专题06 圆中的重要模型之圆幂定理模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题06 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.相交弦模型 2 模型2.双割线模型 4 模型3.切割线模型 5 模型4.弦切角模型 7 模型5.托勒密定理模型 9 12 模型1.相交弦模型 相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点，，，在上，，．若，，则的长是 ．    例2．（23-24九年级下·湖北·期末）九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB=PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程． 小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程． 例3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，四边形内接于，交于点E，，．  (1)求证：；(2)若，，求的长． 模型2.双割线模型 割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ 例1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图：、为⊙O的两条割线，若，，则的长为（　　）    A．10 B．7 C． D．3 例2．（2023·湖北九年级月考）如图，割线交于、两点，且，交于，，，则的长为（        ） A． B． C． D． 例3．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，延长弦、弦，交于圆外一点A，连接． (1)证明：；(2)若，求． 模型3.切割线模型 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 例1．（2023春·河南·九年级专题练习）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．    例2．（2023春·河南洛阳·九年级统考期中）圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．你能给出证明吗？ 下面是证明的开头： 已知：如图①，点P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于A，割线PBC与圆相交于点B、C． 求证：PA2＝PB•PC 证明：如图②，连接AB、AC、B0、AO， 因为PA切⊙0于点A，∴．PA⊥AO，∠PAB＋∠BAO＝90°． 阅读以上材料，完成下列问题：(1)补充完成上面的证明过程； (2)如图③，割线PDE与⊙O交于D、E，且PB＝BC＝4，PE＝7，求DE的长． 例3．（2024·陕西宝鸡·三模）如图，是圆的弦，过点作圆的切线，点是上一点，连接交圆于点，延长交圆于点，连接，与互余，． (1)求证：是圆的直径；(2)若圆的半径为，，求的长． 模型4.弦切角模型 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 例1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，点A、B、C在O上，直线与O相切于点A． (1)试问：与有怎样的大小关系？证明你的结论； (2)如果我们把形如这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论． 例2．（2023春·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考 阅读下面内容并完成任务： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明； (2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题； (3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 模型5.托勒密定理模型 托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 例1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 例2．（2023春·河南平顶山·九年级校联考阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务： 罗狄斯托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约90年168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家、占星学家和光学家． 托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善． 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 如图1，四边形内接于，求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图1，作，交于点E．∵，∴（依据1），∴（依据2），∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，… 任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______； (2)请完成后续证明；(3)如图2，以为直径的中，点C为上一点，且，的角平分线交于点D，连接，若，求的长． 例3．（2023·河南南阳·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，______． 求证：______． 证明：如图2，作，交BD于点E，…… ∴∽，∴，…… ∴∽，∴， ∴． (1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程； (2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长． 