2.3确定二次函数的表达式（九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

2.3确定二次函数的表达式（九大题型提分练） 目录 类型一、已知三点利用一般式求解析式 1 类型二、已知一般式的一个参数和两点求解析式 2 类型三、已知顶点和一点，利用顶点式求解析式 3 类型四、给抛物线的顶点式形式和一点求解析式 3 类型五、已知与x轴的交点，利用交点式求解析式 4 类型六、已知两点和对称轴求解析式 4 类型七、已知两点和最值求解析式 4 类型八、利用表格求解析式 5 类型九、利用图象提取信息求解析式 6 类型一、已知三点利用一般式求解析式 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式． 2．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）二次函数的图象经过点，，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，求函数值的取值范围． 3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知二次函数的图像经过，，三点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该函数的图像沿直线翻折，翻折后的图像所对应的函数表达式为 ． 类型二、已知一般式的一个参数和两点求解析式 4．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标． 5．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 6．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 类型三、已知顶点和一点，利用顶点式求解析式 7．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 8．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）已知一个二次函数的图象的顶点坐标是，且图象经过点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，求y的最大值． 9．（24-25九年级上·全国·期中）如图，二次函数图象过原点，且，，求该二次函数的解析式． 类型四、给抛物线的顶点式形式和一点求解析式 10．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)已知两点都在该抛物线上，那么 ； (3)如果点是此二次函数的图象上一点，若，则的取值范围为 ． 类型五、已知与x轴的交点，利用交点式求解析式 11．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的二次函数的图象与轴交于两点两点，且图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？ 12．（24-25九年级上·江西南昌·期中）抛物线与x轴的公共点是，． (1)求这条抛物线的对称轴； (2)求的值． 类型六、已知两点和对称轴求解析式 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点，，并以直线为对称轴，求该二次函数的表达式． 类型七、已知两点和最值求解析式 14．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线经过点，，且有最大值4． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求函数值y的取值范围． 15．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象经过点，当时，函数的最小值为． (1)求该二次函数的解析式； (2)直线与抛物线和直线的交点分别为点，点． ①当时，______； ②结合函数的图象，直接写出时的取值范围______． 类型八、利用表格求解析式 16．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：    (1)写出这个二次函数图象的顶点坐标为________，对称轴为________，最小值为________； (2) ____________； (3)求这个二次函数的解析式． 17．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数，和的取值如下表所示： 0 2 4 5 (1)若，求二次函数的表达式， (2)用含的代数式表示， (3)若，求的取值范围． 类型九、利用图象提取信息求解析式 18．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，已知抛物线和直线相交于点和． (1)求m和n的值； (2)求抛物线的解析式； (3)结合图象直接写出满足的x的取值范围． 19．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B． (1)点C的坐标为______； (2)将二次函数的图象向下平移3个单位长度，求平移后的二次函数的解析式． 一、单选题 1．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … 根据上表，下列判断正确的是（   ） A．该抛物线开口向上 B．该抛物线的对称轴是直线 C．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的 D．该抛物线一定经过点 2．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西忻州·期中）已知二次函数（其中a，h，k是实数，），当时，；当时，，（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数的部分自变量和函数的对应值表如下： 则下列各点在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）设函数(a，h，k是实数，)，当时，，当时，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则当的值最小时，该二次函数图象经过（    ）． A．B，C，D B．A，C，D C．A，B，D D．A，B，C 8．（24-25九年级上·吉林·期中）函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 二、填空题 9．（24-25九年级上·广东江门·期中）与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的函数解析式为 ． 10．（24-25九年级上·北京·期中）已知将抛物线沿轴向左或向右平移后经过点，则平移后抛物线的解析式是 ． 11．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线与的形状相同，开口方向相反，且经过点，则其解析式为 ． 12．（24-25九年级上·河南漯河·期中）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示： 0 1 0 4 6 6 下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的另一个交点坐标为；④函数的最大值为．其中正确的是 （填序号）． 13．（24-25九年级上·北京·期中）若函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，我们把该函数称为“美好函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“美好点”．