2.2二次函数的图象与性质（第4课时）（十四大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

2.2二次函数的图象与性质（第4课时）（十四大题型提分练） 目录 类型一、把二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式类型一、利用数轴化简绝对值 1 类型二、画二次函数y=ax²+bx+c的图象 1 类型三、利用二次函数y=ax²+bx+c的性质比较大小 3 类型四、二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 3 类型五、二次函数y=ax²+bx+c的对称轴问题 4 类型六、根据二次函数y=ax²+bx+c的对称性求函数值 5 类型七 、根据二次函数图象判断式子符号 5 类型八、二次函数y=ax²+bx+c的图象与各项系数的符号 6 类型九、一次函数与二次函数图象的判断 7 类型十、反比例函数与二次函数图象的判断 8 类型十一、二次函数的最值问题 10 类型十二、二次函数与几何问题 10 类型十三、二次函数的性质综合计算与推理 11 类型十四、二次函数新定义问题 12 类型一、把二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式类型一、利用数轴化简绝对值 1．（24-25九年级上·全国·期中）抛物线顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)求此抛物线的顶点坐标． 类型二、画二次函数y=ax²+bx+c的图象 4．（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C点． (1)分别写出A、B、C三点坐标：A______，B______，C______； (2)在所给的平面直角坐标系中画出该函数图像示意图； (3)任写出两条该函数图像具备的特征：①______；②______． 5．（22-23九年级上·北京东城·期末）已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点． (1)求二次函数的表达式； (2)求出该函数与轴的交点坐标； (3)画出该二次函数的图象，并写出当时，自变量的取值范围． 类型三、利用二次函数y=ax²+bx+c的性质比较大小 7．（24-25九年级上·北京·期中）若，，为二次函数图象上的三点，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东佛山·模拟预测）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x 0 1 3 y 6 该抛物线的图象上有三点，，，则、与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 类型四、二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 10．（24-25九年级上·贵州·期中）对二次函数的性质描述正确的是（   ） A．函数图象开口朝下 B．当时，随的增大而减小 C．该函数图象与轴的交点位于轴负半轴 D．该函数图象的对称轴在轴左侧 11．（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 则下列判断中正确的是（  ） A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时， D．方程的正根在与之间 12．（23-24九年级上·广西防城港·期中）如图，下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ）    A．当时，y随着x的增大而增大 B．当时，y随着x的增大而减小 C．当时，y随着x的增大而增大 D．当时，y随着x的增大而增大 类型五、二次函数y=ax²+bx+c的对称轴问题 13．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）已知二次函数的x、y部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为 ． x 0 1 2 y 4 2 4 7 12 14．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线 ． 15．（24-25九年级上·福建南平·期中）已知抛物线经过，两点，则的值为 ． 类型六、根据二次函数y=ax²+bx+c的对称性求函数值 16．（24-25九年级上·吉林长春·期中）二次函数，当取，时，函数值都相等，当取时，函数值为 ． 17．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ． 18．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知二次函数，，，都在二次函数的图象上． (1)若，求n、p、q的值； (2)若，求n的取值范围． 类型七 、根据二次函数图象判断式子符号 19．（四川省广安市岳池县2023-2024学年九年级上学期数学中考一诊试题）如图，直线l为二次函数的图象的对称轴，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法都不对 20．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象如图所示，则点在（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21．（2023·江苏南通·一模）抛物线经过点和，顶点坐标为，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 类型八、二次函数y=ax²+bx+c的图象与各项系数的符号 22．（2024·广西钦州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若为任意实数，则 23．（24-25九年级上·广东珠海·期中）抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，（其中为任意实数）．其中结论正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 24．（24-25九年级上·四川广安·期中）二次函数（，，为常数，）的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③若点 在该二次函数的图象上，则； ④若方程的两根为，，则． 其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 类型九、一次函数与二次函数图象的判断 25．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·甘肃金昌·期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象（   ） A． B． C． D． 类型十、反比例函数与二次函数图象的判断 28．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 类型十一、二次函数的最值问题 31．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 32．（2024·江苏常州·二模）已知二次函数． (1)若该二次函数的最大值为，求m的值； (2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 33．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上． (1)若时，求该二次函数的顶点坐标． (2)若时，求a的值． (3)求的最小值． 类型十二、二次函数与几何问题 34．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标． 35．