1．（23-24九年级上·山东·期中）是外一点，切于，割线交于点、，若，则的长是（       ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，为外一点，过点作的两条割线，分别交于、和、，且为的直径，已知，弧弧，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图所示，是圆O的直径，是圆的切线，E为切点，，若与圆的交点为D，且，则的大小为 ． 5．（2023·湖南岳阳·统考二模）请阅读下列材料，解答问题： 克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理． 托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和． 如图，正五边形ABCDE内接于，，则对角线BD的长为 ． 6．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三种不同情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明．为上的点，直线相交于点． 证明 情况一点P在⊙O内时，连接（如图1）： ，∴ ∴，即 情况二点P在⊙O外时（如图2）： 情况三当点A和点B重合时（如图3） 7．（23-24九年级上·河南新乡·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，接水槽所在的直线是圆O的切线，且与直线交于点M，当点P恰好在MN所在的直线上，P、O、C三点共线，是圆O的直径时，解决下面的问题： (1)求证：；(2)求证：；(3)若，，，求的长．    8．（2023·广东珠海·统考一模）如图，为正的外接圆，为劣弧上任一点，的延长线和的延长线交于点．(1)求；(2)求证：．    9．（2023·广东汕头·校考一模）如图，是的直径，点C，D在上，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：是的切线；(2)求证：(3)若，求的长． 10．（2023·湖北·校联考二模）如图，已知是的直径，点是上一点，连接，，过点作直线于点，点是上一点，直线交于点，连接，与直线交于点． (1)求证：；(2)若，，求的长． 11．（2023·山东聊城·九年级统考期中）顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图①所示：PA切⊙O于点A，AB是⊙O的一条弦，∠PAB就是⊙O的一个弦切角．经研究发现：弦切角等于它夹弧所对的圆周角．根据下面的“已知”和“求证”，写出“证明”过程，并回答后面的问题． （1）如图1，PA是⊙O的切线，A为切点，AC为直径，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C．求证：∠PAB＝∠C．（2）如图2，PA是⊙O的切线，A为切点，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠D．求证：∠PAB＝∠D． （3）如图3，AB为半⊙O的直径，O为圆心，C，D为半⊙O上两点，过点C作半⊙O的切线CE交AD的延长线于点E，若CE⊥AD，且BC＝1，AB＝3，求DE的长． 12．（2023·河南平顶山·统考二模）顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图①所示：切于点，交于点，，就是的一个弦切角．经研究发现：弦切角等于所夹弧所对的圆周角．下面给出了上述命题的“已知”和“求证”，请写出“证明”过程，并回答后面的问题． （1）已知，如图①，是的切线，为切点，射线交于，两点，连接，．求证：．（2）如图②，为半的直径，为圆心，，为半上两点，过点作半的切线交的延长线于点，若，且，，则______． 13．（2023·河北保定·九年级统考期中）阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如下左图∠ABC所示．  同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图甲） 证明：∵AB切⊙O于点A，  ∴∠CAB=90°， 又∵AC是直径， ∴∠P=90° ∴∠CAB=∠P 问题拓展：若AC不经过圆心O（如图乙），该结论:弦切角∠CAB=∠P还成立吗？ 请说明理由． 知识运用：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．  求证：EF∥BC．    14．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）如图，是的直径，是弦，于，是的切线，是的割线，是弧上的一动点，连接、． (1)求证：；(2)若，，则当为何值是，． 15．（2023·浙江·九年级培优）如图，为的切线，为的割线，于点，的外接圆与的另一个交点为．证明：． 16．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两弦相交于点P． 求证：． 证明：如图1，连接． ∵，．∴，（根据） ∴@，∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径． 17．（2023·广东九年级期中）已知半径为 如图，过内一点作弦，连接．求证：． 如图，过外一点，作割线，求证：． 18．（2023春·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务 托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积． 下面是该定理的证明过程（部分） 已知：如图①四边形是的内接四边形 求证： 证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得 又∵ ∴ ∴  ∴， 又， ∴ ∴ ∴，∴ ∴               ∴   即 任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．       原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.