专题09 数列的求和（6大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修）

专题09 数列的求和 公式法 一、单选题 1．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．45 C．65 D．130 【答案】C 【分析】由等差数列的求和公式及等差数列的性质求解． 【详解】解：， 故选：C 2．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程组求出，从而可求出 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，化简得， 解得， 所以. 故选：B 3．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知函数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形为，再构造等差数列，通过等差数列求和公式计算即可. 【详解】由题意得，， 令， 则是首项为、公差为的等差数列， 则 . 故选：D. 4．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）“城在水上走，水在城中流”是对绥中县九门口水上长城的形象描述，景区坚持绿水青山就是金山银山的发展理念，计划从2024年开始，5年时间改善景区环境，预计第一年投入资金80万元，以后每年投入资金是上一年的倍，第一年的旅游收入为200万元，以后每年旅游收入比上一年增加30万元，则这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为（    ） A．230万元 B．234万元 C．245万元 D．260万元 【答案】C 【分析】根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为，公比为的等比数列， 这五年的旅游收入构成首项为，公差为的等差数列，利用数列的求和公式即可求解. 【详解】根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为，公比为的等比数列， 所以这五年投入的资金总额是（万元）； 由题意可知，这五年的旅游收入构成首项为，公差为的等差数列， 所以这五年的旅游总收入是（万元）， 所以这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为（万元）， 故选：C. 5．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数列是首项为，公比为的等比数列，然后可算出答案. 【详解】因为，则， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 则. 故选：B 6．（23-24高二下·河南驻马店·期末）如图是边长为的正三角形，取各边的中点构成一个新三角形，依次做下去得到一系列三角形.则前个三角形的外接圆面积之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意把外接圆半径和面积表示为等比数列，再对其求和即可. 【详解】设边长为的正三角形的外接圆半径为，由正弦定理得， 解得，而每次构造新三角形时，每次外接圆的半径也减半， 设第个三角形的外接圆半径为， 是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，设第个三角形的外接圆面积为， 而，而所求即为的前项和， 易得，故， 而，故是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，故B正确. 故选：B 二、填空题 7．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知数列满足，，则数列的前4项和等于 ． 【答案】 【分析】根据数列的递推关系式，计算出前4项，再计算前4项和； 【详解】，. 当时； 当时； 当时； 所以数列的前4项和等于. 故答案为：. 8．（23-24高二下·上海浦东新·期末）等差数列中，，，则 ． 【答案】260 【分析】根据等差数列求和公式求解即可． 【详解】利用等差数列求和公式：可得， ． 故答案为：260. 三、解答题 9．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)写出数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列及其前项和基本量的计算可得，由此即可得解. （2）由等差数列前项和公式的二次函数特性即可得解. 【详解】（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为， 由题意，， 解得， 所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可知，所以. 10．（23-24高二下·广西北海·期末）在等比数列中，已知，. (1)求公比及数列的通项公式； (2)求的值. 【答案】(1)或，或 (2)答案见解析 【分析】（1）根据条件得到方程，解得或，再利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）利用（1）中结果及等比数列前项和公式，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以，即，解得或， 当时，， 当时，. （2）由（1）知当时，， 当时，. 倒序相加法 一、单选题 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可得，再根据等比中项的性质可得，又，再利用倒序相加可得解. 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 又，可得， 所以， 由，则，所以， 所以， 则， 故， 故选：B. 二、解答题 2．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倒序相加法可求得； （2）利用错位相减法求出，由已知条件结合参变量分离法可得出，利用对勾函数的单调性求出的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：函数满足，数列满足， 则， 所以，， 故. （2）解：由（1）可得， 则， 所以，， 上式下式可得， 所以，，则， 所以，， 由可得，则， 因为， 因为函数在上单调递增， 且，故当时，取最大值，故. 因此，实数的取值范围是. 错位相减法 一、多选题 1．（23-24高二下·全国·期末）已知数列的首项为4，且满足，则（    ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 【答案】BCD 【分析】由得，所以可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和． 【详解】由，得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误； 因为， 所以，显然递增，故B正确； 因为， ， 所以， 故，故C正确； 因为， 所以的前项和，故D正确． 故选：BCD． 2．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知等比数列的公比为，，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【分析】A、B、C均可由等比数列的概念和通项公式可得；D选项需要利用错位相减法求和，进而可得答案. 【详解】由等比数列的公比为，，，可得，即，故A错误； ，故B正确； 又，所以， 即是一个以为首项，2为公比的等比数列，故C正确； 验证当时的结果，此时，则， 所以， ， ， 得， 所以，故D错误， 故选：BC. 3．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知数列的前项和为，则（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A，代入递推关系可得；选项B，递推关系变形可得，从而可得为等差数列；选项C，由错位相减法数列求和得，可得；选项D，将代入可得，令可求. 【详解】选项A，由题意得，A正确； 选项B，将两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误； 选项C，由， 得， 所以①， 则②， ①-②得，， ， 即，则，C正确； 选项D，因为， 所以，D正确. 故选：ACD. 二、填空题 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前项和，进而可利用该法求数列的前项和，其操作步骤如下： 因为， 则， 两式相减得：， 所以， 类比以上方法求数列的前项和 . 【答案】 【分析】根据错位相减法，结合求的操作步骤类比求即可. 【详解】因为， 则， 两式相减得：， 即 故答案为： 5．（23-24高二上·安徽六安·期末）若，则数列的前n项和 ． 【答案】 【分析】利用错位相减法求和即可得解. 【详解】因为， 所以， ， ， 得，所以. 故答案为：. 三、解答题 6．（23-24高二下·湖南·期末）数列的前项和为，当时，，数列满足：. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列，数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合数列第项与前项和的关系变形，再利用等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，进而求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）由时，，知数列是等差数列， 由得，知数列的公差为1， 则， ， 当时，，且也满足上式， ， ，由为定值，知数列是等比数列. （2）易得， 则 则 两式相减得， 化简得. 7．（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，可得所求； （2）利用数列的错位相减，可得结果. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，由， 得， 作差得. 所以有，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列 所以，故 （2）令 所以， ， 两式作差得 所以 8．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满兄，，数列的前项和为，且． (1)求数列，的通项公式， (2)求数列的前项和为． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据构造法可得数列的通项公式，再根据退一相减法可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可得数列前项和. 【详解】（1），， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ； ， 当时，，即， 当时，，所以，即， 当时，，； （2）由（1）得 ， ， 作差可得， . 9．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在数列中，. (1)求证：是等比数列； (2)若，求的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据等比数列的定义结合已知条件证明即可； （2）由（1）可求得，则，然后利用分组求和法与错位相减法可求出 【详解】（1）. 则 是以1为首项2为公比的等比数列. （2）由（1）可得， ， ，∴， 设的前项和 令①， ②， ①②得， ， ∵， . 10．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列与等差数列，若，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由构造等比求通项即可求的通项，由等差数列的通项公式求解； （2），由错位相差法求解即可． 【详解】（1）因为，所以， 又，得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故， 则， 设等差数列的公差为，则，解得， 所以． （2）由（1）知，，， 所以， 所以， ， 两式相减，得 ， 故． 裂项相消求和 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列的通项公式为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用裂项相消求和可得答案. 【详解】， 则. 故选：A. 2．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知数列的前n项和，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用与间的关系，求出，从而有，再利用累加法，即可求出结果. 【详解】因为①，当时，②， 所以①②得到， 当，，满足，所以， 得到， 所以， 故选：D. 3．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前2023项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由累加法可得，利用裂项相消求和法求出，即可得解. 【详解】依题意，，，，， 则由累加法得，，因此， 而满足上式，即，则， 所以，. 故选：D 4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得到，利用累乘法得到，故，利用裂项相消法求和得到答案. 【详解】由题意易知， 由变形为，故， 所以 ， 因为，所以，故， 所以. 故选：C 5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前k项和是3，则k等于（    ） A．3 B．4 C．15 D．16 【答案】C 【分析】利用裂项相消法可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】设数列的前项和为，因为， 所以， 解得. 故选：C 6．（23-24高二上·云南昭通·期末）设为等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】由，求出的通项公式，利用裂项相消求出数列的前项和，从而得到的值. 【详解】设的公差为， 由于为等差数列的前项和，，， 可得，所以，则， 令，所以， 故数列的前项和为：， 即，解得. 故选：C 二、多选题 7．（23-24高二下·贵州遵义·期末）设是定义在上的函数，满足，且对任意，（为常数），点在曲线上，为数列的前项和，则下列说法正确的有（    ）． A．的解析式可能为 B．若，则 C．若在上是增函数，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，直接说明当时满足条件即可；对于B，先证明，再用等比数列求和公式即可；对于C，给出作为反例即可；对于D，使用裂项求和法验证即可. 【详解】对于A，当时，由于满足条件，故的解析式可能是，故A正确； 下面先对原条件进行探究. 在中，令，得，所以，. 在中，令，得，所以. 在中，分别用替换，得，从而. 由已知有，在中令，，得. 故. 所以是公比为的等比数列，而，故. 对于B，若，则. 所以，故，故B正确； 对于C，由于当时，满足条件，且是增函数，但此时，故C错误； 对于D，若，则， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用裂项相消法求表达式的和. 8．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列的前100项和为10000 C．若，则 D．若，则的最小值为8 【答案】AB 【分析】先利用，求出，可判断选项A，C，化简，由等差数列的前项和求解，判断B；裂项相消法求和，判断D. 【详解】对于A，因为， 当时，， 当时，，符合上式， 所以，选项A正确； 对于B，根据已知，则数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 所以前100项和为，选项B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 由，得，解得，选项C错误； 对于D，因为， 所以， 所以 ， 解得，选项D错误. 故选：AB 9．（23-24高二下·云南红河·期末）记正项数列的前n项和为，已知，则（    ） A． B． C． D．数列的前n项和小于1 【答案】AD 【分析】由与的关系结合定义证明为等差数列，从而判断ABC；由裂项相消求和法结合不等式性质判断D. 【详解】对于B：∵，① ∴当时，，解得； 当时，，② 由①②得， 化为， ∵有，∴. 数列是以首项为1，公差为1的等差数列. ∴. ∴，故B错误； 对于AC：，，故A正确，C错误； 对于D： ， 数列的前n项和为， 故D正确； 故选：AD 10．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知分别是数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据与的关系推得，从第2项开始，是等比数列，结合的值求得，即可得出的通项公式，进而判断A、B；代入已知得出的通项公式，裂项求和判断C项；放缩法，即可得出D项. 【详解】对于A项，因为，则，所以.故A正确. 对于B项，当时，有，， 两式作差可得，，所以，. 所以，从第2项开始，是以2为公比的等比数列， 所以，. 检验，时，， 所以，.故B错误； 对于C项，因为， 所以， 所以，.故C正确； 对于D项，因为，当时恒成立， 所以，，当时恒成立. 又时，满足， 所以，.故D正确. 故选：ACD. 11．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知数列中，，，，记的前项和为，则（    ） A．中任意三项都不能构成等差数列 B． C． D． 【答案】AC 【分析】由等比数列的定义、通项公式及求和公式可判断B,C；由等差中项和等比数列的通项公式可判断A；由裂项相消法求和结合数列的单调性可判断D. 【详解】因为，，可得， 则，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 即，故B错误； 假设中任意三项都构成等差数列，可设， 则成等差数列，可得，即， 即有，由，可得， 由，可得，则不成立，故A正确； ，故C正确； ，所以， ， 因为为递增数列，所以 可得，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前12项和 . 【答案】/0.375 【分析】利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】由题意可知， ， ， ， …… ， 所以， ， ，， 当时，上式也成立， 故，， 所以数列， . 故答案为： 13．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足，则 . 【答案】 【分析】裂项相消法求数列前n项和. 【详解】， 所以， 故答案为：. 14．（23-24高二上·广东·期末）已知是等差数列的前项和，若，则数列的前2024项和为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项及前项和，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】等差数列中，，又，则， 因此等差数列的公差，则，， 于是， 数列的前项和， 所以数列的前2024项和为. 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列满足，． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据所证数列的结构，可知对题目所给等式取倒数，然后移项即可证明，然后求出数列 的通项，变形即可的通项； （2）用列项求和的方法即可. 【详解】（1）因为， ， 即， 数列是首项， 公差的等差数列， 故， （2）因为， =. 16．（23-24高二下·四川德阳·期末）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系式，消去，即可证明为等比数列，求得通项； （2）将数列的通项进行裂项，再运用裂项相消法即可求出并证得. 【详解】（1）因为①， 所以当时，②， ①②得：，即(*)， 又当时，，即，所以， 由(*)可得，， 则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故； （2）由（1）知， 故， 因，，故得. 17．（23-24高二下·青海海南·期末）在等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式先得基本量，从而得解； （2）先由（1）得到，再利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由，有，解得， 故数列的通项公式为； （2）由， 则， 可得. 18．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等比中项的性质以及等差数列基本量的计算即可求解； （2）首先得，由裂项相消法求和即可得证. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 成等比数列， 则， 即， 将代入上式，解得或（舍去）． ； （2）由（1）得，又， 所以， 所以， 则 ． 19．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用及等比数列求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即，当时，，解得， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得：， 所以. 分组（并项）法求和 一、单选题 1．（23-24高二下·广东江门·期末）已知数列的前n项和为，且，设，则的前11项和为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式计算即得. 【详解】依题意，的前11项和为. 故选：A. 2．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（    ） A．511 B．61 C．93 D．125 【答案】D 【分析】由条件推得，故按照分类得到和两种首项不同，但公比相同的等比数列，利用分组求和即得. 【详解】由可得，①，当时，，② 由可得：（*），由代入解得， 由（*）知数列,组成首项为1，公比为2的等比数列， 数列,组成首项为2，公比为2的等比数列. 故 . 故选：D. 3．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知数列满足，则的前100项和为（    ） A．2475 B．2500 C．2525 D．5050 【答案】A 【分析】由题可得，令，将问题转化求，由等差数列的求和公式计算可得. 【详解】由，可得， ， 所以， 令，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 由于， 所以的前100项和为2475， 故选：A 二、多选题 4．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）已知数列，中，，则（    ） A．数列的前4项和为 B．的前100项和为100 C．的前项和 D．数列仍为等比数列 【答案】ABC 【分析】由，逐项计算，可判定A正确；由，进而求得数列的前100项和，可判定B正确；结合裂项法求和，可判定C正确；根据等比数列的定义，可得判定D不正确. 【详解】由数列，中，， 对于A中，可得，可得数列前4项的和为： ，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则数列的前100项和为： ，所以B正确； 对于C中，由， 则的前项和，所以C正确； 对于D中，由，则， 所以数列不是等比数列，所以D不正确. 故选：ABC. 5．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的是（   ） A．可能为1 B．数列是等比数列 C． D．若，的最大值为64 【答案】BC 【分析】利用递推公式求出范围可判断A；对递推式变式结合等比数列定义可判断B；由，结合等差数列求和公式利用分组求和可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A，当时，，又，所以，故A错误； 对于B，由，得，即，由选项A知，故数列是以为首项，-1为公比的等比数列，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，为奇数时，， 为偶数时，， 因为，所以的最大值不可能为64，故D错误； 故选：BC 6．（23-24高二上·江苏南通·期末）为数列的前n项和，已知对任意的，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定的递推公式，结合前n项和的意义计算判断AC；分析判断BD. 【详解】数列中，对任意的，， ，，AC正确； 由，知的值无法确定，则通项也无法确定，BD错误. 故选：AC 7．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列的首项为1，且，是的前项和，则下列结论正确的为（    ） A． B．数列为等比数列 C．数列为等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】利用并向求和可判断A；根据等比数列和等差数列的定义可判断B和C；利用裂项相消法求和后判断D. 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，， 数列为公差为的等差数列，故C正确； 对于D，数列是首项为，公差为的等差数列， ，， ， ，，， ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 8．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 ． 【答案】3035 【分析】由已知先求出的通项公式，进而得出，再计算即可． 【详解】设等差数列的公差为， 因为，成等比数列，则，即， 整理得，由，解得， 所以，则， 所以， 故答案为：3035． 9．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列是公比为2的等比数列，若，则 ． 【答案】 【分析】将化为，然后利用等比数的求和公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为数列是公比为2的等比数列， 所以 . 故答案为： 10．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知数列满足，则其前9项和 . 【答案】69 【分析】由分组求和法即可得解. 【详解】 . 故答案为：69. 四、解答题 11．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足：，且  . (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析， (2)4 【分析】（1）根据条件得，即可求证数列是等比数列，进而求出数列的通项公式； （2）先由（1）求出即可求解. 【详解】（1）证明：由已知可得， 所以， 又，所以，所以， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以， 故，所以. （2）由（1） ， 由，得，即， 所以，所以. 12．（23-24高二下·福建福州·期末）设为数列的前项和，已知，. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据求出，故是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案. 【详解】（1）当时，，则， 因为①， 所以时，②， 由①－②得，时，，即， 因为，所以，即， 故是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1），得， 所以， . 13．（23-24高二下·河南开封·期末）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)插入的数构成一个新数列，求该数列前项的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列性质得，则得到其通项公式； （2）求出，则，根据等差数列求和公式计算即可. 【详解】（1）设数列的公差为，由题意知：， ， 所以，所以的通项公式是. （2）数列的通项公式为， 记数列与前项的和分别为， 则 . 14．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为d的等差数列，令，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）先把条件转化成的形式，再根据等比数列的定义进行判断. （2）先明确数列的通项公式：，再用分组求和的方法求前项和. 【详解】（1）由，得， 整得，得， 又，所以， 故，． 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 故，从而． （2）依题意，得 所以 从而 . 数列求和中的奇偶项问题 一、单选题 1．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知数列满足. ①；②是等差数列；③是等比数列；④数列前项和为. 上述语句正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】依次代入n的值即可判断①，利用等比数列的定义即可判断②③；根据②③可以求出数列的通项公式，然后利用分组求和即可判断④. 【详解】对于①， ，故①正确； 对于②，令，由①知，， ， 所以，是公比为2的等比数列，即是公比为2的等比数列，故不是等差数列，故②错误； 对于③，令， 由①知，，所以， ， 所以是等比数列，即是等比数列，故③正确； 对于④，由②知，，， 数列前项和为数列前n项的和与数列前n项的和的和，即所求和为. 又， ， 所以，故④正确； 故选：D. 2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知数列，，，且则数列的前项之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列；数列的偶数项构成首项为，公差为的等差数列.利用等差数列的求和公式可求得数列的前项之和. 【详解】当为奇数时，，， 所以数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列； 当为偶数时，，， 所以数列的偶数项构成首项为，公差为的等差数列. 所以，数列的前项和为： . 故选：B. 3．（23-24高三上·山东济南·期末）数列的前n项和为，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于数列递推式，分别令，推出数列的所有偶数项构成等比数列，令，推出奇数项均为1，再结合分组求和，即可求得答案. 【详解】令，则， 即，即数列的所有偶数项构成首项为，公比为3的等比数列， 令，则， 即，由于，则， 故 ， 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据数列递推式，依次令和令，推出数列的奇偶项的规律，从而结合分组求和法以及等比数列前n项和公式，求解答案. 4．（23-24高二上·云南昆明·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（    ） A．170 B．168 C．130 D．172 【答案】D 【分析】先根据题意得到的值，再后续数列的周期性求得，从而得解. 【详解】依题意，， 故， 又，所以． 所以． 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解“冰雹猜想”的定义，找到数列的周期性，从而得解. 二、多选题 5．（23-24高二下·云南临沧·期末）（多选）数列满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得，，可判断ABD；由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，可判断D. 【详解】对于A，由且，可得，而A选项中，，显然不符合，A错误； 对于B，，即有， 可得，即，， 则，而B选项中，，显然不符合，B错误； 对于D，由B可知，故D正确； 对于C， ，故C正确. 故选：CD. 6．（23-24高二下·江西九江·期末）已知数列的前项和为，且满足，，则（   ） A．为等比数列 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等比数列的定义可判断A选项，可得，再结合数列的递推公式可得，进而可判断B、C、D选项. 【详解】依题意可得，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故A选项正确； 则， 当时，， 当时，也满足， 所以，即，B选项错误； ，C选项正确； 又，，D选项正确； 故选：ACD. 7．（23-24高二上·湖南郴州·期末）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列满足，，则（    ） A． B． C．此数列的前项和为 D．数列的前60项和为930 【答案】ABD 【分析】当时，,当时，,联立可得，利用累加法可得，从而可求出数列的通项公式，利用通项公式逐项判断即可得. 【详解】令且， 当时，①； 当时，②， 由①②联立得， 所以， 累加可得， 令(且为奇数)，得， 当时满足上式， 所以当为奇数时，， 当为奇数时，， 所以，其中为偶数， 所以， 所以，故A正确， ，故B正确； 由， 而，故此数列的前项和不为，故C错误； 因为， 所以的前2n项和 ， 则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用题中所给递推式，分奇偶讨论结合累加法求得数列通项公式，后续求和亦需分奇偶进行讨论. 三、填空题 8．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列满足 ，若 为数列 的前 项和，则 【答案】77 【分析】根据等差数列及等比数列求和公式分组求和计算即可. 【详解】因为当n为奇数时为等差数列，公差为1，, ; 当n为偶数时为等比数列，公比为2，, ; 所以. 故答案为：77. 9．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是数列的前项和，，且，，，则 . 【答案】582 【分析】根据题意整理该数列中奇数项的递推公式，利用迭代法可得其通项公式，代入题目中递推公式，结合等比数列的求和公式，可得答案. 【详解】由已知可得 所以， 于是． 故，即， 所以， 所以 故答案为：． 四、解答题 10．（23-24高二下·广东广州·期末）设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，结合由求解得； （2）根据（1）得到，再结合分组求和、裂项相消和等差数列求和计算得到. 【详解】（1）因为成等差数列，所以. 当时，，因为，所以， 当时，，两式相减得 ， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 因此. （2）由（1）可得 数列 的前 项和 . 11．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系式可得数列的递推公式，利用累乘法可求通项公式； （2）由（1）知，所以，利用分组求和法求. 【详解】（1）根据题意，，，则， 两式相减得， 即， 所以， 故的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 故， . 12．（23-24高二下·云南保山·期末）已知的前项和是，且． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由递推公式得，有，即可求解； （2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，分别由等差数列求和及裂项相消法求和即可． 【详解】（1）由①得，当时，②， 联立①②得， 所以有， 因为，所以． （2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为， 由（1）知 则， ， 综上：． 13．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据求出和的关系，据此即可求解； （2）设的前项中奇数项的和为，偶数项的和为，求出和即可求解. 