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，已知抛物线与直线：相交于，两点，抛物线与y轴交于点N，其顶点为D． (1)求抛物线及直线的函数关系式； (2)当时自变量x的取值范围是： ；当或时，_______（填“>”，“=”，“<”）； (3)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． 类型十三、二次函数的性质综合计算与推理 36．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较，的大小关系； (3)若，且当时，y有最小值为，求a的值． 37．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 38．（2024·河南周口·二模）定义：若两条抛物线的顶点坐标相同，则称它们为“相关抛物线”，已知抛物线 与抛物线为“相关抛物线”． (1)求m，n的值． (2)将抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线组成一个封闭图形，记该图形为M．若直线与图形M的边界有4个公共点，求a的取值范围． 类型十四、二次函数新定义问题 39．（2024·湖南长沙·二模）我们不妨约定：若点，是同一函数图象上不同的两点，且线段轴，则称点A、B为这个函数的一对“平行点”． (1)若点和点为函数图象上的一对“平行点”，求的值； (2)关于的函数(m、n为常数)的图象上存在“平行点”吗？若存在，指出它有多少对“平行点”，若不存在，请说明理由； (3)若点、、都在关于的函数为常数，且的图象上，点P，R为该函数图象上的一对“平行点”，且满足．求直线与轴、轴围成的三角形面积的取值范围． 一、单选题 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知函数（a为常数）的图象经过点．下列结论：①；②当时，；③若，则函数图象与x轴有两个公共点；④若，则当时，y随x的增大而增大，其中正确的结论是（   ） A．①③ B．①③④ C．①②③④ D．①②④ 2．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．关于x的一元二次方程的两个根是， D．（x为任意实数） 3．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，的值只能为；⑤，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25九年级上·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移2个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当四边形的周长最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·福建福州·期中）当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为 ． 7．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）规定：表示x和y两个数中最小值．例如：，．则关于x的函数的最大值为 ． 8．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知函数，下列结论：①若该函数图象与x轴只有一个交点，则； ②方程至少有一个整数根；③若，则的函数值都是负数；④不存在实数a，使得对任意实数x都成立．所有正确结论的序号是 ． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，和是抛物线上的两点．若对于，，都有，则的取值范围为 ． 10．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 其中，，现有以下表述：①当时，随的增大而减小；②图象不经过第二象限；③关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根；④当时，．其中正确的结论序号是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当，时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； (2)点在抛物线上，若，求的取值范围及的取值范围． 12．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线（）上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，求t的值； (2)点在该抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围． 13．（24-25九年级上·河北保定·期中）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是_______（填序号），并计算说明理由； ①；②；③． (2)若抛物线（，是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，w的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 14．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知顶点为D的抛物线上有任意两点，，满足以下三个条件中的任意两个： i．抛物线与y轴的交点坐标为． ii．当时，总有 iii．抛物线上只有一个点到x轴的距离为2． (1)从以上条件中任选两个，求b，c的值； (2)点M是抛物线的点，当时，求点M到直线距离的最小值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2二次函数的图象与性质（第4课时）（十三大题型提分练） 目录 类型一、把二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式类型一、利用数轴化简绝对值 1 类型二、画二次函数y=ax²+bx+c的图象 1 类型三、利用二次函数y=ax²+bx+c的性质比较大小 3 类型四、二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 3 类型五、二次函数y=ax²+bx+c的对称轴问题 4 类型六、根据二次函数y=ax²+bx+c的对称性求函数值 5 类型七 、根据二次函数图象判断式子符号 5 类型八、二次函数y=ax²+bx+c的图象与各项系数的符号 6 类型九、一次函数与二次函数图象的判断 7 类型十、反比例函数与二次函数图象的判断 8 类型十一、二次函数的最值问题 10 类型十二、二次函数与几何问题 10 类型十三、二次函数的性质综合计算与推理 11 类型十四、二次函数新定义问题 12 类型一、把二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式类型一、利用数轴化简绝对值 1．（24-25九年级上·全国·期中）抛物线顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次函数顶点坐标，将二次函数一般式改为顶点式即可直接得出其顶点坐标，这也是解题关键． 【详解】解：∵， ∴该抛物线顶点坐标是． 故选C． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)； (2)抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数．解决本题的关键是利用配方法把二次函数的一般形式转化成顶点式，根据二次函数的顶点式解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． （1）利用配方法将抛物线解析式化成； （2）根据二次函数顶点式解析式可求抛物线的开口方向、对称轴、抛物线顶点坐标． 