专题 反比例角度问题培优讲义2024-2025学年北师大版数学九年级上册

反比例函数——角度问题（一） 【知识点】90°角度的处理 1. 见90°想K型（相似或全等） 2. 用斜率，若ADCD，则斜率乘积为-1. 3. 用勾股定理（易思考，相对计算复杂） 4. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 【例题讲解】 1．如图，点A（1，n）和点B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若∠OAB＝90°，，则k的值是　 　． 2．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，，则k的值为　 　． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N． （1）求k的值； （2）当t＝4时，求△BMN面积； （3）若MA⊥AB，求t的值． 【巩固练习】 1．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为　 　． 2．如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于点A（n，2）和点B． （1）n＝　 　，k＝　 　； （2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标； （3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围． 反比例函数——角度问题（二） 【知识点】反比例中关于60°，120°，30°解决方法 1. 构造30°，60°，90°的直角三角形。（等腰三角形构造直角三角形） 【例题讲解】 1．如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为（0，4），点B在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则点B的坐标为　 　． 2．如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为　 　． 3．如图，点A是双曲线y＝上的动点，连接AO并延长交双曲线于点B，将线段AB绕B顺时针旋转60°得到线段BC，点C在双曲线y＝上的运动，则k＝　 　． 【巩固练习】 1．如图，△ABC是等边三角形，顶点C在y轴的负半轴上，点A（1，），点B在第一象限，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过顶点B，则△ABC的边长为　 　． 2．如图，在反比例函数y＝﹣的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一分支于点 B．在第一象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝的图象上运动，若，则k的值为 。 反比例函数——角度问题（三） 【知识点】一般任意角度的处理方法 1. 正切的和角公式: 2. 一次函数的k值与一次函数与x轴夹角关系： 3. 利用已知角的三角函数构造k型相似。 4. 利用各题自身特点构造相似或勾股解题。 【例题讲解】 1．如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，交反比例函数图象于另一点M，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则CM的长度为 2．如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转α度，tanα＝，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为　 　． 3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 　 　． 反比例函数——角度问题（四） 【知识点】反比例关于45°处理方法 1. 见45°，构造等腰直角三角形，再想k型（全等） 2. 利用半角模型构造全等解题 3. 利用相似解题 【例题讲解】 1．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为　 　． 2．如图，点P，Q是直线y＝﹣上的两点，P在Q的左侧，且满足OP＝OQ，OP⊥OQ，则点P的坐标是　 　． 3．如图所示，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，8），B（6，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（　　） A．64 B．60 C．80 D．144 4．如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝　 　． 5．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，Rt△AOB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P在函数y＝（x＜0）的图象上，PB，PA的延长线分别交x轴，y轴于点C，D，连接CD，△COD的面积是16，则k的值为 　 　；当点B的坐标为（0，2）时，则点A的坐标为 　 　． 