相交弦模型 2 模型2.双割线模型 6 模型3.切割线模型 8 模型4.弦切角模型 12 模型5.托勒密定理模型 15 21 模型1.相交弦模型 相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点，，，在上，，．若，，则的长是 ．    【答案】 【分析】如图，连接，设交于点，根据题意可得是的直径，，设，证明，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出，根据，勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交于点，    ∵是的直径，， ，， 在中， ， ，，， 设则， ，，， 中，， ，， 又，，，，， ，，，解得， ，故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 例2．（23-24九年级下·湖北·期末）九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB=PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程． 小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程． 【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径R为7． 【分析】（1）连结AC，BD，根据圆周角定理得到∠C=∠B，∠A=∠D，再根据三角形相似的判定定理得到△APC∽△DPB，利用相似三角形的性质得AP：DP=CP：BP，变形有AP•BP=CP•DP；由此得到相交弦定理； （2）由AB=10，PA=4，OP=5，易得PB=10-4=6，PC=OC-OP=R-5，PD=OD+OP=R+5，根据相交弦定理得到PA•PB=PC•PD，即4×6=（R-5）×（R+5），解方程即可得到R的值． 【详解】（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知，如图1，⊙O的两弦AB、CD相交于E，求证：AP•BP=CP•DP． 证明如下：连结AC，BD，如图1， ∵∠C=∠B，∠A=∠D，∴△APC∽△DPB， ∴AP：DP=CP：BP，∴AP•BP=CP•DP； 所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． （2）过P作直径CD，如图2， ∵AB=10，PA=4，OP=5，∴PB=10﹣4=6，PC=OC﹣OP=R﹣5，PD=OD+OP=R+5， 由（1）中结论得，PA•PB=PC•PD，∴4×6=（R﹣5）×（R+5）， 解得R=7（R=﹣7舍去）．所以⊙O的半径R=7． 【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握相交弦定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键. 例3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，四边形内接于，交于点E，，．  (1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）设，则，由等腰三角形的性质求得，再由，从而得出，则，即可得证结论； （2）由，得，又因为，所以，再证明，得，从而求得，然后在中，由勾股定理，得，求出长，从面是求出长． 【详解】（1）证明：∵∴设，则， ∵∴∴ ∵∴，； （2）解：由（1），∴，∴， ∵∴∴ ∵，∴∴， ∵∴∴ 在中，由勾股定理，得∴ 解得：或(不符合题意，舍去)，∴． 【点睛】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识是解题的关键． 模型2.双割线模型 割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ 例1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图：、为⊙O的两条割线，若，，则的长为（　　）    A．10 B．7 C． D．3 【答案】B 【分析】如图，连接，，可证，可得，从而可求得的长，进而可得到的长． 【详解】解：如图，连接，，    ∵，∴ 又∴∴     ∵，，，∴，∴．故选：B． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形性质，相似三角形的判定和性质，由相似三角形得到线段间数量关系是解题的关键． 例2．（2023·湖北九年级月考）如图，割线交于、两点，且，交于，，，则的长为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设AB=x，PA=2x，则PB=3x.根据割线定理列方程求解即可. 【详解】延长PO交圆于D.∵，∴可设AB=x，PA=2x，则PB=3x. ∵，，∴PO=2+2+3=7. ∵PA·PB=PC·PO，∴2x · 3x=3×7, ∴x=,∴PA=2x= ，故选B. 【点睛】本题考查了割线的性质，从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 例3．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，延长弦、弦，交于圆外一点A，连接． (1)证明：；(2)若，求． 【答案】(1)见解析(2)10 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再由，即可证得； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵，∴∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 模型3.切割线模型 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 例1．（2023春·河南·九年级专题练习）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．    【答案】 【分析】连接，连接并延长交于点D，连接，利用余角的性质证明，推出，进而得到，利用等式即可求出． 