【详解】（1）因为①，时，②， ①-②整理得， 数列是正项数列，， 当时，， ，数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ； （2）由题意知，设的前项中奇数项的和为，偶数项的和为， ， ， . 14．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等差数列的公差与的等差中项为5，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列{bn}的前20项和T20. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用等差数列的性质，求得，再由，列出方程求得，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）得数列，结合等差数列的求和公式和裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）因为为等差数列，且与的等差中项为5， 所以，解得 又因为，所以，解得， 因为，所以，所以， 所以数列的通项公式为. （2）由（1），可得数列，可得， 所以， 则 . 故数列的前20项和为. 数列不等式的恒成立问题 一、单选题 1．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．9 B．18 C．27 D．54 【答案】D 【分析】根据等比数列基本量的计算可得首项，进而可得，将不等式转化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】由则， 所以， 故由可得， 所以， 由于，当且仅当，即时等号成立， 故， 故选：D 2．（23-24高二上·广东·期末）在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由递推关系可得，求得，不等式恒成立等价于恒成立，讨论的奇偶即可求出. 【详解】由，得，即， 而，则，即，， 由数列为递增数列，得任意的恒成立， 则，即恒成立， 当为奇数时，恒成立，数列单调递增，的最小值为1，则， 当为偶数时，恒成立，数列单调递减，的最大值为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可. 二、多选题 3．（23-24高二下·四川乐山·期末）在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】AB 【分析】根据条件，利用累加法得到，从而将问题转化成恒成立，令，利用数列的单调性得到，即可求出结果. 【详解】因为， 当时，， 又，所以， 又时，满足， 所以， 由，得到， 令，则， 当时，，得到，当时，， 所以，又， 当为偶数时，，得到， 当为奇数时，，得到，所以， 故选：AB. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于使恒成立，令，利用数列的单调性得到，再分取奇数和偶数，即可求解. 4．（23-24高二下·重庆·期末）已知各项均不为0的数列的前项和为，且，对于任意成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的通项公式为 C． D．实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】利用和与项的关系求解，利用退一步相减法求解数列的通项公式，求出数列的通项公式后利用题目给的条件求解,利用数列的单调性求解数列的最值从而求出的取值范围. 【详解】当时，由及，解得，故A正确 因为数列的前项和为，且，即， 当时，可得，两式相减得， 因为，故，所以及均为公差为4的等差数列， 当上，由及，所以， 所以数列的通项公式为.故B错误 由B知，可得，故C正确； 因为对于任意成立，所以恒成立， 设，则， 时，， 时，， 所以，故，所以， 即实数的取值范围为 故选：ACD. 5．（23-24高二下·江西南昌·期末）设数列满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，逐项计算求得，可判定A正确；根据题意，求得的表达式，可判定B正确；求得的值，猜想，利用数学归纳法，得到，，可得判定C错误；结合数学归纳法，可判定D正确. 【详解】因为数列 满足 ，且当 时，， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，当为偶数时，可得为奇数，可得且， 则，即，所以， 即， 因为，所以， 又因为，所以，所以B正确； 对于C中，由， ，猜想， 当时，成立，假设， 由， 则，即时，也成立， 所以，故不存在，所以C错误； 对于D中，由成立，假设， 则 由，知， 所以， 即时，也成立，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识，也可以利用数学归纳法，进行证明. 4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解. 6．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知数列的前项和为，数列的前项和为，若对一切都有恒成立，则整数的可能值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】CD 【分析】根据可求出数列的通项公式，即可得的通项公式，利用裂项法求得，根据恒成立，求出m的范围，即可求得答案. 【详解】由题意知数列的前项和为， 故当时，； 当时，， 也适合该式，故， 则， 故， 由于对一切都有恒成立， 故，结合选项知整数的可能值为1，2， 故选：CD 三、填空题 7．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知满足对一切正整数n均有且恒成立，则实数的范围是 【答案】 【分析】根据题中条件解不等式得，计算的最小值，从而得出实数的范围. 【详解】因为对一切正整数n均有且恒成立， 所以，化简得到， 的最小值为3. 所以， 故答案为：. 8．（23-24高二下·福建泉州·期末）英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛.其定义是:对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列.已知，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到数列.设，数列的前项积为.若对任意的恒成立，则整数的最小值为 . 【答案】2 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线方程，可得出，结合可求出的值，推导出，可求得，进而可求得整数的最小值. 【详解】由，则，， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知点在直线上，所以，， ，则， ， ， 因为函数的零点近似值为r，且函数在上为增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 由题意可知，，故整数的最小值为2. 故答案为: 2 【点睛】关键点点睛：本题考查数列不等式恒成立问题，解题的关键在于利用导数求出切线方程，得出数列的递推公式，利用数列的递推公式求解. 9．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列的前项和为，且满足，若数列的前项和满足恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由的关系仿写作差得到，再由错位相减法得到，最后由不等式恒成立问题和解一元二次不等式求出即可. 【详解】由，当时，； 当时，；作差可得， 则数列是首项和公比都为的等比数列，所以. ，， 以上两式相减可得， 则， 因为恒成立，所以，解得或， 故答案为：. 10．（23-24高二上·湖北黄石·期末）已知各项都不为0的数列的前项和满足，且，则的通项公式是 ；设数列的前项和为，若对，恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据与之间的关系分析可知，，，结合等差数列通项公式运算求解；设，可知，结合数列单调性分析求解. 【详解】因为，且， 若，则，可得； 若，则，可得， 且，可得， 可知：数列奇数项、偶数项均成等差数列， 当为奇数，则；当为偶数，则； 综上所述：； 因为，可知， 设， 由题意可知：， 因为 ， 可知数列为递增数列，则数列的最小项为， 则，所以的取值范围是. 故答案为：；. 四、解答题 11．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数，数列满足正整数 (1)求的最大值； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)最大值为0； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数，研究函数单调性，进而得到极值最值； （2）借助前面证明，运用对数的性质进行裂项，再累加求和即可； （3），所以，得，适当放缩后，再累加即可. 【详解】（1）因为的定义域为，所以 当时，，在上递增， 当时，，在上递减， 所以在时有最大值，所以，即的最大值为0； （2）由（1）知，，所以， 所以，即， 所以，，， 累加得，即. （3）因为，所以，得， ，，， 所以，即， 所以， 所以，，， 所以， ， 所以得证． 