反比例函数——角度问题（一） 参考答案详细解析 【知识点】90°角度的处理 5. 见90°想K型（相似或全等） 6. 用斜率，若ADCD，则斜率乘积为-1. 7. 用勾股定理（易思考，相对计算复杂） 8. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 【例题讲解】 1．如图，点A（1，n）和点B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若∠OAB＝90°，，则k的值是　2　． 【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥AC于D，则∠ACO＝∠BDA＝90°，OC＝1，AC＝n，先判定△AOC∽△BAD，即可得到AD＝，BD＝，进而得出B（1+，n﹣），依据k＝1×n＝（1+）（n﹣）可得到n的值，即可得到k的值． 【解答】解：如图，过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥AC于D，则∠ACO＝∠BDA＝90°，OC＝1，AC＝n， ∵∠BAO＝90°， ∴∠CAO+∠BAC＝∠ABD+∠BAC＝90°， ∴∠CAO＝∠DBA， ∴△AOC∽△BAD， ∴＝＝，即， ∴AD＝，BD＝， ∴B（1+，n﹣）， ∵k＝1×n＝（1+）（n﹣）， 解得n＝2或n＝﹣0.5（舍去）， ∴k＝1×2＝2， 故答案为：2． 2．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，，则k的值为　﹣　． 【分析】作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，证明Rt△OBD∽Rt△AOC，利用相似三角形的性质得到＝，利用反比例函数k的几何意义得到＝，从而解绝对值方程得到满足条件的k的值． 【解答】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图， ∵OA⊥OB， ∴∠BOD+∠AOC＝90°， ∵∠BOD+∠OBD＝90°， ∴∠AOC＝∠OBD， ∴Rt△OBD∽Rt△AOC， ∴＝（）2＝（）2＝， ∵S△OBD＝|k|，S△AOC＝×4＝2， ∴＝， 而k＜0， ∴k＝﹣． 故答案为﹣． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N． （1）求k的值； （2）当t＝4时，求△BMN面积； （3）若MA⊥AB，求t的值． 【分析】（1）直接把点A（8，1）代入反比例函数y＝，求出k的值即可； （2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，利用t＝4得出M和N的坐标，进而求出△BMN的面积； （3）过点A作AQ⊥y轴于点Q，延长AM交y轴于点P，根据△ABQ∽△PAQ得出P点坐标，求出直线AP的解析式，进而可得出结论． 【解答】解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y＝（x＞0）， 得：k＝1×8＝8，即k＝8； （2）设直线AB的解析式为：y＝ax+b， 根据题意得：，解得：， ∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3； 当t＝4时，M（4，2），N（4，﹣1）， 则MN＝3， ∴△BMN的面积＝×3×4＝6； （3）如图，过点A作AQ⊥y轴于点Q，延长AM交y轴于点P， ∵MA⊥AB， ∴△ABQ∽△PAQ， ∴＝，即＝，解得PQ＝16， ∴P（0，17）． 又∵A（8，1）， ∴直线AP的解析式为：y＝﹣2x+17． ∴解方程﹣2x+17＝，得x1＝，x2＝8， ∴t＝． 【巩固练习】 1．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为　2　． 【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO＝∠ACO＝90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO＝4，S△AOC＝，根据相似三角形的性质得到＝（）2＝＝4，求得＝2，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D， 则∠BDO＝∠ACO＝90°， ∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上， ∴S△BDO＝＝2，S△AOC＝， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°， ∴∠DBO＝∠AOC， ∴△BDO∽△OCA， ∴＝（）2＝＝4， ∴＝2， ∴tan∠BAO＝＝2， 故答案为：2． 2．如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于点A（n，2）和点B． （1）n＝　﹣4　，k＝　﹣　； （2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标； （3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式求得n，再把求得的A点坐标代入正比例函数解析式求得k； （2）可设点C（0，b），只要求出b的值就行，求值一般的方法是相似和勾股定理，此题用相似，只需证明△ACD∽△CBE即可； （3）在x轴上找到点P1，P2，使AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，则点P在P1的左边，在P2的右边就符合要求了． 