精品解析：海南省三亚市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第一学期高一年级期中考试试卷 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．回答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号．回答非选择题目时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合，结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合得，又因，所以. 故选：D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解集合，再由并集的运算求. 【详解】由题意，集合， 集合或， 由数轴可知，. 故选：A. 3. 命题“对任意的”的否定是（ ） A. 不存在 B. 存在 C. 存在 D. 对任意的 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解. 【详解】由全称命题的否定知：原命题的否定为：存在. 故选：C. 4. 已知幂函数的图象经过点，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用待定系数法求幂函数解析式，再代入求值即可. 【详解】幂函数的图象经过点， 设幂函数，将点代入解析式得到，即，解得. 故.故. 故选：A. 5. 已知函数是定义在R上的函数，，则“均为偶函数”是“为偶函数”的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要的条件 C. 必要而不充分的条件 D. 既不充分也不必要的条件 【答案】B 【解析】 【分析】由函数，均为偶函数，推得，证得的充分性成立，再举例说明必要性不成立，即可得到答案． 【详解】由函数，均为偶函数，则， 又由，即， 所以为偶函数， 例如：函数，此时为偶数， 而函数都不是偶函数， 所以，均为偶函数是为偶函数的充分而不必要的条件． 故选B． 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义和判定方法，以及合理利用举例说明是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 6. 设函数,则（ ） A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 7. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造指数函数和幂函数，通过指数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意， 对于，构造函数，函数在单调递增， 即 对于，构造函数，函数在单调递减， 即， 对于，构造函数，函数在单调递减， 即， 所以. 故选：B. 8. 设集合，都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、都有，（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，首先分析出集合的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对的把握，即可得答案． 【详解】根据题意，对于集合,含2个元素的子集 共10个， 其中只能取一个， 故满足条件的2个元素的集合有9个. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 以下写法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的元素与集合，集合与集合之间的关系，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为表示集合，所以，故B错误； 对于C，由，故C正确； 对于D，根据集合与集合的关系，，故D错误. 故选：AC. 10. 下列各项中，与表示的函数相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案. 【详解】对于A，，定义域为R，，定义域为R， 但对应法则与前者不同，故两函数不相等，故A错误； 对于B，由得，故的定义域为， 由得，故的定义域为， 又两者对应法则相同，故两函数相等，故B正确； 对于C, 定义域为R，定义域为，故两函数不相等，故C错误； 对于D，，，两函数相等，故D正确. 故选：BD. 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质依次判断选项即可. 【详解】对于A，由得， 即，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，因为， 当且仅当时取等号，即，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知全集，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算性质计算即可. 【详解】由题意，， 因为, 所以,, 即. 故答案为：. 13. 已知关于x的不等式的解集是或，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得为关于的方程的两根且，利用韦达定理，即可得到，再代入目标不等式，解出即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是或， 所以为关于的方程的两根，且， 所以，则， 所以不等式，即，即， 解得，所以不等式的解集是. 故答案为：. 14. 若且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式可得． 【详解】由题意，当且仅当时等号成立， 解得，所以且等号能取得． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）计算 （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2）194 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算性质即可求得答案； （2）将两边平方即可求得，再将两边平方即可求得答案. 【详解】（1）原式， （2）由两边平方得， 再由两边平方得. 所以. 16. 已知二次函数，． （1）若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间； （2）在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围． 【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质和条件，即可联立方程求解； （2）利用分离参数法，结合二次函数性质，即可求解恒成立问题. 【小问1详解】 由题意知， 解得，所以， 由知， 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由题意知，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令， 由，知在区间上是减函数， 则，所以， 即的取值范围是． 17. 已知函数f(x)＝为奇函数． （1）求a的值； （2）判断函数f(x)的单调性，并加以证明． 【答案】（1）a＝－1； （2）f(x)＝＝1－，函数f(x)在定义域R上单调递增． 理由：设任意的x1，x2，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝. 因为x1<x2，所以，所以<0， 所以f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在定义域R上单调递增． 【解析】 【分析】（1）根据定义域为R的奇函数满足f(0)＝0即可求得结果； （2）由定义法知，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，故可证得结果. 【详解】（1）因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R，所以f(0)＝＝0，所以a＝－1，经检验满足题意. （2）略 【点睛】本题考查指数型复合函数的基本性质，要求学生会根据函数的奇偶性求参数以及利用定义法证明函数的单调性，属基础题. 18. 已知函数（其中为常数，且）的图象经过点． （1）求的表达式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数经过两点，列出方程组，求解即可. （2）利用函数的单调性求解函数的最小值，然后求解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，函数的图象经过点, 则，解得， 所以函数. 【小问2详解】 不等式在上恒成立， 则， 令， 因为函数在上是减函数， 所以， 所以. 即实数的取值范围为. 19. 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图）． （1）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数的解析式； （2）要使公园所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计？ 【答案】（1）；（2）长100米、宽为40米. 【解析】 【详解】(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米， 由a2x＝4000，得a＝. 则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160 ＝4000＋(8x＋20)·＋160 ＝80(2＋)＋4160(x>1)． (2)80(2＋)＋4160≥80×2＋4160＝1600＋4160＝5760. 当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期高一年级期中考试试卷 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．回答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号．回答非选择题目时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“对任意的”的否定是（ ） A. 不存在 B. 存在 C. 存在 D. 对任意的 4. 已知幂函数的图象经过点，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 5. 已知函数是定义在R上的函数，，则“均为偶函数”是“为偶函数”的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要的条件 C. 必要而不充分的条件 D. 既不充分也不必要的条件 6. 设函数,则（ ） A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 7. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、都有，（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 以下写法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列各项中，与表示的函数相等的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知全集，，则______． 13. 已知关于x的不等式的解集是或，则不等式的解集是______. 14. 若且，则的取值范围为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）计算 （2）已知，求的值． 16. 已知二次函数，． （1）若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间； （2）在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围． 17. 已知函数f(x)＝为奇函数． （1）求a的值； （2）判断函数f(x)的单调性，并加以证明． 18. 已知函数（其中为常数，且）的图象经过点． （1）求的表达式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19. 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图）． （1）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数的解析式； （2）要使公园所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $