专题07 数列的概念与通项公式（9大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修）

专题07 数列的概念与通项公式 根据规律求数列的项 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）数列，，，，…的第9项是（    ） A． B．19 C． D．17 【答案】D 【分析】观察可得数列的一个通项公式为，再代入计算可得. 【详解】数列，，，，…，的通项公式可以为， 所以. 故选：D 2．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知数列，根据该数列的规律，8是该数列的（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】A 【分析】观察各项根据规律即可求解. 【详解】，由此可知数列的规律是前后两项的比值为定值， 故所以8是该数列的第7项， 故选:A 3．（23-24高二上·广西百色·期末）已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（    ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 【答案】B 【分析】根据数列的规律，判断数据是数列中的第几项. 【详解】数列可以表示为，，，，，…， 则数列的一个通项公式为， ，是这个数列的第9项. 故选：B. 4．（23-24高二上·山西长治·期末）在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察总结规律，直接可写出第12个数. 【详解】观察可得，数列的第个数可以写为，所以第12个数为： . 故选：D 5．（23-24高二上·四川南充·期末）已知数列，根据该数列的规律，则是该数列的（    ）． A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】C 【分析】利用，再根据题中所给数列的规律即可求出结果. 【详解】因为，所以根据该数列的规律可知，是该数列的第项， 故选：C. 6．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到数列的一个通项公式，代入即可求解. 【详解】由题意，数列，可化为， 所以数列的一个通项公式为，所以该数列的第10项是. 故选：D. 二、填空题 7．（23-24高二上·广西·期末）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示) 【答案】 【分析】从图（1）、图（2）、图（3）、…的个数之和找到对应的数字规律. 【详解】由图，第1个图中有6个化学键和6个原子； 第2个图中有11个化学键和10个原子； 第3个图中有16个化学键和14个原子， 观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子， 则第n个图有个化学键和个原子，所以总数为. 故答案为： 数列的周期性及应用 一、单选题 1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期中）数列中，，，且（），则为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据递推关系可得数列的周期性，即可求解. 【详解】由，，且可得……, 所以为周期数列，且周期为6，故， 故选：A 2．（23-24高二上·云南昆明·期末）在数列中，若，，，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出数列的周期，再由此求出. 【详解】在数列中，，则， 因此数列数列的周期为3，所以. 故选：D 3．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，数列满足，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】首先结合的奇偶性和单调性，由可得，又知数列是4项以循环的周期数列，故求出. 【详解】由，则，可得. 由函数的性质，知在上单调递增. 因为，所以. 又，可得，，，， . 故选：B. 4．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）已知数列满足，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据递推式求出数列前几项，得到数列为周期数列，然后可求出结果. 【详解】因为数列满足，， 所以，，，， 故是周期为2的数列， 所以. 故选：D 5．（23-24高二下·北京石景山·期末）在数列中，，（），则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数列 中，由 ， ，计算 ， ， ，...，可得，利用周期性计算得出. 【详解】数列 中，由 ， ，得 ， 同理可得 ， ，...， 所以 ，则 . 故选：D. 6．（23-24高二下·江西抚州·期末）在数列中，若，则（    ） A．-2 B．4 C．1 D． 【答案】B 【分析】由已知递推式可求出，可得此数列是以3为周期的周期数列，从而可求出答案. 【详解】因为数列中，， 所以，， ，， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以. 故选：B 7．（23-24高二下·江西南昌·期末）若首项为 1 的数列 满足 ，则 （    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用此数列的递推关系，依次求出下一项，直到出现重复，则可以判断周期，从而利用周期性来得到结果. 【详解】由，得： ， ， ， ， ， ， 因为，由此得数列是一个周期为的数列， 所以，则， 故选：C. 8．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知数列满足，且，设，则数列的前2024项和为（    ） A．674 B．673 C．-673 D．-674 【答案】D 【分析】利用数列的递推关系结合数列的周期性求解即可. 【详解】因为奇数与奇数之和为偶数，奇数与偶数之和为奇数， 所以数列的各项的奇偶情况依次为奇､偶､奇､奇､偶､奇 所以数列的各项依次为， 故数列以3为周期，且相邻3项之和为-1， 因为， 所以数列的前2024项和为. 故选：D. 9．（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，，则的前2024项和为（   ） A．589 B．590 C． D． 【答案】C 【分析】由递推公式写出前项，发现数列是以4为周期的周期数列，从而利用周期可得结果. 【详解】因为， 所以，，， 而，所以数列是以4为周期的周期数列， 所以的前2024项和． 故选：C. 10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项. 【详解】由，， 得， 所以数列是以为周期的周期数列， 则. 故选：B. 二、填空题 11．（23-24高二上·上海·期末）数列满足：，则 . 【答案】/0.5 【分析】先求出数列的周期，利用周期可得答案. 【详解】法一：依次代入的值，看看它们符合什么规律： .至此可以发现周期为3. （余数为2），. 故答案为：. 法二：该数列的周期为3，推理过程如下展示： 将换成，得，再将代入，得 ， 再将换成，得，继续将代入，得， ，以下同解法一. 故答案为：. 12．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，则 ，数列的前99项和为 ． 【答案】 【分析】根据递推公式列举出前几项，进而可求出及数列的周期，进而可得出答案. 【详解】由，， 得，，，，， ，， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以数列的前99项和为. 故答案为：；. 13．（23-24高二上·福建福州·期末）数列满足，则 ． 【答案】 【分析】先求出数列的周期，利用周期可得答案. 【详解】， ， .至此可以发现该数列的周期为3. （余数为2），. 数列的单调性 一、单选题 1．（23-24高二上·湖北武汉·期末）函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充要条件的要求分别判断即可，若是推不出，则只需举反例. 【详解】因函数的定义域为，函数为减函数，又因数列满足中，,而,则在上必是递减的， 即数列为递减数列，故“函数为减函数”是“数列为递减数列”的充分条件； 反之，数列为递减数列，即在上是递减的，但是在上未必递减. (如函数在上的函数值都是，显然函数不是减函数，同时对应的数列却是递减数列.) 故“函数为减函数”不是“数列为递减数列”的必要条件. 故选：A. 2．（23-24高二下·北京大兴·期末）已知等比数列的前项和为，公比为，且，则（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列是递增数列 D．数列是递减数列 【答案】D 【分析】利用作差法及等比数列通项公式得到，即可判断C、D，利用特殊值判断A、B. 【详解】因为等比数列的前项和为，公比为，显然， 若，即，所以， 所以是递减数列，故C错误、D正确； 若，，则，满足， 但是，则不具有单调性，故A、B错误. 故选：D. 3．（23-24高二下·北京西城·期末）设等比数列的前n项和为，则“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据等比数列递增数列分类得出或,递增得出,最后根据既不充分也不必要条件判断即可. 【详解】是等比数列是递增数列，则或， 是递增数列，,即得； “是等比数列是递增数列”是“是递增数列”既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列为等比数列，公比为q，前n项和为，则“”是“数列是单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义和数列单调的定义求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，公比为q，前n项和为， 若，即，则，即数列是单调递增数列； 若数列是单调递增数列，则，所以； 所以“”是“数列是单调递增数列”的充要条件. 故选：C. 5．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知是等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的单调性结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当，则公比， 所以， 则，所以，所以为递增数列， 若，此时数列为递增数列，而， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：B. 6．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，恒成立，参变分离可得，恒成立，结合函数的单调性求出的最大值，即可得解. 【详解】依题意，恒成立， 即，恒成立， 所以，恒成立， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以当时， 所以，即的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据数列的单调性得到，恒成立，再参变分离得到，恒成立. 7．