【详解】（1）解：， 整理得：, ； （2）解：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)求此抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式以及将抛物线表达式化为顶点式． （1）把代入，即可求出m的值； （2）根据（1）中求出m的值，得出抛物线的表达式，将其化为顶点式，即可求出顶点坐标． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：； （2）解：由（1）可得：， ∴该抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． 类型二、画二次函数y=ax²+bx+c的图象 4．（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C点．    (1)分别写出A、B、C三点坐标：A______，B______，C______； (2)在所给的平面直角坐标系中画出该函数图像示意图； (3)任写出两条该函数图像具备的特征：①______；②______． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)①开口向上；②当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） 【分析】（1）令，即可得到A、B的坐标，令，即可得到C的坐标； （2）根据二次函数图像特点描点连线即可； （3）根据二次函数图像特点即可解答． 【详解】（1）（1）令，得 ， 又∵A在B左侧， ∴，， 令，得， 故答案为：，，． （2）   描点连线得图像如图所示； （3）根据二次函数图像特点，该函数图像开口向上，当时，y随x的增大而增大， 故答案为：①开口向上；②当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题考查了画二次函数的图像及判断函数图像具备的特征，解题的关键是熟练掌握二次函数及其函数图像． 5．（22-23九年级上·北京东城·期末）已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： … … … … (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________． 【答案】(1) (2)画图见详解 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）根据函数解析式，用描点法即可求解； （3）根据自变量的取值范围，结合图示，即可确定函数值的取值范围． 【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，， ∴，解方程得， ∴二次函数解析式为． （2）解：二次函数解析式为，图像如图所示， 函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为，符合题意． （3）解：当时，根据（2）中图示可知， 当时，；当当时，；当时，． ∴当时，． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数解析式画函数图形，根据函数自变量求函数取值范围，掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图像的性质是解题的关键． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点． (1)求二次函数的表达式； (2)求出该函数与轴的交点坐标； (3)画出该二次函数的图象，并写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)，图见解析 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数与轴、轴的交点坐标的求法，是一个基础题． （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）令，即可得到关于的方程，即可得解； （3）由（1）（2）即可作图，结合图象可得的范围． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式是， 则， 解得：． 则抛物线的解析式是，即； （2）解：在中， 令，则， 解得：或3， 则函数与轴的交点坐标，； （3）解：由（1）（2）得，抛物线顶点为，与轴交点坐标为，； 令，则， 与轴交于． 作图如下． 当时，． 类型三、利用二次函数y=ax²+bx+c的性质比较大小 7．（24-25九年级上·北京·期中）若，，为二次函数图象上的三点，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据“当开口方向向上时，离着对称轴越远的点的纵坐标越大”即可作答． 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大， ， ∴点离着对称轴最远，其次是点，点离着对称轴最近， ∴． 故选：B． 8．（2024·广东佛山·模拟预测）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数值的大小，由函数解析式得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，根据距离对称轴越远，函数值越小，进行比较即可得出答案． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， ， ， 故选：D． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x 0 1 3 y 6 该抛物线的图象上有三点，，，则、与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，比较二次函数的函数值，通过表格确定函数的对称轴和增减性，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，和时的函数值相同， ∴对称轴为直线，且在对称轴的右侧函数值随的增大而增大，在对称轴的左侧，函数值随的增大而减小， ∴函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； 故选B． 类型四、二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 10．（24-25九年级上·贵州·期中）对二次函数的性质描述正确的是（   ） A．函数图象开口朝下 B．当时，随的增大而减小 C．该函数图象与轴的交点位于轴负半轴 D．该函数图象的对称轴在轴左侧 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟悉二次函数对称轴、顶点、与轴（轴）交点是解决此类题的关键． ，可判断其开口方向向上，对称轴为直线，时随的增大而减小，令，得，抛物线与轴交于点，分别判断即可． 【详解】解：．，开口向上，故不符合题意； ．因 开口向上，对称轴为直线，时随的增大而减小，故不符合题意； ．当时，，即与轴交点为在轴正半轴，故不符合题意； ．对称轴为直线，在轴左侧，故符合题意； 故选：． 11．（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 则下列判断中正确的是（  ） A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时， D．方程的正根在与之间 【答案】D 【分析】根据二次函数的开口方向，与坐标轴的交点，以及二次函数的增减性对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：、∵抛物线的对称轴为直线，当时，随x的增大而增大； 抛物线开口向下，故本选项错误； B、时，， 抛物线与轴交于正半轴，故本选项错误； C、根据对称性，当时与时的函数值相同， ，故本选项错误． D、由表可知，抛物线与轴的一个交点在与之间， 根据对称性另一个交点为与之间， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了增减性，对称性，以及二次函数与x轴的交点坐标的求解，熟记性质是解题的关键． 