【解答】解：（1）把A（n，2）代入反比例函数y＝﹣中，得n＝﹣4， ∴A（﹣4，2）， 把A（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，得k＝﹣， 故答案为：﹣4；﹣； （2）过A作AD⊥y轴于点D，过B作BE⊥y轴于点E， ∵A（﹣4，2）， ∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2）， 设C（0，b），则CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝4，CE＝b+2， ∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°， ∴∠ACO＝∠CBE， ∵∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴△ACD∽△CBE， ∴，即， 解得，b＝2，或b＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴C（0，2）； 另一解法：∵A（﹣4，2）， ∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2）， ∴， ∵∠ACB＝90°，OA＝OB， ∴， ∴）； （3）如图2，在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得OP1＝OP2＝OA＝OB， ∴， ∴P1（﹣2，0），P2（2，0）， ∵OP1＝OP2＝OA＝OB， ∴四边形AP1BP2为矩形， ∴AP1⊥P1B，AP2⊥BP2， ∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角， ∴P点必在P1的左边或P2的右边， ∴m＜﹣2或m＞2． 另一解法：在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得∠AP1B＝∠AP2B＝90°， 则， ∴， ∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角， ∴P点必在P1的左边或P2的右边， ∴m＜﹣2或m＞2． 反比例函数——角度问题（二） 【知识点】反比例中关于60°，120°，30°解决方法 1.构造30°，60°，90°的直角三角形。（等腰三角形构造直角三角形） 【例题讲解】 1.如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为（0，4），点B在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则点B的坐标为　（2，0）或（﹣，0）　． 【分析】作CD⊥AB于D，CG⊥x轴于G，过D点作EF∥OB，交y轴于E，交CG于F，由等边三角形的性质得出D为AB的中点，根据点C是反比例函数y＝的图象上一点，设点C的坐标为（x，），点B的坐标为（a，0），D的坐标为（，2）；然后根据△AED∽△DFC的性质，得出a、x的两个关系式，解关系式求得a的值，即可求得点B的坐标． 【解答】解：如图，作CD⊥AB于D，CG⊥x轴于G，过D点作EF∥OB，交y轴于E，交CG于F， ∵△ABC是等边三角形，CD⊥BC， ∴BD＝AD， 设点C的坐标为（x，），点B的坐标为（a，0）， ∵A（0，4）， ∴AB的中点D的坐标为（，2）； ∵CD⊥AB， ∴∠ADE+∠CDF＝90°， ∵∠ADE+∠DAE＝90°， ∴∠DAE＝∠CDF， ∵∠AED＝∠CFD＝90°， ∴△AED∽△DFC， ∴，即＝tan60°， 整理，可得x﹣＝2①，2+a＝②， 由①②整理得，a2+4a﹣33＝0 解得a1＝2，a2＝﹣， ∴B（2，0）或（﹣，0）， 故答案为（2，0）或（﹣，0）． 2．如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为　3　． 【分析】连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，证明△AOD∽△OCE，根据相似三角形的性质求出△AOD和△OCE面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出S△AOD，得到S△EOC，求出k的值． 【解答】解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E， ∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°， ∴CO⊥AB，∠CAB＝30°， 则∠AOD+∠COE＝90°， ∵∠DAO+∠AOD＝90°， ∴∠DAO＝∠COE， 又∵∠ADO＝∠CEO＝90°， ∴△AOD∽△OCE， ∴＝＝＝tan60°＝， ∴＝（）2＝3， ∵点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点， ∴S△AOD＝×|xy|＝， ∴S△EOC＝，即×OE×CE＝， ∴k＝OE×CE＝3， 故答案为：3． 3．如图，点A是双曲线y＝上的动点，连接AO并延长交双曲线于点B，将线段AB绕B顺时针旋转60°得到线段BC，点C在双曲线y＝上的运动，则k＝　﹣9　． 