专题04 椭圆（9大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修）

专题04 椭圆 椭圆的定义及其应用 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据方程可得，结合椭圆的定义运算求解. 【详解】由题意可知：， 则， 所以的周长为. 故选：D. 2．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 3．（23-24高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案. 【详解】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故选：B. 4．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【答案】C 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，得到，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：C. 5．（23-24高二上·福建泉州·期末）椭圆绕长轴旋转所成的面为椭球面，椭球面镜一般指椭球面反射镜，老花眼镜、放大镜和胶片电影放映机聚光灯的反射镜等镜片都是这种椭球面镜片．从椭球面镜的一个焦点发出的光，经过椭球面镜反射后，必经过椭球面镜的另一个焦点．现有一个轴截面长轴长为的椭球面镜，从其一焦点发出的光经两次反射后返回原焦点，所经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义可得. 【详解】由椭圆的定义可知光线从一个焦点经反射经过另一个焦点，其路程为长轴长， 再由第二个焦点经反射返回第一个焦点的路程仍为长轴长，所以经过的路程总共为． 故选:B． 6．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知为坐标原点，是椭圆：上位于轴上方的点，为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】结合题意和椭圆的性质，将边长全部用a表示出来，勾股定理列出方程求解即可. 【详解】 如图，设椭圆的左焦点为，连接， 因为，结合椭圆的对称性可知，四边形为矩形， 设，则，，， 在中，， 化简整理得，所以，， 在中，， 所以， 故选：B. 二、多选题 7．（23-24高二下·陕西渭南·期末）曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于常数的点的轨迹.则下列说法正确的是（    ） A．曲线C关于坐标原点对称 B．曲线C过坐标原点 C．若点P在曲线C上，则 D．以，为焦点、以为长轴长的椭圆上的点一定不会在曲线C围成的区域的外部 【答案】ACD 【分析】首先求函数的解析式，再代入分析函数的对称性，判断A；代入原点判断B；利用三角形的面积公式，结合轨迹的定义，即可判断C；结合椭圆的定义，以及基本不等式，即可判断D. 【详解】设动点， ，即，（*） 点关于原点的对称点为，代入（*） 得，故A正确； 并且将，代入（*）都满足，所以曲线也关于轴对称， B，原点代入（*），得，，所以曲线不过原点，故B错误； C，若点是曲线上，则， 因为，所以，故C正确. D，由椭圆的定义可知，以，为焦点、以为长轴长的椭圆满足 ； 根据基本不等式可知，， 所以曲线上的点都在椭圆的外部或上面，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题第D选项的关键是理解点在椭圆外，以及和基本不等式比较大小结合在一起的思路. 8．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（    ） A．的周长为4 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．若点在椭圆上，且线段中点为，则直线的斜率为 【答案】BCD 【分析】利用椭圆的定义可判定A，利用焦半径公式可判定B，利用椭圆弦长公式可判定C，利用点差法可判定D. 【详解】由题意可知椭圆的长轴长，左焦点， 由椭圆的定义可知， 故A错误； 设，， 易知，故B正确； 若的斜率存在，不妨设其方程为：， 联立椭圆方程，则， 所以， 若的斜率不存在，则其方程为，与椭圆联立易得， 显然当的斜率不存在时，，故C正确； 设，易知 ， 若中点为，则，故D正确. 故选：BCD 9．（23-24高二上·江苏泰州·期末）下列结论正确的是（    ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 【答案】AC 【分析】利用椭圆和双曲线的定理逐个判断即可. 【详解】对于A：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，正确； 对于B：椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为，B错误； 对于C：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为，C正确； 对于D：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为或，D错误. 故选：AC. 10．（23-24高二上·河北保定·期末）平面直角坐标系中，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点轨迹为椭圆 B．若，则点轨迹为双曲线 C．若，则点轨迹关于轴、轴都是对称的 D．若，则点轨迹为圆 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合椭圆、双曲线，以及轨迹方程的求法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，因为， 由椭圆的定义可知，点的轨迹为椭圆，所以A正确； 对于B中，由双曲线的定义可得时，点的轨迹为双曲线， 所以B不正确； 对于C中，设，由，可得， 整理得，可得曲线关于轴对称，所以C正确； 对于D中，因为，可得， 整理得，即， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 11．（23-24高二下·云南大理·期末）设分别是椭圆的左､右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设，则，根据椭圆定义表示，再根据勾股定理建立关系，解得离心率. 【详解】设，则， 根据椭圆定义，因此，， 又因为，所以， 即，解得， 则 则在中，， 即，所以 故答案为： 12．（23-24高二下·陕西汉中·期末）椭圆：的两个焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为 . 【答案】14 【分析】根据椭圆的方程求出，然后根据椭圆的定义可求出的周长. 【详解】因为，，所以， 故的周长为. 故答案为：14 13．（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则 . 【答案】/0.5 【分析】设，由和，得，，再由且椭圆C的离心率为，解出，可计算. 【详解】如图，记，， 因为，则，， 由椭圆的定义可得， 所以，则， 又且，有或， 解得或，又点在第一象限，所以， 得，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：注意综合运用椭圆的有关定义和性质、、三角形的正弦定理、余弦定理、内角和定理，以及三角形的面积公式等等. 四、解答题 14．（23-24高二下·青海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B两点均在C上，且，. (1)若，求C的方程； (2)若，直线AB与y轴交于点P，且，求四边形AF1BF2的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】1）根据给定条件，结合等腰直角三角形性质求出即可. （2）令，，根据给定条件，利用椭圆的定义及余弦定理求出，进而求出四边形周长. 【详解】（1）由椭圆定义知，，， 由，得， 若，则为等腰直角三角形，，解得， 所以C的方程为. （2）若，不妨设，，则，且， ，. 由，点P在y轴上，且， 得，且， 由余弦定理得， 整理得，而，则， 同理得， 即，整理得， 令此方程二根为，则，，即有， 则， 解得， 所以四边形AF1BF2的周长为. 15．（23-24高二上·江西宜春·期中）已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件先求解出的值，然后根据椭圆定义求解出的值，结合求解出的值，则方程可求； （2）根据先求解出点坐标，然后由三角形面积公式求解出结果. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，可得，所以， 则，， 由椭圆的定义可得，所以， 故椭圆的标准方程为. （2）因为， 所以，所以， 所以. 16．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程. （2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值. （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，借助根与系数的关系列出三角形面积的关系式，利用对勾函数性质求出最大值． 【详解】（1）依题意，，且，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，而，则， 周长， 当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号， 所以周长的最大值为. （3）设直线的方程为，， 由消去得：，显然，， ， 因此面积， 令，，显然函数在上单调递增， 则当，即时，取得最小值， 所以当时，面积取得最大值3. 【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积； 过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积. 求椭圆的标准方程 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式求，即可得方程. 【详解】因为椭圆的左焦点为，所以. 又因为椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为， 所以， 结合，可得， 故椭圆的方程为. 故选：A. 2．（23-24高二上·云南昭通·期末）椭圆的长半轴长为，右顶点为，上､下顶点分别为，，是线段的中点.若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，，再根据条件列式求解. 【详解】由题意可知，，，且点是线段的中点， 所以，则，解得：， 所以椭圆方程为. 故选：D 3．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长轴以及离心率即可求解. 【详解】由长轴长为4，可得，又离心率为，即， 解得，故， 所以椭圆方程为， 故选：A 4．（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用焦点三角形的周长为，及，结合椭圆的知识求解出椭圆方程即可. 【详解】因为的最小值为1，所以． 因为的周长为34，所以， 所以．因为， 所以，所以椭圆C的标准方程为． 故选：C. 5．（23-24高二上·广东江门·期末）阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，面积为，且两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则椭圆的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分焦点在x轴和焦点在y轴两种情况设椭圆的方程，根据题意得到和，求得的值，即可得解. 【详解】由题意，当椭圆的焦点在轴上时，可设椭圆的方程为， 因为椭圆的两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，可得， 又由，即①， 又因为椭圆的面积为，可得，即②， 联立①②，解答，所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，可设椭圆的方程为， 为椭圆的两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，可得， 又由，即③， 又因为椭圆的面积为，可得，即④， 联立①②，解答，所以椭圆的方程为； 故选：B. 6．（23-24高二上·天津宁河·期末）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆上的任意一点到两个焦点的距离的和等于10，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线方程有准线为，由题意可得、，进而写出椭圆方程. 【详解】由抛物线的准线为，故椭圆的一个焦点为，则， 由椭圆定义知，故， 所以椭圆方程为. 故选：C 7．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知椭圆的焦点在x轴上，，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质即可求解. 【详解】由，可得， 由于焦点在x轴上，所以椭圆方程为， 故选：A 8．（23-24高二上·天津·期末）设，分别是椭圆（）的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为16，且的最小值为2，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及椭圆的通径求出，即可得出椭圆方程. 【详解】如图，    由椭圆定义知， 所以的周长为， 所以， 又最小时，轴，即为椭圆的通径，所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为：， 故选：B 9．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若的中点为，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意涉及到中点弦，采用点差法求解即可. 【详解】不妨设椭圆方程为，由题意得：， 两式作差得：，整理得：， 因为AB的中点为，， 所以， 所以，所以， 又因为，所以. 故选：A． 10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出椭圆方程，由题意可得，结合离心率以及的关系，可得出答案. 【详解】设椭圆的标准方程为，焦距为， 依题意有，解得，，∴椭圆的标准方程为， 故选：C． 二、多选题 11．（23-24高二上·青海西宁·期末）已知椭圆的长轴长等于20，离心率等于，则椭圆的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由长轴长以及离心率公式、平方关系即可得解. 【详解】由椭圆的长轴长等于20，离心率等于，得， 所以， 所以椭圆的标准方程是或. 故选：AC. 三、填空题 12．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）焦点在轴上，，的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】结合椭圆的性质，即可求解． 【详解】焦点在x轴上，，， 则，解得， 故 故所求椭圆的方程为：． 故答案为：． 13．（23-24高二上·河北张家口·期末）直线过椭圆的右焦点，直线交椭圆于两点，为的中点，为坐标原点，若的斜率为1，则椭圆的方程为 . 【答案】 【分析】首先联立直线方程得，再解出值，最后根据中点公式得到点坐标，则得到，即得到椭圆方程. 【详解】由题意得直线的方程为，由， 解得，则， ，令，解得， 又因为右焦点在直线上，则，所以， 设，则，，解得，所以， 则， 所以椭圆方程为， 故答案为：. 14．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程 .    【答案】或 【分析】设切点为，与圆柱面相交于，由题意即为椭圆的长轴，椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，分析即得解. 【详解】对圆柱沿底面直径进行纵切，如图所示:切点为，与圆柱面相交于， 此时可知即为椭圆的长轴，在直角三角形中， ,又， 所以， 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即， 所以椭圆的标准方程为或， 故答案为：或.    15．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆的焦点坐标为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，求得的值，即可求得椭圆的标准方程. 【详解】由椭圆的焦点坐标为，可得， 又由椭圆的短轴长为4，可得，即，则， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 16．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知菱形的边长为2，一个内角为60°，顶点，，，均在坐标轴上，以为焦点的椭圆经过，两点，请写出一个这样的的标准方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】以菱形的对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，不妨取，求出的长度，进而可求得焦距及短轴长，进而可得出答案. 【详解】如图，以菱形的对角线的交点为原点建立平面直角坐标系， 因为菱形的边长为2，一个内角为60°， 不妨取， 则为等边三角形， 故， 则椭圆的焦距，短轴长，所以， 则长轴长，所以， 所以此时椭圆的标准方程为. 故答案为：.（答案不唯一） 四、解答题 17．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． (1)求C的标准方程； (2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆定义得，，再结合关系即可得到答案； （2）求出，设直线方程为，联立椭圆方程，利用即可. 【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 由椭圆的定义知，， 可得，所以， 所以椭圆的标准方程为:. （2）已知，所以，设直线方程为， 由方程组消去，得， 该方程的判别式， 由，得， 此时与有且只有一个公共点，所以的方程为:. 