17.1勾股定理 同步习题 2024-2025学年人教版数学八年级下册

勾股定理 同步习题 一．选择题（共5小题） 1．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　） A．50 B．16 C．25 D．41 2．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是斜边AC上的高线，已知AB＝5，AC＝13，则BD的长为（　　） A．6 B．5 C． D． 3．如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用x，y表示直角三角形的两条直角边（x＞y），请观察图案，下列式子不正确的是（　　） A．x﹣y＝5 B．x2+y2＝81 C．x+y＝12 D．xy＝28 4．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，DE是AC边上的垂直平分线，则△ABE的周长是（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．以上都不对 5．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝2，b＝5，则该长方形的面积为（　　） A．20 B．18 C． D． 二．填空题（共5小题） 6．如图，四个全等的直角三角形与小正方形拼成的大正方形图案，如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为　 　． 7．若直角三角形两边长是5、12，则斜边长为 　 　． 8．如图，D为△ABC外一点，BD⊥AD，BD平分△ABC的一个外角，∠C＝∠CAD．若AB＝10，BC＝2，则BD的长为 　 　． 9．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．则△ABC的面积为 　 　． 10．如图，∠AED＝90°，正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225，则以DE为直径的半圆的面积是 　 　． 三．解答题（共4小题） 11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，求AC的长． 12．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）证明勾股定理 据传当年毕达哥拉斯借助如图1所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理． （2）应用勾股定理 如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推2m至C处时，水平距离CD＝2m，踏板离地的垂直高度CF＝1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长． 13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°． （1）求∠BAC的度数． （2）若AC＝4，求AD的长． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D． （1）求证：点D在AB的垂直平分线上； （2）若CD＝2，求BD的长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　） A．50 B．16 C．25 D．41 【分析】根据勾股定理求出AB2，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25， ∴CD2+BD2＝BC2＝25， ∴阴影部分的面积＝25+25＝50， 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 2．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是斜边AC上的高线，已知AB＝5，AC＝13，则BD的长为（　　） A．6 B．5 C． D． 【分析】首先利用勾股定理求出BC，然后利用等面积法求出BD即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴BC＝＝12， ∵， ∴， ∴BD＝． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 3．如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用x，y表示直角三角形的两条直角边（x＞y），请观察图案，下列式子不正确的是（　　） A．x﹣y＝5 B．x2+y2＝81 C．x+y＝12 D．xy＝28 【分析】由图可得x2+y2＝81，（x﹣y）2＝25，即可判断A、B；进而由完全平方公式可得xy＝28，（x+y）2＝x2+y2+2xy＝137即可判断C、D；正确识图是解题的关键． 【解答】解：由图形可得，x2+y2＝81，（x﹣y）2＝25，故B正确，不符合题意； ∴x﹣y＝5，故A正确，不符合题意； ∵（x﹣y）2＝25， ∴x2﹣2xy+y2＝25， ∴81﹣2xy＝25， ∴2xy＝56， ∴xy＝28，故D正确，不符合题意； ∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝81+56＝137， ∴，故C错误，符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，全等图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，DE是AC边上的垂直平分线，则△ABE的周长是（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．以上都不对 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可以得到EA＝EC，再根据AB+BC＝AB+BE+EC，即可得到AB+BE+EA的值，从而可以得到△ABE的周长． 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∵AB＝3cm，BC＝4cm， ∴AB+BC＝AB+BE+EC＝7（cm）， ∴AB+BE+EA＝7（cm）， 即△ABE的周长是7cm． 故选：B． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用转化的数学思想解答． 5．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝2，b＝5，则该长方形的面积为（　　） A．20 B．18 C． D． 【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，可设小正方形的边长为x，在直角三角形ABC中，利用勾股定理建立关于x的方程，利用整体代入思想解决问题，从而求出矩形的面积． 【解答】解：如图， 设小正方形的边长为x， 则AB＝a+x，BC＝b+x， ∵a＝2，b＝5， ∴AC＝5+2＝7， 在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2， 即72＝（2+x）2+（5+x）2， 整理得，x2+7x＝10， 矩形的面积为：（2+x）（5+x）＝x2+7x+10＝10+10＝20， ∴该矩形的面积为20． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理得证明，一元二次方程的运用，根据图形得到关于x的方程，并用整体代入思想解答是解题关键． 二．填空题（共5小题） 6．如图，四个全等的直角三角形与小正方形拼成的大正方形图案，如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为　46　． 