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用求出数列的通项公式，再通过恒成立求的取值范围. 【详解】由得， 两式相减得，即， 又，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 若数列是递增数列 则恒成立， 即恒成立， 即恒成立，又， 所以. 故选：B. 8．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知等比数列的首项，公比为q，记（），则“”是“数列为递减数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】由题意，， ， 当时，对于不一定恒成立，例如； 当为递减数列时，且对于恒成立， 又因为，所以得， 因此“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件， 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知是等差数列，是等比数列，下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．若，则为递减数列 D．若，则为递增数列 【答案】AC 【分析】是等差数列，设公差为；是等比数列，设公比为，A选项由定义证明是等比数列；B选项通过举反例时，证明不是等差数列；C选项，由得到，从而为递减数列；D选项通过举反例，此时数列不是单调数列. 【详解】是等差数列，设公差为；是等比数列，设公比为， A选项，设，则为常数，所以是等比数列，A正确； B选项，设，当满足是等比数列， 此时，，不是等差数列，B错误； C选项，时，即，得，则为递减数列，C正确； D选项，当满足是等比数列，且，，，此时不是单调数列，D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：证明数列是等比数列： 定义法：（常数）， 等比中项法：， 通项公式法： 前项和特征法： 10．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知等差数列的前项和为，公差，则下列数列一定是递增数列的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式，利用数列单调性的概念逐个分析判断. 【详解】对于A，因为，所以， 所以， 所以数列为递增数列，所以A正确， 对于B，因为，所以， 所以， 因为，所以不一定为正实数， 所以数列不一定为递增数列，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以 ， 因为，所以不一定为正实数， 所以数列不一定为递增数列，所以C错误， 对于D，因为，所以， 所以， 所以数列为递增数列，所以D正确. 故选：AD 11．（23-24高二下·江西吉安·期末）已知首项为1的正项数列满足，则（    ） A．为递增数列 B． C． D．数列为递减数列 【答案】ACD 【分析】由已知递推式可得，可判断AB；推得，由数列的单调性，可判断C；由，可判断D． 【详解】对A，由，，，可得， 即，可得数列为递增数列，故A正确； 对B，由数列为递增数列，可得，即有，故B错误； 对C，由A知，为递增数列，且，， 所以，故C正确. 对D，由，可得，则数列为递减数列，故D正确． 故选：ACD． 12．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．是递减数列 B．有最大项 C．是递增数列 D．有最小项 【答案】BCD 【分析】由已知条件可得首项和公比的范围，结合等比数列的通项公式和求和公式对选项分析即可. 【详解】设等比数列的公比为,因为， 所以且， 对A选项，当时，是递减数列，，是摆动数列，故A错误； 对B选项，当时，是递减数列，最大项为， 当，是摆动数列，， 所以数列的奇数项为正，偶数项为负，最大项为第一项，故B正确； 对C选项，，且，则，所以， 因为单调递减，所以单调递增， 所以单调递增；故C选项正确； 对D选项，当时，是递减数列，有最小项，没有最大项， 当，是摆动数列，因为，所以数列奇数项为正，偶数项为负，且单调递减， 所以数列有最小项为最大项为，故D选项正确； 故选：BCD 三、填空题 13．（23-24高二下·北京房山·期末）设无穷数列的通项公式为.若是单调递减数列，则的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】根据数列的函数特性，可得，解不等式可得的取值范围. 【详解】由可得， 又是单调递减数列，可得， 即， 整理得恒成立， 即恒成立， ∴， 又因为，所以， 即取值范围为， 故答案为：（答案不唯一，即可） 14．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知等差数列的前项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由命题为假命题，则符合条件的等差数列递减且即可. 【详解】等差数列的前项和为， 若“对，若，则”是假命题， 只需等差数列为递减数列，即可，符合题意. 故答案为： 观察法求数列的通项公式 一、单选题 1．（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意逐一检验选项即可. 【详解】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 2．（23-24高二下·江西景德镇·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将数列前5项改写为统一格式即可发现规律得到数列的通项公式. 【详解】由题数列的前5项可改写为， 其中负号交替出现在偶数项，分母为从1开始的奇数， 故数列的通项公式为. 故选：D. 3．（23-24高二下·江西南昌·期末）数列 的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据观察法，结合选项直接得出结果. 【详解】由题意知，数列，可改写为， 该数列的奇数项为正值，偶数项为负数， 前4项的分母为，分子为， 所以数列的通项公式为. 故选：B 4．（23-24高二下·陕西渭南·期末）数列，，，，…的第9项是（    ） A． B．19 C． D．17 【答案】D 【分析】观察可得数列的一个通项公式为，再代入计算可得. 【详解】数列，，，，…，的通项公式可以为， 所以. 故选：D 5．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察数列的项的特点，找到各项之间的规律，即可写出一个通项公式，结合选项，即得答案. 【详解】观察可知，该数列的前面整数部分为奇数，后面分数部分正负相间，首项的分数部分为负， 分母为，分子为， 故该数列的一个通项公式可以为， 故选：D 6．（23-24高二上·江苏南通·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用排除法以及检验法即可得解. 【详解】当时，，故排除D，当时，，故排除BC，经检验A选项符合题意. 故选：A. 二、多选题 7．（23-24高二上·湖南永州·期末）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用观察归纳法，结合等差数列前n项和公式求出，再逐项判断即得. 【详解】依题意，，，AD正确； ，，B错误； ，，C正确. 故选：ACD 8．（23-24高二上·吉林·期末）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列与数列是同一个数列 B．数列的通项公式为，则120是该数列的第11项 C．在数列中，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】CD 【分析】A根据数列单调性即可判断；B令判断11是否是方程的解；C、D根据数列的特征写出一个满足特征的通项公式即可判断. 【详解】A：由为递增数列，而为递减数列，显然不是同一数列，错； B：令，则，显然11不是方程的解，错； C：由数列可改写为， 即数列通项为，所以第8个数是，对； D：数列3，5，9，17，33，…可改写为， 所以一个通项公式为，对. 故选：CD 累加法求数列的通项公式 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江温州·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，下列不是数列的项的是（    ） A．35 B．70 C．145 D．170 【答案】D 【分析】根据已知得出的前几项，进而得出递推公式.根据累加法求得通项公式为.分别令取35，70，145，170，求出的正整数解的情况，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，，，， 所以，. 当时，累加法求和如下 ， ， ， ， 两边同时相加可得，， 整理可得，. 对于A项，令可得，，解得或（舍去）. 所以，，故A项错误； 对于B项，令可得，，解得或（舍去）. 所以，，故B项错误； 对于C项，令可得，，解得或（舍去）. 所以，，故C项错误； 对于D项，令可得，，解得（舍去）或（舍去）. 所以，170不是数列的项，故D项正确. 故选：D. 2．（23-24高二下·甘肃庆阳·期末）已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2024项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义翻译出，然后用累加法求出，再用等比数列求和公式求解即可. 【详解】据题意，得，所以， 所以， 所以．又，所以，所以， 所以 故选：D． 3．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前2023项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由累加法可得，利用裂项相消求和法求出，即可得解. 【详解】依题意，，，，， 则由累加法得，，因此， 而满足上式，即，则， 所以，. 故选：D 4．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知数列满足，，，则数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题中条件可得到偶数项得关系，再进行累加即得. 【详解】 所以 累加得 故选：C. 5．（23-24高二上·山东济宁·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有个球，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件中的规律，利用累加法求出数列的通项公式，进而求得，利用裂项相消法求出数列的前20项和即可. 【详解】根据已知条件有，当时，， ，，，， 以上各式累加得：， 又，所以， 经检验符合上式，所以， 所以，设数列的前项和为， 则， 所以. 故选：A. 6．（23-24高二上·湖南长沙·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了高阶等差数列的概念.如数列1，3，6，10，后前两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（    ） A．174 B．184 C．188 D．