根据椭圆方程求参数 一、单选题 1．（23-24高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先求方程表示椭圆的的取值范围，再根据集合的包含关系，即可判断选项. 【详解】若方程表示椭圆，则 ，解得：，且， 所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据题意结合椭圆的标准方程的形式，建立不等式，即可求解. 【详解】方程，即表示焦点在轴上的椭圆， ，解得． 故选：A． 3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的焦点位置可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为表示焦点在轴上的椭圆，则，解得. 故选：B. 4．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（    ） ①若曲线为椭圆，则且焦距为常数 ②曲线不可能是焦点在轴的双曲线 ③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据椭圆、双曲线的方程的特征逐一求出参数范围判断①②；对于③，满足条件的点在以为直径的圆上，即，联立方程求解即可判断. 【详解】对于①，曲线是椭圆等价于，解得， 且，，则焦距为常数，故①正确； 对于②，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故②正确. 对于③，若，则曲线为，则， 若曲线上存在点，使， 则点在以为直径的圆上，即， 由，解得或， 所以有4个符合条件的点，故③正确, 所以正确的命题有3个. 故选：D 5．（23-24高二上·江苏常州·期末）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程及焦点在轴上，可得的不等式组，解不等式组即可得的取值范围． 【详解】由题意知焦点在轴上，则，解得，故D正确. 故选：D. 6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆列出不等式组求解即可. 【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得. 故选：D. 7．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若曲线C为双曲线，则 C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 【答案】D 【分析】根据椭圆，双曲线，圆以及焦点在x轴上的椭圆对方程结构的要求，建立不等式组求之即得. 【详解】对于A项，方程表示椭圆等价于，解得：，故A项错误； 对于B项，方程表示双曲线等价于，解得：或，故B项错误； 对于C项，方程表示圆，等价于解得：,故C项错误； 对于D项，方程表示焦点在x轴上的椭圆等价于，解得：，故D项正确. 故选：D. 8．（23-24高二上·贵州毕节·期末）“方程表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由方程表示椭圆，列出不等式求解，再根据充分必要条件与集合的关系得出答案. 【详解】方程表示椭圆，则，解得且， 因此“方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选：A 二、多选题 9．（23-24高二上·河北保定·期末）若椭圆的焦距为，则m的值可能为（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】CD 【分析】分别对椭圆焦点在轴、轴上的情况进行分类讨论，解方程即可得结果. 【详解】由焦距为可得，即； 若，则，解得或（舍去）． 若，则，解得或（舍去）． 因此m的值可能为3或4. 故选：CD 10．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若，则为双曲线 C．若为椭圆，则其长轴长一定大于2 D．曲线不能表示圆 【答案】BC 【分析】A，B项，求出的范围，即可判断曲线的形状；C项，求出为椭圆时的范围，分类讨论即可得出其长轴长的范围；D项，通过A选项即可得出结论. 【详解】由题意， 在曲线中， A项，当时，， 但当即时，曲线为圆，故A错误； B项，当时，，为双曲线，B正确； C项，若为椭圆，由A选项知，， 当时，， ∴长轴为， 当时， ∴长轴为，故C正确； D项，由A知当时，曲线为圆，D错误. 故选：BC. 11．（23-24高二上·福建福州·期末）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．曲线可能是圆 D．若为双曲线，则 【答案】BC 【分析】根据椭圆标准方程的特征列不等式求解即可判断AB；根据方程为圆列式求解判断C；根据双曲线的特征判断D. 【详解】当时，方程为，此时表示圆，故A错；C对； 若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故B对； 若为双曲线，则，解得，或，故D错； 故选：BC 三、填空题 12．（23-24高二下·山西长治·期末）若方程表示椭圆，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】表示椭圆的条件是分母都大于0，且分母不相等. 【详解】由题意可知且. 故答案为： 13．（23-24高二上·上海·期末）方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆， 则， 即． 故答案为：. 14．（23-24高二上·北京西城·期末）若方程表示的曲线为双曲线，则实数的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线和椭圆的标准方程依次建立不等式（组），解之即可求解. 【详解】若方程为双曲线时，，解得或， 即实数m的取值范围为； 若方程为椭圆时，，解得， 即实数m的取值范围为. 故答案为：； 椭圆的焦点、焦距问题 一、单选题 1．（23-24高二下·广西南宁·期末）若椭圆的离心率为，则该椭圆的半焦距为（    ） A． B． C．3或 D．3或 【答案】D 【分析】分焦点在轴上和轴上讨论，分别计算和，得到答案. 【详解】若椭圆的焦点在x轴上，则离心率，得，此时半焦距； 若椭圆的焦点在y轴上，则离心率，得，此时半焦距， 所以该椭圆的半焦距为3或． 故选：D． 2．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）椭圆的焦距为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程可得，即可得到结果. 【详解】因为，所以． 故选：B 3．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为，则该椭圆的（    ） A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为 【答案】D 【分析】利用椭圆的标准方程求出即可判断选项的正误. 【详解】由椭圆的方程可知：焦点在轴上，即， 则. 所以长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为. 故选：D 4．（23-24高二上·吉林白山·期末）若抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】求出椭圆的左焦点，抛物线的准线方程即可得解. 【详解】椭圆的半焦距，因此抛物线的准线过点， 则，所以. 故选：D 5．（22-23高二上·重庆·期末）若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则m的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】找到椭圆的右焦点，利用的准线过焦点，即可求解. 【详解】解：椭圆的右焦点，抛物线的准线经过椭圆的右焦点，可得，解得． 故选：A． 6．（22-23高二上·湖南怀化·期末）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据焦点坐标确定，然后计算． 【详解】由题意，，∴，， 故选：B． 二、多选题 7．（23-24高二上·浙江台州·期末）已知且，曲线，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当时，曲线是双曲线 C．当时，曲线的焦点坐标为 D．当时，曲线的焦点坐标为 【答案】ABD 【分析】对于AC，若，则，从而可判断；对于B，若，则，，从而可判断；对于D，时，曲线是焦点在轴上的双曲线，求出焦点坐标即可判断. 【详解】对于A，若，则，故曲线是焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则，，故曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确； 对于C，时，由A可得曲线是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 对于D，时，由B可得曲线是焦点在轴上的双曲线， 曲线，可化为曲线， 双曲线的半焦距为，故焦点坐标为，故D正确. 故选:ABD. 8．（23-24高二上·河北保定·期末）若椭圆的焦距为，则m的值可能为（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】CD 【分析】分别对椭圆焦点在轴、轴上的情况进行分类讨论，解方程即可得结果. 【详解】由焦距为可得，即； 若，则，解得或（舍去）． 若，则，解得或（舍去）． 因此m的值可能为3或4. 故选：CD 9．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若直线经过椭圆的一个焦点，则的值可能为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BC 【分析】由题意确定椭圆的焦点坐标，代入直线方程，即可求解. 【详解】因为，所以， 则椭圆的焦点坐标为，代入直线方程， 得. 故选：BC 10．（23-24高二上·全国·期末）曲线的焦距为4，则实数m的值可以是（    ） A．15 B．5 C．3 D． 【答案】BD 【分析】根据曲线的类型分类讨论，利用椭圆和双曲线中之间的关系即可求解. 【详解】由题意. 当曲线为椭圆时：则，则； 当曲线为双曲线时：，则 故选：BD. 三、填空题 11．（23-24高二上·辽宁·期末）椭圆的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据方程得出焦点位置，根据方程可得焦点坐标. 【详解】由椭圆方程可得焦点在y轴上，， 且，所以，故焦点坐标为， 故答案为：． 椭圆的长轴、短轴问题 一、单选题 1．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由离心率公式首先求得参数的值，进一步可得以及长轴长. 【详解】因为方程表示椭圆，所以， 从而，解得， 所以，则椭圆的长轴长为. 故选：C. 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据离心率的公式，求解，再根据方程求椭圆的长轴长. 【详解】由条件可知，，，则， 由条件可知，，得， 所以，椭圆的长轴长. 故选：B 3．（23-24高二上·四川眉山·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆方程得出即可 【详解】由可得，即， 所以长轴长为 故选：B. 4．（23-24高二上·广西桂林·期末）椭圆的长轴长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求解即可. 【详解】由椭圆知，，即， 所以椭圆的长轴长为. 故选：D 5．（23-24高二上·广东河源·期末）若点既在直线上，又在椭圆上，的左、右焦点分别为，，且的平分线与垂直，则的长轴长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】过点、分别作、垂直直线于点、，由的平分线与垂直可得，即可得与相似，结合点到直线的距离可得相似比，从而可求出、，结合椭圆定义即可得长轴长. 【详解】过点、分别作、垂直直线于点、， 作的平分线与轴交于， 由，故、， 则，， 由且为的平分线，故， 故， 又、，故与相似， 故， 由，令，则， 故直线与轴交于点，故， ，故， 由， 故，， 故，， 由椭圆定义可知，，故， 即的长轴长为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题关键在于作出、垂直直线于点、，再将的平分线与垂直这个条件转化为，从而得到相似三角形，结合点到直线距离公式及得到、的值. 6．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知椭圆标准方程为，则此椭圆的短轴长为（   ） A．6 B．3 C．8 D．5 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程，求得b的值，即得答案. 【详解】由题意知椭圆标准方程为， 设椭圆的短轴长为2b，则，， 所以此椭圆的短轴长为， 故选：A 二、多选题 7．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的一个焦点为为上一动点，则（    ） A．的短轴长为7 B．的最大值为 C．的长轴长为6 D．的离心率为 【答案】CD 【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD，再利用椭圆性质即可判断B选项，进而得出结果. 【详解】由标准方程可知，，， 所以，，． 所以短轴长为，长轴长为，即选项C正确，A错误； 离心率，即D正确； 由椭圆性质得， 故选项B错误. 故选：CD. 8．（23-24高三上·重庆·期末）已知椭圆：（）和：（），则（    ） A．与的长轴长相等 B．的长轴长与的短轴长相等 C．与的离心率相等 D．与有4个公共点 【答案】BC 【分析】化为标准方程，求出相关长轴和短轴长以及离心率一一分析即可. 【详解】椭圆：（），即， 椭圆（），， 则的长轴长为，短轴长为，的长轴为，短轴为，故A错误，B正确； 的离心率为，的离心率，故C正确； 因为的长轴长与的短轴长相等，且的焦点在轴上，的焦点在轴上， 则与有2个公共点，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 9．（23-24高二下·福建泉州·期末）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的长轴长为 ，离心率等于 ． 【答案】 / 【分析】根据圆锥的轴截面，利用余弦定理可得长轴的长度，再根据相似可得椭圆所过点，进而可得椭圆方程与离心率. 【详解】 如图，设，由，，，， 又， 所以，即， 设椭圆中心为，作圆锥的轴截面，与底面直径交于， 与椭圆交于，，连交于， 过作，则，，， 以点为原点，为轴，建立直角坐标系， 则，， 又由，得，， 从而，则得， 不妨设椭圆方程为，把和点坐标代入方程，解得， 则，故， 故答案为：；. 10．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）设是椭圆（）的两个焦点，P为椭圆上任一点，若且的面积为，则该椭圆的短轴长为 . 【答案】10 【分析】由椭圆定义得到，，由余弦定理得到，结合三角形面积公式得到方程，求出，得到答案. 【详解】由椭圆定义得，， 由余弦定理得 ， 即，解得， 由三角形面积公式得， 即，解得， 故该椭圆的短轴长. 故答案为：10 11．（23-24高二上·北京延庆·期末）椭圆的长轴长为 ． 【答案】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，根据椭圆的性质计算即可. 【详解】由， 显然椭圆的焦点在横轴上，其实轴长为. 故答案为： 12．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，抛物线的焦点为，若，则椭圆的长轴长为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线焦点坐标公式，结合平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】抛物线的焦点为， 设椭圆左右焦点分别为， 由得 所以，即椭圆的长轴长为， 故答案为： 13．（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆（）的短轴长为6，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】根据方程分析，利用短轴长求解. 【详解】因为，所以，即. 故答案为：3 椭圆的离心率问题 一、单选题 1．（23-24高二下·广西南宁·期末）若椭圆的离心率为，则该椭圆的半焦距为（    ） A． B． C．3或 D．3或 【答案】D 【分析】分焦点在轴上和轴上讨论，分别计算和，得到答案. 【详解】若椭圆的焦点在x轴上，则离心率，得，此时半焦距； 若椭圆的焦点在y轴上，则离心率，得，此时半焦距， 所以该椭圆的半焦距为3或． 故选：D． 2．（23-24高二下·贵州毕节·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，且椭圆过点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义及椭圆过定点可得椭圆方程与离心率. 【详解】由点在上，，即， 所以， 又椭圆过点，则 故椭圆方程为， 所以离心率， 故选：C. 3．（23-24高二下·云南保山·期末）已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，与轴的交点为，，结合平行线性质，三角形面积公式可得，根据勾股定理可得关系，化简求离心率. 【详解】设，，与轴的交点为，． 由且，得①， 又， 所以，故②， 联立①②消去得：，又， 所以， 因，所以有， 所以，故， 所以， 解得离心率， 故选：C． 4．（23-24高二下·云南红河·期末）已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设 则，两式作差得：， 线段AB的中点为，故， 所以， 且直线AB过和， 则直线AB的斜率：, 故， 解得. 故选：B 5．（23-24高二下·广东·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助等边三角形性质与离心率定义计算即可得. 【详解】设，因为为等边三角形，则，， 因为，所以椭圆的离心率为． 故选：A. 6．（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知向量关系得出直角，再根据定义得出长轴长及焦距关系计算出离心率即可. 【详解】 因为所以, 在中, 所以, 所以, 所以. 故选：A. 7．