2.2二次函数的图象与性质（第1课时）（九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

2.2二次函数的图象与性质（第1课时）（九大题型提分练） 目录 类型一、二次函数y=ax²的开口方向与大小 1 类型二、二次函数y=ax²的对称轴与顶点 2 类型三、二次函数y=ax²的增减性与大小比较 3 类型四、二次函数y=ax²的最值与函数值取值范围 5 类型五、二次函数y=ax²的图象与性质问题 7 类型六、二次函数y=ax²与一次函数相结合 9 类型七 、二次函数y=ax²与公共点、交点问题 10 类型八、二次函数y=ax²与几何综合问题 14 类型九、二次函数y=ax²图象上点的变化规律探究问题 15 类型一、二次函数y=ax²的开口方向与大小 1．（23-24九年级上·湖北恩施·期中）二次函数的图象大致是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一判断图象即可．本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与二次函数的系数的关系是解题的关键． 【详解】解：的图象是一条过原点，开口向下的抛物线， 故选：D． 2．（21-22九年级上·福建厦门·开学考试）抛物线的开口向上，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线开口向上可得，进而求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系． 3．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，三个二次函数图象中，分别对应的是①；②；③，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数中越大开口越小，据此即可求解． 【详解】解：二次函数中越大开口越小， 由图得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解性质是解题的关键． 类型二、二次函数y=ax²的对称轴与顶点 4．（21-22九年级上·河北沧州·期中）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】直接根据二次函数的对称轴，将依次代入计算即可求出． 【详解】解：对称轴为直线：， 其中，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴直线是关键． 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 直接利用二次函数的性质得出m的取值范围． 【详解】 解：∵二次函数的图象的开口向下， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键． 6．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 【答案】 【分析】先判断出二次函数图像对称轴为轴，再根据二次函数的性质判断出关于轴对称即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴， 取时，函数值相等， 关于轴对称， ， 当取时，函数值为0． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出关于轴对称是解题的关键． 类型三、二次函数y=ax²的增减性与大小比较 7．（23-24九年级上·北京·期末）下列函数中，当时，随的增大而减小的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数、正比例函数图像的性质，根据各函数的解析式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、正比例函数的图像，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； B、一次函数的图像，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； C、二次函数的图像，开口向上，对称轴为轴， 当时，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意； D、二次函数的图像，开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小，故此选项符合题意； 故选：D． 8．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）抛物线的图象经过点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴开口向上，对称轴为y轴，即对称轴为直线， ∴离对称轴越近，点越低， ∵点A，B，C与对称轴的距离分别为3,1,4， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握该图象的性质是解题的关键． 9．（23-24九年级上·广东汕头·期末）已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意得到抛物线开口向上，即可得到，解得，问题得解． 【详解】解：∵二次函数，当时，随增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴， ∴． 故答案为： 类型四、二次函数y=ax²的最值与函数值取值范围 10．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）关于函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质判断顶点是否在该取值范围内，从而判断y的取值范围即可； 【详解】解：由可知，该二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴该函数在时取最大值为0， 根据二次函数的对称性，当时， y在处取得最小值，， ∴当时，y的取值范围是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． 11．（23-24九年级上·天津静海·阶段练习）如图，的图象上可以看出，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图形得出和时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，即可． 【详解】解：由图象可知时，， 当时，， 而抛物线的对称轴为时，， 故选：． 【点睛】此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题的关键是自变量的范围内包括对称轴，要特别注意． 12．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数．      (1)填写下表，在图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． … … … … (2)利用图象写出当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （）观察函数图象求解即可． 【详解】（1）根据画函数图像的步骤： 列表： … … … … 描点， 连线； 如图：    （2）根据图象可知：当时，， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数图象及其性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 类型五、二次函数y=ax²的图象与性质问题 13．（23-24九年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 解法一：分和，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可； 解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解法一：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误． 