190 【答案】A 【分析】先列出数列的递推公式，用“累加法”求出数列的通项公式，再求数列的指定项. 【详解】设此数列为，则，，，…，， 所以 ， 所以. 故选：A 7．（23-24高二上·海南·期末）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前项为、、、，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记二阶等差数列为，，计算得出。利用累加法结合等差数列求和可求得的值. 【详解】记二阶等差数列为，且该数列满足，，，， 记，由题意可知，数列为等差数列，且， ，， 所以，等差数列的公差为， 所以，， 所以，，累加得， 因此，. 故选：C. 8．（23-24高二上·四川凉山·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第二十层球的个数为（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 【答案】A 【分析】 依据规律找出每一层小球数构成的数列的递推关系，利用累加法求出通项，从而求出第20项即可． 【详解】设第层的小球个数为依次构成数列，由题： 从而有规律： 所以所以． 即第20层有210个小球， 故选：A． 二、多选题 9．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满足，则（    ） A． B．数列是递增数列 C． D．数列的最小值为 【答案】AC 【分析】根据，利用累加法求得数列的通项公式，进而得到数列的通项公式，判断其单调性，进而判断CD两个选项. 【详解】由得， 所以，故A正确， 所以，设函数，则， 令得，令得， 从而在上单调递减，在上单调递增，结合， 得当时，数列是递减数列，当时，数列是递增数列，故B错误， 由当时，数列是递增数列知，所以，故C正确， 当时，，当时，，所以，故D错误． 故选：AC. 10．（23-24高二下·全国·期末）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．1849既是三角形数，又是正方形数 C． D．，，总存在，，使得成立 【答案】ACD 【分析】利用累加法分别求出，，进而分别利用裂项求和法、放缩法，逐个分析各个选项即可． 【详解】解：三角形数构成数列，3，6，10，， 易发现，，，，， 累加得，， ， 显然满足上式， ， 正方形数构成数列，4，9，16，， 易发现，，，，， 累加得， ，显然满足上式，， 对于A，， ，故A正确； 对于B，令，得， ，， 无正整数解，即1849不是三角形数， 令，，即1849是正方形数，故B错误； 对于C，， ，故C正确； 对于D，取，且， 令，有， 故，，总存在，，使得成立，故D正确． 故选：ACD 【点睛】本题主要考查了数列的应用，考查了归纳推理，考查了转化思想和运算求解能力； 本题的关键是通过累加法求出数列的通项，另外数列求和首先是把通项进行了适当的放缩，然后运用裂项相消求和。 11．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知数列满足，且，则以下正确的有（    ） A． B．数列是等差数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】ACD 【分析】由累加法求得，再对选项加以判断，可得正确结论． 【详解】数列{an}满足，且， 可得时， ，当成立. 即有，又, 可得，是公比为的等比数列，不是等差数列，故ACD正确，B错误． 故选：ACD． 三、填空题 12．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 . 【答案】5 【分析】用累加法求解. 【详解】 ， ， … ， 各式累加得. 故答案为：5. 13．（23-24高二上·广东江门·期末）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前项和 . 【答案】 【分析】根据条件写出递推关系式，然后根据累加法求解出的通项公式，化简为，再采用裂项相消法进行求和可得结果. 【详解】由题意可知：，， 所以， 所以，所以， 当时，满足的情况， 所以； 因为， 所以， 故答案为：. 累乘法求数列的通项公式 一、单选题 1．（23-24高二上·福建三明·期末）已知数列，的前n项和分别为，若，，，则（    ） A．150 B．100 C．200 D．5050 【答案】C 【分析】利用之间得关系，结合累乘法求出，再表示出，利用，再求和即可. 【详解】结合题意可得：当时，， 因为，所以当时，有， 由可得，即，易知， 所以， 又满足，故. 所以， 易知， 所以. 故选：C. 2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得到，利用累乘法得到，故，利用裂项相消法求和得到答案. 【详解】由题意易知， 由变形为，故， 所以 ， 因为，所以，故， 所以. 故选：C 二、多选题 3．（23-24高二上·广东清远·期末）已知数列满足，则下列结论成立的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为递增数列 C． D．数列的前项和为 【答案】ACD 【分析】由累乘法求出，可判断ABC；再由裂项相消法求出列的前项和可判断D. 【详解】因为，所以， 求得，即，所以为首项为1，公差为1的等差数列，故选项A正确，选项C正确． 对于B选项，因为，所以数列为递减数列，选项B错误． 对于选项，因为， 所以数列的前项和为： ，选项D正确． 故选：ACD． 4．（23-24高二下·江西萍乡·期末）若数列的首项为1，其前项和为，且满足为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据得，再根据累乘法可得数列的通项公式，即可判断A，B，再通过求和可判断C，D. 【详解】因为数列的首项为1，其前项和为，且满足①， 所以，当时，②， ①-②得，当时，， 所以当时，，上述各式左右相乘，得 所以，， ， 所以当时，，所以当时，所以，综上，，故A正确； ，故B正确； 因为，所以数列从第二项开始是以首项为1，公差的等差数列， 所以，故C错误； 因为，所以 ，故D正确， 故选：ABD 三、填空题 5．（23-24高二上·广东河源·期末）已知正项数列满足，则 . 【答案】 【分析】由递推公式可得，再由累乘法即可求得结果. 【详解】由可得， 由累乘可得. 故答案为： 6．（23-24高二上·内蒙古·期末）在数列中，，则 ． 【答案】 【分析】根据题设中的递推公式特征选择累乘法进行赋值即可求得. 【详解】因，故有，即得， 所以． 故答案为：. 7．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列各项均为正数，且首项为1，，则 ． 【答案】210 【分析】对原方程化简得，然后利用累乘法求解即可. 【详解】由已知，得， ∵，∴，得， 由累乘法得，∴, 故答案为：210. 8．（23-24高二上·江苏盐城·期末）数列 满足，则 . 【答案】 【分析】由累乘法求出，再由错位相减法求出数列 的前项和为，即可求出，代入求解即可. 【详解】由可得：， 当时， ，，，……，， 所以上述式子相乘可得：，所以， 令，，所以满足，所以. 设数列 的前项和为， ①， ②， ①减②可得： 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 四、解答题 9．（23-24高二下·四川凉山·期末）各项均为正数的等差数列首项为1，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比中项可得，结合等差数列通项公式求得，即可得通项公式； （2）利用累乘法求的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为成等比数列，则，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以数列的通项公式. （2）因为，即， 此时 ， 即， 且满足上式，所以. 可得； 所以. 10．（23-24高二下·福建厦门·期末）设为正项等比数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的性质，列出关于的方程，即可求解. （2）先利用累乘法求出的通项公式，再利用裂项相消法求出前项和. 【详解】（1）因为是正项等比数列，所以，公比. 因为，所以， 则，即， 则，得（舍）或， 又因为，所以，所以的通项公式为. （2）依题意得， 当时，，即. 因为，所以， 当时，符合上式，所以的通项公式为. 因为， 所以. 已知Sn的表达式求通项公式 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】根据的关系求得即可得解. 【详解】，解得， 当时，，即， 所以，所以. 故选：D. 2．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知数列的前项和，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据计算可得. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：D 3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）若数列的前项和，则（    ） A．7 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】由题意可得，，从而可求解. 【详解】由题意得， 所以，故D正确. 故选：D. 4．（23-24高二上·河南许昌·期末）已知数列的前n项和，则的值是（    ） A．8094 B．8095 C．8096 D．8097 【答案】A 【分析】利用前n项和和通项公式的关系求出通项公式，再求值即可. 【详解】易知，， 故，当时符合题意，故成立, 显然. 故选：A 5．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．20 B．28 C．32 D．48 【答案】A 【分析】利用计算即可. 【详解】易知. 故选：A 二、多选题 6．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列的前100项和为10000 C．若，则 D．若，则的最小值为8 【答案】AB 【分析】先利用，求出，可判断选项A，C，化简，由等差数列的前项和求解，判断B；裂项相消法求和，判断D. 【详解】对于A，因为， 当时，， 当时，，符合上式， 所以，选项A正确； 对于B，根据已知，则数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 所以前100项和为，选项B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 由，得，解得，选项C错误； 对于D，因为， 所以， 所以 ， 解得，选项D错误. 故选：AB 7．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和，则下列说法中正确的是（    ） A．一定为等差数列 B．可能为等比数列 C．若，则一定为递增数列 D．若，则存在，使得 【答案】BD 【分析】对于A：证明，才是等差数列，对于B：取，即可说明；对于C：证明可判断，对于D：用二次函数的性质说明即可. 