【分析】根据勾股定理得到a2+b2＝25，等积法求出2ab＝25﹣4＝21，再利用完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：∵大正方形的面积为25， ∴a2+b2＝25， ∵4×ab＝25﹣4＝21， ∴2ab＝21， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+21＝46； 故答案为：46． 【点评】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式，全等图形，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 7．若直角三角形两边长是5、12，则斜边长为 　12或13　． 【分析】直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为12的边是否为斜边，所以要讨论（1）边长为12的边为斜边；（2）边长为12的边为直角边． 【解答】解：（1）当边长为12的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为12； （2）当边长为12的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为＝13， 故该直角三角形斜边长为12或13， 故答案为：12或13． 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，本题中运用分类讨论思想讨论边长为12的边是直角边还是斜边是解题的关键 8．如图，D为△ABC外一点，BD⊥AD，BD平分△ABC的一个外角，∠C＝∠CAD．若AB＝10，BC＝2，则BD的长为 　8　． 【分析】延长线AD交CB的延长线于E，得到△ACE为等腰三角形，△ABE为等边三角形，利用等腰三角形的“三合一”性质求得AD＝CE＝6，根据勾股定理求出BD的长． 【解答】解：延长线AD交CB的延长线于E， ∵∠C＝∠CAD， ∴AE＝CE． ∵BD平分∠ABE，BD⊥AD， ∴AB＝BE＝10， ∴CE＝AE＝BC+BE＝2+10＝12， ∴AD＝DE＝AE＝6， ∴在直角△ABD中，由勾股定理得到BD＝＝＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质．注意此题中辅助线的作法． 9．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．则△ABC的面积为 　12　． 【分析】首先画出图形，利用勾股定理求出△ABC以BC上的高，再利用三角形的面积公式求出答案． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D， ∵AB＝AC＝5，BC＝8， ∴BD＝CD＝BC＝×8＝4， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，即AD2+42＝52， ∴解得：AD＝3（舍去负值）， ∴S△ABC＝BC•AD＝×8×3＝12， 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出三角形的高． 10．如图，∠AED＝90°，正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225，则以DE为直径的半圆的面积是 　8π　． 【分析】根据勾股定理得出DE＝8，然后根据圆的面积公式即可求解． 【解答】解：∵∠AED＝90°，正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225， ∴DE2＝AD2﹣AE2＝289﹣225＝64， ∴DE＝8， ∴以DE为直径的半圆的面积是， 故答案为：8π． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 三．解答题（共4小题） 11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，求AC的长． 【分析】直接由勾股定理列式计算即可． 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝6， ∴AC＝＝＝2， 答：AC的长为2． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 12．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）证明勾股定理 据传当年毕达哥拉斯借助如图1所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理． （2）应用勾股定理 如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推2m至C处时，水平距离CD＝2m，踏板离地的垂直高度CF＝1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长． 【分析】（1）利用等积法，验证勾股定理即可； （2）设AC＝x m，在Rt△ADC中，由勾股定理，列出方程进行求解即可． 【解答】（1）证明：因为图1左边图：； 图1中的右边图（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴c2+2ab＝a2+b2+2ab， ∴a2+b2＝c2； （2）解：设AC＝x m， ∵DE＝CF＝1.5m，BE＝0.5m，AB＝AC＝x m， ∴AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝（x﹣1）m， 在Rt△ADC中，由勾股定理，得：AC2＝AD2+CD2， ∴x2＝（x﹣1）2+22， 解得：， ∴． 【点评】本题考查勾股定理的证明和应用，完全平方公式的几何背景，熟练掌握等积法验证勾股定理是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°． （1）求∠BAC的度数． （2）若AC＝4，求AD的长． 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求解； （2）先证明AD＝CD，然后在直角△ACD中利用勾股定理即可求出AD的长． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°； （2）∵AD⊥BC，∠C＝45°， ∴∠CAD＝45°＝∠C， ∴AD＝CD， 设AD＝CD＝x，由勾股定理得AD2+CD2＝AC2， 即x2+x2＝42，解得x＝2． 即AD的长为． 【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．也考查了三角形内角和定理． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D． （1）求证：点D在AB的垂直平分线上； （2）若CD＝2，求BD的长． 【分析】（1）根据题意和角平分线的定义，可以得到∠B和∠BAD的关系，然后即可得到BD和AD的关系，再根据线段垂直平分线的性质，即可证明结论成立； （2）根据30°角所对的直角边和斜边的关系，可以得到BD的长． 【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝60°，∠DAB＝30°， ∴∠B＝∠BAD， ∴DB＝DA， ∴点D在AB的垂直平分线上； （2）解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝60°，∠DAC＝30°， ∵CD＝2， ∴AD＝4， 由（1）知：BD＝AD， ∴BD＝4． 【点评】本题考查角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、30°角所对的直角边与斜边的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/22 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