若点，是关于的“美好函数”上的一对“美好点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧．有下列结论①；②；③；④．其中正确的是 ．（填写序号） 三、解答题 14．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）若二次函数中，部分数值如下表所示： x 求此二次函数解析式． 15．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式． (2)将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系． 16．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数（，b是实数）图象经过四点：，，，． (1)若， ①求二次函数的表达式； ②已知时，y随x的增大而减小，求k的最大值； (2)若m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，求a的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3确定二次函数的表达式（九大题型提分练） 目录 类型一、已知三点利用一般式求解析式 1 类型二、已知一般式的一个参数和两点求解析式 3 类型三、已知顶点和一点，利用顶点式求解析式 5 类型四、给抛物线的顶点式形式和一点求解析式 7 类型五、已知与x轴的交点，利用交点式求解析式 7 类型六、已知两点和对称轴求解析式 9 类型七、已知两点和最值求解析式 9 类型八、利用表格求解析式 13 类型九、利用图象提取信息求解析式 15 类型一、已知三点利用一般式求解析式 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，利用待定系数法计算即可得解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴设二次函数的解析式为， 将代入解析式可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 2．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）二次函数的图象经过点，，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）设交点式，然后把点坐标代入其即可； （2）结合函数图象，写出当时对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，，设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线的解析式为， 即； （2）解：抛物线与轴交点坐标为，， 抛物线的对称轴为直线， 当时，，函数最小值为， 当时，， 当时，， 当时，函数值的取值范围为：． 3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知二次函数的图像经过，，三点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该函数的图像沿直线翻折，翻折后的图像所对应的函数表达式为 ． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求表达式、点的轴对称等，熟记二次函数的相关性质是解题关键． （1）根据，两点可得顶点坐标为，设顶点式代入点坐标即可； （2）图像沿直线翻折，不变，顶点坐标变为，代入顶点式即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得图像顶点坐标为， 设二次函数的表达式为． 将代入 得， ∴． （2）解：图像沿直线翻折，不变，顶点坐标由变为， ∴表达式为：或 类型二、已知一般式的一个参数和两点求解析式 4．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及顶点坐标和对称轴，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）配方成即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：， ∴对称轴为直线，顶点为． 5．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 【答案】(1)次函数的表达式为，对称轴为直线 (2)最大值为8，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质； （1）先将和分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可； （2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：二次函数经过和， ， 解得， 二次函数的表达式为， 对称轴为直线； （2）解：由（1）可知的开口向上， 二次函数的对称轴为直线在内， 当时，有最小值； 直线距直线最远， 当时，有最大值． 6．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数图像和性质， （1）将两个点的坐标代入关系式得出方程组，求出解即可得出答案； （2）先求出抛物线的对称轴，再结合自变量的取值范围求出函数值，进而得出答案． 【详解】（1）∵抛物线的图像经过点， ∴， 解得， ∴抛物线得关系式为； （2）∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， 将代入函数关系式，得． 当时，离对称轴越远函数值越大， 令，， ∴． 类型三、已知顶点和一点，利用顶点式求解析式 7．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）利用顶点式求解二次函数解析式即可． （2）把代入函数的解析式求得函数值即可判断． 【详解】（1）解：此二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为：， 它的图象过点， ，解得， 此二次函数的解析式为． （2）解：点不在这个二次函数的图象上． 理由：当时，． 点不在这个二次函数的图象上． 8．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）已知一个二次函数的图象的顶点坐标是，且图象经过点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，求y的最大值． 【答案】(1)； (2)当时，取得最大值，最大值为1． 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将二次函数设为顶点式，利用待定系数法进行计算即可； （2）根据二次函数的性质求出对称轴，找出函数的最值即可． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式为， 将点代入，得，解得， 这个二次函数的解析式为； （2）解：该二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴为． 又， 抛物线开口向下， 在的范围内，当时，取得最大值，最大值为1． 9．（24-25九年级上·全国·期中）如图，二次函数图象过原点，且，，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，求二次函数解析式．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键．由题意可知二次函数的图象的顶点坐标为，即可设其顶点式，再根据二次函数图象过原点，即将代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴顶点B的坐标为， ∴可设该二次函数的解析式为． ∵二次函数图象过原点， ∴， 解得：， ∴． 类型四、给抛物线的顶点式形式和一点求解析式 10．