 则2个叠放在一起的纸杯的高是； （2）根据题意得： （个）， 则纸杯个数为101个． 【变式9-3】（22-23七年级上·浙江台州·期末）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小明把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（千克） (1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克； (2)小王第一周实际销售柚子的总量是718千克； (3)小王第一周销售柚子一共收入3590元． 【思路点拨】本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用，读懂题意是解题关键． （1）用销售量最多的一天与销售量最少的饿一天相减，即可得到答案； （2）根据第一周实际销售的柚子数量相加，即可得到答案； （3）用（2）所得实际销售量乘以每千克利润，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：（千克）， 答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克； （2）解：（千克）， 答：小王第一周实际销售柚子的总量是718千克； （3）解：（元）， 答：小王第一周销售柚子一共收入3590元． 【考点题型十】程序流程图与有理数计算 【精讲题】（22-23七年级上·江苏南通·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了流程图与有理数的运算，根据题目所给出的运算程序进行计算得出规律即可．熟练掌握有理数的相关运算法则，根据运算结果得出数字的变化规律是解本题的关键． 【规范解答】解：输入，是奇数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是奇数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是奇数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是奇数，则输出 依次类推，输出分别以、、、、、循环． ． 故第次输出的结果是． 故选：B． 【变式10-1】（22-23七年级上·浙江宁波·期末）按如图所示程序运算，当输出值最小时，输入值在至之间的所有可取整数为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查的是有理数的混合运算，代数式的求值与程序框图的含义，理解题意是解本题的关键．大于的自然数从开始，从输出数值为，等依次分析可得答案． 【规范解答】解：若最小为，①输入为，不在至之间，舍去 ②输入为，不合题意，舍去； 若最小为，①输入为，不在至之间，舍去 ②输入为，可行 ③9可以由除以得到，故可行 综上，最后结果为，； 故答案为：或． 【变式10-2】（23-24七年级上·重庆南岸·期末）按下列图示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（     ） A．6 B．21 C．115 D．231 【答案】D 【思路点拨】观察图示我们可以得出关系式为：，因此将的值代入就可以计算出结果．如果计算的结果等于100则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值为止，即可得出的值．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．一要注意结果才可以输出，二是当等于100是就是重新计算，且输入的就是这个数． 【规范解答】解：依据题中的计算程序列出算式：由于， 应该按照计算程序继续计算， 应该按照计算程序继续计算， 输出结果为231． 故选：D． 【变式10-3】（24-25七年级上·全国·期末）若输入整数，按照下面的程序，计算将无限进行下去且不会输出，则所有可能取到的值为 ． 【答案】0和 【思路点拨】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，流程图的计算，根据图示可得，由此即可求解． 【规范解答】解：根据题意可得，， ∵，且 ∴，， 故答案为：或 ． 【考点题型十一】含乘方的有理数混合运算 【精讲题】（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，绝对值的意义，有理数的乘方等知识，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算绝对值，有理数的乘方，再根据乘法分配律和有理数的混合运算法则计算即可； （2）先算绝对值，有理数的乘方，再根据有理数的混合运算法则计算即可； 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式11-1】（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序，准确计算是解题的关键． （1）根据有理数同号加法法则计算即可； （2）先计算乘方，把除法转化乘法，最后计算加减即可． 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 【变式11-2】（24-25七年级上·全国·期末）计算： 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，根据乘方的意义和绝对值意义分别计算再根据混合运算顺序计算即可 【规范解答】解： ． 期末真题拔高训练15题 1．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算的应用，正确理解题干中的推理过程是解题关键． 仿照题干中的推理过程，令，则，再利用，求出的值，即可得到答案． 【规范解答】解：令， 则， 因此， 所以． 故选：B． 2．（23-24七年级上·河南安阳·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（    ） A．132天 B．72天 C．60天 D．42天 【答案】B 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，根据“满七进一”可知最左边的每个结表示，中间的每个结表示7，最右边每个结表示1，由此可解． 【规范解答】解：孩子已经出生天数为：（天）， 故选B． 3．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）下列计算正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了合并同类项和有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，有理数的混合运算进行计算逐一判断即可． 【规范解答】解：①与不是同类项，原计算错误； ②，原计算错误； ③，原计算正确； ④，原计算正确； 正确的有2个， 故选：B． 4．（22-23七年级上·河南省直辖县级单位·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据合并同类项及有理数的混合运算进行逐项计算即可． 【规范解答】解：A、，故此选择计算错误； B、，故此选择计算正确； C、，故此选择计算错误； D、与不能合并，故此选择计算错误； 故选：B． 5．（22-23七年级上·四川内江·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于3的负数，则的值为（    ） A． B．7 C．4 D．6 【答案】B 【思路点拨】由相反数，倒数，以及绝对值的定义求出，，m的值，代入原式计算即可得到结果． 【规范解答】解：、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于3的负数， ，，， 故选：B． 6．（22-23七年级上·吉林白山·期末）现定义两种新运算“”和“”，对任意有理数a，b，规定：，，例如：，，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，根据新定义运算法则计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）定义运算如下：，如. 若，则x＝ . 【答案】4 【思路点拨】本题考查了新定义下的有理数混合运算及一元一次方程的解法，利用新定义计算正确列出方程是解题关键．