【详解】解：连接，连接并延长交于点D，连接，    ∵切于点A，∴，∴， ∵为的直径，∴，∴，∴ 又∵，∴，∴，∴， 而，∴，∴（负值舍去）．故填空答案：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的切线的性质定理，圆周角定理，正确利用定理是解决本题的关键． 例2．（2023春·河南洛阳·九年级统考期中）圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．你能给出证明吗？ 下面是证明的开头： 已知：如图①，点P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于A，割线PBC与圆相交于点B、C． 求证：PA2＝PB•PC 证明：如图②，连接AB、AC、B0、AO， 因为PA切⊙0于点A，∴．PA⊥AO，∠PAB＋∠BAO＝90°． 阅读以上材料，完成下列问题：(1)补充完成上面的证明过程； (2)如图③，割线PDE与⊙O交于D、E，且PB＝BC＝4，PE＝7，求DE的长． 【答案】(1)见解析 (2)DE的长为 【分析】（1）先证，得，即可得答案；（2）结合（1）同理可得，所以 ，然后代入值即可求出 PD 的长，进而可得 DE 的长． 【详解】（1）证明：如图②，连接AB、AC、BO、AO， ∵PA切于点A，∴，即， ∵，  ∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵ ，∴，又∵，∴， ∴，        ∴； （2）由（1）， 同理， ∴，       ∴， ∴，∴DE的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证明 ． 例3．（2024·陕西宝鸡·三模）如图，是圆的弦，过点作圆的切线，点是上一点，连接交圆于点，延长交圆于点，连接，与互余，． (1)求证：是圆的直径；(2)若圆的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了圆周角定理；切线的性质，相似三角形的性质与判定； （1）连接，根据题意可得得出是圆的直径，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而得出，即可证明是圆的直径．（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：连接，与互余，， ，，是圆的直径． ，，，是圆的直径． （2）解：是圆的直径，点为圆心，，， 是圆的切线，，即，， ，，， ，，，． 模型4.弦切角模型 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 例1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，点A、B、C在O上，直线与O相切于点A． (1)试问：与有怎样的大小关系？证明你的结论； (2)如果我们把形如这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论． 【答案】(1)，理由见详解；(2)弦切角等于其两边所夹弧所对的圆周角． 【分析】（1）连接并延长交O于点D，连接，由圆周角定理利出，由切线的性质得出，得出，进而则可得出结论； （2）由弦切角和对应的圆周角的关系，直=直接写出结论即可． 【详解】（1）解：，理由如下：连接并延长交O于点D，连接， ∵是O的直径，∴，即： ∵直线与O相切于点A．∴，即：，∴， ∵，∴； （2）解：由题意得：弦切角等于其两边所夹弧所对的圆周角． 【点睛】本题考查了切线的性质，弦切角的定义，圆周角定理，理解弦切角的概念和圆周角定理的推论是解题的关键． 例2．（2023春·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考 阅读下面内容并完成任务： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明； (2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题； (3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)转化思想和类比思想(4) 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，则，根据是的直径，可得，再根据切线的性质可得，即可； （2）连接并延长，交于点，连接，根据是的直径，可得，再根据切线的性质可得，从而得到，再由圆内接四边形的性质，可得，即可；（3）上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想； （4）接并延长，交于点，连接，则，证明，即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴， ∴，∴，∴； （2）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴， ∴，∴， ∵四边形是的内接四边形，∴， ∵，∴； （3）解：上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想； 故答案为：思想转化思想和类比思想 （4）解：如图，接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴，∴，∴，∴， ∵，，∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质是解题的关键． 模型5.托勒密定理模型 托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 例1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据同弧所对的圆周角相等可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，最后利用托勒密定理，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，    ，， 在中，，，， ，，在中，， 在中，，， 在中，，， 四边形是的内接四边形，， ，解得：，故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 例2．（2023春·河南平顶山·九年级校联考阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务： 罗狄斯托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约90年168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家、占星学家和光学家． 托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善． 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 如图1，四边形内接于，求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图1，作，交于点E．∵，∴（依据1），∴（依据2），∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，… 任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______； (2)请完成后续证明；(3)如图2，以为直径的中，点C为上一点，且，的角平分线交于点D，连接，若，求的长． 【答案】(1)如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据逆命题，同弧所对的圆周角相等，两个角分别对应相等的两个三角形相似，进行作答即可．（2）如图，作，交于点E，证明，则，，由，可得，，即．证明，则 ，．则． （3）由为直径，可得，四边形为圆的内接四边形，由，可得，勾股定理求．由的角平分线交于点D，可得，，为等腰直角三角形，则．由四边形为圆的内接四边形，可得，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，托勒密定理的逆命题是：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形．证明过程中的“依据1”为：同弧所对的圆周角相等； “依据2”为：两个角分别对应相等的两个三角形相似．故答案为：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：如图，作，交于点E， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴， 即．∴，∴ ，∴． ∴．∴； （3）解：∵为直径，∴，∴四边形为圆的内接四边形， ∵，∴，由勾股定理得，． ∵的角平分线交于点D，∴， ∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴． ∵四边形为圆的内接四边形， ∴，即，解得． 【点睛】本题考查了逆命题，等弧对等角，相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 例3．（2023·河南南阳·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，______． 求证：______． 证明：如图2，作，交BD于点E，…… ∴∽，∴，…… ∴∽，∴， ∴． (1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程； (2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长． 【答案】(1)已知：如图1，四边形ABCD内接于；求证：；证明见解析． (2) 【分析】（1）理解题意，再根据同弧所对的圆周角相等证明． （2）连接AD、AC，正五边形分割出的三个三角形全等，再由托勒密定理即可求出． 【详解】（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于，求证：， 证明：如图2，作，交BD于点E， ∵∴，∴∴． ∵∴．∵∴即， ∴∴，∴． （2）在图3中，连接AD、AC．∵五边形ABCDE是正五边形∴∴设． 在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得： 即，解得，（舍去）∴对角线BD的长为． 【点睛】本题考查了圆和四边形的性质，解题的关键在于理解题意，明确同弧所对的圆周角相等即可证明． 1．（23-24九年级上·山东·期中）是外一点，切于，割线交于点、，若，则的长是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可求得PC的长，根据切割线定理得PA2=PB•PC=18，即可求得PA的长． 【详解】∵PB=BC=3，∴PC=6，∵PA2=PB⋅PC=18，∴ 故选:C. 【点睛】考查了切割线定理，熟练掌握切割线定理是解题的关键. 2．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，为外一点，过点作的两条割线，分别交于、和、，且为的直径，已知，弧弧，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知可得出OC∥BD，根据平行线分线段成比例可得到关于PC，PD的关系式，再结合切割线定理的推论，也可得出关于PC，PD的关系式，联合起来，解方程就可分别求出PC． 【详解】连接OC、OD，如图所示： ∵弧AC=弧CD，∴∠AOC=∠COD=∠AOD； 又∵∠ABD=∠AOD，∴∠ABD=∠AOC，∴OC∥BD， ∴，∴，∴PD=; ∵PD和PB都是⊙O外同一点引出的割线，∴PC•PD=PA•PB， ∴PC•PD=2×6=12，∴PC=2cm．故选D． 【点睛】利用了圆周角定理，以及平行线分线段成比例定理，切割线定理的推论等知识． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理，角所对直角边是斜边的一半和托勒密定理，连接，，过作交延长线于点，过作于点，作圆的直径，连接，根据知识求出，，，再根据托勒密定理求解即可，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接，，过作交延长线于点，过作于点，作圆的直径，连接，∴，，，    ∵，，∴，， ∴，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴， ∵，，，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴， 在中，，∴，由托勒密定理得：， ∴，∴， ∴四边形的周长为，故选：． 