【详解】对于A：当时，， 该通项公式为一次函数形式，所以从第二项起为等差数列， 所以数列是等差数列的条件只需满足当时满足的通项公式即可， 即当，，所以只有当时，才是等差数列，故A错误； 对于B：当时，，满足要求，故B正确； 对于C：若，则，所以，故C错误； 对于D，若，函数的图象关于直线对称，因此，从而，故D正确. 故选：BD 8．（23-24高二上·湖北孝感·期末）若数列的前n项和为，则下列命题正确的是（    ） A．数列为等差数列 B．数列为单调递增数列 C．数列为单调递增数列 D．数列为等差数列 【答案】BC 【分析】利用,求出数列的通项公式，可对A，B进行判断，对进行配方可对C进行判断，利用等差数列定义验证D. 【详解】当时，， 当时，， 当时，不满足上式， 所以， 所以数列不是等差数列，A错误； 因为，，且当时，为公差大于零的等差数列， 所以为单调递增数列，所以B正确； 由于， 而，数列为单调递增数列，所以C正确； 由，则且， 显然数列不可能是等差数列，D错误. 故选：BC 9．（23-24高三上·江苏·期末）已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（    ） A．若，则为等差数列 B．若，则为递增数列 C．若，则当且仅当时取得最小值 D．“”是“数列为递增数列”的充要条件 【答案】ACD 【分析】先求出，当时，，再逐项判断选项. 【详解】由，当时，， 当时，， 若，则，符合，故为等差数列，A正确； 若，则，，所以不是递增数列，B错误； 若，则，当时，，为公差为2的等差数列， 且，所以当且仅当时取得最小值，C正确； 当时，，故数列为递增数列等价于， 即，可得，故D正确. 故选：ACD 10．（23-24高二上·湖北荆门·期末）设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．当且仅当时，取得最大值 C．时，n的最大值为33 D．，，，……，，……中，最大值为 【答案】ACD 【分析】由数列的前n项和求出通项公式，由此判断出等差数列的单调性和符号，找到，可判定A、B；再解不等式，判定C；再由的最大值和的最小正项求出的最大值. 【详解】对于A项，．当时，； 当时， 时，，满足． 综上所述，，A正确； 对于B项，要使取得最大值， 则应有，即，解得． 又，所以当或时，取得最大值．故B不正确； 对于C项，由A知，， 解，可得． 所以，时，n的最大值为33．故C正确． 对于D项，由前面可知当，， 且当时，取得最大值，是最小正项，所以D正确． 故选：ACD 三、填空题 11．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式. 【详解】数列的前n项和， 当时，， 而，不满足上式， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 12．（23-24高一下·上海·期末）已知数列的前项和，则它的通项公式 ． 【答案】． 【分析】由与的关系，化简可得所求通项公式． 【详解】由，可得时，； 当时，． 此时，当 综上，可得． 故答案为：． 13．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列的前项和为，满足，则 【答案】 【分析】由已知可得数列为首项为1，公差为2的等差数列，求出，从而可求出，再利用可求得答案. 【详解】因为， 所以数列为首项为1，公差为2的等差数列， 所以，所以， 当时， ， 因为不满足上式， 所以. 故答案为： 四、解答题 14．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知数列的前n项和，. (1)写出数列的通项公式. (2)证明：数列是等差数列； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，类，当时，求得并验证通项公式，从而确定数列通项公式. （2）根据（1）求得的通项公式，利用等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足， 即数列的通项公式． （2）， 当时，为常数， 则数列是等差数列． 15．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前11项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系求解即可； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为， 当时，； 当时，； 经检验：满足，所以. （2）由（1）得：， 所以. 已知Sn与an的关系求通项 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】根据的关系求得即可得解. 【详解】，解得， 当时，，即， 所以，所以. 故选：D. 2．（23-24高二下·广东·期中）设为数列的前项和，且，则（    ） A． B．2024 C． D．0 【答案】D 【分析】利用的关系，结合条件构造，利用等比数列的定义及通项公式计算即可. 【详解】由， 且， 显然，所以是以为首项，为公比的等比数列， 即，故. 故选：D 3．（23-24高二上·四川成都·期末）若数列满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由与的关系求得，从而为常数列， 得到，即可求的值. 【详解】由及得， 即， 即， 所以，即为常数列， 又，所以，即， 所以， 所以. 故选：B 4．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知数列的前n项和为，若，且（），则（    ） A．为等比数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等差数列 【答案】A 【分析】利用求出的通项公式并求和，然后逐一判断选项即可. 【详解】由得当时，， 两式相减得，即， 又当时，， 所以数列即不是等比数列也不是等差数列，CD错误； 所以， 当时， 所以当时，，符合， 所以， 又时，所以为等比数列，A正确，B错误. 故选：A. 5．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据数列递推式，采用两式相减的方法推出，结合等比数列通项公式求出表达式，结合单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知，故时，， 当时，，，则， 即，故，又， 所以为首项是，公比为的等比数列， 故， 随n的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值， 故时，取最大值，最大值为， 故选：C 6．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列是递增数列 【答案】D 【分析】先利用求出数列的通项公式，再依次判断各选项即可. 【详解】由题意可知，当时，，解得， 当时，，则，即， 显然，，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，当时仍成立，，AB说法错误； 令，则，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，其前项和为，C说法错误； 令，则， 又由可得，所以数列是递增数列，D说法正确； 故选：D 二、多选题 7．（23-24高二下·云南红河·期末）记正项数列的前n项和为，已知，则（    ） A． B． C． D．数列的前n项和小于1 【答案】AD 【分析】由与的关系结合定义证明为等差数列，从而判断ABC；由裂项相消求和法结合不等式性质判断D. 【详解】对于B：∵，① ∴当时，，解得； 当时，，② 由①②得， 化为， ∵有，∴. 数列是以首项为1，公差为1的等差数列. ∴. ∴，故B错误； 对于AC：，，故A正确，C错误； 对于D： ， 数列的前n项和为， 故D正确； 故选：AD 8．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知数列的前n项和，则下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是递增数列 C． D． 【答案】AC 【分析】根据所给递推关系求判断A，由关系得出数列为等比数列判断BC，由求和公式判断D. 【详解】当时，，解得，故A正确； 当时，由可得，，两式相减得， 数列是等比数列，公比，且首项，所以数列是递减数列，故B错误； 由等比数列求和公式知，，故C正确； 由C知，，故D错误. 故选：AC 9．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【答案】BC 【分析】根据，作差得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出与，从而判断A、B、C，再根据等比数列的定义判断D. 【详解】因为，当时，解得，故B正确 当时，即，解得，所以，故A错误； 当时，所以， 即，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故C正确； 则， 所以，则，所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：BC 10．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知分别是数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据与的关系推得，从第2项开始，是等比数列，结合的值求得，即可得出的通项公式，进而判断A、B；代入已知得出的通项公式，裂项求和判断C项；放缩法，即可得出D项. 【详解】对于A项，因为，则，所以.故A正确. 对于B项，当时，有，， 两式作差可得，，所以，. 所以，从第2项开始，是以2为公比的等比数列， 所以，. 检验，时，， 所以，.故B错误； 对于C项，因为， 所以， 所以，.故C正确； 对于D项，因为，当时恒成立， 所以，，当时恒成立. 又时，满足， 所以，.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 11．（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知数列的前n项和满足，则 . 【答案】 【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再代入公式，即可求解. 【详解】令，得，得， ，当时，，两式相减得， ，即，即， 所以数列是以首项，公比为2的等比数列， 所以. 故答案为： 12．（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合变形等式，再构造常数列求出通项. 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则有， 因此数列是常数列，则， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 13．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知数列的前项和为，，（），则为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用变形，再利用构造法求出. 【详解】数列的前项和，当时，， 整理得，即，显然当时，数列是常数列， 因此，所以. 故答案为： 四、解答题 14．