先利用题中的新定义计算求出，将方程化为，再利用新定义计算化简为，最后解这个一元一次方程，即得答案． 【规范解答】， ， ， 解得． 故答案为：4． 8．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）计算 的结果是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，先算乘方和括号内的式子，再算括号外的乘法即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·重庆开州·期末）定义新运算：，如：．则 ． 【答案】80 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【规范解答】由题意得： ， 故答案为：80． 10．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“◇”：对于两个有理数、，定义，例如，那么 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了有理数的混合运算，按照定义的新运算代入数值进行计算即可，熟练掌握有理数混合运算的法则和顺序是解题的关键． 【规范解答】由题意得：， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】此题主要考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）先去括号，然后从左向右依次计算即可； （2）首先计算乘方，然后计算除法，最后计算减法，求出算式的值是多少即可； （3）首先计算乘方和括号里面的运算，然后计算括号外面的乘法，最后计算括号外面的减法，求出算式的值是多少即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则进行计算是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除，然后计算加减，即可求解； （2）先计算有理数的乘方和括号内的，再计算乘法，然后计算加减，即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 13．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)14 (2) 【思路点拨】（1）由乘法分配律展开，再由有理数乘法运算分别求解，最后由有理数加减运算法则计算即可得到答案； （2）先算乘方、绝对值，再将除法转化为乘法，利用乘法运算法则求解，再由有理数加减运算法则计算即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 14．（23-24七年级上·浙江台州·期末）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） =16（第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)小红第二步计算出现错误 (2) 【思路点拨】本题考查有理数的乘除法、有理数的乘方，掌握运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）小红的第二步计算出现错误，第二步运算顺序出现错误； （2）根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：小红第二步计算出现错误，运算顺序出现了错误； （2）解：原式 ． 15．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如：将，换算成十进制数应为：， ．按此方式，将二进制换算成十进制数． 【答案】9 【思路点拨】首先理解二进制的含义，再结合四则运算的顺序和计算法则计算即可求解． 考查了二进制位值原则，关键是掌握四则运算的顺序和计算法则，正确进行计算． 【规范解答】解：； 故答案为：9． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 有理数的运算 （知识梳理+11个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】有理数的加减混合运算 3 【考点题型二】有理数加减法中的简便运算 3 【考点题型三】有理数加减混合运算的应用 4 【考点题型四】有理数乘除混合运算 5 【考点题型五】有理数的乘方运算 5 【考点题型六】乘方的应用 6 【考点题型七】用科学记数法表示较大的数 6 【考点题型八】有理数的四则混合运算 7 【考点题型九】有理数四则混合运算的实际应用 7 【考点题型十】程序流程图与有理数计算 9 【考点题型十一】含乘方的有理数混合运算 10 期末真题拔高训练15题 11 知识点01:有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点02:有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 知识点03:科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【考点题型一】有理数的加减混合运算 【精讲题】（22-23七年级上·河北邢台·期末）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【变式1-1】（20-21七年级下·湖北随州·期末）已知表示不超过的最大整数．如：，．现定义：，如，则 ． 【变式1-2】（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图，乐乐将分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在 a、b、c、d 分别标上其中的一个数，则 的值为 ． 【变式1-3】（22-23七年级上·湖南邵阳·期末）在，，，， ， ， ，这些数中，正有理数有个，非负整数有个，分数有个，则的值为（ ） A． B． C． D． 【考点题型二】有理数加减法中的简便运算 【精讲题】（22-23七年级上·全国·期末） 【变式2-1】（23-24七年级上·湖北武汉·期末） ， ， ． 【变式2-2】（22-23七年级上·福建泉州·期末）计算：． 【变式2-3】（22-23七年级上·全国·期末）计算： 【考点题型三】有理数加减混合运算的应用 【精讲题】（23-24七年级下·福建莆田·期末）将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式3-1】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是 ． 【变式3-2】（22-23七年级上·云南红河·期末）某自行车厂计划每天生产20辆自行车，由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 变化量 (1)前三天共生产了多少辆自行车？ (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产几辆自行车？ 【变式3-3】（23-24七年级上·广西北海·期末）某地区的气温在一段时间里，先从上升了，后下降了，则此时的气温是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】有理数乘除混合运算 【精讲题】（22-23七年级上·云南红河·期末）计算的结果是（    ） A． B．100 C．4 D． 【变式4-1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）计算：． 【变式4-2】（23-24七年级上·北京房山·期末）计算： (1)； (2) ． 【变式4-3】（23-24七年级上·浙江·期末）计算： ． 【考点题型五】有理数的乘方运算 【精讲题】（24-25七年级上·全国·期末）下列算式中，运算结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级上·全国·期末）下列各组数中，结果一定相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式5-2】（24-25七年级上·全国·期末）在，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-3】（24-25七年级上·全国·期末）有下列算式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中运算结果为正数的是 ，为负数的是 ，为0的是 ．