（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知为椭圆上一动点，分别为其左右焦点，直线与的另一交点为的周长为16.若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的标准方程及其参数的关系即可得出结果. 【详解】设椭圆的半焦距为，则由题设得， 解得，所以椭圆的离心率为. 故选：C． 8．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令椭圆右焦点为，根据给定条件，判断四边形为矩形，再利用椭圆定义结合均值不等式求解作答. 【详解】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点， 则，由以为直径的圆过原点，得， 则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形， 于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则，而，解得. 故选：A. 9．（23-24高二下·山西长治·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义，结合角的值，化简得出离心率即可. 【详解】根据题意，得出， 在中由正弦定理得：, 由椭圆定义可得， ， 椭圆离心率为， . 故选：D. 10．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆与双曲线的离心率的性质即可解决． 【详解】由题意得到椭圆①，②的b值相同，a值①比②小，则，可以知道，； 根据双曲线的开口越大离心率越大，则． 所以， 故选：A． 二、多选题 11．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知圆在椭圆的内部，点为上一动点，为坐标原点.过点作圆的一条切线，交于另一点，切点为，若为的中点，且直线的斜率为，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的斜率是 C．直线的斜率是 D．椭圆的离心率为 【答案】AD 【分析】根据题意可知这是一个中点弦问题，一般采用点差法求解. 【详解】设，则， 将的坐标代入椭圆的方程，得 两式相减得， 所以， 因为直线的斜率为，所以的斜率为，A正确； 所以. 如图，设为椭圆的左顶点，连接，则， 所以. 解得或（舍去），直线的斜率为，B错误，C错误； 所以， 所以， 故，D正确. 故选：AD. 12．（23-24高二下·广东江门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的焦点坐标为 B．当时，椭圆C的离心率为 C．当时，的周长为6 D．若椭圆C的离心率为，则的面积的最大值是 【答案】AC 【分析】求出焦点坐标判断A；求出离心率、焦点三角形周期、面积最大值判断BCD. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆C的焦点坐标为，A正确； 对于B，当时，，离心率，B错误； 对于C，当时，，则的周长为，C正确； 对于D，椭圆C的离心率为，即，解得，， 设，则的面积，D错误. 故选：AC.    13．（23-24高二下·广东广州·期末）已知曲线C：，，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C可能是圆，不可能是直线 B．曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆 C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆 D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 【答案】BD 【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案. 【详解】设，故曲线C的方程可表示为， 对A，当时，曲线C的方程为，可得，此时曲线C为两条直线； 当时，曲线C的方程为，此时曲线C是一个圆；故A错误； 对B，当时，，曲线C的方程为， 此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确； 对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则越大椭圆越扁， 故C错误； 对D，当时，，曲线C的方程为， 此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，此时离心率为， 由，可得， 即它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确. 故选： BD. 三、填空题 14．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由条件可知为直角三角形，结合椭圆定义确定关系，由此可求离心率. 【详解】取椭圆的左焦点，连结， 由为等边三角形，则， 可知为直角三角形，且， 设，则，， 可得，则， 所以椭圆的离心率是. 故答案为：. 15．（23-24高二下·云南大理·期末）设分别是椭圆的左､右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设，则，根据椭圆定义表示，再根据勾股定理建立关系，解得离心率. 【详解】设，则， 根据椭圆定义，因此，， 又因为，所以， 即，解得， 则 则在中，， 即，所以 故答案为： 16．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知为坐标原点，椭圆：（）的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】借助等边三角形的性质可得点的坐标，由知，，最后将点的坐标代入椭圆方程，结合，计算即可得解. 【详解】如图，假设在第一象限，由题意，， 因为为等边三角形，， 所以，， 即，代入椭圆方程得，， 即， 又因为， 所以， 即， 所以， 即， 解得，，或， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以离心率为. 故答案为：. 17．（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则 . 【答案】/0.5 【分析】设，由和，得，，再由且椭圆C的离心率为，解出，可计算. 【详解】如图，记，， 因为，则，， 由椭圆的定义可得， 所以，则， 又且，有或， 解得或，又点在第一象限，所以， 得，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：注意综合运用椭圆的有关定义和性质、、三角形的正弦定理、余弦定理、内角和定理，以及三角形的面积公式等等. 18．（23-24高二上·河南驻马店·期末）如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，与椭圆交于点B，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由离心率的定义分别表示出，即可得到，结合三角恒等变换化简，再由正弦型函数的值域，即可得到结果. 【详解】设，，则， 又，则，， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以，则， 所以，则的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是引入角度，从而得到，再利用三角恒等变换和三角函数的值域求出其最值. 19．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知椭圆的离心率为，点，若椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意在轴右侧要存在两个点到的距离相等，不妨设轴上方椭圆上的点，由距离公式求出，然后转化为二次函数问题，即只需对称轴位于，从而可求解. 【详解】由题意知，在椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，由对称性知，在直线右侧要存在两个点到的距离相等， 不妨设轴上方椭圆上的点为，即，得， 所以，， 要满足题意，由二次函数的对称性可知需在内对于总能取到两个不同的的值，即等价于二次函数对称轴在的范围内即可， 所以，即，即，即， 化简得，即， 即，解得， 又因为，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要是设点并结合距离公式求出的表达式，再结合二次函数性质构建出关于系数的不等式，化简为，从而可求解. 直线与椭圆的位置关系 一、单选题 1．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 2．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由直线与圆相离得，则点在椭圆的内部，由此即可得解. 【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2. 故选：D. 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【详解】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 【答案】A 【分析】由椭圆与直线相切，得，解不等式组对比选项即可得解. 【详解】联立椭圆方程与直线方程得，化简并整理得， 依题意，，整理得， 因为，所以，解得， 对比选项可知的值不可能是. 故选：A. 5．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先运算转化曲线的方程形式，再作出图形，数形结合，随着直线平行移动，与曲线有三个不同交点，求出直线截距范围即可. 【详解】曲线可化为， 当时，，则， 故此时曲线为椭圆的上半部分； 当时，，则， 故此时曲线为双曲线的上半部分，且渐近线方程为； 直线，表示一组斜率为的平行直线， 如图，当直线过点时，，解得； 当直线与椭圆上半部分相切时， 由，消化简得， 由，解得， 又直线与椭圆上半部分相切，则，故， 要使直线与曲线恰有三个不同交点， 结合图形可得，实数的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 6．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆，直线与圆M交于C，D两点，则下列结论正确的是（    ）． A．的取值范围是 B．若直线l经过圆M的圆心，则的值为 C．当直线l过原点O时，圆M上的动点到直线l的最大距离为 D．若，则 【答案】AB 【分析】结合点到直线的距离公式依次判断即可. 【详解】对于A项，圆的标准方程为：， 圆心为，半径， 因为直线与圆M交于C，D两点，所以圆心M到直线l的距离， 即，解得， 所以的取值范围是，故A项正确； 对于B项，若直线l经过圆M的圆心，则，解得，故B项正确； 对于C项，当直线l过原点O时，则，得直线， 则圆心M到直线l的距离， 得圆M上的动点到直线l的最大距离为：，故C项错误； 对于D项，因为，所以为等边三角形， 则圆心M到直线CD的距离为：，所以， 得或，故D项错误， 故选：AB 7．（23-24高二上·湖北武汉·期末）椭圆的离心率为，若直线与椭圆的一个交点的横坐标，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】联立直线与椭圆得，再根据条件即可得出结果. 【详解】由，消得到， 由题有，解得，又，， 得到，所以， 故选：AD. 三、填空题 8．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆，斜率不为0的直线过椭圆的左焦点F且与椭圆交于A，B两点，点P在y轴上，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则直线的斜率是 ． 【答案】 【分析】由题意设联立椭圆方程结合韦达定理中点坐标公式可得，进一步可得，由弦长公式可得，结合即可得解. 【详解】 由题意焦点，不妨设直线， 将其与椭圆方程联立得，， 化简并整理得，， ， 设的中点为，则， 点P在y轴上，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， 则垂直平分，且， 所以的中垂线方程为， 令，得， 所以， 又 ， 所以， 解得，所以直线的斜率是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是找到等量关系，然后将尽量用同一参数来表示，由此即可顺利得解. 9．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线和椭圆，写出满足条件“直线与椭圆有两个公共点”的的一个值为 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】由题意将直线与椭圆方程联立，令，求出的范围即可得解. 【详解】由题意联立直线与椭圆方程有，即， 消去化简并整理得，， 由题意若直线与椭圆有两个公共点， 则当且仅当，解得或. 故答案为：3（答案不唯一）. 四、解答题 10．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． (1)求C的标准方程； (2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆定义得，，再结合关系即可得到答案； （2）求出，设直线方程为，联立椭圆方程，利用即可. 【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 由椭圆的定义知，， 可得，所以， 所以椭圆的标准方程为:. （2）已知，所以，设直线方程为， 由方程组消去，得， 该方程的判别式， 由，得， 此时与有且只有一个公共点，所以的方程为:. 11．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆. (1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据椭圆方程求出，然后根据椭圆的定义可求得结果； （2）设直线的方程为，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，再由题意可得可求得直线的斜率的取值范围. 【详解】（1）由题意得， 所以， 所以的周长为； （2）显然不满足题意，设直线的方程为， 由，得， 由，得， 则， ， 因为为锐角，不共线，所以， 所以，所以， 所以 ， 解得， 因为 所以解得或， 所以实数的取值范围为 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将为锐角转化为，则，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题. 椭圆中的弦长问题 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题写出直线的点斜式方程,与椭圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得. 【详解】依题意，可得直线的方程为：，代入中，整理解得：， 当，；当时，，故有, 则. 故选：D. 二、多选题 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 【答案】AD 【分析】先联立椭圆与直线的方程，得一元二次方程，用判别式求的取值范围，进而判断选项A、B；得出韦达定理形式，求弦长的表达式，判断选项C；得到中点的坐标形式，判断选项D. 【详解】设两点的坐标为：， 联立椭圆与直线的方程， 得：， 由判别式，得，即，选项A正确，选项B不正确； 韦达定理：， 弦长， 当时，弦长取最大值，，选项C不正确； 由直线，线段中点的坐标为， 即，所以点的坐标满足直线方程，选项D正确. 故选：AD. 3．（23-24高二上·吉林白山·期末）已知过点的直线与椭圆交于两点，则弦长可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】讨论直线斜率存在性，设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及弦长公式求的范围，即可得答案. 【详解】由，即点在椭圆内， 若直线斜率存在，设直线为，联立椭圆， 整理得，且， 所以， 则， 若直线斜率不存在，则为长轴长，即， 综上，.    故选：BCD 三、填空题 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，得，然后可求出，从而可求出椭圆方程，再将代入椭圆方程中求出，从而可求得. 【详解】由题意可知，得，所以， 所以椭圆方程为， 椭圆的右焦点为，当时，，得， 所以. 故答案为： 5．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知椭圆的上顶点为A，过点A的直线与C交于另一点B，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设出点，根据两点间距离公式列式运算得解. 【详解】设，则，，又， 所以， 当且仅当时，取得最大值. 所以的最大值为. 故答案为：. 6．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则此椭圆的短轴长为 ；弦长 . 【答案】 【分析】由直线经过椭圆的左焦点可得，由的周长为8可得，即可得短轴长；联立直线与椭圆方程，借助韦达定理与弦长公式即可得. 【详解】直线经过椭圆的左焦点，则， 的周长为，解得，故， 椭圆的短轴长为， 由，得， 故答案为：；.    7．（23-24高二上·上海·期末）斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设直线，联立方程，利用韦达定理结合弦长公式运算求解. 【详解】设直线，直线与椭圆的交点为， 联立方程，消去y得， 则，解得， 可得， 由题意可得：， 解得， 所以直线的方程为. 故答案为：. 四、解答题 8．（23-24高二下·北京·期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为8． (1)求椭圆的方程； (2)设直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于，两点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由题意建立关于的方程组求出即可得解. （2）当直线l的斜率不存在时易得；当直线l的斜率存在时设其方程为，由直线l与圆相切得参数k与m的关系式，由直线与椭圆相交联立方程得韦达定理，再根据弦长公式结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，， 所求椭圆方程为. （2）①当直线l的斜率不存在时，，将其代入得， 故可得；    ②当直线l的斜率存在时，设，，， 由与圆相切，所以圆心到的距离， 所以， 由得， 所以 ， 设，则， ， 当时， 当时， ， 当且仅当即时等号成立，所以， 又因为，所以. 9．