必修第一册综合测试-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）

北师大版（2019）必修第一册综合测试 参考答案 1． 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【解析】C 故，，即C正确. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【解析】C 命题“，”的否定是，. 3. 已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（ ） A. 90 B. 88 C. 82 D. 76 【解析】A 将数据从小到大排列为：55，64，67，76，76，88，90，92， 又， 所以这组数据的第百分位数是. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】A 当时，，当且仅当即时取等号，所以充分性成立； 当时，成立，不满足，所以必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 函数的部分图象大致为（  ） A. B. C. D. 【解析】A 定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B. 再取特殊值，且为正数.排除D. 当时，，越大函数值越接近1，排除C. 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【解析】B由，解得， 故函数的定义域为， 令，其在上单调递增，在上单调递减， 又因为函数为减函数， 所以函数的单调递减区间为. 7. 为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场､超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率与时间（月）满足函数关系式（其中为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降解了，经过4个月，降解了，那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（ ）（结果保留整数）（参考数据：） A. 8个月 B.7个月 C.6个月 D. 5个月 【解析】D由题意可得，， 即有，即，则， 令，即，即， 则. 故这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过5个月. 8. 已知定义在上的奇函数满足，对于任意，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 设，则定义域为， 因为是定义在上的奇函数， 则，所以为奇函数， 又因为对于任意，都有成立， 即对于任意，都有成立， 即成立，所以在为增函数； 因为，所以， 又为奇函数，所以在上为增函数，且， 所以. 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 【解析】AB 因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 10. 某学校为了调查学生在一周内生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在区间[50，60)的学生有60人，则下列说法正确的是(　　) A．样本中支出在区间[50，60)的频率为0.03 B．样本中支出不少于40元的人数为132 C．n的值为200 D．若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在区间[50，60)内 【解析】BC 样本中支出在区间[50，60)的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A错误；样本中支出不少于40元的人数为×60＋60＝132，故B正确；n＝＝200，故n的值为200，故C正确；若该校有2 000名学生，则可能有0.3×2 000＝600人支出在区间[50，60)内，故D错误． 11. 已知函数，则（ ） A. 是上的减函数 B. 图象关于点对称 C. 若是奇函数，则 D. 不等式的解集为 【解析】ACD 对于A选项，任取、，且，则， 则 ，所以，， 所以，函数是上的减函数，A对； 对于B选项，因为函数的定义域为， 则， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称，B错； 对于C选项，因为函数是奇函数，即函数的图象关于原点对称， 由B选项可知，函数的图象关于点对称，则，解得，C对； 对于D选项，由，可得， 因为函数是上的减函数，则，解得， 故不等式的解集为，D对. 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则______． 【解析】由题意得，. ∵是定义在上的奇函数， ∴． 13. 设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，，则方程的根落在开区间_______内． 【解析】 14. 若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为__________ 【解析】设， ∵对任意的两个正数，都有，即， ∴在上单调递减，又是定义在上的奇函数， ∴是定义在上的偶函数， 由得，即， ∴，又， 故的解集为. 4． 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合为全体实数集，集合或，． （1）若，求和； （2）若，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 所以或，又或， 所以； （2）由题可得， 当时，则 ，即时，此时满足， ②当时，则，所以， 综上，实数的取值范围为. 16. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 【解析】（1）由图知，，解得. 评分在的频率为； 评分在的频率为，故中位数在之间. 设这200户居民本次问卷评分的中位数为， 则， 解得， 故这200户居民本次问卷评分的中位数为. （2）由图知，评分在的频率为， 故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4， 估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户. （3）由（1）知，评分在的频数为， 评分在的频数为. 按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户， 则评分在内被抽取户， 分别记为，评分在内被抽取户，分别记为. 从中任意选取2户，有，共10种选法， 其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有，共9种， 这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 17. 已知函数是定义在上的奇函数 （1）求m的值；并根据函数单调性的定义证明：在上单调递增； （2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【解析】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，， 当时，，定义域为，又满足， 故是奇函数，所以； 证明：设任意两个实数，满足， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上为单调递增； （2）因为是奇函数， 所以原不等式可化为， 又是上的增函数，所以， 所以问题转化为，恒成立， 因为，则恒成立， 而对勾函数在上单调递增， 所以当时，为最大值，故． 18. 已知函数． （1）若的值域为，求的取值范围； （2）设对恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）令， 当时，，满足的值域为， 当时，的值域包含， 则，解得， 综上：实数的取值范围是； （2）因为对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 即，对恒成立， 令，， 则，所以， 所以的取值范围是. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好都存在个不同的实数，使得，则称为的“型函数”. （1）判断是否为的“1型函数”，并说明理由； （2）设为实数，若为的“2型函数”，求的取值范围； （3）设为给定的正整数.定义为实数的小数部分，为不超过的最大整数，如.若为的“型函数”，求的取值范围（结果用含的式子表示）. 【解析】（1）不是“1型函数”，理由如下： 因为，所以的值域为， 因为，又，所以可求得的值域为， 所以不存在满足，故不是“1型函数”； （2）由已知得的值域为的值域为，因此要满足题意首先需要， 此外要存在两个不同的实数， 则要满足，即，但时，只有一解，与已知矛盾， 所以的取值范围是； （3）由已知得的值域为，即可视为一个周期函数， 要满足题意则需，即的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版（2019）必修第一册综合测试 1． 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（ ） A. 90 B. 88 C. 82 D. 76 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的部分图象大致为（  ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 7. 为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场､超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率与时间（月）满足函数关系式（其中为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降解了，经过4个月，降解了，那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（ ）（结果保留整数）（参考数据：） A. 8个月 B.7个月 C.6个月 D. 5个月 8. 已知定义在上的奇函数满足，对于任意，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 10. 某学校为了调查学生在一周内生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在区间[50，60)的学生有60人，则下列说法正确的是(　　) A．样本中支出在区间[50，60)的频率为0.03 B．样本中支出不少于40元的人数为132 C．n的值为200 D．若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在区间[50，60)内 11. 已知函数，则（ ） A. 是上的减函数 B. 图象关于点对称 C. 若是奇函数，则 D. 不等式的解集为 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则______． 13. 设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，，则方程的根落在开区间_______内． 14. 若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为__________ 4． 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合为全体实数集，集合或，． （1）若，求和； （2）若，求的取值范围． 16. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 17. 已知函数是定义在上的奇函数 （1）求m的值；并根据函数单调性的定义证明：在上单调递增； （2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 18. 已知函数． （1）若的值域为，求的取值范围； （2）设对恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好都存在个不同的实数，使得，则称为的“型函数”. （1）判断是否为的“1型函数”，并说明理由； （2）设为实数，若为的“2型函数”，求的取值范围； （3）设为给定的正整数.定义为实数的小数部分，为不超过的最大整数，如.若为的“型函数”，求的取值范围（结果用含的式子表示）. 学科网（北京）股份有限公司 $$