4．（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图所示，是圆O的直径，是圆的切线，E为切点，，若与圆的交点为D，且，则的大小为 ． 【答案】/15度 【分析】设圆心为O，连接，，，，作于F，根据切线的性质得出，设，根据勾股定理求出，证明，得出，求出，得出，解直角三角形得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，，，，作于F， ∵是圆的切线，E为切点，∴，∵，∴， ∵，∴为等腰直角三角形，∴， ∵是的直径，∴，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴为等腰直角三角形，∴，设，则， ∵，∴，∵，， ∴，∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，在中，， ∴，∴， ∵，∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 5．（2023·湖南岳阳·统考二模）请阅读下列材料，解答问题： 克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理． 托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和． 如图，正五边形ABCDE内接于，，则对角线BD的长为 ． 【答案】 【分析】连接AD，AC，根据圆周角与弦的关系可得AD=AC=BD，设BD=x，在四边形ABCD中，根据托勒密定理有，AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BC，建立方程即可求得BD的长． 【详解】解：如图，连接AD，AC， ∵五边形ABCDE是正五边形，则∠E=∠ABC=∠BCD，AB=BC=CD=2， ∴AD=AC=BD，设BD=x，∵ACBD=ABCD+ADBC，即x2=2×2+2x， 解得x1=1+，x2=1−（舍去），∴BD=1+．故答案为：． 【点睛】此题考查托勒密定理，圆周角与弦的关系，解一元二次方程，解题的关键是理解题意添加辅助线． 6．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三种不同情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明．为上的点，直线相交于点． 证明 情况一点P在⊙O内时，连接（如图1）： ，∴ ∴，即 情况二点P在⊙O外时（如图2）： 情况三当点A和点B重合时（如图3）    【答案】见解析 【分析】情况二：如图2，连接、，可得由同弧或等弧所对的圆周角相等，可证，进而结论得证；情况三：如图3，连接，连接并延长交于，连接．由切线的性质可得，即，由直径所对的圆周角为直角可得，证明，由，可得，则，证明，进而结论得证． 【详解】 证明 情况一点P在内时，连接（如图1）： ，， ∴， ∴，即． 情况二点P在外时（如图2）： 连接、， ， ，， ∴． 情况三当点A和点B重合时（如图3）： 连接，连接并延长交于，连接． 为的切线，， 即， 是的直径，， ∴，∴， ∵，∴， ∴， ，即， ∴．    【点睛】本题考查了相似三角形的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，切线的性质等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用 7．（23-24九年级上·河南新乡·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，接水槽所在的直线是圆O的切线，且与直线交于点M，当点P恰好在MN所在的直线上，P、O、C三点共线，是圆O的直径时，解决下面的问题：    (1)求证：；(2)求证：；(3)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)． 【分析】本题考查了切线的判定与性质 ，圆周角定理，相似三角形的判定与性质掌握圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由圆周角定理得出，由切线性质得出即可求证； （2）先证明即可得出； （3）由得出，代入数据即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径, ∴， ∴， ∵所在的直线是的切线，点恰好在所在的直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵，, ∴. ∴， 即． （3）解：由（2）可知， ∵ ， ∴， ． 8．（2023·广东珠海·统考一模）如图，为正的外接圆，为劣弧上任一点，的延长线和的延长线交于点．(1)求；(2)求证：．    【答案】(1)(2)见解析 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补和为正三角形即可求出；（2）证明即可求出． 【详解】（1）解： 为正三角形，． 四边形为圆内接四边形，∴； （2）证明：由（1）知，， ∵， 又∵，∴． ∴则 又∵，∴． 【点睛】本题考查圆与三角形的综合问题，涉及到等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用这些知识是关键． 9．（2023·广东汕头·校考一模）如图，是的直径，点C，D在上，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：是的切线；(2)求证：(3)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）连接，由题可知，D已经是圆上一点，欲证为切线，只需证明即可； （2）连接．由（1）知，为的直径，由得，又，所以，所以，因为，所以，即可证明； （3）连接，根据勾股定理求出，进而根据三角形的中位线定理可得的长，从而得的长． 