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)已知两点都在该抛物线上，那么 ； (3)如果点是此二次函数的图象上一点，若，则的取值范围为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入抛物线表达式，即可求解； （2）纵坐标相同，故点、关于抛物线对称轴对称，即可求解； （3）比离对称轴得距离远，故时，函数取得最大值，时，；而抛物线在时，取得最小值为，即可求解． 【详解】（1）解：将代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2） 纵坐标相同， 故点、关于抛物线对称轴对称， 则， 即， 故答案为：； （3）比离对称轴得距离远， 故时，函数取得最大值，时，； 而抛物线在时，取得最小值为， 故答案为：． 类型五、已知与x轴的交点，利用交点式求解析式 11．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的二次函数的图象与轴交于两点两点，且图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？ 【答案】(1) (2)最值为4，为最大值 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数交点式，顶点式的性质，进行解答，即可． （1）根据二次函数与轴的两个交点的坐标，设出二次函数交点式解析式，然后把点的坐标代入计算，求出的值，即可得到二次函数解析式； （2）把（1）中的解析式配成顶点式得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于， ∴设该二次函数的解析式为： ∵二次函数图象过点 ∴将代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即． （2）解：∵， ∴这个函数的图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴最值为4，为最大值． 12．（24-25九年级上·江西南昌·期中）抛物线与x轴的公共点是，． (1)求这条抛物线的对称轴； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查抛物线的对称性，待定系数法求函数解析式，关键在于理解二次函数的性质． （1）根据二次函数的抛物线的对称性，可得二次函数与x轴的交点是关于抛物线的对称轴对称的，利用两个交点的坐标，求出中点，即可求出对称轴； （2）由题意可设抛物线为，进而求得，，即可求解． 【详解】（1）解：由抛物线的对称性可知，，关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴是直线． （2）抛物线与x轴的公共点是，， 可设抛物线为． ． ，． 的值为． 类型六、已知两点和对称轴求解析式 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点，，并以直线为对称轴，求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，先根据对称轴方程求得b，再代入坐标求解a、c即可． 【详解】解：设该二次函数的表达式为， ∵直线为对称轴， ∴，则， ∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的表达式为． 类型七、已知两点和最值求解析式 14．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线经过点，，且有最大值4． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，掌握当时，离对称轴越远，y值越小是解题的关键； （1）由待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据当时，离对称轴越远，y值越小可知，当时，函数有最小值，而当时，函数有最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵函数有最大值4， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下， 离对称轴越远，y值越小， ， 当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值为， ． 15．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象经过点，当时，函数的最小值为． (1)求该二次函数的解析式； (2)直线与抛物线和直线的交点分别为点，点． ①当时，______； ②结合函数的图象，直接写出时的取值范围______． 【答案】(1) (2)①4；②或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，函数图象的交点，两点间的距离，熟练运用分类讨论思想是解题的关键． （1）由题意可得二次函数的顶点坐标为，故设二次函数的解析式为，将点代入求解即可； （2）①当时，解方程组得到点C的坐标，解方程组得到点D的坐标，根据两点间的距离即可解答； ②由①可知，当时，如图，，结合图象可得当时，；当时，求出当时，结合图象可得，当时，，即可解答． 【详解】（1）解：∵当时，函数的最小值为， ∴二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的解析式为， ∵该二次函数过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为，即． （2）解：①当时， 解方程组得， ∴点C的坐标为， 解方程组得， ∴点D的坐标为， ∴， 故答案为：4 ②由①可知，当时，如图，， 由图象可得，当时，； 当时，， 当时，如图， 解方程组得， ∴点C的坐标为， 解方程组得， ∴点D的坐标为， ∴， 当时，， 解得，（舍去） ∴由图象可得，当时， 综上所述，时的取值范围是或． 故答案为：或 类型八、利用表格求解析式 16．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：    (1)写出这个二次函数图象的顶点坐标为________，对称轴为________，最小值为________； (2) ____________； (3)求这个二次函数的解析式． 【答案】(1)，， (2)25 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质： （1）由二次函数的对称性求出对称轴，进而得到顶点坐标及最小值； （2）由二次函数的对称性可得y的值； （3）根据顶点坐标设出顶点式，将代入，可得解析式． 【详解】（1）解：由表格数据可知，和为抛物线上的对称点， 因此对称轴为直线，顶点坐标为，最小值为， 故答案为：，， （2）解：由题意知和为对称点， 因此， 故答案为：25； （3）解：顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 这个二次函数的解析式为． 17．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数，和的取值如下表所示： 0 2 4 5 (1)若，求二次函数的表达式， (2)用含的代数式表示， (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得； （2）根据表格中数据特征可判断抛物线的对称轴为直线，顶点为，由顶点坐标公式得出，即，则可求抛物线解析式为，然后把顶点坐标代入求解即可； （3）先判断，关于直线对称，得出，则，结合已知可得出，然后把（2）中代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴； （2）解：∵当时，；当时，； ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点为，， ∴， ∴， 当时，； ∴， ∴； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，关于直线对称， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴且． 