【点睛】关键点点睛：第一问借助导数研究即可，第二问主要是要借助第一问的结论，得到，再用对数性质，裂项累加求和；第三问关键要用，两边平方，得到，再放缩后，累加求和.转化思想要求很高，属于难题. 12．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知数列的前n项和（）． (1)求的值； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1)65 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用求出和即可. （2）明确，再对适度放缩，可得答案. （3）根据（2），可以很容易证明. 【详解】（1）当时，， 又， 所以. （2） 因为，所以（时取“”）. 所以， 即（当且仅当时取“”）. （3）由（2）（当且仅当时取“”）. 所以，，，…，. 各式相加得：. 即. 13．（23-24高二下·福建福州·期中）记数列的前项和，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据，作差得到，结合等差数列的定义及通项公式计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求出，再结合函数的单调性证明即可. 【详解】（1）因为， 当时，， 则 ， 故，即， 当时，有，即， 故是公差、首项均为的等差数列，故． （2）由（1）得， 故， 则． 因为，故， 又在上单调递减， 故随的增大而增大，故， 综上，． 14．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知等差数列的公差d≠0，且，，成等比数列，的前n项和为，，设，数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对一切恒成立，求实数λ的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得，即可求解； （2）利用等差数列的求和及乘公比错位相减法求和，根据题意转化为对一切恒成立，令，求得，结合数列的单调性和最值，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，且， 可得，即，解得， 所以， 则 （2）由（1）知，， 可得，① 则，② 所以①－②得 ， 所以， 所以， 由（1）得，所以， 因为不等式对一切恒成立， 所以且， 所以对一切恒成立， 即对一切恒成立，所以， 令，则，所以， 当时，，所以单调递减； 当时，，即； 当时，，所以单调递增； 综上可得，的最小值为， 所以，所以λ的最大值为． 15．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知数列的前n项和为. (1)求证：数列是等差数列； (2)设的前n项和为； ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）将表示为，然后等式两边同除，根据所得结果进行证明； （2）①先求解出，然后表示出，再通过错位相减法求解出； ②不等式化简为，令，先确定出单调性，从而求解出最大值，将恒成立问题转化为，由此求解出结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，所以， 所以是公差为的等差数列； （2）①因为，所以，所以， ， ， ， 两式相减得， ，所以， ； ②对任意的恒成立，，则对任意的恒成立， 令， 为递减数列，则当时，，. 16．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知数列满足，． (1)求证：数列为等差数列； (2)设数列前n项和为，且对任意的恒成立，求k的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明为定值即可； （2）先求出数列的通项，要使对任意的恒成立，只需要即可，令，利用单调法求出数列的最小项即可得解. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； （2）由（1）得，所以， 要使对任意的恒成立，只需要即可， 令， 则 ， 所以数列是递增数列， 所以，即， 所以. 数列不等式的有解问题 一、多选题 1．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知数列中各项都小于2，，记数列的前n项和为，则以下结论正确的是（    ） A．任意与正整数m，使得 B．存在与正整数m，使得 C．任意非零实数与正整数m，都有 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由递推公式得到即可判断A，记，依题意可得，结合函数的单调性，即可得到对于任意正整数n，，从而判断B，分、、三种情况讨论，即可判断C，结合A、C即可判断D. 【详解】对于A：因为，所以， 所以，则，故A正确； 对于B：记，由， 可得，因为在上单调递减， 所以对于任意正整数n，，故B正确； 对于C：由A可知所有同号， ①当时，易得对于任意正整数n，， ②当时，，即， 因为在上单调递减，所以对于任意正整数n，， ③当时，，即， 因为在上单调递减，所以对于任意正整数n，，故C错误； 对于D：由B可知对于任意正整数n，， 当时，所以， ， 由C中②知当时，，又，解得， 所以，所以，故D正确； 故选：ABD 二、填空题 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知数列的通项公式，记为在区间内项的个数，则 ；使得不等式成立的的最小值为 ． 【答案】 12 【分析】根据题意可得，对分奇偶数讨论计算的值；由题设得不等式，再按为奇数和偶数，求出的最小值． 【详解】依题意，令，得， 当为奇数时，可以被整除，于是， 当为偶数时，不能被整除，则， 所以； 当为奇数时，为偶数，， 即，而，则，即，又为奇数，则的最小值为， 当为偶数时，为奇数，， 而，则，即，因此的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：由条件建立不等式，再按是奇数、偶数分类求解是解决本题的关键. 三、解答题 3．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知正项数列的前n项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10；，的等比中项为8． (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，若存在使得成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系可得，利用等比数列性质及等差中项、等比中项性质可得； （2）分组求和可得，可将原不等式转化为，计算即可得. 【详解】（1）由可得， 当时，，两式相减得， ， 即， ， 即可得是等差数列． 由，得， 即． 由题意得，即，解得或， 是递增的等比数列， ，所以，得， ， 即； （2）由（1）得： 若存在使得成立， 等价于存在使得能成立， 设，则， 是递减数列，故的最大值为， 因此的最大值为. 4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知公差不为0的等差数列和等比数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求使成立的的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出两数列，借助基本量计算即可得； （2）借助裂项相消法计算出后，解出不等式即可得. 【详解】（1）设、，又， 则可得， ， 即有，解得或， 又、，故，， 即，； （2）， 则， ， 若成立，即， 由，即，整理得， 解得，又，故或， 即使成立的的取值范围为. 5．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出等差数列的公差，即可求得答案； （2）求出等比数列的首项，可求得其通项公式，结合数列的单调性求解，即得答案. 【详解】（1）由题意设等差数列的公差为d，由，， 得，解得， 故； （2）由于等比数列的公比为，且满足， 而，则，故， 则， 又，则， 当时，显然成立， 由于随着n的增大而增大，随着n的增大而增大， 当时，，故时，无解， 故满足的所有正整数的值为. 6．（23-24高二上·广西玉林·期末）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，. (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式； (2)若数列是“数列”，是否存在正整数，使得,若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据且数列为“数列”可知，，即，判断数列为等差数列，从而求得通项公式； （2）结合题中定义可求得，不等式化为，利用得，利用得，从而解得不等式组即可. 【详解】（1）因为，且数列为“数列”， 所以， 即，所以是以首项为，公差的等差数列， 所以； （2）由数列是“（2）数列”， 得，所以， 即，， 所以，所以时， ， 当时上式也成立，故. 假设存在正整数，使得， 则， 由， 可知，所以， 又因为为正整数，所以， 又， 所以. ，， . 故存在满足条件的正整数，且. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. ( 54 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 数列的求和 公式法 一、单选题 1．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．45 C．65 D．130 2．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知函数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）“城在水上走，水在城中流”是对绥中县九门口水上长城的形象描述，景区坚持绿水青山就是金山银山的发展理念，计划从2024年开始，5年时间改善景区环境，预计第一年投入资金80万元，以后每年投入资金是上一年的倍，第一年的旅游收入为200万元，以后每年旅游收入比上一年增加30万元，则这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为（    ） A．230万元 B．234万元 C．245万元 D．260万元 5．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·河南驻马店·期末）如图是边长为的正三角形，取各边的中点构成一个新三角形，依次做下去得到一系列三角形.则前个三角形的外接圆面积之和为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知数列满足，，则数列的前4项和等于 ． 8．（23-24高二下·上海浦东新·期末）等差数列中，，，则 ． 三、解答题 9．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)写出数列的前项和. 10．（23-24高二下·广西北海·期末）在等比数列中，已知，. (1)求公比及数列的通项公式； (2)求的值. 倒序相加法 一、单选题 1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 错位相减法 一、多选题 1．（23-24高二下·全国·期末）已知数列的首项为4，且满足，则（    ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 2．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知等比数列的公比为，，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 3．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知数列的前项和为，则（    ） A． B．为等比数列 C． D． 二、填空题 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前项和，进而可利用该法求数列的前项和，其操作步骤如下： 因为， 则， 两式相减得：， 所以， 类比以上方法求数列的前项和 . 5．（23-24高二上·安徽六安·期末）若，则数列的前n项和 ． 三、解答题 6．（23-24高二下·湖南·期末）数列的前项和为，当时，，数列满足：. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列，数列的前项和为，求. 7．（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 8．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满兄，，数列的前项和为，且． (1)求数列，的通项公式， (2)求数列的前项和为． 9．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在数列中，. (1)求证：是等比数列； (2)若，求的前项和. 10．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列与等差数列，若，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 裂项相消求和 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列的通项公式为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知数列的前n项和，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前2023项和为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前k项和是3，则k等于（    ） A．3 B．4 C．15 D．16 6．（23-24高二上·云南昭通·期末）设为等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、多选题 7．（23-24高二下·贵州遵义·期末）设是定义在上的函数，满足，且对任意，（为常数），点在曲线上，为数列的前项和，则下列说法正确的有（    ）． A．的解析式可能为 B．若，则 C．若在上是增函数，则 D．若，则 8．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列的前100项和为10000 C．若，则 D．若，则的最小值为8 9．（23-24高二下·云南红河·期末）记正项数列的前n项和为，已知，则（    ） A． B． C． D．数列的前n项和小于1 10．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知分别是数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知数列中，，，，记的前项和为，则（    ） A．中任意三项都不能构成等差数列 B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前12项和 . 13．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足，则 . 14．（23-24高二上·广东·期末）已知是等差数列的前项和，若，则数列的前2024项和为 . 四、解答题 15．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列满足，． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，求． 16．（23-24高二下·四川德阳·期末）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 17．（23-24高二下·青海海南·期末）在等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 18．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 19．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 分组（并项）法求和 一、单选题 1．（23-24高二下·广东江门·期末）已知数列的前n项和为，且，设，则的前11项和为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（    ） A．511 B．61 C．93 D．125 3．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知数列满足，则的前100项和为（    ） A．2475 B．2500 C．2525 D．5050 二、多选题 4．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）已知数列，中，，则（    ） A．数列的前4项和为 B．的前100项和为100 C．的前项和 D．数列仍为等比数列 5．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的是（   ） A．可能为1 B．数列是等比数列 C． D．若，的最大值为64 6．（23-24高二上·江苏南通·期末）为数列的前n项和，已知对任意的，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列的首项为1，且，是的前项和，则下列结论正确的为（    ） A． B．数列为等比数列 C．数列为等差数列 D． 三、填空题 8．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 ． 9．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列是公比为2的等比数列，若，则 ． 10．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知数列满足，则其前9项和 . 四、解答题 11．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足：，且  . (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，求的值. 12．（23-24高二下·福建福州·期末）设为数列的前项和，已知，. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和. 13．（23-24高二下·河南开封·期末）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)插入的数构成一个新数列，求该数列前项的和． 14．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为d的等差数列，令，求数列的前n项和. 数列求和中的奇偶项问题 一、单选题 1．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知数列满足. ①；②是等差数列；③是等比数列；④数列前项和为. 上述语句正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知数列，，，且则数列的前项之和为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·山东济南·期末）数列的前n项和为，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·云南昆明·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（    ） A．170 B．168 C．130 D．172 二、多选题 5．（23-24高二下·云南临沧·期末）（多选）数列满足且，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江西九江·期末）已知数列的前项和为，且满足，，则（   ） A．为等比数列 B． C． D． 7．（23-24高二上·湖南郴州·期末）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列满足，，则（    ） A． B． C．此数列的前项和为 D．数列的前60项和为930 三、填空题 8．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列满足 ，若 为数列 的前 项和，则 9．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是数列的前项和，，且，，，则 . 四、解答题 10．（23-24高二下·广东广州·期末）设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设求数列 的前 项和 . 11．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列的前项和为，已知且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和 12．（23-24高二下·云南保山·期末）已知的前项和是，且． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前项和． 13．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知正项数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 14．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等差数列的公差与的等差中项为5，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列{bn}的前20项和T20. 数列不等式的恒成立问题 一、单选题 1．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．9 B．18 C．27 D．54 2．（23-24高二上·广东·期末）在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二下·四川乐山·期末）在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（   ） A．1 B．0 C． D． 4．（23-24高二下·重庆·期末）已知各项均不为0的数列的前项和为，且，对于任意成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的通项公式为 C． D．实数的取值范围为 5．（23-24高二下·江西南昌·期末）设数列满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知数列的前项和为，数列的前项和为，若对一切都有恒成立，则整数的可能值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 三、填空题 7．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知满足对一切正整数n均有且恒成立，则实数的范围是 8．（23-24高二下·福建泉州·期末）英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛.其定义是:对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列.已知，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到数列.设，数列的前项积为.若对任意的恒成立，则整数的最小值为 . 9．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列的前项和为，且满足，若数列的前项和满足恒成立，则实数的取值范围为 ． 10．（23-24高二上·湖北黄石·期末）已知各项都不为0的数列的前项和满足，且，则的通项公式是 ；设数列的前项和为，若对，恒成立，则的取值范围是 . 四、解答题 11．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数，数列满足正整数 (1)求的最大值； (2)求证：； (3)求证：． 12．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知数列的前n项和（）． (1)求的值； (2)证明：； (3)证明：． 13．（23-24高二下·福建福州·期中）记数列的前项和，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 14．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知等差数列的公差d≠0，且，，成等比数列，的前n项和为，，设，数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对一切恒成立，求实数λ的最大值． 15．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知数列的前n项和为. (1)求证：数列是等差数列； (2)设的前n项和为； ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围. 16．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知数列满足，． (1)求证：数列为等差数列； (2)设数列前n项和为，且对任意的恒成立，求k的取值范围． 数列不等式的有解问题 一、多选题 1．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知数列中各项都小于2，，记数列的前n项和为，则以下结论正确的是（    ） A．任意与正整数m，使得 B．存在与正整数m，使得 C．任意非零实数与正整数m，都有 D．若，则 二、填空题 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知数列的通项公式，记为在区间内项的个数，则 ；使得不等式成立的的最小值为 ． 三、解答题 3．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知正项数列的前n项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10；，的等比中项为8． (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，若存在使得成立，求实数的最大值． 4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知公差不为0的等差数列和等比数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求使成立的的取值范围． 5．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值. 6．（23-24高二上·广西玉林·期末）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，. (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式； (2)若数列是“数列”，是否存在正整数，使得,若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由. ( 54 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$