【详解】（1）如图，连接． ∵平分，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵∴∴ ∴半径，∴是的切线； （2）如图，连接． ∵∴ ∵为的直径，∴，∴， ∵，  ∴，∴ ∵∴， ∵四点共圆，∴，∴，∴， ∵，∴，  ∴， ∵，∴∴，∴， 在中，，∴，∴． （3）如图，连接，交于点H．∵是的直径，∴， ∵，∴， ∵，∴，  ∴，∵，∴， ∵∴∴， ∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握三角形的中位线定理，勾股定理，角平分线的定义，切线的判定等知识点是解题的关键． 10．（2023·湖北·校联考二模）如图，已知是的直径，点是上一点，连接，，过点作直线于点，点是上一点，直线交于点，连接，与直线交于点． (1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）先根据是直径可得出，再由及相似三角形的判定定理可得出∽，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案； （2）设cm，由（1）的结论即可得出关于的一元二次方程，求出的值，进而可得出的长． 【详解】（1）证明：是直径，，， ，，， ，， ，∽； （2）解：设cm，由上可知 解得，（舍去），． 【点睛】本题考查的是圆周角定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是根据相似三角形的判定定理得出∽，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 11．（2023·山东聊城·九年级统考期中）顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图①所示：PA切⊙O于点A，AB是⊙O的一条弦，∠PAB就是⊙O的一个弦切角．经研究发现：弦切角等于它夹弧所对的圆周角．根据下面的“已知”和“求证”，写出“证明”过程，并回答后面的问题． （1）如图1，PA是⊙O的切线，A为切点，AC为直径，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C．求证：∠PAB＝∠C． （2）如图2，PA是⊙O的切线，A为切点，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠D．求证：∠PAB＝∠D． （3）如图3，AB为半⊙O的直径，O为圆心，C，D为半⊙O上两点，过点C作半⊙O的切线CE交AD的延长线于点E，若CE⊥AD，且BC＝1，AB＝3，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由切线的性质可知，∠CAP＝90°，所以∠CAB+∠PAB＝90°．再根据直角三角形两锐角互余可得，∠CAB+∠C＝90°，所以∠PAB＝∠C． （2）如图2，作直径AC，连接BC，利用（1）中的结论及同弧所对的圆周角相等可得结论． （3）连接AC，由题意可知，△ACE∽△ABC，结合（1）中的结论易得△DCE∽△BAC，得出比例，进而可得结论． 【详解】解：（1）证明：∵PA切⊙O于点A， ∴∠CAP＝90°， ∴∠CAB+∠PAB＝90°． 又∵AC是直径， ∴∠B＝90°， ∴∠CAB+∠C＝90°， ∴∠PAB＝90°-∠CAB＝∠C． （2）证明：如图，过点A作直径AC，连接BC， ∵AP为切线，由（1）得，∠PAB＝∠C， 又∵∠C＝∠D， ∴∠PAB＝∠D． （3）连接AC，CD， ∵EC为⊙O的切线， 由①得∠ECA＝∠B， 又∵∠AEC＝∠ACB＝90° ∴△ACE∽△ABC， ∴，∠CAE=∠BAC， 在Rt△ACB中，根据勾股定理AC=， ∴， ∴， 又∵CE为⊙O的切线， ∴∠DCE＝∠EAC， ∴∠DCE=∠BAC， 又∵∠E＝∠ACB＝90°， ∴△DCE∽△BAC， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查弦切角，直径所对圆周角性质，切线性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握弦切角，直径所对圆周角性质，切线性质，勾股定理，三角形相似判定与性质是解题关键． 12．（2023·河南平顶山·统考二模）顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图①所示：切于点，交于点，，就是的一个弦切角．经研究发现：弦切角等于所夹弧所对的圆周角．下面给出了上述命题的“已知”和“求证”，请写出“证明”过程，并回答后面的问题． （1）已知，如图①，是的切线，为切点，射线交于，两点，连接，．求证：． （2）如图②，为半的直径，为圆心，，为半上两点，过点作半的切线交的延长线于点，若，且，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）连接并延长交于点D，连接，证明，得，再证明即可得到结论； （2）连接AC，OC，证明得，再证明即可求得结论． 【详解】（1）如图，连接并延长交于点D，连接. 则TD为的直径 ∴ 又∵PT为的切线 ∴ 即 ∵ ∴，即 （2）连接AC，OC， ∵CE为的切线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵为的切线 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识点，利用所学知识证明定理，熟记知识点是解题的关键． 13．（2023·河北保定·九年级统考期中）阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如下左图∠ABC所示．   同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图甲） 证明：∵AB切⊙O于点A，  ∴∠CAB=90°， 又∵AC是直径， ∴∠P=90° ∴∠CAB=∠P 问题拓展：若AC不经过圆心O（如图乙），该结论:弦切角∠CAB=∠P还成立吗？ 请说明理由． 知识运用：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．  求证：EF∥BC．    