类型九、利用图象提取信息求解析式 18．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，已知抛物线和直线相交于点和． (1)求m和n的值； (2)求抛物线的解析式； (3)结合图象直接写出满足的x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键 （1）根据题意可知在直线上，将代入即可求出的值； （2）由（1）得到的坐标，代入抛物线即可求出的值，进而得到抛物线的解析式； （3）由图可知的图象是在点的左侧和点右侧部分的图象，结合的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：把和代入得，，， ，； （2）解：把和代入得， ， 解得， 抛物线的解析式； （3）解：由图可知的图象是在点的左侧和点右侧部分的图象， ∵和， ∴x的取值范围是或． 19．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B． (1)点C的坐标为______； (2)将二次函数的图象向下平移3个单位长度，求平移后的二次函数的解析式． 【答案】(1) (2)函数向下平移3个单位得到的二次函数为 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与x轴的交点，二次函数的平移等知识点，明确二次函数的相关性质是解题的关键． （1）根据二次函数图象的对称性可求出点的坐标； （2）运用待定系数法求出二次函数的解析式，根据平移规律解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，其对称轴为直线， ∴点的坐标为； （2）解：把，分别代入，得， ， 解得，， ∴二次函数的解析式为， 将二次函数的图象向下平移3个单位长度后，新抛物线的解析式为． 一、单选题 1．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … 根据上表，下列判断正确的是（   ） A．该抛物线开口向上 B．该抛物线的对称轴是直线 C．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的 D．该抛物线一定经过点 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析，掌握二次函数图象的轴对称性，是解题的关键． 根据表格，可知该抛物线的对称轴是：直线，当时，y随x的增大而增大，再利用待定系数法求得函数解析，从而可得到答案，． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴该抛物线的对称轴是：直线，故B错误； ∵由表格可知：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故A，C错误； ∵将，，，代入得， ，解得：， ∴， 当时，， ∴该抛物线一定经过点，故D正确． 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，故设经过平移后的抛物线为，利用对称轴公式即可求得b的值，从而求解． 【详解】解：∵抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点， ∴设经过平移后的抛物线为， 其对称轴为直线， ， ， 平移后的抛物线为， 故选：C． 3．（24-25九年级上·山西忻州·期中）已知二次函数（其中a，h，k是实数，），当时，；当时，，（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，当时，，当时，代入函数式整理得，将的值分别代入即可得出结果，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，；当时，；代入函数式得：， ∴， 整理得：， 若，则，故A不符合题意； 若，则，故B不符合题意； 若，则，故C符合题意； 若，则，故D不符合题意； 故选：C． 4．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数的部分自变量和函数的对应值表如下： 则下列各点在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，先根据表中的数据求出二次函数解析式，再把各选项中的值代入到所得函数解析式求出的值进行判断即可求解，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由表可知，，；，；，， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴点不在该函数图象上； 当时，， ∴点在该函数图象上； 当时，， ∴点不在该函数图象上； 当时，， ∴点不在该函数图象上； 故选：． 5．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）设函数(a，h，k是实数，)，当时，，当时，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】 本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．当时，；当时，代入函数解析式整理得，将的值分别代入即可得出结果． 【详解】 解：当时，；当时，；代入函数式得：， ， 整理得： 若，则，故A错误； 若，则，故B错误； 若，则，故C正确； 若，则，故D错误； 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图象性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图象是解题的关键，根据完美点只有一个得到判别式等于0，再根据完美点为，可建立a，b的方程组，解方程组即可得到函数的解析式，画出函数的图象即可得到答案． 【详解】解：当时，， 整理得， 根据题意得， ∵二次函数经过点， ∴， 即， 整理得， 解方程组得， ∴函数的解析式为：， 整理得：， 函数的图象如下：    ∵时，时，解得或，当时，， ∴， 故选：B． 7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则当的值最小时，该二次函数图象经过（    ）． A．B，C，D B．A，C，D C．A，B，D D．A，B，C 【答案】D 【分析】本题主要考查了求函数解析式，灵活运用运用待定系数法成为解题的关键． 分别求出抛物线经过，，，四种情况下a、b、c的值，并求得的值进行比较即可解答． 【详解】解：当抛物线经过三点时，由题意可得： ，解得：， ∴； 当抛物线经过三点时，由题意可得： ，解得：， ∴； 当抛物线经过三点时，由题意可得： ，解得：， ∴； 当抛物线经过三点时，由题意可得： ，解得：， ∴； ∵． 故选D． 8．（24-25九年级上·吉林·期中）函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，， 故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，， 故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ， 故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点， 故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 二、填空题 9．（24-25九年级上·广东江门·期中）与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于原点对称的点的坐标特征．