【分析】连接OC，易证AO⊥OC，OC＝OA．由∠AOC＝90°想到构造K型相似，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，可证△AEO∽△OFC．从而得到OF＝AE，FC＝EO．设点A坐标为（a，b），则ab＝3，设点C坐标为（x，y），从而有FC•OF＝﹣xy＝﹣9，即k＝xy＝﹣9． 【解答】解：∵双曲线y＝关于原点对称， ∴点A与点B关于原点对称． ∴OA＝OB． 连接OC，AC，如图所示． ∵将线段AB绕B顺时针旋转60°得到线段BC， ∴△ABC是等边三角形，OA＝OB， ∴OC⊥AB，∠BAC＝60°， ∴tan∠OAC＝＝， ∴OC＝OA． 过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F， ∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA， ∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF， ∴△AEO∽△OFC． ∴＝＝． ∵OC＝OA， ∴OF＝AE，FC＝EO． 设点A坐标为（a，b）， ∵点A在第一象限， ∴AE＝a，OE＝b． ∴OF＝AE＝a，FC＝EO＝b． ∵点A在双曲线y＝上， ∴ab＝3． ∴FC•OF＝b•a＝3ab＝9， 设点C坐标为（x，y）， ∵点C在第四象限， ∴FC＝x，OF＝﹣y． ∴FC•OF＝x•（﹣y）＝﹣xy＝9． ∴xy＝﹣9． ∵点C在双曲线y＝上， ∴k＝xy＝﹣9． 故答案为：﹣9． 【巩固练习】 1．如图，△ABC是等边三角形，顶点C在y轴的负半轴上，点A（1，），点B在第一象限，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过顶点B，则△ABC的边长为　2　． 【分析】如图延长AB到D，使得AB＝BD，连接CD，作AH⊥y轴于H，DE⊥y轴于E．设C（0，c）．由△ACH∽△CDE，推出＝＝＝，由A（1，），推出AH＝1，CH＝﹣c，推出EC＝，DE＝﹣c，推出D（﹣c，c﹣），根据BA＝BD，可得B（，），因为A、B在y＝上，可得＝×，解方程求出点C坐标即可解决问题； 【解答】解：如图延长AB到D，使得AB＝BD，连接CD，作AH⊥y轴于H，DE⊥y轴于E．设C（0，c）． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC， ∵AB＝BD， ∴BA＝BC＝BD， ∴△ACD是直角三角形， ∵∠CAD＝60°， ∴DC＝AC， ∵∠ACD＝∠AHC＝∠DEC＝90°， ∴∠ACH+∠DCE＝90°， ∵∠ECD+∠CDE＝90°， ∴∠ACH＝∠CDE， ∴△ACH∽△CDE， ∴＝＝＝， ∵A（1，）， ∴AH＝1，CH＝﹣c， ∴EC＝，DE＝﹣c， ∴D（﹣c，c﹣）， ∵BA＝BD， ∴B（，）， ∵A、B在y＝上， ∴＝•， 整理得：4c2﹣16c﹣11＝0， 解得c＝﹣或（舍弃）， ∴C（0，﹣）， ∴AC＝＝＝2， 故答案为2． 2．如图，在反比例函数y＝﹣的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一分支于点 B．在第一象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝的图象上运动，若，则k的值为（　　） A． B．6 C．8 D．16 【分析】由反比例函数的性质可知OA＝OB，由等腰三角形三线合一可得OC⊥AB，进而得出三角形相似，然后将，转化为，由勾股定理可得，即三角形的相似比为，设AD、OD的长，就能表示出OE、CE的长，根据反比例函数图象上点的特征，可以求出k的值．主要考查反比例函数、相似三角形、等腰三角形的性质等知识． 【解答】解：过点A、C作AD⊥y轴、CE⊥y轴，垂足为D、E，连接CO， 则∠ADO＝∠CEO＝90°，如图所示： ∵A、B是反比例函数y＝图象上关于原点对称的两点， ∴OA＝OB， 又∵AC＝BC， ∴OC⊥AB， ∴∠AOD+∠COE＝90°， ∴△AOD∽△OCE， ∴， 又∵， ∴， ∴＝， 设AD＝a，OD＝b，则OE＝，CE＝， ∵ab＝2 ∴OE×CE＝， 即：k＝16 故选：D． 反比例函数——角度问题（三） 【知识点】一般任意角度的处理方法 1.正切的和角公式: 2.一次函数的k值与一次函数与x轴夹角关系： 3.利用已知角的三角函数构造k型相似。 4.利用各题自身特点构造相似或勾股解题。 【例题讲解】 1．如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，交反比例函数图象于另一点M，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则CM的长度为（　　） A．5 B．6 C．4 D．5 【分析】过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，则△ABF为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB，设BD＝a，则EF＝a，进一步得到DF＝2﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，根据AE+OD＝3，列出2﹣a+2﹣a＝3，求得a的值，即可求得F的坐标，根据待定系数法求得直线AF的解析式，再解方程组即可得到C点坐标；依据点A（2，3）和点B（0，2），即可得到直线AB的解析式为y＝x+2，解方程组可得点M的坐标，进而得出CM的长． 