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率为. (1)求的方程; (2)过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意得，求出，从而可求出椭圆方程； （2）当直线l的斜率不存在时，不合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，利用弦长公式列方程可求出，从而可求出直线方程. 【详解】（1）依题意：，解得， 所以E的方程为． （2）当直线l的斜率不存在时，，与题意不符，舍去； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设， 联立，消y得：， 整理得：， ，则， ， 则， 即， 则，即， 解得或， 则直线l的方程为或． 10．（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）分直线斜率是否存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）当直线的斜率不存在时，方程为， 此时， 当直线的斜率存在时，设方程为， 联立，消得， 恒成立，故， 则， 所以 ， 令，则， 所以 ， 当，即时，取得最大值，此时， 综上所述，当最大时，求直线的方程为. 椭圆中的中点弦问题 一、单选题 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，与椭圆的方程联立结合韦达定理求出的关系计算即得. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的方程为，即， 由消去并整理得：， 则，即， 设，则，而弦的中点为，即， 于是，解得，此时 所以椭圆的离心率. 故选：C 2．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用点差法可得，因为为直线与圆的切点，所以，可解. 【详解】设， 设直线，且 则，作差得： 由，所以，① 因为为直线与圆的切点，所以，② 由①②消去可得， 所以. 故选：A. 3．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则， 又，两式相减得， 整理得， 所以以点为中点的弦所在的直线方程为， 即. 故选：C. 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出点坐标，利用点差法求得，可求椭圆离心率. 【详解】椭圆的左焦点为，， 过作轴，垂足为，由， 得，，有， 设，则有，， 由，两式相减得， 则有，所以. 故选：D 【点睛】方法点睛：由直线倾斜角为且，得，利用中点弦问题的点差法得，通过构造齐次方程法求离心率的值. 5．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知斜率为2的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，若的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法求解. 【详解】设，则，两式作差可得， 因为，又， 所以，所以的离心率为. 故选：D 6．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知椭圆，直线经过点与交于两点.若是线段的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】设点、，则， 因为，两式作差得，即， 即，所以， 因此直线的方程为，即. 故选：D. 7．（23-24高二上·广东深圳·期末）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可. 【详解】设, 因为为线段的中点，所以， 则，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，所以. 故选：D. 二、多选题 8．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的面积为1 C．直线的方程为 D． 【答案】AC 【分析】对A：根据椭圆方程求得，则离心率得解；对B：根据三角形面积公式以及点的坐标，则可求得结果；对C：利用点差法求得直线斜率，结合点坐标，即可求得直线方程；对D：联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，借助韦达定理，即可求得. 【详解】根据题意，作图如下： 对A：由题知，，则，所以离心率为，A正确； 对B：，B错误； 对C:设，， 则，，两式相减得， 因为为线段的中点，所以，，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 经检验符合题意，C正确； 对D：联立得，，； 所以，D错误. 故选：AC. 9．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线.直线与曲线交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的离心率为 C．直线的方程为 D．的周长为 【答案】ACD 【分析】由题意作出图分析可知曲线为椭圆，从而求出椭圆的方程判断选项A与B，由点差法求出直线的斜率，然后求得直线的方程，可知C正确，由直线过椭圆的上焦点，所以的周长为，可知D正确. 【详解】如图： 由图可知点到点与点的距离之和始终为定值且， 故点的轨迹为：以点与点为焦点的椭圆，可设其方程为， 故，，所以，， 所以椭圆的方程为：，故A正确； 椭圆的离心率为：，故B错误； 直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点， 设，，则，. 由点差法得：，所以， 所以，即， 所以直线的方程为：，即，故C正确； 由于直线：过椭圆的上焦点， 所以的周长为，故D正确。 故选：ACD. 10．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 【答案】AD 【分析】先联立椭圆与直线的方程，得一元二次方程，用判别式求的取值范围，进而判断选项A、B；得出韦达定理形式，求弦长的表达式，判断选项C；得到中点的坐标形式，判断选项D. 【详解】设两点的坐标为：， 联立椭圆与直线的方程， 得：， 由判别式，得，即，选项A正确，选项B不正确； 韦达定理：， 弦长， 当时，弦长取最大值，，选项C不正确； 由直线，线段中点的坐标为， 即，所以点的坐标满足直线方程，选项D正确. 故选：AD. 三、填空题 11．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点为，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可. 【详解】设，，则的中点坐标为， 由题意可得，， 将，的坐标的代入椭圆的方程：， 作差可得， 所以， 又因为离心率，，所以， 所以，即直线的斜率为， 故答案为：. 12．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知圆内有一点，经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】求得圆心坐标为，易知，利用斜率之间的关系可得，即可求得直线的方程. 【详解】易知可表示为， 可知圆的圆心坐标为，半径为，如下图所示： 根据题意由圆的性质可知，易知，所以； 由直线的点斜式方程可得直线的方程为，即. 故答案为： 13．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，直线与的交点恰好为线段的中点，则的斜率为 . 【答案】/0.25 【分析】根据椭圆的离心率可得，设，利用点差法，结合直线与的交点恰好为线段AB的中点，即可求得答案. 【详解】由题意知椭圆的离心率为， 故，， 设，由题意知l的斜率存在，则， 设线段AB的中点为， 则直线l的斜率为，直线的斜率， 由，两式相减得， 即得，即， 故， 故答案为： 14．（23-24高二上·云南昭通·期末）斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】令，应用点差法及直线斜率、中点坐标得，即可求离心率. 【详解】令，则，可得， 所以，又为线段的中点，且直线斜率为， 所以，则. 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高二上·福建福州·期末）已知动点满足：． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于A，B两点，且为线段AB的中点，求直线的方程． 【答案】(1)的方程是： (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点的轨迹，并求解方程； （2）先利用点差法求得直线l的斜率，进而求得直线l的方程. 【详解】（1）设，，，因为， 所以，且， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆. 设椭圆C的方程为，记，则，， 所以，，所以，所以的标准方程为. （2）设点，则， 作差得，除以得， 又由点是AB的中点，则有，所以， 变形可得，所以直线的方程是即， 经检验符合题意，故直线的方程为.      16．（23-24高二上·安徽合肥·期末）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切． (1)求圆心的轨迹的方程； (2)已知直线与轨迹交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解； （2）联立方程结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为1， 设圆的半径为， 若圆与圆内切，与圆外切，则， 可得； 若圆与圆内切，与圆外切，则， 可得； 综上所述：， 可知：圆心的轨迹是以、为焦点的双曲线，且， 可得，所以圆心的轨迹的方程. （2）联立方程，消去y得， 则，可知直线与双曲线相交， 设，线段的中点为，    可得，即， 且在圆上，则，解得， 所以实数的值为. 17．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设椭圆C：（）的两个焦点是和（），且椭圆C与圆有公共点． (1)求实数a的取值范围； (2)若椭圆C上的点到焦点的最长距离为，求椭圆C的方程； (3)对（2）中的椭圆C，直线：（）与C交于不同的两点M，N，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆及圆的性质可得，则，结合即可求得结果； （2）由题可知，又，求解即可； （3）设线段的中点为，由结合点差法求得的坐标，根据点P在椭圆内部得的范围，又点P在直线上，代入得的关系式，从而得实数的取值范围. 【详解】（1）椭圆C的短半轴，圆的圆心为原点，半径为， ∵椭圆C与圆有公共点，∴，，则， 又，从而解得， 所以a的取值范围为.    （2）由题可知，又， 联立解得，， 所以椭圆的方程为. （3）设线段的中点为, ∵，∴①， 设，，则，， 两式作差得，即， 即，即②， 联立①②解得，即， 因为点P在椭圆内部，则， 代入点P坐标化简得， 又点P在直线上，代入得， 因此，实数的取值范围是．    椭圆中的面积问题 一、单选题 1．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，直线与交于两点，则的面积与面积的比值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】将所求面积比转化为的比，再利用点线距离公式即可得解. 【详解】根据题意可得，， 又直线可化为， 设到直线为的距离分别为， 则. 故选：B. 2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．24 B．15 C．12 D．6 【答案】C 【分析】由条件关系求出点的轨迹方程，再利用椭圆性质求面积的最大值. 【详解】因为动点满足， 去分母，两边平方，， 化简得  ， 所以点的轨迹为以点和为焦点的椭圆， ，当点为椭圆短轴端点时，面积最大. 故选：C 3．（23-24高二上·山东潍坊·期末）月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意求得椭圆和圆的方程后，解出关键点的坐标，再求面积即可. 【详解】由题意得，半圆的方程为，在半椭圆中，则， 故半椭圆方程为，将代入半椭圆，解得， 将代入半圆，解得，故， 然， 故选：D 4．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知,为椭圆：的两个焦点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为（    ） A．24 B．33 C．9 D．18 【答案】D 【分析】判断出四边形为矩形，根据将椭圆与联立，解出点P,Q的坐标，进而即得. 【详解】由题意可知四边形为矩形， P,Q可看作是椭圆：与圆关于坐标原点对称的两个交点， 不妨设P,Q位置如图所示分别位于一、三象限. 由得， 所以， 因为，所以. 所以. 故选：D 二、多选题 5．（23-24高二上·山东济南·期末）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆C的焦距为6 B．的周长为16 C． D．的面积的最大值为16 【答案】AB 【分析】由椭圆方程求得，，的值，根据椭圆的几何性质结合选项即可逐一求解. 【详解】由椭圆，得，，， 椭圆的焦距为，故A正确； 又为椭圆上异于长轴端点，的动点，△的周长为，故B正确； ，故C错误； 当为椭圆的短轴的一个端点时，△的面积取最大值为，故D错误． 故选：AB． 6．（23-24高二上·江苏南京·期末）椭圆C：的左、右焦点分别为和，为椭圆上一点，则下列说法正确的有（ ） A．过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为16 B．若，则的面积为 C．椭圆C上存在点P，使得 D．的取值范围是 【答案】BCD 【分析】由焦点三角形的周长可判断A；由三角形的面积为可判断B；由，则点在以为直径的圆上可判断C；求出的取值范围可判断D. 【详解】由可得： 对于A，的周长为： ，故A错误；    对于B，令，则，所以， 所以的面积为，故B正确；    对于C，若，则点在以为直径的圆上，即圆， 因为，，所以圆与椭圆有交点， 所以椭圆C上存在点P，使得，故C正确； 对于D，因为， 所以的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 7．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．椭圆的离心率为 C．面积最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AD，根据离心率公式即可求解B，根据三角形的面积，结合椭圆的性质即可求解C. 【详解】对选项A：的周长为，A正确； 对选项B：，，故椭圆的离心率为，B错误； 对选项C：的面积最大使是短轴端点，所以，C正确； 对选项D：要使最大，只需最小， 根据椭圆性质知：当轴时，故，D正确； 故选：ACD. 三、填空题 8．（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 【答案】1 【分析】写出椭圆的参数方程，所以点，进而表示出矩形的面积，结合三角函数的知识求解最大值即可. 【详解】椭圆的参数方程为（为参数）， 则可设点, 所以矩形的面积为， 所以， 因为点在第一象限，所以当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最大值为1. 故答案为：1. 9．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知A，B是椭圆与双曲线的公共左、右顶点，P是双曲线在第一象限上的一点，直线交椭圆于M，N两点．若直线过椭圆的右焦点F，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】分析题意，得到是定值，再结合椭圆对称性求解即可. 【详解】由题意可知．如图，设， 可得直线的斜率分别为． 因为点P在双曲线上，则，因此． 设点，可得直线的斜率， 因为点在椭圆上，则，整理得， 所以，即，可得， 所以直线与关于x轴对称． 又因为椭圆也关于x轴对称，且M，N过椭圆右焦点F，则轴， 则，所以． 故答案为：3． 【点睛】结论点睛：椭圆或双曲线上的任一点与顶点的连线所在直线的斜率之积为定值. 10．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知为椭圆的两个焦点，P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】结合矩形性质与椭圆定义及面积公式计算即可得. 【详解】由椭圆定义可知，， 有， 由，P，Q关于坐标原点对称，故四边形为矩形， 则有，故， 四边形的面积. 故答案为：2. 四、解答题 11．（23-24高二下·河北·期末）已知点和点在椭圆上. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点P的直线l交椭圆C于一点B，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程； 【详解】（1）由题意可知，解得， 椭圆的方程为. （2），则直线的方程为，即， ， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为，则， 解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立，得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或    12．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2. (1)求椭圆的方程； (2)和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）题目告诉了椭圆焦距和顶点，即知道了，再由，即可求解； （2）由对称性可设，则，通过表示直线的方程，求得的坐标，从而表示出面积，再根据点Ｐ在椭圆上，得到与的关系以及的范围，即可求解. 【详解】（1）由已知，所以，所以椭圆的方程为. （2）如图所示， 因为四边形是平行四边形， 所以线段与线段的中点重合，所以关于原点对称. 设，则且，， 所以直线的方程为， 令，得，即. 又，直线的方程为， 令，得，即. 