由关于原点对称的点的特点是：横、纵坐标都变为相反数，可直接得出答案． 【详解】解：∵抛物线的图象上的点关于原点对称后横、纵坐标都变为相反数， ∴得到的抛物线的解析式是， 整理得：， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·北京·期中）已知将抛物线沿轴向左或向右平移后经过点，则平移后抛物线的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线图象的性质，平移的性质，设沿轴向左平移个单位，列出平移后的抛物线解析式，再根据经过点，将其代入即可得出的值，再将代入即可得出答案． 【详解】解：设沿轴向左平移个单位后，抛物线经过点， ∵， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴， 解得：或， ∴平移后的抛物线解析式为或， 故答案为：或． 11．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线与的形状相同，开口方向相反，且经过点，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数一般式中a对抛物线的决定作用是解题的关键． 由两条抛物线的形状相同且开口方向相反，可得出两个二次函数表达式中二次项的系数互为相反数，再由抛物线经过点即可解答． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同，开口方向相反， ∴． 又∵该抛物线经过点， ∴，解得：． ∴该抛物线的函数解析式为． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·河南漯河·期中）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示： 0 1 0 4 6 6 下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的另一个交点坐标为；④函数的最大值为．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求函数解析式，先根据待定系数法求出抛物线的解析式为，由可判断①；令，则，解得，，以此可判断③；将抛物线解析式根据配方法化为顶点式得，以此可判断②、④． 【详解】解：把点，，代入中得：， 解得：， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的开口向下，故①正确； 令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为，，故③错误； ， 抛物线的对称轴为直线， 当，该二次函数取得最大值，最大值为， 故②、④正确． 综上，正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 13．（24-25九年级上·北京·期中）若函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，我们把该函数称为“美好函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“美好点”．若点，是关于的“美好函数”上的一对“美好点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧．有下列结论①；②；③；④．其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】此题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“美好函数”，“美好点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 先根据题意求出，的取值，代入得到，，的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解． 【详解】解：点，是关于的“美好函数”上的一对“美好点”， ，关于原点对称， ，， ，， 代入得：， ①②得：， ①②得：，故①②正确，符合题意， 该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ， ，抛物线的对称轴在轴右侧， ， ， ， ，故③正确，符合题意， ， ， ， ， ， ，故④错误，不符合题意． 综上所述，结论正确的是①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题 14．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）若二次函数中，部分数值如下表所示： x 求此二次函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据表中数值一次求出的值即可求解，弄清表中数值的对应关系是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， 把代入，得到， 把，，代入，得到， ∴此二次函数解析式． 15．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式． (2)将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求解即可； （2）求出平移后得到抛物线，得其顶点坐标是．待定系数法求出直线的函数表达式是．代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴．       ∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，       ∴二次函数的表达式是； （2）解：抛物线可化为．       ∵抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上， ∴平移后得到抛物线，其顶点坐标是． 设直线的函数表达式， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的函数表达式是．       ∴， ∴． 16．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数（，b是实数）图象经过四点：，，，． (1)若， ①求二次函数的表达式； ②已知时，y随x的增大而减小，求k的最大值； (2)若m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②2； (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①运用待定系数法解二次函数的解析式，则；②由得开口方向向上，且对称轴为直线，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，列式，进行计算，即可作答． （2）先整理，再得出，，，然后进行分类讨论，分别列式，再解出a的解集，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，当时，图象经过点， ①把，分别代入， 得， 解得：，， ． ②∵ ∴开口方向向上，且对称轴为直线， 时，y随x的增大而减小， ， 解得：， ∴k的最大值为2． （2）解：把分别代入，得， ， ， ∵二次函数图象经过，，这三个点， 时，； ∴时，； ∴时，； 当时，则， ∴， ，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数， ， 即， 解得， 当时，则 即， ，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数， ， 即， 解得：， 综上所述，a的取值范围是：或． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$