精品解析：北京市第十四中学2021-2022学年高一上学期期中测试数学试题

北京十四中2021—2022学年度第一学期期中检测 高一数学测试卷 2021.11 班级：______ 姓名：______ 注意事项 1.本试卷共六页，共25道小题，满分150分.考试时间120分钟. 2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.答题不得使用任何涂改工具. 出题人：高一数学备课组 审核人：高一数学备课组 一、选择题共12题，每题4分，共48分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则（ ）. A. B. C. D. 2. 函数是（ ）. A. 偶函数 B. 奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 3. 方程组的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 命题“，”的否定是（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 设a，b，，则下列命题中为真命题的是（ ）. A. B. C. D. 6. 已知a，，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 7. 已知函数，则下列区间中一定包含零点的是（ ）. A. B. C. D. 8. 已知是一次函数，且，，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则其图象为（ ）. A. B. C. D. 11. 若不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 12. 已知函数其中.若对任意的都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 二、填空题共8小题，每题5分，共40分. 13. 函数的定义域是___________. 14. 不等式的解集为_________． 15. 已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值：______，______. 16. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则______，______. 17. 某车间分批生产某种产品，每批生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品___________件. 18. 写出一个使得命题“恒成立”是假命题的实数的值：_______． 19. 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围___________. 20. 几位同学在研究函数（）时给出了下面几个结论： ①函数的值域为； ②若，则一定有； ③在是减函数； ④若规定，且对任意正整数n都有：，则对任意恒成立. 上述结论中正确结论的序号为______. 三、解答题共5小题，共62分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 21. 集合， （1）求，； （2）. 22. 在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题. 已知函数 （1）若，求函数在上的值域； （2）当___________时，求函数的最小值以及相应的的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分 23. 设函数，. （1）若关于的方程无实数解，求实数的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集. 24. 设函数是定义在上奇函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）试判断函数的单调性，并用定义法证明. 25. 已知是定义在上单调递减函数，对任意实数m，n都有，函数. （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）若，使得（m为常实数）成立，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京十四中2021—2022学年度第一学期期中检测 高一数学测试卷 2021.11 班级：______ 姓名：______ 注意事项 1.本试卷共六页，共25道小题，满分150分.考试时间120分钟. 2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.答题不得使用任何涂改工具. 出题人：高一数学备课组 审核人：高一数学备课组 一、选择题共12题，每题4分，共48分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集运算，可得答案. 【详解】由，则. 故选：D. 2. 函数是（ ）. A. 偶函数 B. 奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，可得答案. 【详解】由函数可知其定义域为， 由，则函数为奇函数. 故选：B. 3. 方程组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用代入消元法计算即可. 【详解】依题意，将代入，得， 解得或， 当时，；当时，； 所以方程组的解集为. 故选：A. 4. 命题“，”的否定是（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定式特称命题分析判断. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 5. 设a，b，，则下列命题中为真命题是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合举反例以及作差法，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A，当时，由，则，故A错误； 对于B，当时，由，则，故B错误； 对于C，当时，由，则，故C错误； 对于D，由，则，即，故D正确. 故选：D. 6. 已知a，，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件以及必要条件的定义，可得答案. 【详解】当时，由，则；由，则. 所以“”是“”既不充分也不必要条件. 故选：D. 7. 已知函数，则下列区间中一定包含零点的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知的零点即为与的交点横坐标，结合函数图象分析求解. 【详解】令，可得， 可知的零点即为与的交点横坐标， 作出与函数图象， 由图象可知：与在内的唯一交点横坐标在内， 结合选项可知：选项B正确，ACD错误. 故选：B. 8. 已知是一次函数，且，，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，代入已知条件求得． 【详解】设，由题意，解得， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查求函数解析式，解题方法是待定系数法．在已知函数类型的情况下一般用待定系数求解析式． 9. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数，反比例函数和二次函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，函数在上为减函数，故A不符合； 对于B，函数在区间上为减函数，故B不符合； 对于C，当时，函数在区间上为增函数，故C符合； 对于D，函数在上单调递减， 在上单调递增，故D不符合. 故选：C. 10. 已知函数，则其图象为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的取值将函数化简，可求得结果. 【详解】根据题意可得，为分段函数， 根据化简后的结果可得当时，有和两个结果， 所以函数的图象为选项C中的图象， 故选：C. 11. 若不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，结合绝对值的性质运算求解. 【详解】原题意即为不等式有解，即， 又因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数a的取值范围是. 故选：B. 12. 已知函数其中.若对任意的都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据增函数的定义可得在上为增函数，再根据分段函数的单调性列式可解得结果. 【详解】因为对任意的都有，所以，即，所以在上为增函数， 所以，因为，所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：抓住分段函数分界点的函数值的大小关系是解题关键，属于基础题. 二、填空题共8小题，每题5分，共40分. 13. 函数的定义域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负得到不等式，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得，即函数的定义域为 故答案为： 14. 不等式的解集为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得结果. 【详解】根据分式不等式解法可知等价于， 由一元二次不等式解法可得或； 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 15. 已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值：______，______. 【答案】 ①. ②. 13 【解析】 【分析】根据题意利用韦达定理运算求解即可. 【详解】对于，则，可得， 所以；. 故答案为：；13. 16. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则______，______. 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】由函数解析式得到，再结合函数的奇偶性得到以及的值. 【详解】当时，， 因为是定义在上的奇函数， 所以，， 故答案：，0. 17. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品___________件. 【答案】80 【解析】 【分析】求出平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和的函数关系式，然后基本不等式求得最小值，得出结论， 【详解】设每批生产x件，由题意平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为， ，当且仅当，即时等号成立． 故答案为：80． 【点睛】本题考查基本不等式的实际应用，解题关键是列出函数关系式，然后由基本不等式求得最小值． 18. 写出一个使得命题“恒成立”是假命题的实数的值：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】对进行分类讨论，根据一元二次不等式恒成立的知识求得正确答案. 【详解】依题意，“恒成立”是假命题， 当时，恒成立，不符合题意. 当时，可以为负数，符合题意. 当时，，解得. 综上所述，或. 故答案为：（答案不唯一） 19. 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围___________. 【答案】 【解析】 【分析】先将函数与轴有个交点，转化成与的交点问题，再作出分段函数的图像，利用数形结合求得范围即可. 【详解】依题意，函数与轴有个交点， 即与有3个交点， 作分段函数的图像如下， 由图可知，的取值范围为. 故答案为：. 20. 几位同学在研究函数（）时给出了下面几个结论： ①函数的值域为； ②若，则一定有； ③在是减函数； ④若规定，且对任意正整数n都有：，则对任意恒成立. 上述结论中正确结论的序号为______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，分析讨论的部分，即可得到上的相关性质，可作出各选项的判断. 【详解】由，且定义域为， 可知函数（）是奇函数， 当时，，得函数在区间上是增函数， 此时的值域为，再结合函数（）是奇函数， 可以得到函数的值域为；故选结论①； 由于函数在区间上是增函数，结合函数（）是奇函数， 可知函数在单调递增，从而有若，则一定有； 故选结论②，不选结论③； 由，根据， 则有， ， 通过不断迭代，一定有：，， 故选④； 故答案为：①②④. 三、解答题共5小题，共62分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 21. 集合， （1）求，； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 分别利用交集，并集求解；（2）补集的运算与交集进行求解即可. 【小问1详解】 由，， 则,; 【小问2详解】 ， 则 22. 在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题. 已知函数 （1）若，求函数在上的值域； （2）当___________时，求函数的最小值以及相应的的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的单调性即可求得在上的值域 （2）利用二次函数轴动区间定进行分类讨论，从而得到的最小值以及相应的的值. 【小问1详解】 因为，所以， 易得开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 又，所以，则， 故在上的值域. 【小问2详解】 选择条件①的解析： 因为开口向上，对称轴为，， 所以当，即时，在上单调递增， 则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 当，即时，在上单调递减， 则； 综上：当时，的最小值为，此时； 当时，的最小值为，此时； 当时，的最小值为，此时. 选择条件②的解析： 因为开口向上，对称轴为，， 所以当，即时，在上单调递增， 则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 综上：当时，的最小值为，此时； 当时，的最小值为，此时； 23. 设函数，. （1）若关于的方程无实数解，求实数的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】（1）根据关于的方程无实数解，可得，解出不等式，即可求出结果； （2）将原不等式化简成，对进行分类讨论，即可求出结果. 【详解】（1）因为关于的方程无实数解，所以，解得， 即实数的取值范围； （2）因为， 所以， 所以 ， 当时，即时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，即时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的关系和二次不等式的解法，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题. 24. 设函数是定义在上的奇函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）试判断函数的单调性，并用定义法证明. 【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，解得的值，再根据，解得的值，从而求得的解析式． （2）设，化简可得，然后再利用函数的单调性定义即可得到结果． 【详解】（1）∵函数是定义在上的奇函数， ∴由，得． 又∵ ， ∴ ，解之得； 所以函数的解析式为：； （2）设， 则 ∵，， ∴，即， 所以在上单调递增． 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，函数解析式的求法，以及利用函数单调性定义证明函数的单调性，属于基础题． 25. 已知是定义在上的单调递减函数，对任意实数m，n都有，函数. （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）若，使得（m为常实数）成立，求m的取值范围. 【答案】（1）0 （2）为上的奇函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，可求得结果； （2）根据题意以及（1）中的可判断； （3）根据函数的单调性以及奇偶性将不等式化简，再根据能成立问题可求得结果. 【小问1详解】 因为， 令，有， 解得； 【小问2详解】 为上的奇函数， 证明：取，由题意及（1）可得， 所以， 所以为上的奇函数； 【小问3详解】 因为， 所以， 结合函数的单调性有，使得成立， 即，成立， 整理可得，使得， 则， 结合二次函数的性质可得二次函数在的最小值为， 所以m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$