【解答】解：如图，过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，则△ABF为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB，设BD＝a，则EF＝a， ∵点A（2，3）和点B（0，2）， ∴DF＝2﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a， ∵AE+OD＝3， ∴2﹣a+2﹣a＝3， 解得a＝， ∴F（，）， 设直线AF的解析式为y＝kx+b，则， 解得， ∴直线AF的解析式为y＝3x﹣3， ∵双曲线y＝经过点A（2，3）， ∴k＝2×3＝6， ∴双曲线为y＝， 解方程组，可得或， ∴C（﹣1，﹣6）， 由点A（2，3）和点B（0，2），可得直线AB的解析式为y＝x+2， 解方程组，可得或， ∴M（﹣6，﹣1）， ∴CM＝＝5， 故选：D． 2．如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转α度，tanα＝，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为　（﹣，﹣）　． 【分析】过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，得到△AEF∽△FDB，依据相似三角形的性质，即可得出F的坐标，进而得出直线AF的解析式，解方程组即可得到C点坐标． 【解答】解：如图，过B作BF⊥AC于点F，过F作FD⊥y轴于点D，过A作AE⊥DF于点E， 则△AEF∽△FDB， ∵tanα＝， ∴＝＝， ∴设BD＝a，则EF＝2a， ∵点A（2，3）和点B（0，2）， ∴DF＝2﹣2a，OD＝OB﹣BD＝2﹣a， ∴AE＝2DF＝4﹣4a， ∵AE+OD＝3， ∴4﹣4a+2﹣a＝3， 解得a＝， ∴F（ ，）， 设直线AF的解析式为y＝ax+b，则，解得， ∴y＝x+， ∵点A在反比例函数y＝的图象上， ∴3＝， ∴k＝6， ∴y＝， 解方程组 ，可得 （不合题意舍去）或 ， ∴C（﹣，﹣）， 故答案为（﹣，﹣）． 3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 　（，1）　． 【分析】作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，解直角三角形求得OE＝，即可求得C的坐标，根据待定系数法求的反比例函数的解析式，进一步表示出M（n，n），代入解析式即可求得结果． 【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1， ∵∠AOB＝30°， ∴OE＝AE＝， 将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，）， ∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上， ∴k＝1×＝， ∴y＝， ∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°， ∴∠DOM＝60°， ∴∠MOF＝30°， ∴OF＝MF， 设MF＝n，则OF＝n， ∴M（n，n）， ∵点M在函数y＝的图象上， ∴n＝， ∴n＝1（负数舍去）， ∴M（，1）， 故答案为（，1）． 反比例函数——角度问题（四） 【知识点】反比例关于45°处理方法 1.见45°，构造等腰直角三角形，再想k型（全等） 2.利用半角模型构造全等解题 3.利用相似解题 【例题讲解】 1．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为　1+　． 【分析】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°，由等腰三角形的判定与性质得出OA＝BA，∠OAB＝90°，证出∠AOM＝∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM＝BN＝，OM＝AN＝，求出B（+，﹣），得出方程（+）•（﹣）＝k，解方程即可． 【解答】解：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示： 则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°， ∴∠AOM+∠OAM＝90°， ∵∠AOB＝∠OBA＝45°， ∴OA＝BA，∠OAB＝90°， ∴∠OAM+∠BAN＝90°， ∴∠AOM＝∠BAN， 在△AOM和△BAN中，， ∴△AOM≌△BAN（AAS）， ∴AM＝BN＝，OM＝AN＝， ∴OD＝+，BD＝﹣， ∴B（+，﹣）， ∴双曲线y＝（x＞0）同时经过点A和B， ∴（+）•（﹣）＝k， 整理得：k2﹣2k﹣4＝0， 解得：k＝1±（负值舍去）， ∴k＝1+； 故答案为：1+． 2．如图，点P，Q是直线y＝﹣上的两点，P在Q的左侧，且满足OP＝OQ，OP⊥OQ，则点P的坐标是　（﹣，）　． 【分析】证明△PMO≌△ONQ（AAS），则PM＝ON，OM＝QN，设点P（m，﹣m+2），则点Q（﹣m+2，﹣m），即可求解． 