四边形面积为， ①， 因为点在椭圆上， 所以且， 所以②， 将②代入①得， 所以当时，. 所以四边形面积的最小值为. 13．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程. （2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值. （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，借助根与系数的关系列出三角形面积的关系式，利用对勾函数性质求出最大值． 【详解】（1）依题意，，且，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，而，则， 周长， 当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号， 所以周长的最大值为. （3）设直线的方程为，， 由消去得：，显然，， ， 因此面积， 令，，显然函数在上单调递增， 则当，即时，取得最小值， 所以当时，面积取得最大值3. 【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积； 过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积. 14．（23-24高二下·四川泸州·期末）已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等. (1)求椭圆C的方程； (2)不过右焦点且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接交椭圆C于点B． （i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点； （ii）若过左焦点的直线交椭圆C于D，G两个不同的点，且ABDG，求四边形ADBG面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可求解； （2）（i）根据题意，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，表示出直线的方程，求出其与轴交点，即可证明； （ii）由弦长公式分别表示出，结合面积公式代入计算，再由基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意知，解得. 故椭圆的方程为； （2） （i）由题意知斜率存在，设其方程为， ，则， 由，得， 由于直线过椭圆焦点，则必有，则， 直线的方程为， 不妨设直线交轴于点， 令，可得 ，即直线MB过定点； （ii） 因为，所以，同理可得， 又，则 ， 当且仅当时等号成立，即四边形ADBG的面的最小值为. 椭圆中的最值（范围）问题 一、单选题 1．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知椭圆，若点P在椭圆M上，，是椭圆M的左、右焦点，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由，再由基本不等式求解. 【详解】解：由椭圆M方程可知，，且， 则， 当且仅当， 则的最大值为：2 故选：B 2．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知M是椭圆上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设为椭圆上一动点，利用两点间距离公式结合动点在椭圆上，由二次函数求最值即可. 【详解】设为椭圆上一动点， 由椭圆，不妨取椭圆短轴一端点B， 则， 由可得， 则， 由知，当时，. 故选：C 3．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知点，点为椭圆：上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为圆心，为半径做圆，当与椭圆相切时，的值即为所求. 【详解】设：，由消去得：， 整理得：. 由，即为所求的最小值. 故选：C 4．（23-24高二上·山东日照·期末）已知实数、满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简曲线的方程，并作出曲线的图象，令，数形结合求出的取值范围，可得出的取值范围，即可得解. 【详解】当，时，曲线方程可化为； 当，时，曲线方程可化为； 当，时，则，此时，曲线表示的图形不存在； 当，时，曲线方程可化为. 作出曲线的图象如下图所示：    双曲线、的渐近线方程均为， 令，其中点在曲线上，由图可知，， 当直线与椭圆相切，且切点位于第一象限时，取最大值， 由可得， 由，因为，解得， 所以，，则，即， 故的取值范围是. 故选：B. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 5．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知，是椭圆：的两个焦点，A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由椭圆性质和已知条件得，由两点间的距离公式得，然后化简、换元结合二次函数单调性可求 【详解】由题意，设， 由于A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点， 所以，又, 令，因为，所以， 所以， 由于对称轴为，所以在单调递减， 所以，又， 即，所以 故选：D    6．（23-24高二上·浙江丽水·期末）设椭圆与椭圆的离心率分别为，若，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】D 【分析】由椭圆的离心率，结合椭圆的性质及对勾函数的单调性求解． 【详解】已知椭圆与椭圆的离心率分别为，， 又， 则，， 则， 设，， 则根据对勾函数知在为减函数，在为增函数， 则,， 则， 即的最大值为，无最小值． 故选：D． 7．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆：和椭圆：，点为椭圆上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则弦长的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据切线的性质利用等面积法可得，再设，结合两点间距离公式求的取值范围，进而分析得解. 【详解】由题意可知：圆：得圆心为，半径，    因为，则， 由四边形的面积可得， 整理得， 设， 则， 且，可知当时，取到最大值， 当时，取到最大值， 即，则当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 即弦长的范围为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：1.根据切线性质可得； 2.设椭圆上点，结合两点间距离公式求的取值范围. 二、多选题 8．（23-24高二上·江西·期末）已知椭圆，将C向右平移4个单位，向上平移3个单位得到椭圆E，若点A，B分别在C，E上，，分别为C，E的中心，则（    ） A．E的方程为 B．C和E没有交点 C．A，B的纵坐标之差可以为7 D．的最大值等于的最大值 【答案】BD 【分析】根据曲线的平移规律可得E的方程，判断A；联立两椭圆方程，结合判别式可判断B；结合椭圆的几何性质，即椭圆的顶点坐标，可判断C；根据椭圆的对称性可判断D. 【详解】对于A，将C向右平移4个单位，向上平移3个单位得到椭圆E， 椭圆E的方程为，A错误；    对于B，将椭圆方程和相减，整理可得， 即，代入中，可得， 由于， 即C和E没有交点，B正确； 对于C，点A，B分别在C，E上，则A点纵坐标最小为， B的纵坐标最大为，故A，B的纵坐标之差最大为，C错误； 对于D，椭圆E是由椭圆C平移得到的，二者仅位置不同，大小形状完全相同， 且，分别为C，E的中心， 根据椭圆的对称性可知的最大值等于的最大值，D正确， 故选：BD 9．（23-24高二下·广东·期末）如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（    ） A．点和均在上 B．点的纵坐标的最大值为 C．的最大值与最小值之和为3 D． 【答案】ABD 【分析】点代入曲线判断A，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D. 【详解】令，得出，则 对于A：时，得或， 时，得，所以和均在L上，A选项正确； 对于B：因为曲线关于y轴对称，当时，，所以， ， 所以时，最大，最大值为，B选项正确； 对于C：， 因为曲线关于y轴对称，当时，设， 所以 ， 因为可取任意角， 所以取最小值，取最大值，所以和为，C选项错误； 对于D：等价为点在椭圆内， 即满足，即， 整理得，即恒成立，故D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可. 10．（23-24高二上·甘肃·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（    ） A．椭圆上的点到的最短距离为 B．到直线距离的最大值为 C．的最大值为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的性质即可判断A；结合图象分析点到直线距离即可判断B；利用焦点弦的含义即可判断选项C；设出直线方程，两点坐标，利用向量数量积的坐标表示即可判断选项D. 【详解】由题知，，， 则椭圆上的点到的最短距离为，A错； 到直线距离的最大时，， 且最大距离为，B正确； ， 则的最大时，最小， 最小时，为通径，且， 所以的最大值为，C正确； 由，设直线为， 若不存在，此时轴，， 所以， 若存在时， 联立得， ，， ， ， 对于函数来说， 在时是单调递增的， 所以当时，最小，且为， 当为时，最大， 即时，最小，且为， 不存在时，最大，且为， 所以的取值范围为，正确. 故选：BCD 11．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．椭圆的离心率为 C．面积最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AD，根据离心率公式即可求解B，根据三角形的面积，结合椭圆的性质即可求解C. 【详解】对选项A：的周长为，A正确； 对选项B：，，故椭圆的离心率为，B错误； 对选项C：的面积最大使是短轴端点，所以，C正确； 对选项D：要使最大，只需最小， 根据椭圆性质知：当轴时，故，D正确； 故选：ACD. 12．（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点，轴，垂足为与椭圆的另一个交点为，则（    ） A．的最小值为3 B．面积的最大值为 C．直线的斜率为 D．为直角 【答案】BCD 【分析】先由椭圆与过原点直线的对称性知，，再利用1的代换、利用基本不等式可判断A；由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值可判断B；由对称性，可设，则，，则可得直线的斜率与k的关系可判断C；先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得，又由C项可知， 得，即，可判断D. 【详解】 对于A，设椭圆的右焦点为，连接， 则四边形为平行四边形， 所以， ， ， 当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，联立得， ， 所以的面积， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，设，则，，故直线的斜率，故C正确； 对于D，设，直线的斜率为，直线的斜率为， 则， 又点和点在椭圆上，①，②， ①-②得，易知， 则，得， ，，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：A选项的关键是，结合基本不等式之“乘1法”即可得解，D选项的关键是先得到，，再结合直线垂直的判定定理即可判断. 三、填空题 13．（23-24高二下·浙江温州·期末）椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】求导可得椭圆在的切线斜率为，进而可得点的轨迹方程为（），利用点到直线的距离公式即可求解最小值. 【详解】由可得， 由于直线与椭圆相切于，故上半椭圆的方程为， 求导得，因此， 故椭圆在的切线斜率为，由于直线于圆也相切于， 故圆心所在的直线斜率为1，且经过点，故点的轨迹方程为（）， ，故的最小值为到的距离， 故答案为： 14．（23-24高二上·江苏泰州·期末）如图1所示，套娃是一种木制玩具，一般由多个相同结构的空心木娃一个套一个组成，套娃的截面可近似看成由圆和椭圆的一部分组成.建立如图2所示的平面直角坐标系，圆A：的圆心是椭圆的上顶点，半径是椭圆的短半轴长，则椭圆的离心率为 ；若动直线与圆的上半部分和椭圆的下半部分分别交于B，C两点，则当的面积最大时，的值为 . 【答案】 【分析】先由题意求出，进而可得离心率，然后将代入圆的方程和椭圆方程可得的坐标，进而可表示出的面积，求导，根据单调性可得取最大值时的值. 【详解】圆A：的圆心为，半径为， 即椭圆的上顶点为，椭圆的短半轴长， 设椭圆方程为， 则， 所以离心率， 所以椭圆方程为， 将代入圆的方程和椭圆方程，不妨取，可得，， 则， 设，则， 令， 则， 设，为锐角， 令，得，， 令，得，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值， 此时， 则 故答案为：；. 15．（23-24高二上·湖北孝感·期末）在平面直角坐标系中，P为椭圆C：上的动点，Q为直线l：上的动点，且.则的最小值为 . 【答案】 【分析】设出三点坐标，由得到坐标的关系，假设存在一点，点在直线上，令为点到直线的距离，显然有，设点坐标为，求解的最小值即可. 【详解】 设三点坐标分别为. 由可得. 所以，， 所以. ， 假设存在一点，则有. 因为，所以，因此点在直线上， 令为点到直线的距离， 设点坐标为.显然有， 又. 因此， 即的最小值为. 故答案为：. 16．（23-24高二上·河北保定·期末）过直线上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别是A，B，过点向直线引垂线，垂足为，则线段为坐标原点）的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出直线、的方程，即可求出直线恒过定点，讨论直线的斜率存在和不存在，求解即可. 【详解】设， 设切线的方程为， 联立得； ∵与椭圆相切， ∴，整理得：， 所以代入，得， 所以， 从而切线的方程为， 再将代入整理可得，直线的方程为：， 同理直线的方程为：， 直线，的方程过点，所以，， 即，， 则为方程的解，故直线的方程为， 令，则，这直线恒过定点， ①当直线的斜率不存在时，则直线为， 过点向直线引垂线，垂足为，则， ②当直线的斜率存在时，则直线为， 过点向直线引垂线，垂足为，过点作向直线引垂线，垂足为， 连接，点到直线的距离为， 过点作交于点，可知四边形时矩形， 所以，而在中，， 又，所以，所以， 在中，， 而在中，， 则， 故可知. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点；若直线方程为 (为定值)，则直线过定点 四、解答题 17．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2. (1)求椭圆的方程； (2)和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）题目告诉了椭圆焦距和顶点，即知道了，再由，即可求解； （2）由对称性可设，则，通过表示直线的方程，求得的坐标，从而表示出面积，再根据点Ｐ在椭圆上，得到与的关系以及的范围，即可求解. 【详解】（1）由已知，所以，所以椭圆的方程为. （2）如图所示， 因为四边形是平行四边形， 所以线段与线段的中点重合，所以关于原点对称. 设，则且，， 所以直线的方程为， 令，得，即. 又，直线的方程为， 令，得，即. 四边形面积为， ①， 因为点在椭圆上， 所以且， 所以②， 将②代入①得， 所以当时，. 所以四边形面积的最小值为. 18．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆. (1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据椭圆方程求出，然后根据椭圆的定义可求得结果； （2）设直线的方程为，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，再由题意可得可求得直线的斜率的取值范围. 【详解】（1）由题意得， 所以， 所以的周长为； （2）显然不满足题意，设直线的方程为， 由，得， 由，得， 则， ， 因为为锐角，不共线，所以， 所以，所以， 所以 ， 解得， 因为 所以解得或， 所以实数的取值范围为 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将为锐角转化为，则，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题. 19．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入方程得，结合离心率公式可得，可得椭圆方程. （2）应用韦达定理结合弦长公式，点到直线的距离，基本不等式即可求解. 【详解】（1）椭圆过点，得①， ，，即②， 由①②联立解得，则椭圆方程为 （2）当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形， 故直线的斜率存在，则设直线为：， 设， 联立，得， 则，即或， ， 则， 点到直线的距离为， 则， 令，则， 则， 当且仅当，即，即时等号成立， 故面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 20．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程. （2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值. （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，借助根与系数的关系列出三角形面积的关系式，利用对勾函数性质求出最大值． 【详解】（1）依题意，，且，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，而，则， 周长， 当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号， 所以周长的最大值为. （3）设直线的方程为，， 由消去得：，显然，， ， 因此面积， 令，，显然函数在上单调递增， 则当，即时，取得最小值， 所以当时，面积取得最大值3. 