【答案】（1）成立；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：问题拓展：首先连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，由圆周角定理可得∠D=∠P，又由AD是直径，AB切圆于点A，易证得∠CAB=∠CAD，继而证得结论； 知识运用：连接DF，AD是△ABC中∠BAC的平分线，⊙O与BC切于点D，可得∠FDC=∠EAD，又由圆周角定理可得∠EAD=∠EFD，继而证得结论． 试题解析：问题拓展：成立． 如图3，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD， 则∠D=∠P， ∵AD是直径， ∴∠D+∠CAD=90°， 又∵AB切圆于点A， ∴∠CAB+∠CAD=90°， ∴∠CAB=∠CAD， 而∠CAD=∠P， ∴∠CAB=∠P； 知识运用：如图4，连接DF， ∵AD是△ABC中∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠DAC， ∵⊙O与BC切于点D， ∴∠FDC=∠DAC， ∴∠FDC=∠EAD， ∵在⊙O中∠EAD=∠EFD， ∴∠FDC=∠EFD， ∴EF∥BC． 14．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）如图，是的直径，是弦，于，是的切线，是的割线，是弧上的一动点，连接、． (1)求证：； (2)若，，则当为何值是，． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，证明，得出，作交于，连接，，则，，得出，证明，得出得出，则，可得，同理可得，证明，得出； （2）连接，设，，则，，由（1）知，，，得出，勾股定理得出，根据（1）的结论即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接，，， 是的切线， ， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 作交于，连接，， ，， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2， 连接， 设，，则，， ， ， 由（1）知，，， ，， ， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15．（2023·浙江·九年级培优）如图，为的切线，为的割线，于点，的外接圆与的另一个交点为．证明：． 【答案】见解析 【详解】证明：连接，，，． ∵，，∴由射影定理可得 ，． 又由切割线定理可得， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴， ，∴， ∴， ∴， ∴． 又，∴， ∴，∴是的外接圆的切线，∴． 16．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两弦相交于点P． 求证：． 证明： 如图1，连接． ∵，． ∴，（根据） ∴@， ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径． 【答案】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似；；(2) 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F，设圆O的半径为r，则，，根据（1）中结论代入求解即可． 【详解】（1）连接．∵，． ∴，（有两个角对应相等的两个三角形相似） ∴，∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F， 设圆O的半径为r，则，， 根据（1）中结论得，即为， 解得：或（不符合题意，舍去），的半径为． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键． 17．（2023·广东九年级期中）已知半径为 如图，过内一点作弦，连接．求证：． 如图，过外一点，作割线，求证：． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）过点P作直径CD，如图1，根据相交弦定理得PA•PB=PC•PD，由于而PC=R-OP，PD=R+OP，则PA•PB=（R-OP）（R+OP），然后利用平方差公式展开即可得到结论； （2）直线OP交⊙O于C、D，如图2，根据切割线定理得到PA•PB=PC•PD，由于PC=OP-R，PD=OP+R，则PA•PB=（OP-R）（OP+R）=OP2-R2，然后利用平方差公式展开即可得到结论. 【详解】证明：过点作直径，如图， ∵， 而，， ∴； 直线交于、，如图， ∵和都为的割线， ∴， 而，， ∴． 【点睛】本题考查了切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 也考查了相交弦定理. 18．（2023春·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务 托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积． 下面是该定理的证明过程（部分） 已知：如图①四边形是的内接四边形    求证： 证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得 又∵ ∴ ∴   ∴， 又， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴                ∴   即 任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．    【答案】(1) (2)勾股定理 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质求解即可；（2）根据矩形性质验证即可；（3）根据题中证明过程解答即可． 【详解】（1）解：   ； （2）解：当圆内接四边形是矩形时， ∴，，∴， ∴托勒密定理就是我们非常熟知的勾股定理； （3）解： 证明：∵， ∴ ∴ ∴是等边三角形∴ 由托勒密定理得： ∴∴； 【点睛】本题考查新定义下的证明，涉及相似三角形的判定与性质，圆的性质，灵活运用所学知识是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$