精品解析：江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期 联盟校期中考试高二年级数学试题 (总分：150分 考试时间：120分钟) 注意事项: 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用 2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为（ ） A. y＝x＋3 B. y＝－x＋1 C. y＝x＋2 D. y＝－x－2 2. 圆O1：和圆O2：的位置关系是 A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 3. 已知，则直线经过 （ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 4. 开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律，其第一定律指出所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳中心在椭圆的一个焦点上.已知某行星在绕太阳的运动过程中，轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.47亿公里，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心1.52亿千里，则该行星运动轨迹的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 设，方程所表示的曲线是（ ） A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线 C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线 6. 若，，成等差数列，则的值等于（ ） A. 1 B. 0或32 C. 32 D. 7. 已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 当时，关于轴的对称直线为 C. 直线一定经过第四象限 D. 点到直线的最大距离为 10. 已知圆心为的圆与点，则（ ） A. 圆的半径为2 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 点与圆上任一点距离的最小值为 11. 已知抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. Q是线段的一个三等分点 D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等差数列中，，则_________; 13. 若直线l经过点，且与直线在y轴上的截距相等，则直线l的方程为________． 14. 当直线l：截圆C：所得的弦长最短时，实数m的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的直线方程. (1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍； (2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12. 16. 已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且. 求的通项公式； 从中依次取出第项,第项,第项,， 第项,按照原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由. 17. 已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线. （1）求圆C的标准方程； （2）求直线l所过的定点. 18. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率. （1）求椭圆C的方程； （2）若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值. 19. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． （1）求双曲线的方程． （2）若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． （3）点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期 联盟校期中考试高二年级数学试题 (总分：150分 考试时间：120分钟) 注意事项: 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用 2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为（ ） A. y＝x＋3 B. y＝－x＋1 C. y＝x＋2 D. y＝－x－2 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线的两点式有，整理即可得直线方程. 【详解】由两点式得：直线方程，整理得y＝x＋3. 故选：A. 2. 圆O1：和圆O2：的位置关系是 A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B． 考点：圆与圆的位置关系． 3. 已知，则直线经过 （ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】将直线化为斜截式，即可求解. 【详解】由于，故直线可变形为， 故，因此直线经过第一、三、四象限， 故选：B 4. 开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律，其第一定律指出所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳中心在椭圆的一个焦点上.已知某行星在绕太阳的运动过程中，轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.47亿公里，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心1.52亿千里，则该行星运动轨迹的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知列出方程组，求出的值，即可得出答案. 【详解】设椭圆的长轴长为，焦距为，. 由题意知，解得， 则该行星运行轨迹的离心率. 故选：B. 5. 设，方程所表示的曲线是（ ） A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线 C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线 【答案】C 【解析】 【分析】求出值的范围，把曲线化为标准形式，判断曲线的形状． 【详解】若，则， 曲线,即， ， 表示焦点在轴上的椭圆． 故选： 6. 若，，成等差数列，则的值等于（ ） A. 1 B. 0或32 C. 32 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，解方程得到答案. 【详解】，，成等差数列，即. 故，解得或（舍去），故. 故选： 【点睛】本题考查了根据等差数列求值，意在考查学生的计算能力. 7. 已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出点的坐标为，由已知，用表示出和，进而得到的值. 【详解】由双曲线的对称性，不妨设点在轴上及其上方，如图， 依题意，，设，则， 由得， 所以， 所以. 故选：D． 8. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设过点的直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，，从而求出的最小值即可. 【详解】 由抛物线的方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为：， 联立方程，整理得，则， 故， 又，， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 当时，关于轴的对称直线为 C. 直线一定经过第四象限 D. 