（23-24高二下·贵州遵义·期末）数列的前n项和记为，已知，． (1)求证：是等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最大值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）用与的关系式即可证明； （2）利用等比中项的性质结合（1）的结论可求得，由等差数列的前项和公式可得，利用二次函数的对称性和最值可得的最大值. 【详解】（1）①， 当时， ②， 得：， 即，即，且. 是公差为的等差数列. （2）由（1）知是公差为的等差数列， ， 又，，成等比数列， ， ，即， 故，解得. ， ， 二次函数的对称轴为， ，当或时取到最大值为. 故的最大值为. 15．（23-24高二下·辽宁·期末）设为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)设的前n项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用的关系，根据等比数列的定义求通项公式； （2）应用错位相减法求得，化简即可证明． 【详解】（1）因为， 所以，故， 当时，，所以， 所以， 则数列是公比为2的等比数列， 所以． （2）因为，所以， ① ② ①②得，所以 所以． 16．（23-24高二下·湖南张家界·期末）已知数列是递增数列，其前项和满足. (1)证明：是等差数列； (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据退一相减法，结合等差数列定义可证； （2）根据等差数列可得与，再利用分组求和的方程求得. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，则， 即，即 又数列为递增数列， 所以，故， 即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）得， 所以， 则 . 由递推公式求数列的项 一、单选题 1．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知首项为的数列，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件递推公式，求出的值即可逐一判断 【详解】由题意，又， 所以， 所以，， 故选：A. 2．（23-24高二下·广西桂林·期末）在数列中，，对任意m，，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用恒等式赋值得到等比递推，即可求解. 【详解】令得：，所以是等比数列，首项为，公比为， 则，即 ， 故选：C. 3．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）已知数列满足，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据递推式求出数列前几项，得到数列为周期数列，然后可求出结果. 【详解】因为数列满足，， 所以，，，， 故是周期为2的数列， 所以. 故选：D 4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列满足，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】A 【分析】由递推公式求解即可． 【详解】依题意，得， ， 故选：A 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在世纪年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，从而可得递推公式，然后由递推公式可求得结果. 【详解】由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈， 一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈， 所以有，， 又因为，，所以，，，， ，，，，，． 故选：A． 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）若数列满足，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据递推式结合求出的值，从而可出结果. 【详解】因为数列满足，， 所以， ， 所以. 故选：A 7．（23-24高二下·上海浦东新·期末）数列满足．给出如下两个结论：①；②，则下面判断正确的为（    ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】C 【分析】利用，可判断①，当时，，，可求判断②. 【详解】由，可得，故①正确； ， 当时，，不适合上式， 所以，故②正确. 故选：C. 8．（23-24高二下·四川成都·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”），参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设各项均为正整数的数列满足，若，则的取值可以为（    ） A．1 B．3 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据运算规则逆向寻找结果即可. 【详解】若，则或（舍去），则或， 若，则或， 当，则或， 当，则； 若，则，所以或， 综上可得，故符合条件的只有A. 故选：A 二、多选题 9．（23-24高二上·福建福州·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出数列的前几项，可得数列中从第4项起以4，2，1循环，然后一一分析判断即可. 【详解】因为数列满足，， 所以 ， 所以， 所以AB正确，C错误， 因为数列中从第4项起以4，2，1循环，而， 所以，所以D正确， 故选：ABD 10．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知数列满足，，若，，，则的值可能为（   ） A．－1 B．2 C． D．－2 【答案】BCD 【分析】由题意，结合选项根据的取值，得出对应的递推公式，利用归纳法求出对应的通项公式，依次验证即可. 【详解】A：当时，， 得， 所以数列是以3为周期的周期数列，则，不符合题意，故A错误； B：当时，， 得， 所以，符合题意，故B正确； C：当时，， 得， 所以，符合题意，故C正确； D：当时，， 得， 所以，符合题意，故D正确. 故选：BCD 11．（23-24高二上·吉林·期末）若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理，准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据数列的递推公式即可判断AC；利用数列的性质，结合斐波那契数列的前项和即可判断BD. 【详解】对于A，因为，，， 所以，，， ，，故A正确； 对于B，设数列的前项和为， ； ， 故，故B正确； 对于C，由A可知，，C错误； 对于D， ， ， 故，故D错误. 故选：AB 三、填空题 12．（23-24高二下·广东广州·期末）已知数列满足，则 . 【答案】/ 【分析】由递推式，结合依次求出、即可. 【详解】由，，可得， 又，可得. 故答案为：. 13．（23-24高一下·上海·期末）已知，各项均为正数的数列满足，.若，则 . 【答案】 【分析】根据递推公式求出，即可求解. 【详解】由题设，又得：，， 由， 可得， 因为，可得， 又，，，，， 得， 综上，. 故答案为：. 14．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列满足，，则 . 【答案】 【分析】由已知递推关系即可求解． 【详解】因为数列满足，， 所以， ， ， ． 故答案为： 数列中的最值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据数列递推式，采用两式相减的方法推出，结合等比数列通项公式求出表达式，结合单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知，故时，， 当时，，，则， 即，故，又， 所以为首项是，公比为的等比数列， 故， 随n的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值， 故时，取最大值，最大值为， 故选：C 2．（23-24高二上·吉林·期末）已知等比数列的公比为，为其前n项和，且，则当取得最大值时，对应的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列通项公式、前n项和公式及已知得，应用基本不等式求最大值，并确定取值条件即可. 【详解】由题设，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当取得最大值时，对应的为3. 故选：B 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，且，数列满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列定义求出，由累加法求出，由对勾函数单调性结合即可求解. 【详解】由题意数列满足，且， 所以数列是等差数列，且， 所以， 当时，， 又， 所以， 所以，而，所以当或时，取最小值， 当时，，当时，， 综上所述，的最小值为5. 故选：B. 二、多选题 4．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列的通项公式为 ，前 项积为 ，则下列说法正确的是（    ） A．在数列中，是最大项 B．在数列中， 是最小项 C．数列单调递减 D．使取得最小值的为 9 【答案】ABD 【分析】判断数列的单调性，由此求得最大项与最小项，进而判断A,B选项，再根据项与1的大小关系判断的单调性及最值判断C，D选项即可. 【详解】，∴当时随着的增大越来越小且小于， 当时随着的增大越来越小且大于，则前项中最大项为，最小项为， 故A，B选项正确； 当时， 当时，,所以数列不是单调递减，C选项错误； 前 n 项积取得最小值时为9，故D选项正确. 故选：ABD. 5．（23-24高二下·江西·阶段练习）数列满足，下列说法正确的是（    ） A．可能为常数列 B．数列可能为公差不为0的等差数列 C．若，则 D．若，则的最大项为 【答案】AD 【分析】令，确定方程的解判断A；利用等差数列定义计算判断BCD. 【详解】对于A，令，由，可得，解得，A正确； 对于B，若数列为公差不为0的等差数列，由，得， 则不会是非零常数，B错误； 对于C，， 因此数列是首项为1，公差为的等差数列， 则，C错误； 对于D，，则，即， 当时，；当时，，且数列递减，因此数列的最大项为，D正确. 故选：AD 6．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．是递减数列 B．有最大项 C．是递增数列 D．有最小项 【答案】BCD 【分析】由已知条件可得首项和公比的范围，结合等比数列的通项公式和求和公式对选项分析即可. 【详解】设等比数列的公比为,因为， 所以且， 对A选项，当时，是递减数列，，是摆动数列，故A错误； 对B选项，当时，是递减数列，最大项为， 当，是摆动数列，， 所以数列的奇数项为正，偶数项为负，最大项为第一项，故B正确； 对C选项，，且，则，所以， 因为单调递减，所以单调递增， 所以单调递增；故C选项正确； 对D选项，当时，是递减数列，有最小项，没有最大项， 当，是摆动数列，因为，所以数列奇数项为正，偶数项为负，且单调递减， 所以数列有最小项为最大项为，故D选项正确； 故选：BCD 7．（23-24高二上·江苏连云港·期末）数列{an}的通项公式是，那么在此数列中最大的项为（　　） A．a7 B．a8 C．a9 D．a10 【答案】AB 【分析】利用作商可得数列相邻两项的大小关系，从而可判断数列的单调性情况，由数列的单调性即可求得答案． 【详解】因为数列{an}的通项公式是， 所以，即， 令1，解得n≤7，即n≤7时递增，n＞7时递减， ∴a1＜a2＜a3＜•••＜a7＝a8＞a9＞•••， ∴a7＝a8最大， 故选：AB． 三、填空题 8．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列满足，，设，则 ；的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列求出，进而求出及其的最小值. 【详解】由，得，而，则， 因此数列是首项为，公差为2的等差数列，， ，所以当时，取得最小值. 故答案为：； 9．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知数列的通项公式为，则的最小项的值为 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的性质求最小项． 【详解】因为函数的对称轴是，时取得最小值， 而中，，时，，时，， 所以中的最小项的值为． 故答案为：． 四、解答题 10．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满足． (1)计算，猜想的通项公式并加以证明； (2)设，求使数列取得最大值时n的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据递推关系得到前三项，猜想通项并利用新数列的关系加以证明； （2）写出数列的通项公式，利用，可求n的取值范围. 【详解】（1）由题意得，，猜想， 式子可化为， 因为，所以， 因此数列的通项公式为，得证． （2）由得，，所以， 若，当且仅当成立，则， 当时，， 当时，， 故时，取最大值. 11．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 【答案】(1) (2)第项 【分析】（1）根据求通项即可； （2）根据得到，然后列不等式求最大项即可. 【详解】（1）当时，，不满足上式， 当时，， 故数列的通项公式为. （2）由已知得， 当时，， 则，即， 得，  即， 所以当，的最大项为第7项， 又， 所以数列的最大项是该数列的第项. 构造法的应用 一、单选题 1．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 2．（23-24高三上·山东青岛·期末）设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】B 【分析】由题设有，等比数列定义求通项公式，进而有求，再由及放缩法确定范围求参数值. 【详解】，又， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 故，令 由且，则， 由，则， 则，所以， 故，则正整数的值为2023. 故选：B 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项即可得解. 【详解】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列，，即， 所以. 故选：D 4．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知数列满足，若，则（    ）． A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】由题意可得是公比为的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可, 【详解】由可得， 所以，则是公比为的等比数列， 所以，所以. 故选：B. 5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知数列中，且，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用构造法、等比数列的定义和通项公式，结合数列求和中的分组求和法及等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】由得， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以， 故选：D. 6．（23-24高三上·天津和平·期末）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．9 B．21 C．45 D．93 【答案】C 【分析】利用将条件转化为关于数列的递推式，然后构造等比数列求出数列的通项公式，进而可得的值. 【详解】由得， 整理得， 又得， 故数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即 所以. 故选：C. 7．（23-24高三上·吉林长春·期末）在数列中，，，，则（    ） A． B．15 C． D．10 【答案】B 【分析】变形给定等式，构造数列并求出通匪即可得解. 【详解】由，得，即， 整理得，因此数列是常数列，则，又，于是， 所以. 故选：B 二、多选题 8．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知数列满足，，为的前项和，则（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递减数列 D．当或时，取得最大值 【答案】AC 【分析】利用构造法得，判断出为首项为，公比为的等比数列，判断A选项；利用等比数列通项公式求出通项公式，得出，判断B选项；根据函数是减函数，判断C选项；令，解得，判断D选项. 【详解】因为，所以，即，， 又因为，所以，所以为首项为，公比为的等比数列，A正确； ，所以，B错误； 因为函数是减函数，所以为递减数列，C正确； 令，即，解得，所以时，，时，，所以当或时，取得最大值，D错误. 故选：AC 9．（23-24高二上·江苏南京·期末）在数列中，，（），前n项和为．则下列结论正确的是（    ） A． B．是等比数列 C．是等比数列 D．是递增数列 【答案】ACD 【分析】根据题意利用构造法可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，进而可得，进而逐项分析判断. 【详解】因为，可得，且， 可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列， 可得，即， 则， 且在上单调递增，可知是递增数列，故ACD正确； 因为，显然，可知不是等比数列，故B错误； 故选：ACD. 10．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知数列的前项和为，则（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A，代入递推关系可得；选项B，递推关系变形可得，从而可得为等差数列；选项C，由错位相减法数列求和得，可得；选项D，将代入可得，令可求. 【详解】选项A，由题意得，A正确； 选项B，将两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误； 选项C，由， 得， 所以①， 则②， ①-②得，， ， 即，则，C正确； 选项D，因为， 所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 11．（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 12．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列满足，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，两边同除得到，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项，即可得解. 【详解】因为，， 则， 因为，显然， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，则. 故答案为： 13．（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知数列满足：．若，则数列的前项和 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，由，得， 因此数列是以为首项，1为公差的等差数列，，即， 于是， 所以. 故答案为： 四、解答题 14．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满兄，，数列的前项和为，且． (1)求数列，的通项公式， (2)求数列的前项和为． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据构造法可得数列的通项公式，再根据退一相减法可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可得数列前项和. 【详解】（1），， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ； ， 当时，，即， 当时，，所以，即， 当时，，； （2）由（1）得 ， ， 作差可得， . 15．（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知． (1)求的通项公式； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）依题意得，而，则数列为等差数列，即可求解； （2）由裂项相消求和． 【详解】（1）解：由，得，得，而， 则数列为等差数列，其首项为1，公差为1， 则， 故的通项公式为：， （2）由（1）知，， 所以 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 数列的概念与通项公式 根据规律求数列的项 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）数列，，，，…的第9项是（    ） A． B．19 C． D．17 2．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知数列，根据该数列的规律，8是该数列的（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 3．（23-24高二上·广西百色·期末）已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（    ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 4．（23-24高二上·山西长治·期末）在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川南充·期末）已知数列，根据该数列的规律，则是该数列的（    ）． A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 6．