解法二：A项，由一次函数的增减性，知，由一次函数图象与y轴的交点，知，故A不符合题意； B项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故B符合题意； C项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故C不符合题意； D项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故D不符合题意． 故选：B． 14．（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是． ②当时，随的增大而减小． ③当时，． ④若 是该抛物线上两个不同的点，则． 其中正确的说法有 ．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项错误； ②对称轴为，当时，y随x的增大而减小，故该项正确； ③当时，时取最大值0，时取最小值，因此，故该项错误； ④若、是该抛物线上两点，则两点关于直线对称，因此，故该项正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握该知识点并熟练运用数形结合思想是解题的关键． 15．（2023九年级下·江苏·专题练习）关于二次函数 （1）其图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，当时， 随的增大而 ，当时，随的增大而 ，当 时，有最 值，其值是 ． （2）若，，为函数图象上的三点，则，，的大小关系是 ． 【答案】 下 轴 减小 增大 0 大 0 / 【分析】利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1） ， 该图象开口向下，对称轴是轴，顶点坐标为，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，有最大值，其值是0． 故答案为：下，轴，，减小，增大，大，0． （2）当时，随的增大而增大，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 类型六、二次函数y=ax²与一次函数相结合 16．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标． (2)观察图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题： （1）因为直线与抛物线交于A，B两点．则联立式子，得，解得的值，即可作答； （2）由（1）知，，结合图象，即可知道当时的取值范围； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意， 得 则， 解得，， 所以，； （2）解：由（1）知直线与抛物线交于，， 故结合图象，当时，则， 所以当时的取值范围为． 类型七 、二次函数y=ax²与公共点、交点问题 17．（21-22九年级下·云南·开学考试）如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)若于点，．试说明点在抛物线上． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可． （2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，可得结论． 【详解】（1）把点A（-4，8）代入，得： ∴； 把点A（-4，8）代入，得： ∴； （2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N． ∵直线AB的解析式为y=-x+6， 令x=0，则y=6 ∴C（0，6）， ∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°， ∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°， ∴∠ACM=∠CDN， ∵CA=CD， ∴△AMC≌△CND（SAS）， ∴CN=AM=4，DN=CM=2， ∴D（-2，2）， 当x=-2时，y=×22=2， ∴点D在抛物线y=x2上． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 18．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论： ①抛物线的图象的顶点一定是原点； ②时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大； ③的长度可以等于5； ④有可能成为等边三角形； ⑤当时，，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤ 【答案】B 【分析】根据二次函数，顶点坐标为，二次函数开口向上，，y随x的增大而减小，，y随x的增大而增大；一次函数中，注意，逐个进行分析即可． 【详解】解：①抛物线，顶点坐标为，故①说法正确，符合题意； ②由函数图象可知，、，二次函数顶点坐标为，所以当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大，故②说法正确，符合题意； ③由点的横坐标是，点的横坐标是，若，可得出直线与轴平行，即，与已知矛盾，故③说法错误，不符合题意； ④当为等边三角形时，，可得出直线与轴平行，即，与已知矛盾，故④说法错误，不符合题意； ⑤由可知，，所以判断直线图象在抛物线上时，的取值范围，结合两者交点、的横坐标可得，，故⑤说法正确，符合题意； 则正确得结论有：①②⑤． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质以及一次函数与二次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学的知识． 19．（21-22九年级上·河南·阶段练习）如图，正方形三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值，再根据∣a∣越大，抛物线的开口越小即可解决问题． 【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，由3=a×12得：a=3， 当抛物线经过（3，1）时，由1=a×32得：a=， 观察图象可知：， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20．（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在平面直角坐标系中，过点且平行于x轴的直线，与直线交于点A，点A关于直线的对称点为B， (1)求点A，B的坐标； (2)若抛物线：与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）过点且平行于轴的直线，则，联立方程组，即可求出点的坐标，点关于直线的对称点为，利用轴对称性质，即可求出点的坐标； （2）画出图象，分别得出和时的函数值，结合图象求解． 【详解】（1）解：过点且平行于轴的直线，则， 根据题意，联立方程组，解得， 点的坐标为， 点与点关于直线对称， 点的坐标为； （2）当时，， 当时，， 结合函数图象，与线段恰有一个公共点，显然，不满足条件； 若要满足条件，需满足：且且， ． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，与线段综合考查，综合性较强，有一定难度． 类型八、二次函数y=ax²与几何综合问题 21．（20-21九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是（    ）    A．2 B．2 C．4 D．4 【答案】B 【分析】根据二次函数图象上点的坐标性质得出A，C点坐标，进而利用三角形面积求法得出答案． 【详解】∵菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=x2上，对角线OB在y轴上，且OB=2， ∴由题意可得：A，C点纵坐标为1， 故1=x2， 解得：x=±， 故A(，1)，C(﹣，1)， ∴AC=2， 故菱形OABC的面积是：ACOB=×2×2=2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，得出A，C点坐标是解题关键． 22．（21-22九年级上·吉林·阶段练习）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（　　）    A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设点B（x，），构造方程+x=6，确定点B的坐标，计算OB的长度，根据正方形的性质即可得到AC． 【详解】设点B（x，y） ∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6， ∴AC=BO，+x=6， 解得（舍去）， ∴B（2，4）， ∴BO==， ∴AC=， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式与点的坐标，正方形的性质，一元二次方程的解法，两点间的距离公式，熟练掌握抛物线的性质，灵活求解方程是解题的关键． 类型九、二次函数y=ax²图象上点的变化规律探究问题 23．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，分别过点（，2，…，2022）作x轴的垂线，交二次函数的图象于点，交直线于点．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ 故答案为：D． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键． 24．（2023·四川达州·二模）如图，已知点在函数位于第二象限的图像上，点在函数位于第一象限的图像上，点在轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为(   ) A．1012 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可． 【详解】解：是正方形， 与轴的夹角为， 的解析式为， 联立方程组得：， 解得，． 点的坐标是：，， ； 同理可得：正方形的边长； 依此类推，正方形的边长是为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级上·北京房山·期中）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键． 由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为y轴，与y轴的交点坐标为，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为y轴， 当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，抛物线有最大值为0，则抛物线与线段没有交点； 当时， ∵抛物线与线段只有一个公共点， ∴当时，； 当时，，解得， ∴， 综上所述：． 故选：D． 2．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知的图象上有三点，，，且则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查二次函数的性质，熟练准确求出函数值是解题的关键． 根据函数的图象上有三点，，得到，由得，即可得到答案． 【详解】解：∵函数的图象上有三点，，， ， ， ， ， 故选：A． 3．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）关于x的二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图像开口向上 B．y随x的增大而减小 C．图像关于x轴对称 D．无论x取何值，y的值总是非正数 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此类问题的关键．利用二次函数的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：， 二次函数图像开口向下，对称轴为直线， 顶点为原点，关于轴对称，当时， y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， A、B、C选项错误，不符合题意， 无论x取何值，， D选项正确，符合题意． 故选：D． 4．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形面积，二次函数与几何综合，解题的关键是对阴影部分的面积进行转换． 根据对称性得到阴影部分面积就是一个圆心角度数为，半径为2的扇形面积是解题的关键． 【详解】解：抛物线与抛物线的图象关于轴对称， 直线中当时，， 直线与轴的正半轴的夹角正切值为，故直线与x轴的正半轴的夹角为，且抛物线和抛物线的图象自身都关于轴对称， ∴根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分面积就是一个扇形面积，并且扇形的圆心角为，半径为2， ， 故选：B． 5．（2024·湖南衡阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在函数图象上，四边形为菱形，且，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出的长是解题关键． 连接交于D，如图，根据菱形的性质得，，利用含30度的直角三角形三边的关系得，设，则，，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质得出C点坐标． 【详解】解：连接交于D，如图， 四边形为菱形， ， ， ， ， 设，则， ， 把代入, 得， 解得（舍去）， ， ，， 故C点坐标为：． 故答案为：B． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，点的横坐标为，则点的横坐标为（   ） A．3 B．4 C．3.5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与正方形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键，根据题意求出点坐标，从而得到的长，根据正方形的性质得到长, 过点作轴于点，过点作轴于点,可证,得到,在直角中,利用勾股定理解得的长,进而得到的长,即可得到答案． 【详解】解：由题可得：设 ∵点在抛物线的第一象限的图象上， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， ∴, ∵四边形为正方形， ∴, 过点作轴于点，过点作轴于点, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵点的横坐标为， ∴ ∴在中，, ∴, 点的横坐标为3, 故选：A． 7．（22-23九年级·山东泰安·自主招生）如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线，交于点E，则（   ） 如图， A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．设A点坐标为，利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出的长度，再根据轴，利用的解析式求出D点的坐标，然后利用求出点E的坐标，从而得到的长度，然后求出比值即可得解． 【详解】解：设A点坐标为，， 则，解得， ∴点B， ∴点C， ∵轴， ∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点E的纵坐标为3a， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 8．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值，然后得到表达式为，然后求出与的值进而求解即可． 【详解】解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴（负值舍去） ∴表达式为， ∵把直线向上平移个单位，得到直线 ∴把代入中得，， ∴ ∴ 把代入得，， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 二、填空题 9．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）若点在抛物线上，则点A关于原点对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线上点的坐标特征，求关于原点对称点的坐标，求出点A的坐标是解题的关键． 把把代入，求出a值，即可得出点A的坐标，再根据关于原点对称点的坐标特征：横纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴把代入，得a＝－4， 即点A的坐标是，它关于原点对称点的坐标为． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知、、在函数的图像上，则的大小关系是 ．（用“”号联结） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．先判断出点也在函数的图像上，再利用二次函数的增减性判断即可得． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴时的函数值等于时的函数值，即点也在函数的图像上， ∵二次函数的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵点、、在函数的图像上，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·湖北宜昌·阶段练习）已知，两点在二次函数的图象上，且，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的解析式判断二次函数的增减性，再根据增减性直接判断即可． 【详解】解：， 二次函数开口向下，对称轴为轴， ， ， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）已知二次函数图象上有两个不同点，，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键，根据二次函数的图象与性质及点的坐标可得关于轴对称，从而可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴点的纵坐标相等， ∴点关于轴对称， ∴， 故答案为：0． 13．（2024·广东佛山·二模）如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】过点作轴交轴于点， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 把代入， ∴， ∴， 故答案为： 14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线的表达式为，联立方程求得的坐标，进而求得第一个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的表达式为：，联立方程求得的坐标，进而求得第二个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的解析式为：，联立方程求得的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第个正方形的边长是． 【详解】正方形的对角线在轴上 ，和关于轴对称，和关于轴对称，和关于轴对称 到轴和轴的距离相等 直线的表达式为 列方程组： 解得或 根据两点间距离公式： 设的表达式为： 在函数上 解得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 按此规律类推，第个正方形的边长为，第个正方形的边长是 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知抛物线，正方形的顶点在抛物线上，顶点在轴上，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是解题的关键．设正方形的边长为，则根据抛物线对称性可得，代入抛物线的解析式即可求得，得到； 【详解】解：设正方形的边长为， 则，， ∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 16．（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； (2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）结合菱形的性质，得出，由勾股定理得，得到，再把代入进行计算，即可作答． （2）结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得因为点B，D在y轴的同侧，所以即，据此即可作答． 【详解】（1）解：设交y轴于点E， 设菱形的边长为， 则． 关于y轴对称， ． ， ， ， 把代入， 得， 解得或（舍去）， ∴菱形的边长为； （2）解：为定值．理由如下： 过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示： ∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上， ， ． ∵四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ∵点B，D在y轴的同侧， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 17．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点P的坐标为是抛物线上的一动点，以为直径作，交直线于两点，设． (1)求的值（用含b的代数式表示）； (2)是否存在实数t，使弦的长为定值？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，勾股定理，垂径定理，两点间的距离等知识点， （1）由M是的中点求得，再根据勾股定理即可得，然后用进行代换即可得解； （2）过点M作于点G，连接，先求得，然后由对于任意点Q存在弦的长为定值可得出，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）是的中点， ， 如图，过点M作x轴的垂线，与过点P作y轴的垂线交于点N， ， ∵点在抛物线上， ，即， ； （2）存在符合条件的t值．过点M作于点G，连接， ∴， ， ∴， ， ∵对于任意点Q存在弦的长为定值， ， ， ∴此时． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2二次函数的图象与性质（第1课时）（九大题型提分练） 目录 类型一、二次函数y=ax²的开口方向与大小 1 类型二、二次函数y=ax²的对称轴与顶点 1 类型三、二次函数y=ax²的增减性与大小比较 2 类型四、二次函数y=ax²的最值与函数值取值范围 2 类型五、二次函数y=ax²的图象与性质问题 3 类型六、二次函数y=ax²与一次函数相结合 3 类型七 、二次函数y=ax²与公共点、交点问题 4 类型八、二次函数y=ax²与几何综合问题 5 类型九、二次函数y=ax²图象上点的变化规律探究问题 5 类型一、二次函数y=ax²的开口方向与大小 1．（23-24九年级上·湖北恩施·期中）二次函数的图象大致是（    ） A． B．   C．   D．   2．（21-22九年级上·福建厦门·开学考试）抛物线的开口向上，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，三个二次函数图象中，分别对应的是①；②；③，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 类型二、二次函数y=ax²的对称轴与顶点 4．（21-22九年级上·河北沧州·期中）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是 ． 6．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 类型三、二次函数y=ax²的增减性与大小比较 7．（23-24九年级上·北京·期末）下列函数中，当时，随的增大而减小的是（　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）抛物线的图象经过点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·广东汕头·期末）已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是 ． 类型四、二次函数y=ax²的最值与函数值取值范围 10．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）关于函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·天津静海·阶段练习）如图，的图象上可以看出，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数． (1)填写下表，在图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． … … … … (2)利用图象写出当时，的取值范围是___________． 类型五、二次函数y=ax²的图象与性质问题 13．（23-24九年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A．B．C．D． 14．（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是． ②当时，随的增大而减小． ③当时，． ④若 是该抛物线上两个不同的点，则． 其中正确的说法有 ．（填序号） 15．（2023九年级下·江苏·专题练习）关于二次函数 （1）其图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，当时， 随的增大而 ，当时，随的增大而 ，当 时，有最 值，其值是 ． （2）若，，为函数图象上的三点，则，，的大小关系是 ． 类型六、二次函数y=ax²与一次函数相结合 16．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标． (2)观察图象，直接写出当时的取值范围． 17．（21-22九年级下·云南·开学考试）如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)若于点，．试说明点在抛物线上． 18．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论： ①抛物线的图象的顶点一定是原点； ②时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大； ③的长度可以等于5； ④有可能成为等边三角形； ⑤当时，，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤ 类型七 、二次函数y=ax²与公共点、交点问题 19．（21-22九年级上·河南·阶段练习）如图，正方形三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在平面直角坐标系中，过点且平行于x轴的直线，与直线交于点A，点A关于直线的对称点为B， (1)求点A，B的坐标； (2)若抛物线：与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围． 类型八、二次函数y=ax²与几何综合问题 21．（20-21九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线y=x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是（    ）    A．2 B．2 C．4 D．4 22．（21-22九年级上·吉林·阶段练习）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（　　） A．2 B． C． D． 类型九、二次函数y=ax²图象上点的变化规律探究问题 23．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，分别过点（，2，…，2022）作x轴的垂线，交二次函数的图象于点，交直线于点．则的值为（   ） A． B． C． D． 24．（2023·四川达州·二模）如图，已知点在函数位于第二象限的图像上，点在函数位于第一象限的图像上，点在轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为(   ) A．1012 B． C． D． 一、单选题 1．（24-25九年级上·北京房山·期中）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知的图象上有三点，，，且则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）关于x的二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图像开口向上 B．y随x的增大而减小 C．图像关于x轴对称 D．无论x取何值，y的值总是非正数 4．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·湖南衡阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在函数图象上，四边形为菱形，且，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，点的横坐标为，则点的横坐标为（   ） A．3 B．4 C．3.5 D．2 7．（22-23九年级·山东泰安·自主招生）如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线，交于点E，则（   ） 如图， A． B． C． D．3 8．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 二、填空题 9．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）若点在抛物线上，则点A关于原点对称点的坐标为 ． 10．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知、、在函数的图像上，则的大小关系是 ．（用“”号联结） 11．（24-25九年级上·湖北宜昌·阶段练习）已知，两点在二次函数的图象上，且，则与的大小关系是 ． 12．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）已知二次函数图象上有两个不同点，，则 ． 13．（2024·广东佛山·二模）如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ． 14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是 ． 三、解答题 15．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知抛物线，正方形的顶点在抛物线上，顶点在轴上，求点的坐标． 16．（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； (2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 17．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点P的坐标为是抛物线上的一动点，以为直径作，交直线于两点，设． (1)求的值（用含b的代数式表示）； (2)是否存在实数t，使弦的长为定值？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$