12．（23-24九年级上·广西防城港·期中）如图，下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ）    A．当时，y随着x的增大而增大 B．当时，y随着x的增大而减小 C．当时，y随着x的增大而增大 D．当时，y随着x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据图像直接写出对称轴为，开口向下，直接可以选出答案． 【详解】由题可知，抛物线开口向下，对称轴为， A选项，时，y随着x的增大而增大，不正确，不符合题意； B选项，时，y随着x的增大而减小，不正确，不符合题意； C选项，时，y随着x的增大而增大，正确，符合题意； D选项，时，y随着x的增大而增大，不正确，不符合题意； 故选． 【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，掌握二次函数的图形和性质是解决本题的关键． 类型五、二次函数y=ax²+bx+c的对称轴问题 13．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）已知二次函数的x、y部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为 ． x 0 1 2 y 4 2 4 7 12 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单． 由于时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解． 【详解】解∶和2时的函数值都是4， 对称轴为直线， 故答案为∶直线． 14．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，根据抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称可求得答案，掌握抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、， ∴二次函数的对称轴为直线， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·福建南平·期中）已知抛物线经过，两点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴，观察，，得与关于对称轴对称，据此即可作答． 【详解】解：依题意，因为抛物线经过，两点，且，两点的纵坐标相等 所以与关于对称轴对称， 即， 故答案为：． 类型六、根据二次函数y=ax²+bx+c的对称性求函数值 16．（24-25九年级上·吉林长春·期中）二次函数，当取，时，函数值都相等，当取时，函数值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求出，然后代入函数解析式计算即可得解．解题的关键在于利用二次函数的对称性求出的值． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图像的对称轴为， ∵当取，时，函数值都相等， ∴， ∴， ∴当取时，函数值， ∴当取时，函数值为． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，由题意得抛物线的对称轴，进而推出，，据此即可求解 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴， 点与点关于该抛物线的对称轴对称， ，， 解得， 故的值等于， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知二次函数，，，都在二次函数的图象上． (1)若，求n、p、q的值； (2)若，求n的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由A、C纵坐标相同可得，对称轴是直线，再结合，得出，再把和分别代入进行计算，即可作答． （2）依题意，抛物线的图象开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远就越小，反之越大，又因为，则，化简即可作答． 【详解】（1）解：由题意，由A、C纵坐标相同可得，对称轴是直线． ∵， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， 则把代入可得，， 则把代入可得，， （2）解：由题意，抛物线的图象开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远就越小，反之越大． 则对称轴是直线， ，且当时，， ． ， 或． 类型七 、根据二次函数图象判断式子符号 19．（四川省广安市岳池县2023-2024学年九年级上学期数学中考一诊试题）如图，直线l为二次函数的图象的对称轴，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象与系数符号的关系是解题关键．由二次函数对称轴位置可知，、异号，即可得到答案． 【详解】解：由图像可知，二次函数对称轴l在轴右侧， 、异号， ， 故选：C． 20．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象如图所示，则点在（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数系数符号的确定以及第三象限点的坐标特点，由抛物线的开口向下知，由与y轴的交点为在y轴的正半轴上可以得到，由对称轴在y轴的左侧为可以推出，然后根据象限的特点即可得出答案． 【详解】解：由图象可知 ∴， ∴点在第三象限， 故选C． 21．（2023·江苏南通·一模）抛物线经过点和，顶点坐标为，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征得出的取值范围． 【详解】解：抛物线顶点坐标为， 抛物线对称轴为， 抛物线经过点和，， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，准确找到对称轴，利用对称轴表示出是解答本题的关键． 类型八、二次函数y=ax²+bx+c的图象与各项系数的符号 22．（2024·广西钦州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若为任意实数，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象判断的符号，根据抛物线与轴的交点即可判断B,C选项，根据抛物线开口向上，对称轴为直线，得出最小值为，进而即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上，则， 抛物线的对称轴为直线，则 ∴， 抛物线与轴交于负半轴，则 ∴，故A选项错误； ∵当时，， ∴ ∴，故B正确 ∵抛物线的对称轴为直线，和时， ∴，故C错误； ∵，对称轴为直线 ∴若为任意实数，则，即，故D错误， 故选：B． 23．（24-25九年级上·广东珠海·期中）抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，（其中为任意实数）．其中结论正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由抛物线开口向上可知，当时，因而，故该结论正确；由抛物线与轴有两个交点可知，一元二次方程有两个不相等的实数根，因而可得，即，故该结论错误；由与是关于对称轴的对称点可知，与时的函数值相等，而时，因而时，故该结论错误；由抛物线对称轴为直线可得，而时，即，故该结论正确；当时，取得其最小值，而当时，因而可得，即， 故该结论正确；综上，即可得出答案． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 当时，， ， ， 故结论正确； 抛物线与轴有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 故结论错误； 与是关于对称轴的对称点， 由抛物线图象的对称性可知，与时的函数值相等， 当时，， 当时，， 故结论错误； 抛物线对称轴为直线， ， 当时，， 即： ， 故结论正确； 当时，取得其最小值，此时， 而当时，， ， 整理，得：， 故结论正确； 综上，正确的结论有，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，求函数值，二次函数与一元二次方程，一元二次方程根的判别式，轴对称的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及其与一元二次方程的关系是解题的关键． 24．（24-25九年级上·四川广安·期中）二次函数（，，为常数，）的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③若点 在该二次函数的图象上，则； ④若方程的两根为，，则． 其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 依据题意，由抛物线开口向下，从而，又抛物线对称轴为，故，再结合抛物线与轴交于正半轴，可得，进而可以判断①；时，，又，从而可以判断②；由，，为对称轴，∴到对称轴直线的距离，比到对称轴直线的距离近，结合图象可以判断③；由图象可得为对称轴，，由于方程的两根为，，，，可得，故可以判断④． 【详解】解：由题意，∵抛物线开口向下， ∴． 又∵抛物线对称轴为． ∴． ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴． ∴，故①正确． 由图象可得当时， 又∵， ∴，故②正确． ∵，，为对称轴， ∴到对称轴直线的距离，比到对称轴直线的距离近， 结合图象可得：，故③正确． 由图象可得为对称轴，， ∵方程的两根为，，，， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的有：①②③④． 故选：D． 类型九、一次函数与二次函数图象的判断 25．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次函数的开口方向确定出的符号，根据一次函数的图象确定出的符号，看是否矛盾，以此判断即可． 【详解】解：A．抛物线开口向下，则；一次函数图象上升，，两函数矛盾，故选项错误； B．抛物线开口向上，则；一次函数图象下降，，两函数矛盾，故选项错误； C．抛物线开口向上，则；一次函数图象下降，，两函数矛盾，故选项错误； D．抛物线开口向下，则；一次函数图象下降，，故选项正确． 故选D． 26．（24-25九年级上·甘肃金昌·期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，根据函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可． 【详解】当时，一次函数的图象过第一、三象限，二次函数的图象开口向上，故C、D不符合题意； 再由A、B选项中，二次函数的图象可知，故，因此A不符合题意， 故选：B． 27．（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断．先根据一次函数图象所过象限，判断的符号，进而判断出二次函数的图象即可． 【详解】解：∵直线过一，三，四象限， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为轴，与轴交于正半轴， 故符合题意的只有选项C； 故选：C． 类型十、反比例函数与二次函数图象的判断 28．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和双曲线的图象，先根据抛物线图象确定a与0的大小，再判断双曲线图象是否满足条件即可． 【详解】解：， ∴对称轴为， A、由抛物线图象可知，对称轴，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项A符合题意； B、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第二、四象限，故选项B不符合题意； C、由抛物线图象可知，对称轴，故选项C不符合题意； D、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项D不符合题意； 故选：A． 29．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选：A． 30．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．根据题意并结合图象可直接写出不等式的解集． 【详解】解：根据图象并结合已知条件可知不等式的解集为：或． 故选：C． 类型十一、二次函数的最值问题 31．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 【答案】(1)次函数的表达式为，对称轴为直线 (2)最大值为8，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质； （1）先将和分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可； （2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：二次函数经过和， ， 解得， 二次函数的表达式为， 对称轴为直线； （2）解：由（1）可知的开口向上， 二次函数的对称轴为直线在内， 当时，有最小值； 直线距直线最远， 当时，有最大值． 32．（2024·江苏常州·二模）已知二次函数． (1)若该二次函数的最大值为，求m的值； (2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数图像的平移问题： （1）把抛物线解析式化为顶点式得到当时，二次函数有最大值，则，解之即可； （2）求出平移后的解析式为，根据题意结合二次函数图像的性质可得平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，则． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，二次函数有最大值， ∵该二次函数的最大值为， ∴， ∴； （2）解：把二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为， ∵平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点，且抛物线开口向下， ∴平移后的抛物线顶点一定在x轴上方， ∴． 33．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上． (1)若时，求该二次函数的顶点坐标． (2)若时，求a的值． (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，最值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入，得，结合对称轴性质，把代入，即可作答． （2）分别得出，再代入，进行计算化简，即可作答． （3）因为，所以，根据二次函数的图象性质进行作答即可 【详解】（1）解：依题意，把代入 得出 则对称轴， 把代入， 得出， ∴该二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数，点，点都在该函数图象上 ∴， ， ∵， ∴， 则， 解得； （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴该函数的开口向上， ∴该函数的对称轴为， 则把代入， 得出， ∴的最小值为． 类型十二、二次函数与几何问题 34．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标． 