（填序号） 【考点题型六】乘方的应用 【精讲题】（23-24七年级上·河南郑州·期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”．大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……．文中的鸟巢共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式6-1】（23-24七年级上·云南曲靖·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（    ） A．6 B．4 C．2 D．8 【变式6-2】（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）一根长的小木棒，如果第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，截第四次后，剩下的小木棒的长度为 ． 【变式6-3】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）设，其中整数满足（n为整数），则当，时， ；当，时，m的最大值为 ． 【考点题型七】用科学记数法表示较大的数 【精讲题】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）据灯塔专业版显示，某电影票房突破55亿元，观影总人次达亿，荣登年度全球票房冠军．将数据55亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级上·全国·期末）长沙市文化旅游广电数据显示，年中秋、国庆双节长假首日接待游客约人次，与去年长假首日同比增长．将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24七年级上·上海杨浦·期末）把用科学记数法表示为 ． 【变式7-3】（23-24七年级下·山东东营·期末）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用，经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000401千克，将0.00000401用科学记数法可表示为 ． 【考点题型八】有理数的四则混合运算 【精讲题】（22-23七年级上·四川绵阳·期末）计算： ． 【变式8-1】（23-24七年级上·湖南株洲·期末）计算： ． 【变式8-2】（23-24七年级上·吉林·期末）． 【变式8-3】（23-24七年级上·云南昭通·期末）计算： (1)； (2)． 【考点题型九】有理数四则混合运算的实际应用 【精讲题】（22-23七年级上·陕西榆林·期末）《行程问题》老李和老王两人沿铁路线相向而行，速度相同，一列火车从老李身边开过用了秒，分钟后火车又从老王身边开过，用了秒，那么从火车遇到老王开始，再过 秒，老李、老王两人相遇． 【变式9-1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）中牟“最美”公交线路—“798线路”，是一趟途经方特、绿博园、电影小镇、只有河南、海昌海洋公园等多个景点的环形旅游专线，其中的11个站点如图所示．小明从方特南门开始乘坐这辆公交车，在图中11个公交站点提供志愿服务，到A站下车时，本次志愿者活动结束，约定向海宁皮革城方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，．    (1)请你通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求小明在志愿服务期间乘坐公交车行进的路程是多少千米？ 【变式9-2】（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯的高为． (1)问2个叠放在一起的纸杯的高是多少？ (2)若一批这样的纸杯按照图2的方式叠放，测得总高度为，求纸杯个数． 【变式9-3】（22-23七年级上·浙江台州·期末）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小明把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（千克） (1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为3元千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【考点题型十】程序流程图与有理数计算 【精讲题】（22-23七年级上·江苏南通·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（22-23七年级上·浙江宁波·期末）按如图所示程序运算，当输出值最小时，输入值在至之间的所有可取整数为 ． 【变式10-2】（23-24七年级上·重庆南岸·期末）按下列图示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（     ） A．6 B．21 C．115 D．231 【变式10-3】（24-25七年级上·全国·期末）若输入整数，按照下面的程序，计算将无限进行下去且不会输出，则所有可能取到的值为 ． 【考点题型十一】含乘方的有理数混合运算 【精讲题】（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）计算： (1) (2) 【变式11-1】（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）计算 (1) (2) 【变式11-2】（24-25七年级上·全国·期末）计算： 期末真题拔高训练15题 1．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南安阳·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（    ） A．132天 B．72天 C．60天 D．42天 3．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）下列计算正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（22-23七年级上·河南省直辖县级单位·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·四川内江·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于3的负数，则的值为（    ） A． B．7 C．4 D．6 6．（22-23七年级上·吉林白山·期末）现定义两种新运算“”和“”，对任意有理数a，b，规定：，，例如：，，那么 ． 7．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）定义运算如下：，如. 若，则x＝ . 8．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）计算 的结果是 ． 9．（23-24七年级上·重庆开州·期末）定义新运算：，如：．则 ． 10．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“◇”：对于两个有理数、，定义，例如，那么 ． 11．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 13．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 14．（23-24七年级上·浙江台州·期末）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） =16（第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 15．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如：将，换算成十进制数应为：， ．按此方式，将二进制换算成十进制数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$