【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积； 过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积. 椭圆中的定点定值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）设椭圆的左焦点为，点在椭圆外，，在椭圆上，且是线段的中点. 若椭圆的离心率为，则直线，的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，连接，取右焦点，连接，推导出，可得出，利用点差法可求得，再结合椭圆的离心率的值，从而可求解. 【详解】取椭圆的右焦点为，连接，，如下图所示， 由题意可知，点为椭圆的左焦点， 因为点、，易知点为线段的中点， 又因为为的中点，所以， 取线段的中点，连接，则， 所以，则，所以， 设点、，则点， 所以，两个等式作差可得，可得， 所以， 因为椭圆的离心率为，得， 所以，即，故B正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是首先得到，再证明中点弦有关斜率之积的结论，从而得到最终答案. 2．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系xOy中，点，在椭圆C：上，且直线OA，OB的斜率之积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先由题意得到，平方后，利用点在椭圆上，变形得到的值，即可求解. 【详解】因为点，在椭圆上， 所以， 因为直线的斜率之积为，所以， 得到，得， . 故选：C 3．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，可证得，设直线与直线的方程，表示出点和点坐标，由，求出直线的斜率. 【详解】则，，设， 则， 设（），则， 直线的方程为，则的坐标为， 直线的方程为，则的坐标为， ∴，解得或． 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用两点的斜率公式和点在椭圆上，证明则，此时设（），则有，由求即可. 4．（23-24高二上·重庆·期末）若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆离心率求得，设，表示出的表达式，结合椭圆方程化简，即可得答案. 【详解】由题意知椭圆C：的离心率为， 即， 设，则，又， 故， 又，故， 故选：C 二、多选题 5．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为是椭圆上异于的一点，且（为坐标原点），记的斜率分别为，设为的内心，记的面积分别为，，则（    ） A． B．的离心率为 C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由题意点在以为直径的圆上，由此即可判断A；对于B，由离心率定义结合正弦定理即可判断；对于C，由斜率公式结合离心率即可验算；对于D，由的关系以及这三个三角形的高一样即可验算. 【详解】 因为，所以为正三角形，且点在以为直径的圆上， 所以，即，故A正确． 不妨设， 则的离心率为，故B错误． ，故C正确． 设的内切圆半径为，则， ， ，所以，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是得出为正三角形，且点在以为直径的圆上，由此即可逐一判断各个选项，进而顺利得解. 6．（23-24高二上·浙江·期末）已知椭圆过点，左焦点为．设直线与椭圆C交于A，B两点，点M为椭圆C外一点，直线AM，BM分别与椭圆C交于点C，D（异于点A，B），直线AD，BC交于点N．下列选项正确的是（    ） A．椭圆C方程为 B． C．M，N，O共线 D．直线MN的斜率为定值 【答案】AD 【分析】有题意列出方程组，求得的值，得到椭圆的方程，可判定A正确；联立方程组，求得的坐标，结合斜率公式求得，可判定B错误；取点时，求得点，结合，可判定C错误.设，分别结合直线过点，直线过点，直线过过点，直线过点，列出方程，结合斜率公式，求得的值，可判定D正确； 【详解】对于A中，由椭圆过点，且左焦点为， 可得，解得，所以椭圆的方程为，所以A正确； 对于B中，联立方程组，解得或， 即， 设，可得，所以 可得，所以B错误； 对于C中，当点时，此时在椭圆的外部，且 可得轴，根据椭圆的对称性，可得, 由，因为，可得， 所以的方程为又由的方程为， 联立方程组得，此时，此时直线不过原点，所以C错误. 对于D中，设， 由直线过点，可得，① 由直线过点，可得，② ①②得，③ 同理可得，直线过过点，可得，④ 直线过点，可得，⑤ ③④得，⑥ ③⑥得，所以，所以D正确； 故选：AD. 7．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知椭圆，直线过椭圆的左焦点交椭圆于两点，下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．以为直径的圆与相离 C．若，则的斜率为 D．若弦的中垂线与长轴交于点，则为定值 【答案】BCD 【分析】对于A，弦长公式求出表达式进一步即可判断；对于B，只需判断点到直线的距离与的大小关系即可判断；对于C，结合韦达定理即可得解；对于D，先得点坐标，进一步即可判断. 【详解】 由题意， 对于A，直线斜率不存在时，将代入，得，此时， 直线斜率存在时，设， 联立椭圆方程，化简整理得， 显然，， 所以 ， 因为，所以，所以，故A错误； 对于B，直线斜率不存在时，以为直径的圆与相离，满足题意； 直线斜率存在时，设中点为，则，即， 点到直线的距离满足，故B正确； 对于C，直线斜率不存在时，显然不满足题意， 直线斜率存在时，若，则，又， 所以，解得，所以的斜率为，故C正确； 对于D，直线斜率不存在时，显然不满足题意，当时，点与原点重合，， 直线斜率存在且不为0时，弦的中垂线方程为， 令，得，所以，即为定值，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：C选项的关键是转换为向量共线结合韦达定理，其他选项关键是充分利用韦达定理以及弦长，由此即可顺利得解. 8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆的两个焦点为、，、为椭圆的左、右顶点，为上一点，则下列结论正确的是（    ） A．周长为 B．的最大值为 C．椭圆的离心率为 D．直线与的斜率的乘积为 【答案】AB 【分析】利用椭圆的定义可判断A选项；利用椭圆的范围可求出的最大值，可判断B选项；以椭圆的离心率公式可判断C选项；利用斜率公式结合椭圆方程可求出直线与的斜率的乘积，可判断D选项. 【详解】对于椭圆，，，， 对于A选项，的周长为，A对； 对于B选项，易知点、， 设点，则，其中， 则 ，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，B对； 对于C选项，椭圆的离心率为，C错； 对于D选项，易知点、， 则，D错. 故选：AB. 三、解答题 9．（23-24高二下·上海金山·期末）已知椭圆常数，点为坐标原点． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； (3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据已知结合离心率公式化简计算； （2）应用向量间关系结合基本不等式化简求范围即可； （3）应用斜率积的公式化简得出结合三角形面积公式结合点在椭圆上化简求值. 【详解】（1）由椭圆方程为， 则离心率， 又 所以； （2）由已知得 又点是椭圆上任意一点， 则，化简可得 所以 （3）法一：由已知可得，即， 平方可得， 又在椭圆上， 所以， 所以， 化简可得 设与的夹角为， 则，则， 所以的面积 ， 故的面积为定值； 方法二：由已知，即， ①当直线斜率不存在时，，则， 又在椭圆上， 则，所以， 此时； ②当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 联立直线与椭圆， 得， 则， ， 则，即， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 所以的面积为定值． 【点睛】关键点点睛：面积定值关键是应用点在椭圆上代入面积公式化简求值即可. 10．（23-24高二下·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的定义和离心率，求解椭圆方程； （2）设点，，，，的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理求出点的坐标，同理得到点的坐标，进而得到直线的方程，根据对称性，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，即可得到定点坐标. 【详解】（1）由椭圆定义可知，， 所以的周长为，所以， 又因为椭圆离心率为，所以，所以， 又，所以椭圆的方程：． （2）设点，，，， 则直线的方程为，则， 由得，， 所以， 因为，所以，所以，故， 又， 同理，，， 由A，，B三点共线，得，所以， 直线CD的方程为， 由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上， 令得， ， 故直线CD过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 11．（23-24高二下·云南·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，结合离心率公式即可求解； （2）由题可知，直线的斜率显然存在，设的方程为，，，联立直线与椭圆方程， 由题意得，结合韦达定理整理可得，解出的值，结合题意即可求证. 【详解】（1）因为，所以． 又在上，所以， 解得，， 则椭圆的方程为． （2）证明：由题可知，直线的斜率显然存在， 设的方程为，，， 则，得， 则，， ． 又， 整理可得， 化简得， 即， 所以或． 当时，直线过点，不符合题意， 所以，即直线的斜率为定值． 12．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知椭圆过点，且． (1)求椭圆ω的方程； (2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题可得，进而得出，即可得出椭圆方程； （2）先考虑直线斜率不存在时，可得，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，得出韦达定理，得出直线的方程，可表示出坐标，同理表示出的坐标，进而利用韦达定理可求出. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以. 因为，所以. 所以椭圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线的方程为. 不妨设此时，， 所以直线的方程为，即. 直线的方程为，即. 所以. 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由，得. 依题意，. 设，，则，. 又直线的方程为， 令，得点的纵坐标为，即，同理. 所以 . 综上，为定值，定值为. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 13．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）通过已知条件以及之间的关系，求出，即可得椭圆的方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得两根之和与两根之积，列直线的方程，令，求得点的横坐标，化简可得定点坐标. 【详解】（1）设椭圆半焦距为， 由题意得 解得， 椭圆的标准方程为：. （2）设点，则，直线的方程为， 直线与椭圆联立， 消去，得， 则， ，得， 由题意，直线的方程为， 令，所以点的横坐标， 所以直线与轴交于定点. 14．（23-24高二下·湖南张家界·期末）已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，，且过点. (1)求的方程； (2)若，为上与点，均不重合的两个动点，且直线，的斜率分别为和. （i）若（为坐标原点），判断直线和的位置关系； （ii）证明：直线经过轴上的定点. 【答案】(1) (2)（i）垂直；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据椭圆离心率可得，再代入点可得椭圆方程； （2）（i）设点，可得，可得点坐标，进而确定，并判断位置关系；（ii）设直线方程，联立直线与椭圆，结合韦达定理，可证直线过定点. 【详解】（1）由已知设椭圆方程为， 又椭圆离心率为，即， 所以椭圆方程为， 又椭圆过点， 所以，则，， 所以椭圆方程为； （2）（i）设，则， 又，， 因为，所以， 即， 解得，则， 即，， 所以， 即直线和垂直； （ii）由椭圆的对称性可知当时，，不成立， 所以直线与轴不平行，设，且，， 联立直线与椭圆， 得，， 则，， 又，即， 即， 即， 化简可得， 则或， 又当时，，， 又因为直线不过点，所以,所以，无解， 综上所述，，直线方程为， 所以恒过轴上的定点. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 椭圆中的定直线问题 一、解答题 1．（23-24高二下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q． ①求证：点Q在定直线上： ②设，，求的最大值． 【答案】(1) (2)①点Q在定直线上；②的最大值为 【分析】（1）根据椭圆离心率公式、焦半径范围和求出、即可得解. （2）①先由（1）得，，，设直线、、， 则可得，，结合点、在直线上联立直线与直线得点横坐标是一个定值从而得解. ②由①以及，可分别求出和，结合（1）中韦达定理将其直接带入计算即可求解. 【详解】（1）由题意得，， 所以椭圆E的方程为. （2）①由（1），，，故可设直线， 联立， 则，设， 则，，， 由题意可知直线与直线斜率存在， 则，， 联立 ， 所以，故点Q在定直线上. ②由上以及，得： ，， 故，， 即，， 所以， 因为，故，所以最大值为，即的最大值为. 【点睛】思路点睛：证明点Q在定直线上只需本着求点即求直线与直线的交点的方向去即可求解. 2．（23-24高二上·福建福州·期末）设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点P，且它们的斜率之积为，动点P的轨迹为Γ. (1)求Γ的方程， (2)动直线与Γ相交于不同的两点C，D，若直线与直线相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)点在定直线上 【分析】（1）设出点的坐标，表示出直线、的斜率计算即可得其轨迹； （2）联立直线方程与曲线方程，借助韦达定理得到，再计算即可得. 【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标为， 所以直线的斜率， 同理直线的斜率， 由已知，有， 化简，得Γ的方程为； （2）点M位于定直线上，理由如下：    设，， 由，得， 所以， ，， 因为A，B两点的坐标分别为，， 直线方程为，直线方程为， 由，得， 又，代入得， 由，得， 即， 所以， 所以点在定直线上. 【点睛】关键点睛：本题关键在于联立直线方程与曲线方程，得到与两交点纵坐标有关韦达定理，借助韦达定理得到，从而解决非对称问题. 3．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上的一点，当时，. (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的上下顶点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）由椭圆的定义、、求出可得答案； （2）设，设直线的方程，与椭圆方程联立，求出直线的方程、直线的方程，然后联立利用韦达定理可得答案. 【详解】（1）由椭圆的定义得，且， 得到，， 因为，所以，解得， 所以， 故所求的椭圆方程为； （2）由题意得， 直线的方程，设， 联立，消去，整理得， ， 直线的方程为，直线的方程为， 联立， 得 ， 解得，即直线与的交点在定直线上.    【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是求出直线、直线的方程，然后方程联立利用韦达定理求出答案. 4．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知动圆过定点，且在定圆的内部与其内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程． (2)当过点的动直线与圆心的轨迹相交于两不同点时，在线段上取点，满足，则点是否在某条定直线上？若在，求该直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点在定直线上． 【分析】（1）根据椭圆的定义求得轨迹方程； （2）设点，由均不为零，记，则且，由椭圆方程说明点在椭圆外，得出，用坐标表示出该等式，然后求得，并利用点在椭圆上消去各参数得出关于的方程，从而得出结论． 【详解】（1）设动圆和定圆切于点． 由题意可得动点到定点和定圆圆心的距离之和恰好等于定圆的半径，即． 由椭圆定义可得动圆圆心的轨迹方程为． （2）点在定直线上．理由如下． 设点． 由题设知均不为零，记，则且， 因为四点共线，将点代入轨迹方程得，所以点在椭圆外，又点在线段上，所以， 于是①，②． 又点在椭圆上，所以 ③-④得，代入①②有， 即点在定直线上． 5．（23-24高二上·四川南充·期末）已知椭圆的离心率为．其左、右顶点分别为，上，下顶点分别为，且四边形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，直线与交于点．求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得到，结合离心率即可求出椭圆方程； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程得到韦达定理式，化积为和，得到两直线方程，计算出为定值即可. 【详解】（1）由四边形的面积为4得：①， 因为椭圆的离心率为，所以②， 又因为③， 联立①②③，解得:， 因此，椭圆的标准方程. （2）设直线的方程为， 联立消得：，， 由韦达定理得:，进而，，， 则，， 则 . 整理得：， 因此，点在定直线上. 【点睛】关键点睛：本题的关键是设直线方程，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，最后最后非对称韦达形式，采用化积为和进行处理即可. 6．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为．