【答案】(1)C点的坐标为 (2)D点的坐标为 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识． （1）把代入抛物线解析可得．即可求出点C的坐标； （2）设与轴的交点为，由得到，则，求出，则，在中，，求出，得到，求出直线的解析式为，联立一次函数和二次函数解析式求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析可得： 解得：． ∴， 当时，， ∴C点的坐标为； （2）设与轴的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，令，则， 解得：，， ∴， ∴， 在中，，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴D点的坐标为： 35．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，已知抛物线与直线：相交于，两点，抛物线与y轴交于点N，其顶点为D． (1)求抛物线及直线的函数关系式； (2)当时自变量x的取值范围是： ；当或时，_______（填“>”，“=”，“<”）； (3)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)， (3)． 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式和一次函数式，一次函数和二次函数的交点问题，熟练的构建与面积相关的二次函数是解本题的关键． （1）把点及分别代入和，利用待定系数法求解解析式即可； （2）求出抛物线与x轴的交点，根据图象即可得到当时自变量x的取值范围，根据抛物线与直线的位置关系即可得到当或时，与的大小关系； （3）过点作轴交于点，交轴于点；过点作轴于点，由，再结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线过点及得， ， 解得， 故抛物线为； 又设直线：过点及得： ，解得 故直线为； （2）当时，， 解得， ∴抛物线与x轴交于点，， 由图象开口向下，可知当时自变量x的取值范围是， 当或时，的图象在直线：的下方， ∴当或时，； 故答案为：， （3）如图，过点作轴交于点，交轴于点；过点作轴于点， 设，则 又， 当时，面积的最大值为． 类型十三、二次函数的性质综合计算与推理 36．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较，的大小关系； (3)若，且当时，y有最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3)或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）把代入可得，然后根据对称轴公式计算即可； （2）由（1）得抛物线的解析式为，然后把和代入得到，然后对于a分为和两种情况讨论即可； （3）分为和两种情况，利用最值讨论即可解题． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：， ∴对称轴为； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 把点和点代入得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，，则； 当时，，则； （3）解：∵， ∴抛物线的解析式为， 当时，即时，有最小值，即，解得； 当时，即时，有最小值，即，解得； 综上所述，a的值为或． 37．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）直接用待定系数法求即可； （2）先求出其最大值和最小值，再根据其差值为9即可求； （3）先画出该函数的大致图象，再根据只有一个公共点来确定的范围即可． 【详解】（1）解：由二次函数图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 图象经过点 解得 该二次函数的解析式为； （2）①当时，最小值为，最大值为 此时方程无实数解， ②当时， 的最小值为，当时，该二次函数最大值与最小值的差是9 当时，该二次函数最大值为 时， 时， 解得（舍去）或， 即当时，二次函数最大值与最小值的差是9； （3）如图，此函数大致图象如下 由，当时，，此时点为 由图知时，交点只有一个， 当时，图中也符合只有一个交点． 该函数图象与线段只有一个公共点时，的取值范围为或． 类型十四、二次函数新定义问题 38．（2024·河南周口·二模）定义：若两条抛物线的顶点坐标相同，则称它们为“相关抛物线”，已知抛物线 与抛物线为“相关抛物线”． (1)求m，n的值． (2)将抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线组成一个封闭图形，记该图形为M．若直线与图形M的边界有4个公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，理解题意，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）将配成顶点式为，可知抛物线的顶点坐标为，再根据“相关抛物线”定义即可求解； （2）由（1）可知，由此得抛物线的表达式为，联立抛物线和抛物线，求得抛物线和抛物线与x轴的交点为和，再根据当直线经过点时，当直线与抛物线有一个交点时，求得临界值，即可求出a的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为． ∵抛物线与抛物线为“相关抛物线”， ∴抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ，， ∴， （2）由（1）可知， ∵抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线的表达式为， 联立抛物线和抛物线得：，解得：， ∴抛物线和抛物线与x轴的交点为和， 若直线 与图形M的边界有4个公共点，则直线需在如图所示的两条虚线之间． 当直线经过点时， ，解得：， 当直线与抛物线有一个交点时， 方程有两个相等的实数根， 方程化简为 ， 则， ， 综上，当直线 与图形 M 的边界有 4个公共点时，a的取值范围为 ． 39．（2024·湖南长沙·二模）我们不妨约定：若点，是同一函数图象上不同的两点，且线段轴，则称点A、B为这个函数的一对“平行点”． (1)若点和点为函数图象上的一对“平行点”，求的值； (2)关于的函数(m、n为常数)的图象上存在“平行点”吗？若存在，指出它有多少对“平行点”，若不存在，请说明理由； (3)若点、、都在关于的函数为常数，且的图象上，点P，R为该函数图象上的一对“平行点”，且满足．求直线与轴、轴围成的三角形面积的取值范围． 【答案】(1) (2)①当时，函数是上存在无数组“平行点”； ②当时，不存在“平行点”， 理由见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数的图像与性质，二次函数的图像和性质，一次函数与坐标轴交点． （1）根据线段轴，得到，即，即可解题； （2）根据函数分以下两种情况讨论，①当时，②当时，结合线段轴的坐标特点分析求解即可． （3）由得到，由点P、R为该函数的一组“平行点”，结合抛物线对称性得到进而得到，表示出直线与轴、轴的交点情况，利用三角形面积公式得到，即可得到三角形面积的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，即， ， ， ； （2）解：①当时，， ∴函数图象上任意两点的纵坐标都相等，函数图象是平行轴的直线， ∴函数是上存在无数组“平行点”； ②当时，不存在“平行点”； 理由如下：若存在，设这组“平行点”为、， 则有：，即：， 得：，与矛盾： 当时，函数是上存在无数组“平行点”；当时，不存在“平行点”． （3）解：∵点、都在关于的函数为常数，且的图象上， ∴，， 又∵， ， 解得：，即：， 点P、R为该函数的一组“平行点”，纵坐标相等， 由抛物线对称性可：，即， ∴， ∴，， 令，得与轴交点为：， 令，得直线与轴交点为：， 直线与轴、轴围成的三角形面积，， ∴， 将看成关于的二次函数，开口向上，对称轴为：其上点横坐标都是1的竖线， ∴当时，随着的增大而减小， 当时，有上限值（不取此值），有下限值（不取此值），即； 当时，有下限值（不取此值），有上限值（不取此值），即； 直线与轴、轴围成的三角形面积的取值范围为：． 