【解答】解：分别过点P、Q作x轴的垂线交于点M、N， ∵OP⊥OQ，∴∠POM+∠QON＝90°，而∠QON+∠OQN＝90°， ∴∠OQN＝∠MOP，OP＝OQ，∠PMO＝∠ONQ＝90°， ∴△PMO≌△ONQ（AAS）， ∴PM＝ON，OM＝QN， 设点P（m，﹣m+2），则点Q（﹣m+2，﹣m）， 将点Q的坐标代入y＝﹣得：﹣m＝﹣（﹣m+2）+2， 解得：m＝﹣， 故点P（﹣，）， 故答案为：（﹣，）． 3．如图所示，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，8），B（6，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（　　） A．64 B．60 C．80 D．144 【分析】过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB＝10，根据角平分线的性质得PE＝PC＝PD，设P（t，t），利用面积的和差得到×t×（t﹣8）+×10×t+×t×（t﹣6）+×6×8＝t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y＝中求出k的值． 【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图， ∵A（0，8），B（6，0）， ∴OA＝8，OB＝6， ∴AB＝＝10， ∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P， ∴PE＝PC，PD＝PC， ∴PE＝PC＝PD， 设P（t，t），则PC＝t， ∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD， ∴×t×（t﹣8）+×10×t+×t×（t﹣6）+×6×8＝t×t， 解得t＝12， ∴P（12，12）， ∵P恰好在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝12×12＝144． 故选：D． 4．如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝　8　． 【分析】证明△ODA∽△CDO，则OD2＝CD•DA，而则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣8n+16，CD＝（m+n﹣4），DA＝n，即可求解． 【解答】解：点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4）， 即：OA＝OB，∴∠OAB＝45°＝∠COD， ∠ODA＝∠ODA，∴△ODA∽△CDO， ∴OD2＝CD•DA， 设点E（m，n），则点D（4﹣n，n），点C（m，4﹣m）， 则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣8n+16， CD＝（m+n﹣4），DA＝n， 即2n2﹣8n+16＝（m+n﹣4）×n， 解得：mn＝8＝k， 故答案为8． 5．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，Rt△AOB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P在函数y＝（x＜0）的图象上，PB，PA的延长线分别交x轴，y轴于点C，D，连接CD，△COD的面积是16，则k的值为 　﹣16　；当点B的坐标为（0，2）时，则点A的坐标为 　（﹣，0）　． 【分析】过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，PG⊥AB于G，连接OP．利用角平分线的性质得出PE＝PF，可以假设P（﹣m，m）（m＞0），则k＝﹣m2，利用勾股定理得到m2+m2＝OP2，通过证得△COP∽△POD，得到OP2＝OC•OD＝32，即可求得k的值． 【解答】解：过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，PG⊥AB于G，连接OP． ∵△AOB的两条外角平分线交于点P， ∴PE＝PG，PF＝PG， ∴PE＝PF，且点P在第二象限， ∴可以假设P（﹣m，m），且m＞0， ∵P在反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象上， ∴k＝﹣m2， ∵∠POA＝∠POB＝∠CPD＝45°， ∴∠COP＝∠POD＝135°， ∵∠POB＝∠PDO+∠OPD＝45°，∠OPC+∠OPD＝45°， ∴∠PDO＝∠OPC， ∴△COP∽△POD， ∴＝， ∴OP2＝OC•OD， ∵△COD的面积是16， ∴OC•OD＝16， ∴OC•OD＝32 ∴OP2＝32， ∴OP＝＝4， 根据勾股定理，m2+m2＝32， ∴k＝﹣m2＝﹣16， ∵m2＝16，m＞0， ∴m＝4， ∴OE＝OF＝4， ∵B（0，2）， ∴OB＝2， ∴BF＝2， ∵∠PGB＝∠PFB＝90°，PF＝PG，PB＝PB， ∴Rt△PGB≌Rt△PFB（HL）， ∴BG＝BF＝2， 同理AG＝AE， 设点A（a，0），a＜0， ∴OA＝﹣a， ∴AG＝AE＝4﹣（﹣a）＝4+a， ∴AB＝AG+BG＝4+a+2＝a+6， ∵OA2+OB2＝AB2，即（﹣a）2+22＝（a+6）2， 解得：a＝﹣， ∴A（﹣，0）． 故答案为﹣16；（﹣，0）． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$