为椭圆上任意一点，且的最大值为3，最小值为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点（均异于），求直线与交点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)，且 【分析】（1）由题意可得， ，代入即得； （2）可设直线的方程为 ，与椭圆C联立，然后利用韦达定理求出直线和直线参数方程，消去参数可得. 【详解】（1）依题意可设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 又因为椭圆的左、右焦点分别为，且的最大值为3，最小值为1， 所以， 解得， 又，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）得椭圆的标准方程为，易知， 由题意得直线不与轴重合，可设直线的方程为， ， 联立，消得． 恒成立， ， 所以① ， 又直线②， 又直线③， 联立②③得， 将①式代入整理得， 解得， 又因为直线不与轴重合， 所以直线与的交点轨迹方程为，且 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为 （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. ( 54 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 椭圆 椭圆的定义及其应用 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 2．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 3．（23-24高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 5．（23-24高二上·福建泉州·期末）椭圆绕长轴旋转所成的面为椭球面，椭球面镜一般指椭球面反射镜，老花眼镜、放大镜和胶片电影放映机聚光灯的反射镜等镜片都是这种椭球面镜片．从椭球面镜的一个焦点发出的光，经过椭球面镜反射后，必经过椭球面镜的另一个焦点．现有一个轴截面长轴长为的椭球面镜，从其一焦点发出的光经两次反射后返回原焦点，所经过的路程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知为坐标原点，是椭圆：上位于轴上方的点，为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 二、多选题 7．（23-24高二下·陕西渭南·期末）曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于常数的点的轨迹.则下列说法正确的是（    ） A．曲线C关于坐标原点对称 B．曲线C过坐标原点 C．若点P在曲线C上，则 D．以，为焦点、以为长轴长的椭圆上的点一定不会在曲线C围成的区域的外部 8．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（    ） A．的周长为4 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．若点在椭圆上，且线段中点为，则直线的斜率为 9．（23-24高二上·江苏泰州·期末）下列结论正确的是（    ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 10．（23-24高二上·河北保定·期末）平面直角坐标系中，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点轨迹为椭圆 B．若，则点轨迹为双曲线 C．若，则点轨迹关于轴、轴都是对称的 D．若，则点轨迹为圆 三、填空题 11．（23-24高二下·云南大理·期末）设分别是椭圆的左､右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为 . 12．（23-24高二下·陕西汉中·期末）椭圆：的两个焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为 . 13．（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则 . 四、解答题 14．（23-24高二下·青海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B两点均在C上，且，. (1)若，求C的方程； (2)若，直线AB与y轴交于点P，且，求四边形AF1BF2的周长. 15．（23-24高二上·江西宜春·期中）已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积． 16．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 求椭圆的标准方程 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·云南昭通·期末）椭圆的长半轴长为，右顶点为，上､下顶点分别为，，是线段的中点.若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东江门·期末）阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，面积为，且两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则椭圆的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 6．（23-24高二上·天津宁河·期末）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆上的任意一点到两个焦点的距离的和等于10，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知椭圆的焦点在x轴上，，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·天津·期末）设，分别是椭圆（）的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为16，且的最小值为2，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若的中点为，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（23-24高二上·青海西宁·期末）已知椭圆的长轴长等于20，离心率等于，则椭圆的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）焦点在轴上，，的椭圆的标准方程为 . 13．（23-24高二上·河北张家口·期末）直线过椭圆的右焦点，直线交椭圆于两点，为的中点，为坐标原点，若的斜率为1，则椭圆的方程为 . 14．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程 .    15．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆的焦点坐标为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为 ． 16．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知菱形的边长为2，一个内角为60°，顶点，，，均在坐标轴上，以为焦点的椭圆经过，两点，请写出一个这样的的标准方程： ． 四、解答题 17．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． (1)求C的标准方程； (2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 根据椭圆方程求参数 一、单选题 1．（23-24高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（    ） ①若曲线为椭圆，则且焦距为常数 ②曲线不可能是焦点在轴的双曲线 ③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（23-24高二上·江苏常州·期末）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若曲线C为双曲线，则 C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 8．（23-24高二上·贵州毕节·期末）“方程表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．（23-24高二上·河北保定·期末）若椭圆的焦距为，则m的值可能为（    ） A． B．1 C．3 D．4 10．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若，则为双曲线 C．若为椭圆，则其长轴长一定大于2 D．曲线不能表示圆 11．（23-24高二上·福建福州·期末）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．曲线可能是圆 D．若为双曲线，则 三、填空题 12．（23-24高二下·山西长治·期末）若方程表示椭圆，则m的取值范围是 ． 13．（23-24高二上·上海·期末）方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 . 14．（23-24高二上·北京西城·期末）若方程表示的曲线为双曲线，则实数的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围是 . 椭圆的焦点、焦距问题 一、单选题 1．（23-24高二下·广西南宁·期末）若椭圆的离心率为，则该椭圆的半焦距为（    ） A． B． C．3或 D．3或 2．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）椭圆的焦距为（    ） A． B．4 C． D．2 3．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为，则该椭圆的（    ） A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为 4．（23-24高二上·吉林白山·期末）若抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．（22-23高二上·重庆·期末）若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则m的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 6．（22-23高二上·湖南怀化·期末）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 二、多选题 7．（23-24高二上·浙江台州·期末）已知且，曲线，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当时，曲线是双曲线 C．当时，曲线的焦点坐标为 D．当时，曲线的焦点坐标为 8．（23-24高二上·河北保定·期末）若椭圆的焦距为，则m的值可能为（    ） A． B．1 C．3 D．4 9．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若直线经过椭圆的一个焦点，则的值可能为（    ） A． B． C．2 D．4 10．（23-24高二上·全国·期末）曲线的焦距为4，则实数m的值可以是（    ） A．15 B．5 C．3 D． 三、填空题 11．（23-24高二上·辽宁·期末）椭圆的焦点坐标为 ． 椭圆的长轴、短轴问题 一、单选题 1．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D．6 3．（23-24高二上·四川眉山·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广西桂林·期末）椭圆的长轴长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（23-24高二上·广东河源·期末）若点既在直线上，又在椭圆上，的左、右焦点分别为，，且的平分线与垂直，则的长轴长为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知椭圆标准方程为，则此椭圆的短轴长为（   ） A．6 B．3 C．8 D．5 二、多选题 7．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的一个焦点为为上一动点，则（    ） A．的短轴长为7 B．的最大值为 C．的长轴长为6 D．的离心率为 8．（23-24高三上·重庆·期末）已知椭圆：（）和：（），则（    ） A．与的长轴长相等 B．的长轴长与的短轴长相等 C．与的离心率相等 D．与有4个公共点 三、填空题 9．（23-24高二下·福建泉州·期末）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的长轴长为 ，离心率等于 ． 10．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）设是椭圆（）的两个焦点，P为椭圆上任一点，若且的面积为，则该椭圆的短轴长为 . 11．（23-24高二上·北京延庆·期末）椭圆的长轴长为 ． 12．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，抛物线的焦点为，若，则椭圆的长轴长为 ． 13．（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆（）的短轴长为6，则实数的值为 . 椭圆的离心率问题 一、单选题 1．（23-24高二下·广西南宁·期末）若椭圆的离心率为，则该椭圆的半焦距为（    ） A． B． C．3或 D．3或 2．（23-24高二下·贵州毕节·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，且椭圆过点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南保山·期末）已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·云南红河·期末）已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·广东·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）． A． B． C． D． 6．（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知为椭圆上一动点，分别为其左右焦点，直线与的另一交点为的周长为16.若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·山西长治·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知圆在椭圆的内部，点为上一动点，为坐标原点.过点作圆的一条切线，交于另一点，切点为，若为的中点，且直线的斜率为，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的斜率是 C．直线的斜率是 D．椭圆的离心率为 12．（23-24高二下·广东江门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的焦点坐标为 B．当时，椭圆C的离心率为 C．当时，的周长为6 D．若椭圆C的离心率为，则的面积的最大值是 13．（23-24高二下·广东广州·期末）已知曲线C：，，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C可能是圆，不可能是直线 B．曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆 C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆 D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 三、填空题 14．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为 . 15．（23-24高二下·云南大理·期末）设分别是椭圆的左､右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为 . 16．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知为坐标原点，椭圆：（）的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的离心率为 ． 17．（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则 . 18．（23-24高二上·河南驻马店·期末）如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，与椭圆交于点B，若，则的最小值为 ． 19．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知椭圆的离心率为，点，若椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，则的取值范围为 ． 直线与椭圆的位置关系 一、单选题 1．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 5．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆，直线与圆M交于C，D两点，则下列结论正确的是（    ）． A．的取值范围是 B．若直线l经过圆M的圆心，则的值为 C．当直线l过原点O时，圆M上的动点到直线l的最大距离为 D．若，则 7．（23-24高二上·湖北武汉·期末）椭圆的离心率为，若直线与椭圆的一个交点的横坐标，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆，斜率不为0的直线过椭圆的左焦点F且与椭圆交于A，B两点，点P在y轴上，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则直线的斜率是 ． 9．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线和椭圆，写出满足条件“直线与椭圆有两个公共点”的的一个值为 ． 四、解答题 10．