一、单选题 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知函数（a为常数）的图象经过点．下列结论：①；②当时，；③若，则函数图象与x轴有两个公共点；④若，则当时，y随x的增大而增大，其中正确的结论是（   ） A．①③ B．①③④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．掌握二次函数图象上点的坐标特征以及对称轴方程求法是关键． 根据抛物线与轴的交点得出、的关系，进而得到，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点为， ， ∴，故①正确， 由①可知，， ， ， ， ， ∴，故②正确， 令，则， ， ， ， ∴若，则函数图象与轴有两个公共点，即选项③正确， 设是方程的两个实数根， 则， 当时，则， ∵点是抛物线与轴的一个交点， 若，则， ， ， ， ∴抛物线开口向下， ∴若，则当时，随的增大而增大，即选项④正确． 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．关于x的一元二次方程的两个根是， D．（x为任意实数） 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，，对称轴为直线，则，，可判断B的正误；当时，，则，可判断A的正误；由题意知，关于x的一元二次方程的两个根是，，可判断C的正误；当时，，则，可判断D的正误． 【详解】解：由题意知，，对称轴为直线， ∴， ∴，B错误，故符合要求； 当时，， ∴，A正确，故不符合要求； 由题意知，关于x的一元二次方程的两个根是，，C正确，故不符合要求； 当时，， ∴，D正确，故不符合要求； 故选：B． 3．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，的值只能为；⑤，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口向上得到，由与轴的交点为()得到，而对称轴为 ，得，进一步得到，由此判定①；根据抛物线与轴有两个不同交点，则方程有两个不等实数根，即可判断②；由，，由此判定③；由得到，由此确定判定④；根据图象可得，当时的函数值小于，即可判定⑤正确． 【详解】解：由图象可得，，， ，故①错误， 抛物线与轴有两个不同交点，则方程有两个不等实数根， ，故②正确 = ，， ，， ， ，故③正确； 对称轴为， 点()和()关于对称轴对称， 当时，的值为和，故④错误； 根据函数图象可得，时，，故⑤错误． 综上，可得正确结论的个数是个：②③． 故选B． 4．（24-25九年级上·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移2个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图形与性质、二次函数图像的平移等知识，理解并掌握二次函数图像平移的规律是解题关键．首先将原抛物线解析式转化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的规律得到平移后抛物线的解析式，进而可得平移后得到的抛物线的顶点为，结合确定平移后得到的抛物线的顶点所在象限即可． 【详解】解： ， 将抛物线沿轴向下平移2个单位， 则平移后的抛物线解析式为， ∴平移后得到的抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∴平移后得到的抛物线的顶点一定在第一象限． 故选：A． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当四边形的周长最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点沿轴向下平移3个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】解：如图，将点沿轴向下平移3个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，， 由题意得：， 而，则， 抛物线的对称轴平行于轴， 且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， ∵四边形的周长，且都是定长， ∴的值最小时，即四边形的周长最小， 则在抛物线中，令，则， ， 令，则， 解得：或， ，， 由平移的性质可得： 点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足， 解得：， ， ∵点在点下方，且． ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 二、填空题 6．（24-25九年级上·福建福州·期中）当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和对称轴公式，是基础题，熟记性质和得出是解题的关键．先由抛物线，可得抛物线的对称轴为直线，从而得到以a、b为横坐标的点关于直线对称，进而得到，再把代入，即可求解． 【详解】解：由抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当或时，代数式的值相等， ∴当或时，抛物线的函数值相等， ∴以a、b为横坐标的点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， 即时，代数式的值为． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）规定：表示x和y两个数中最小值．例如：，．则关于x的函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数和一次函数的性质，能够熟练运用数形结合是解答本题的关键．根据题目信息将，和画在同一个坐标系中，利用数形结合确定的最大值． 【详解】解：将，和画在同一个坐标系中，如图所示， 从图中可以得出，当，两个函数图像交点处，取得最大值， 令，解得：， 当时，， 所以关于x的函数的最大值为． 故答案为： 8．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知函数，下列结论：①若该函数图象与x轴只有一个交点，则； ②方程至少有一个整数根；③若，则的函数值都是负数；④不存在实数a，使得对任意实数x都成立．所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④（答对一个给1分，多选或错选不得分） 【分析】本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键． ①分情况讨论一次函数和二次函数即可求解； ②分情况讨论和时方程的根即可； ③已知条件中限定且或，分情况讨论或的函数值即可； ④分情况讨论和时函数的最大值是否小于等于0即可． 【详解】解：对于①：当时，函数变为，与只有一个交点， 当时，， ∴， 故图像与轴只有一个交点时，或，①错误； 对于②：当时，方程变为，有一个整数根为， 当时，方程因式分解得到：， 其中有一个根为， 故此时方程至少有一个整数根，故②正确； 对于③：由已知条件得到，且或， 当时，开口向上，对称轴为， ∴自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大， ∵ ， ∴离对称轴的距离一样，将代入得到，此时函数最大值小于0； 当时，开口向下，自变量离对称轴越远， ∴其对应的函数值越小， ∴时，函数取得最大值为， ∵， ∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，故③错误； 对于④：时，原不等式变形为：对任意实数不一定成立，故不符合； 时，对于函数， 当时开口向上，总有对应的函数值，此时不存在a对对任意实数都成立； 当时开口向下，此时函数的最大值为， ∵， ∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值， 此时不存在a对对任意实数都成立；故④正确； 综上所述，②④正确， 故答案为：②④． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，和是抛物线上的两点．若对于，，都有，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先由和是抛物线上的两点，且，得，然后分当时当时两种情况分析即可，掌握二次函数的性质及分类讨论思想是解题的关键 【详解】解：∵和是抛物线上的两点，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴或， 解得：或， ∵， ∴或， ∴或， ∵， ∴； 当时， ∴或， 解得：， ∵， ∴， ∴， 综上的取值范围为或 故答案为：或． 10．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 其中，，现有以下表述：①当时，随的增大而减小；②图象不经过第二象限；③关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根；④当时，．其中正确的结论序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等；①由得，由二次函数的增减性，即可判断；②由时，，且经过即可判断；③由当时，，当时，，由二次函数与一元二次方程，即可判断；④由表格可求，将，代入求得，即可求解；掌握二次函数的性质，会用二次函数图象解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：① ，，，当时，随的增大而减小，故此项正确；②时，，且经过，由①得：图象不经过第二象限；故此项正确；③当时，，当时，，由②得：关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根，故此项正确；④当时，，当时，，，，，当时，，当时，，，，， ，解得：，故此项正确； 故答案：①②③④． 三、解答题 11．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当，时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； (2)点在抛物线上，若，求的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)抛物线与y轴交点的坐标为， (2) 【分析】本题考查了二次函数图像的性质；运用二次函数的增减性按要求列出相应的不等式是解题的关键． （1）将代入中，可得抛物线与轴交点的坐标，再根据可得点与关于抛物线的对称轴对称，即计算即可； （2）根据，可确定出， 结合，可得对称轴的取值范围，再利用对称轴可表示为直线，进而可确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线： 当 时，； ∴ 抛物线与轴交点的坐标为：； ∵， ∴点与关于抛物线的对称轴对称， ∴； （2）解：∵， ∴， 解得， ∴， 而， ∴，即， ∵点，在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴的取值范围． 12．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线（）上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，求t的值； (2)点在该抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1)t的值为6 (2)t的取值范围是 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟悉相关结论是解题关键． （1）由题意得，据此即可求解； （2）由得到抛物线开口向上，离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小．分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，四种情况即可求解． 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， 且，抛物线的对称轴为， ， ． （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小， ①当时，， ∴，不符合题意； ②当时， 由可知， ∴， 由，，可知， ∴， ∴t的取值范围是； ③当时， 由可知， ∴， 由可知， ∴， ∴此时无解； ④当时， ∵， ∴，不符合题意； 综上所述，t的取值范围是． 13．（24-25九年级上·河北保定·期中）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是_______（填序号），并计算说明理由； ①；②；③． (2)若抛物线（，是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，w的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 【分析】本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图象上． （1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可； （2）联立，依题意得出，得出，当时，的最小值，根据题意，即可求解； 【详解】（1）解：①联立， 解得：， 一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意； ②联立， 即， 解得：，， 故②不合题意； ③联立， 解得：， 二次函数图象上只有一个“纵三倍点” ，故③正确； 综上，正确的是①③； 故答案为：①③ （2）解：联立， 即， 依题意得：， ， ， 当时，的最小值为， 当时，的最小值恰好等于， 当时，即，当时，有最小值， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时存在常数，使得当时，的最小值恰好等于， 当，即时，的最小值等于， 当时，， 即， 解得：（舍去），， 综上所述，的值为或； 14．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知顶点为D的抛物线上有任意两点，，满足以下三个条件中的任意两个： i．抛物线与y轴的交点坐标为． ii．当时，总有 iii．抛物线上只有一个点到x轴的距离为2． (1)从以上条件中任选两个，求b，c的值； (2)点M是抛物线的点，当时，求点M到直线距离的最小值． 【答案】(1)0， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，最值问题，函数图象的对称轴，函数图象上点的坐标特点． （1）由条件ⅰ可知，由由条件ⅱ可知抛物线的对称轴为y轴，即，由条件ⅲ可知抛物线顶点在x轴下方且到x轴的距离为2，即为抛物线的顶点，即可解答； （2）过点M作直线的垂线，垂足为点H，过点M作轴于点N，交直线于点G，得是等腰直角三角形，求出 ，得的最小值为1，从而可求出的最小值． 【详解】（1）解：若选条件ⅰ和条件ⅱ．由条件ⅰ可知， 由条件ⅱ可知抛物线的对称轴为y轴，即， ∴，； 若选条件ⅰ和条件ⅲ．由条件ⅰ可得， 由条件ⅲ可知抛物线顶点在x轴下方且到x轴的距离为2，即为抛物线的顶点， ∴，； 若选条件ⅱ和条件ⅲ．由条件ⅱ可知抛物线的对称轴为y轴，即， 由条件ⅲ可知抛物线顶点在x轴下方且到x轴的距离为2，即， ∴，； （2）如图，过点M作直线的垂线，垂足为点H，过点M作轴于点N，交直线于点G， 是等腰直角三角形， ． 当时，由（1）可知，抛物线的解析式为， 设，则， 当时，的最小值为1， 的最小值为 ( 46 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$