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24高二上·广西·期末）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示) 数列的周期性及应用 一、单选题 1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期中）数列中，，，且（），则为（   ） A．2 B．1 C． D． 2．（23-24高二上·云南昆明·期末）在数列中，若，，，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，数列满足，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）已知数列满足，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 5．（23-24高二下·北京石景山·期末）在数列中，，（），则的值为（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江西抚州·期末）在数列中，若，则（    ） A．-2 B．4 C．1 D． 7．（23-24高二下·江西南昌·期末）若首项为 1 的数列 满足 ，则 （    ） A． B． C． D．1 8．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知数列满足，且，设，则数列的前2024项和为（    ） A．674 B．673 C．-673 D．-674 9．（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，，则的前2024项和为（   ） A．589 B．590 C． D． 10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C．2 D．4 二、填空题 11．（23-24高二上·上海·期末）数列满足：，则 . 12．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，则 ，数列的前99项和为 ． 13．（23-24高二上·福建福州·期末）数列满足，则 ． 数列的单调性 一、单选题 1．（23-24高二上·湖北武汉·期末）函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二下·北京大兴·期末）已知等比数列的前项和为，公比为，且，则（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列是递增数列 D．数列是递减数列 3．（23-24高二下·北京西城·期末）设等比数列的前n项和为，则“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列为等比数列，公比为q，前n项和为，则“”是“数列是单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知是等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知等比数列的首项，公比为q，记（），则“”是“数列为递减数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知是等差数列，是等比数列，下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．若，则为递减数列 D．若，则为递增数列 10．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知等差数列的前项和为，公差，则下列数列一定是递增数列的为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·江西吉安·期末）已知首项为1的正项数列满足，则（    ） A．为递增数列 B． C． D．数列为递减数列 12．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．是递减数列 B．有最大项 C．是递增数列 D．有最小项 三、填空题 13．（23-24高二下·北京房山·期末）设无穷数列的通项公式为.若是单调递减数列，则的一个取值为 . 14．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知等差数列的前项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为 . 观察法求数列的通项公式 一、单选题 1．（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江西景德镇·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江西南昌·期末）数列 的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·陕西渭南·期末）数列，，，，…的第9项是（    ） A． B．19 C． D．17 5．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏南通·期末）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二上·湖南永州·期末）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·吉林·期末）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列与数列是同一个数列 B．数列的通项公式为，则120是该数列的第11项 C．在数列中，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 累加法求数列的通项公式 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江温州·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，下列不是数列的项的是（    ） A．35 B．70 C．145 D．170 2．（23-24高二下·甘肃庆阳·期末）已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2024项和（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前2023项和为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知数列满足，，，则数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东济宁·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有个球，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖南长沙·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了高阶等差数列的概念.如数列1，3，6，10，后前两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（    ） A．174 B．184 C．188 D．190 7．（23-24高二上·海南·期末）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前项为、、、，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·四川凉山·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第二十层球的个数为（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 二、多选题 9．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满足，则（    ） A． B．数列是递增数列 C． D．数列的最小值为 10．（23-24高二下·全国·期末）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．1849既是三角形数，又是正方形数 C． D．，，总存在，，使得成立 11．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知数列满足，且，则以下正确的有（    ） A． B．数列是等差数列 C．数列是等比数列 D． 三、填空题 12．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 . 13．（23-24高二上·广东江门·期末）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前项和 . 累乘法求数列的通项公式 一、单选题 1．（23-24高二上·福建三明·期末）已知数列，的前n项和分别为，若，，，则（    ） A．150 B．100 C．200 D．5050 2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二上·广东清远·期末）已知数列满足，则下列结论成立的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为递增数列 C． D．数列的前项和为 4．（23-24高二下·江西萍乡·期末）若数列的首项为1，其前项和为，且满足为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高二上·广东河源·期末）已知正项数列满足，则 . 6．（23-24高二上·内蒙古·期末）在数列中，，则 ． 7．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列各项均为正数，且首项为1，，则 ． 8．（23-24高二上·江苏盐城·期末）数列 满足，则 . 四、解答题 9．（23-24高二下·四川凉山·期末）各项均为正数的等差数列首项为1，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且，求的前项和． 10．（23-24高二下·福建厦门·期末）设为正项等比数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，，求的前项和. 已知Sn的表达式求通项公式 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B． C．16 D． 2．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知数列的前项和，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）若数列的前项和，则（    ） A．7 B．8 C．12 D．24 4．（23-24高二上·河南许昌·期末）已知数列的前n项和，则的值是（    ） A．8094 B．8095 C．8096 D．8097 5．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．20 B．28 C．32 D．48 二、多选题 6．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列的前100项和为10000 C．若，则 D．若，则的最小值为8 7．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和，则下列说法中正确的是（    ） A．