福建省厦门市湖滨中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024--2025学年第一学期期中考试 高一数学 考试时长：120 分钟 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1．已知两个非空集合，，则 A． B． C． D． 2．设，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点. D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 4．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（    ） A． B．－ C．－ D． 7．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 8．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 二、多选题（共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．） 9．下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．下列说法正确的是（   ） A．命题“”是真命题 B．若，则 C．若幂函数在区间上是减函数，则 D．方程有一个正实根，一个负实根，则 11．已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上是减函数 C．D．不等式的解集为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答） 12．若函数，则 . 13．设是定义在上的函数，时，，当为奇函数时，函数 ． 14．世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值域为 ． 四、解答题(本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤) 15．(13分) （1）计算 （2） （3）已知=5，求的值 16．(15分)已知是整数，幂函数在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，画出函数的大致图象； (3)根据图象写出的单调区间. 17．(15分)已知函数是定义域为上的奇函数，且. (1)求b的值，并用定义证明：函数在上是增函数； (2)若对，都有，求实数的范围. 18．(17分)已知函数，若的解集为． （1）求出a、b的值，并求不等式的解集； （2）解关于的不等式． 19．(17分)已知函数的定义域为R，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A B A D A BC ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】化简集合A ,B ,求出二者的交集即可. 【详解】集合A中的不等式x2﹣2x﹣3＜0，解得：﹣1＜x＜3，即M=（﹣1，3）； ； ∴ 故选B 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．C 【分析】利用特殊值举反例排除即可得到答案. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，由于在上单调递增，所以时，，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：C 3．D 【分析】利用幂函数的性质判断每个选项即可. 【详解】当时，幂函数不过原点，故A错误； 当时，幂函数过第三象限，故B错误； 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 若幂函数的图像过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故C错误. 当，幂函数为，在定义域单调递增，故D正确； 故选:D 4．A 5．B【分析】利用函数的奇偶性结合在定义域上的正负即可判断. 【详解】解：由图知，的定义域为，令时，或， 由为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，关于原点对称， 对A，当时，，，所以，故A错误； 对B，由图知，当时，，当时， 结合奇函数的对称性可得时的图象，故B正确； 对C，由分析知，是奇函数，关于原点对称，故C错误； 对D，由选项A和B的分析知，当时，，故D错误. 故选：B 6．A 【分析】由偶函数的定义得且a－1＝－2a求出a、b，然后求a＋b 【详解】∵在[a - 1，2a]上是偶函数 ∴有：b＝0，且a－1＝－2a ∴a＝ ∴a＋b＝ 故选：A 【点睛】本题考查了函数的奇偶性；根据偶函数的定义且定义域关于原点对称求参数值 7．D 【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项即可求解． 【详解】对于A，由已知可得开口向下，即，故A错误； 对于BCD，是方程的两个根， 所以， 所以，， ，故BC错误，D正确； 故选：D． 8．A 【分析】先由结合基本不等式求出的最小值，进而得，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，， 当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式， 即 ，解得. 故选：A. 9．BC 【分析】逐个选项分别判断函数的定义域与对应法则是否相同即可. 【详解】 对于A，与解析式不同，不是同一函数； 对于B，，定义域均为，是同一函数； 对于C，，定义域均为R，是同一函数. 对于D，，定义域为，，定义域为R，两个函数定义域不同，不是同一函数； 故选：BC． 10．ACD 【分析】利用函数值域得到选项A正确；利用特殊值判断B选项错误；由幂函数的定义得到的值，带回原函数判断单调性即可得到C选项正确；由二次函数的图像的性质得到D选项正确. 【详解】A选项，恒成立，A选项正确； B选项，若，如，则，B选项错误； C选项，函数是幂函数， 所以，即，解得，或， 当时，在上单调递减，符合题意， 当时，，不符合题意，C选项正确； D选项，设， 则有两个实根，且一个正实根，一个负实根， 故，D选项正确． 故选：ACD 11．ABD 【分析】对于A，利用赋值法求得，从而得以判断；对于B，根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性；对于C，利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断；对于D，先求得，再将不等式转化为，从而得到关于的不等式，解之即可判断. 【详解】对于A，因为， 令，得，所以，故A正确； 对于B，令，得，所以， 任取，且，则， 因为，所以，即，所以， 所以在上是减函数，故B正确； 对于C， =0，故C错误； 对于D，因为，，所以， 又因为， 所以由得，故， 因为在上是减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点睛：对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题. 12． 【分析】根据分段函数解析式求解即可. 【详解】由， . 故答案为： 13． 【分析】利用奇偶性求另一半区间解析式即可. 【详解】当时，，． 若是奇函数，则，则. 故答案为： 14． 【分析】根据题意，将变形，分析其取值范围，结合取整函数定义，分析得到答案. 【详解】根据题意，设， 则， 当时，，所以，即，所以，此时的取值为1； 当时，，所以，即，所以，此时的取值为； 综上，的值域为， 故答案为：. 15．（1）（2）.（3） 【分析】（1）利用指数幂和根式运算求解； （2）由一元二次不等式求解原则进行求解. （3）利用立方和根式和指数幂运算求解. 【详解】解：（1）， ， ； （2）因为，所以，即，此时有，解得． （3）因为=5 所以， ， . 16．(1) (2)作图见解析 (3)单调减区间为，，单调增区间为，，见解析 【分析】（1）根据幂函数的性质可得，求出的取值范围，再根据是整数，求出的值，再代入即可； （2）由（1）可得，即可画出函数图象； （3）结合（2）中函数图象得到函数的单调区间. 【详解】（1）解：由题意可知，，即， 因为是整数，所以，或， 当时，，当时，， 综上可知，的解析式为； （2）解：由（1）知，则， 函数的图象如图所示， （3）解：由（2）可知，的单调减区间为，，单调增区间为，， 17． (1)，证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用求得，根据函数单调性的定义证得函数在上是增函数. （2）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，结合不等式恒成立列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数是定义域在上的奇函数， 则，即有，解可得， 则， 则，则此时为奇函数， 设， 则， 又，，则，， 则，， 故在上是增函数. （2）根据题意，是定义在上的奇函数，且在上单调递增， ， 则有对，恒成立， 则有，则， 即的取值范围为． 【点睛】根据函数的奇偶性求参数，如果函数是定义在上的奇函数，则有，用这个来求参数时，要注意验证是否符合奇函数的定义.利用函数单调性的定义来证明函数的单调性，主要是判断的符号. 18．已知函数，若的解集为． （1）求出a、b的值，并求不等式的解集； （2）解关于的不等式． 【解析】（1）由题，的解集为， 所以解得，所以. ，等价于，解得. （2）由（1）可知：不等式为， ①时，； ②时，， 当即时，无解， 当即时，， 当即时，， ③时，即， 由，不等式的解为. 综上：当时，解集为； 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 19． (1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）通过赋值可得解； （2）令，结合可判断； （3）令，由可判断； 【详解】（1）令，则，即， ， ； （2）令，则，即，可得为奇函数； （3）是上的减函数 下证明：令，则，由时，， 可得，即有，即，即， 则是上的减函数. 学科网（北京）股份有限公司 $$