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． (1)求C的标准方程； (2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 11．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆. (1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 椭圆中的弦长问题 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 3．（23-24高二上·吉林白山·期末）已知过点的直线与椭圆交于两点，则弦长可能是（    ） A．1 B． C． D． 三、填空题 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ． 5．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知椭圆的上顶点为A，过点A的直线与C交于另一点B，则的最大值为 ． 6．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则此椭圆的短轴长为 ；弦长 . 7．（23-24高二上·上海·期末）斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 四、解答题 8．（23-24高二下·北京·期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为8． (1)求椭圆的方程； (2)设直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于，两点，求的最大值． 9．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率为. (1)求的方程; (2)过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程. 10．（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程. 椭圆中的中点弦问题 一、单选题 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知斜率为2的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，若的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知椭圆，直线经过点与交于两点.若是线段的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·广东深圳·期末）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的面积为1 C．直线的方程为 D． 9．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线.直线与曲线交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的离心率为 C．直线的方程为 D．的周长为 10．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 三、填空题 11．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点为，则直线的斜率为 ． 12．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知圆内有一点，经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为 . 13．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，直线与的交点恰好为线段的中点，则的斜率为 . 14．（23-24高二上·云南昭通·期末）斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·福建福州·期末）已知动点满足：． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于A，B两点，且为线段AB的中点，求直线的方程． 16．（23-24高二上·安徽合肥·期末）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切． (1)求圆心的轨迹的方程； (2)已知直线与轨迹交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值． 17．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设椭圆C：（）的两个焦点是和（），且椭圆C与圆有公共点． (1)求实数a的取值范围； (2)若椭圆C上的点到焦点的最长距离为，求椭圆C的方程； (3)对（2）中的椭圆C，直线：（）与C交于不同的两点M，N，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围． 椭圆中的面积问题 一、单选题 1．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，直线与交于两点，则的面积与面积的比值为（    ） A．3 B．2 C． D． 2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．24 B．15 C．12 D．6 3．（23-24高二上·山东潍坊·期末）月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知,为椭圆：的两个焦点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为（    ） A．24 B．33 C．9 D．18 二、多选题 5．（23-24高二上·山东济南·期末）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆C的焦距为6 B．的周长为16 C． D．的面积的最大值为16 6．（23-24高二上·江苏南京·期末）椭圆C：的左、右焦点分别为和，为椭圆上一点，则下列说法正确的有（ ） A．过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为16 B．若，则的面积为 C．椭圆C上存在点P，使得 D．的取值范围是 7．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．椭圆的离心率为 C．面积最大值为 D．的最大值为 三、填空题 8．（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 9．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知A，B是椭圆与双曲线的公共左、右顶点，P是双曲线在第一象限上的一点，直线交椭圆于M，N两点．若直线过椭圆的右焦点F，则的面积为 ． 10．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知为椭圆的两个焦点，P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ． 四、解答题 11．（23-24高二下·河北·期末）已知点和点在椭圆上. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点P的直线l交椭圆C于一点B，且的面积为，求直线l的方程. 12．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2. (1)求椭圆的方程； (2)和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值. 13．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 14．（23-24高二下·四川泸州·期末）已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等. (1)求椭圆C的方程； (2)不过右焦点且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接交椭圆C于点B． （i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点； （ii）若过左焦点的直线交椭圆C于D，G两个不同的点，且ABDG，求四边形ADBG面积的最小值. 椭圆中的最值（范围）问题 一、单选题 1．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知椭圆，若点P在椭圆M上，，是椭圆M的左、右焦点，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知M是椭圆上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 3．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知点，点为椭圆：上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东日照·期末）已知实数、满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知，是椭圆：的两个焦点，A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·浙江丽水·期末）设椭圆与椭圆的离心率分别为，若，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 7．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆：和椭圆：，点为椭圆上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则弦长的范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高二上·江西·期末）已知椭圆，将C向右平移4个单位，向上平移3个单位得到椭圆E，若点A，B分别在C，E上，，分别为C，E的中心，则（    ） A．E的方程为 B．C和E没有交点 C．A，B的纵坐标之差可以为7 D．的最大值等于的最大值 9．（23-24高二下·广东·期末）如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（    ） A．点和均在上 B．点的纵坐标的最大值为 C．的最大值与最小值之和为3 D． 10．（23-24高二上·甘肃·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（    ） A．椭圆上的点到的最短距离为 B．到直线距离的最大值为 C．的最大值为 D．的取值范围为 11．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．椭圆的离心率为 C．面积最大值为 D．的最大值为 12．（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点，轴，垂足为与椭圆的另一个交点为，则（    ） A．的最小值为3 B．面积的最大值为 C．直线的斜率为 D．为直角 三、填空题 13．（23-24高二下·浙江温州·期末）椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为 . 14．（23-24高二上·江苏泰州·期末）如图1所示，套娃是一种木制玩具，一般由多个相同结构的空心木娃一个套一个组成，套娃的截面可近似看成由圆和椭圆的一部分组成.建立如图2所示的平面直角坐标系，圆A：的圆心是椭圆的上顶点，半径是椭圆的短半轴长，则椭圆的离心率为 ；若动直线与圆的上半部分和椭圆的下半部分分别交于B，C两点，则当的面积最大时，的值为 . 15．（23-24高二上·湖北孝感·期末）在平面直角坐标系中，P为椭圆C：上的动点，Q为直线l：上的动点，且.则的最小值为 . 16．（23-24高二上·河北保定·期末）过直线上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别是A，B，过点向直线引垂线，垂足为，则线段为坐标原点）的最大值为 ． 四、解答题 17．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2. (1)求椭圆的方程； (2)和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值. 18．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆. (1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 19．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值. 20．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 椭圆中的定点定值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）设椭圆的左焦点为，点在椭圆外，，在椭圆上，且是线段的中点. 若椭圆的离心率为，则直线，的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系xOy中，点，在椭圆C：上，且直线OA，OB的斜率之积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24高二上·重庆·期末）若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为是椭圆上异于的一点，且（为坐标原点），记的斜率分别为，设为的内心，记的面积分别为，，则（    ） A． B．的离心率为 C． D． 6．（23-24高二上·浙江·期末）已知椭圆过点，左焦点为．设直线与椭圆C交于A，B两点，点M为椭圆C外一点，直线AM，BM分别与椭圆C交于点C，D（异于点A，B），直线AD，BC交于点N．下列选项正确的是（    ） A．椭圆C方程为 B． C．M，N，O共线 D．直线MN的斜率为定值 7．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知椭圆，直线过椭圆的左焦点交椭圆于两点，下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．以为直径的圆与相离 C．若，则的斜率为 D．若弦的中垂线与长轴交于点，则为定值 8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆的两个焦点为、，、为椭圆的左、右顶点，为上一点，则下列结论正确的是（    ） A．周长为 B．的最大值为 C．椭圆的离心率为 D．直线与的斜率的乘积为 三、解答题 9．（23-24高二下·上海金山·期末）已知椭圆常数，点为坐标原点． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； (3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 10．（23-24高二下·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 11．（23-24高二下·云南·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值． 12．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知椭圆过点，且． (1)求椭圆ω的方程； (2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 13．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点. 14．（23-24高二下·湖南张家界·期末）已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，，且过点. (1)求的方程； (2)若，为上与点，均不重合的两个动点，且直线，的斜率分别为和. （i）若（为坐标原点），判断直线和的位置关系； （ii）证明：直线经过轴上的定点. 椭圆中的定直线问题 一、解答题 1．（23-24高二下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q． ①求证：点Q在定直线上： ②设，，求的最大值． 2．（23-24高二上·福建福州·期末）设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点P，且它们的斜率之积为，动点P的轨迹为Γ. (1)求Γ的方程， (2)动直线与Γ相交于不同的两点C，D，若直线与直线相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 3．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上的一点，当时，. (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的上下顶点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 4．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知动圆过定点，且在定圆的内部与其内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程． (2)当过点的动直线与圆心的轨迹相交于两不同点时，在线段上取点，满足，则点是否在某条定直线上？若在，求该直线的方程；若不在，请说明理由． 5．（23-24高二上·四川南充·期末）已知椭圆的离心率为．其左、右顶点分别为，上，下顶点分别为，且四边形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，直线与交于点．求证：点在定直线上． 6．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为．为椭圆上任意一点，且的最大值为3，最小值为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点（均异于），求直线与交点的轨迹方程． ( 54 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$