一定为等差数列 B．可能为等比数列 C．若，则一定为递增数列 D．若，则存在，使得 8．（23-24高二上·湖北孝感·期末）若数列的前n项和为，则下列命题正确的是（    ） A．数列为等差数列 B．数列为单调递增数列 C．数列为单调递增数列 D．数列为等差数列 9．（23-24高三上·江苏·期末）已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（    ） A．若，则为等差数列 B．若，则为递增数列 C．若，则当且仅当时取得最小值 D．“”是“数列为递增数列”的充要条件 10．（23-24高二上·湖北荆门·期末）设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．当且仅当时，取得最大值 C．时，n的最大值为33 D．，，，……，，……中，最大值为 三、填空题 11．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 12．（23-24高一下·上海·期末）已知数列的前项和，则它的通项公式 ． 13．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列的前项和为，满足，则 四、解答题 14．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知数列的前n项和，. (1)写出数列的通项公式. (2)证明：数列是等差数列； 15．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前11项和. 已知Sn与an的关系求通项 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B． C．16 D． 2．（23-24高二下·广东·期中）设为数列的前项和，且，则（    ） A． B．2024 C． D．0 3．（23-24高二上·四川成都·期末）若数列满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知数列的前n项和为，若，且（），则（    ） A．为等比数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等差数列 5．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 6．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列是递增数列 二、多选题 7．（23-24高二下·云南红河·期末）记正项数列的前n项和为，已知，则（    ） A． B． C． D．数列的前n项和小于1 8．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知数列的前n项和，则下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是递增数列 C． D． 9．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 10．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知分别是数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知数列的前n项和满足，则 . 12．（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 13．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知数列的前项和为，，（），则为 . 四、解答题 14．（23-24高二下·贵州遵义·期末）数列的前n项和记为，已知，． (1)求证：是等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最大值． 15．（23-24高二下·辽宁·期末）设为数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式； (2)设的前n项和，求证：． 16．（23-24高二下·湖南张家界·期末）已知数列是递增数列，其前项和满足. (1)证明：是等差数列； (2)记，数列的前项和为，求. 由递推公式求数列的项 一、单选题 1．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知首项为的数列，满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广西桂林·期末）在数列中，，对任意m，，都有，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）已知数列满足，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列满足，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在世纪年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，若，则（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）若数列满足，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（23-24高二下·上海浦东新·期末）数列满足．给出如下两个结论：①；②，则下面判断正确的为（    ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 8．（23-24高二下·四川成都·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”），参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设各项均为正整数的数列满足，若，则的取值可以为（    ） A．1 B．3 C．6 D．7 二、多选题 9．（23-24高二上·福建福州·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知数列满足，，若，，，则的值可能为（   ） A．－1 B．2 C． D．－2 11．（23-24高二上·吉林·期末）若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理，准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二下·广东广州·期末）已知数列满足，则 . 13．（23-24高一下·上海·期末）已知，各项均为正数的数列满足，.若，则 . 14．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列满足，，则 . 数列中的最值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高二上·吉林·期末）已知等比数列的公比为，为其前n项和，且，则当取得最大值时，对应的为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，且，数列满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列的通项公式为 ，前 项积为 ，则下列说法正确的是（    ） A．在数列中，是最大项 B．在数列中， 是最小项 C．数列单调递减 D．使取得最小值的为 9 5．（23-24高二下·江西·期末）数列满足，下列说法正确的是（    ） A．可能为常数列 B．数列可能为公差不为0的等差数列 C．若，则 D．若，则的最大项为 6．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．是递减数列 B．有最大项 C．是递增数列 D．有最小项 7．（23-24高二上·江苏连云港·期末）数列{an}的通项公式是，那么在此数列中最大的项为（　　） A．a7 B．a8 C．a9 D．a10 三、填空题 8．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列满足，，设，则 ；的最小值为 . 9．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知数列的通项公式为，则的最小项的值为 ． 四、解答题 10．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满足． (1)计算，猜想的通项公式并加以证明； (2)设，求使数列取得最大值时n的值． 11．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 构造法的应用 一、单选题 1．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 2．（23-24高三上·山东青岛·期末）设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知数列满足，若，则（    ）． A．4 B．3 C． D．2 5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知数列中，且，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·天津和平·期末）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．9 B．21 C．45 D．93 7．（23-24高二上·吉林长春·期末）在数列中，，，，则（    ） A． B．15 C． D．10 二、多选题 8．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知数列满足，，为的前项和，则（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递减数列 D．当或时，取得最大值 9．（23-24高二上·江苏南京·期末）在数列中，，（），前n项和为．则下列结论正确的是（    ） A． B．是等比数列 C．是等比数列 D．是递增数列 10．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知数列的前项和为，则（    ） A． B．为等比数列 C． D． 三、填空题 11．（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 12．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列满足，则 . 13．（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知数列满足：．若，则数列的前项和 . 四、解答题 14．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满兄，，数列的前项和为，且． (1)求数列，的通项公式， (2)求数列的前项和为． 15．（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知． (1)求的通项公式； (2)计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$