3.3.2抛物线的简单几何性质（二）课件 -2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

　抛物线的简单几何性质 第二课时 方程 图形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦 通径 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 l F y x O 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 例6：如图，已知定点，轴于点是线段上任意一点，轴于点，于点，与相交于点，求点的轨迹方程. 解：设点，，其中，则点的坐标为. 由题意，直线的方程为.① 因为点在上，将点的坐标代入①， 得②所以点的横坐标满足②. 直线的方程为，③ 因为点在上，所以点的坐标满足③. 将②代入③，消去，得即点的轨迹方程. O M B C D E P 例6中，设点关于轴的对称点为，则方程 对应的轨迹是常见的抛物拱(如图).抛物拱在现实中有许多原型，如拱桥(如图)、卫星接收天线，抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分. 一、直线与抛物线位置关系种类 x y O 1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点） 探究一：直线与抛物线位置关系　 探究一：直线与抛物线位置关系　 直线与抛物线位置关系的判断方法： 设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得： k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0. (1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. (2)若k2≠0， 当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点. 直线与抛物线位置关系种类，与双曲线的情况一样. 相交（一个交点，两个交点） 判断直线与抛物线位置关系的操作程序 联立直线方程和抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的 对称轴平行（重合） 相交（一个交点） 计 算 判 别 式 >0 =0 <0 相交 相切 相离 直线与抛物线的 对称轴不平行 ⑴只有一个公共点 ⑵有两个公共点 ⑶没有公共点 例1 探究一：直线与抛物线位置关系　 8 探究一：直线与抛物线位置关系　 探究一：直线与抛物线位置关系　 例题：斜率为1的直线l经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。 探究二：弦长问题 11 例2 解法1： F1(1 , 0), 解法2： F1(1 , 0), 解法3： F1(1 , 0), |AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 |=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8 A1 B1 M F l 课本练习138 新知应用 M F l 课本练习138 新知应用 A B 课本练习138 新知应用 课本练习138 新知应用 探究三：中点弦问题 中点弦问题的解决方法： ①联立直线方程与曲线方程求解 ②点差法 例：已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程. ②点差法 解：设A（， ）B（ ， ），则+ =2 ＝4 ① ＝4 ② ①②得 = 4 4 ∴k== =2 ∴直线AB得方程为y1=2（x2），即：2xy3=0 例：已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程. 解：设A（， ）B（ ， ），则+ =6 ＝12 ① ＝12 ② ①②得 = 12 12 ∴k== =2 ∴直线AB得方程为y3=2（x1），即2xy1=0 练：已知抛物线C：y2＝12x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB中点为M（1，3），求直线l的方程. 探究四：最值问题 解： 解法：平行直线系 设平行直线→联立已设直线与抛物线方程→消元→∆=0→求点坐标 小结：相离时的距离最值问题： O F x y P 练习： 抛物线y2=4x上到直线y=x+3的距离最小的点的坐标是___________. (1，2) 课本练习138 新知应用 课本练习138 新知应用 M N 课本练习138 新知应用 M N 课本练习138 新知应用 课本练习138 新知应用 课本练习138 新知应用 你认为是消 呢,还是消 呢? 消去 可得 (Ⅰ) 已知抛物线的方程为 ,直线 过定点 ,斜率为 , 为何值时,直线 与抛物线 : ⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点? 解:依题意直线 的方程为 联立 例2.求过定点P(0，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程． 思路分析：直线与抛物线只有一个公共点有两种情形：一种是直线与抛物线的对称轴平行，另一种是直线与抛物线相切． 解：①若直线的斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y＝kx＋1. 由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝2x，))消y，得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.当k＝0时，得x＝eq \f(1,2)，y＝1. 故直线y＝1与抛物线相交，只有一个公共点． 当k≠0时，由于直线与抛物线只有一个公共点，则 Δ＝4(k－1)2－4k2＝0. 得k＝eq \f(1,2)，此时直线y＝eq \f(1,2)x＋1与抛物线相切，只有一个公共点． ②若直线的斜率不存在，则过P(0，1)的直线方程为x＝0. 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y2＝2x，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0.)) 此时直线x＝0与抛物线相切，只有一个公共点． 综上所述，所求直线方程是x＝0或y＝1或y＝eq \f(1,2)x＋1. $$