点到直线的最大距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据即可求解定点判断A，根据对称即可求解B，当时，直线，即可求解C，根据到定点的距离即可求解D. 【详解】对于选项A，由直线，得所以直线过定点，所以选项A正确； 对于选项B，当时，直线，所以关于轴的对称直线为，所以选项B正确； 对于选项C，当时，直线，不经过第四象限，所以选项C错误； 对于选项D，点到定点的距离为到直线的最大距离为，所以选项D正确． 故选：ABD． 10. 已知圆心为的圆与点，则（ ） A. 圆的半径为2 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 点与圆上任一点距离的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出，即可判断. 【详解】因为，即， 所以圆心为，半径，故A错误； 又，所以点在圆外，故B正确，C错误； 因为，所以点与圆上任一点距离的最小值为，故D正确. 故选：BD 11. 已知抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. Q是线段的一个三等分点 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用抛物线的定义及平面几何性质逐一判断即可. 【详解】如图，由抛物线的定义， 对于A，得，，又，则，A正确； 对于B，由，，得，所以. 而，所以，所以， 可知，所以，B正确； 对于D，在中，，可知，所以，D正确； 对于C，由，可知，所以，即Q是的中点，C不正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等差数列中，，则_________; 【答案】6. 【解析】 【详解】分析： 由等差数列的通项公式得由此能求出. 详解：：∵在等差数列中，， ． 解得 ． 故答案为6． 点睛：本题考查数列的第8项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 13. 若直线l经过点，且与直线在y轴上的截距相等，则直线l的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，直线l经过点和点，从而可求出直线l的斜率，再利用点斜式可求出直线l的方程 【详解】直线在y轴上的截距为3，所以直线l经过点， 故直线l的斜率， 故直线l的方程为． 故答案为： 【点睛】此题考查直线方程的求法，属于基础题 14. 当直线l：截圆C：所得的弦长最短时，实数m的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得直线过定点，当时，弦长最短.根据斜率关系即可求出实数m的值. 【详解】由已知可将直线的方程化为， 解可得，所以直线过定点. 又由圆的方程可得圆心，半径， 则，所以点在圆内. 当时，圆心到直线的最大距离，直线被圆截得的弦长最短. 因为，所以直线的斜率为，即，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的直线方程. (1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍； (2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12. 【答案】（1）3x＋4y＋15＝0.（2）4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0. 【解析】 【详解】试题分析：根据直线经过点A，再根据斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍求出斜率的值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；直线经过点M（0，4），说明直线在y轴的截距为4，可设直线 在x轴的截距为a，利用三角形周长为12列方程求出a ,利用直线方程的截距式写出直线的方程，然后化为一般方程. 试题解析： (1)因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－x＋ ， 所以直线3x＋8y－1＝0的斜率为－， 则所求直线的斜率k＝2×(－)＝－ 又直线经过点(－1，－3)， 因此所求直线的方程为y＋3＝－ (x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0. (2)设直线与x轴的交点为(a,0)， 因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有4＋ ＋|a|＝12， 解得a＝±3， 所以所求直线的方程为或， 即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0. 【点睛】当直线经过点A，并给出斜率的条件时，根据斜率与已知直线的斜率关系求出斜率值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；当涉及到直线与梁坐标轴所围成的三角形的周长和面积时，一般利用直线方程的截距式解决问题较方便一些，但使用点斜式也好，截距式也好，它们都有不足之处，点斜式只能表达斜率存在的直线，截距式只能表达截距存在而且不为零的直线，因此使用时要注意补充答案. 16. 已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且. 求的通项公式； 从中依次取出第项,第项,第项,， 第项,按照原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由. 【答案】； 结合可知，，，，. 令，即，符合题意，即. 所以是数列中的项. 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由题意可知与的等差中项为，利用等差数列的定义列出式子求出公差为，，进而列出的通项公式； 写出，将代入验证即可. 【详解】解：设等差数列的公差为，根据等差中项的性质可得与的等差中项为， 所以，又因为，即. 所以，，因为公差为正数,所以. 则，则. 的通项公式. 略 【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式的求法，考查推理能力，属于基础题. 17. 已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线. （1）求圆C的标准方程； （2）求直线l所过的定点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求解直线的交点为圆心坐标，求出半径，求出圆的方程; (2)根据直线方程求出定点坐标. 【小问1详解】 ），圆C的圆心的圆心坐标为， 且和直线相切， 所以圆C的半径为， 所以圆C的标准方程为； 【小问2详解】 由，得， 由， ∴直线l过定点. 18. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率. （1）求椭圆C的方程； （2）若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点和点代入椭圆方程，解之即可得解； （2）根据题意，利用直线的点斜式求得直线的方程，再联立直线与椭圆方程，直接求得点的坐标，从而得解. 【小问1详解】 因为椭圆椭圆经过点和点，， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）得，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立，解得或， 则， 所以. 19. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． （1）求双曲线的方程． （2）若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． （3）点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】（1）； （2） 双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3） 由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【小问1详解】 由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $