专题01 一元二次方程（5种经典基础练+4种优选提升练）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版，吉林专用）

专题01 一元二次方程（5种经典基础练+4种优选提升练） 一元二次方程 一．选择题（共3小题） 1．（2023秋•前郭县期末）下列关于的方程中， 一定是一元二次方程的为　　 A ． B ． C ． D ． 2．（2023秋•梅河口市期末）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是　　 A． B． C． D．为任意实数 3．（2023秋•二道区期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是　　 A． B． C．3 D．6 二．填空题（共5小题） 4．（2023秋•扶余市期末）若方程是一元二次方程，当满足条件　　． 5．（2023秋•二道区期末）关于的方程是一元二次方程，则的值为 　 　． 6．（2023秋•东辽县期末）若是方程的一个根，则的值为　　． 7．（2023秋•丰满区期末）若一元二次方程的一个解是，则的值为 　 　． 8．（2023秋•九台区期末）在一元二次方程中，若、、满足关系式，则这个方程必有一个根为　 　． 解一元二次方程 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•浑江区期末）方程的左边配成完全平方式后所得的方程为　　 A． B． C． D．以上答案都不对 二．填空题（共1小题） 2．（2023秋•龙山区期末）方程的解是 　 ． 三．解答题（共7小题） 3．（2023秋•吉林期末）解方程：． 4．（2023秋•蛟河市期末）用求根公式解方程． 5．（2023秋•宁江区期末）解方程． 6．（2023秋•临江市期末）用适当的方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 7．（2023秋•龙山区期末）解方程：．小滨的解答如下： 解：原方程可化简为， 方程两边同时除以，得， 小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程． 8．（2023秋•东辽县期末）阅读下面的例题： 解方程：． 解：①当时，原方程化为， 解得，（不合题意，舍去）； ②当时，原方程化为， 解得（不合题意，舍去），． 综上，原方程的根是，． 请参照例题解方程：． 9．（2023秋•梨树县期末）解方程：． 小明是这样解答的： 将方程左边分解因式，得第一步 方程两边同时除以，得第二步 解，得第三步 （1）小明的解法从第　　步开始出现错误； （2）写出正确的解答过程． 根的判别式 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•丰满区期末）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是　　 A．4 B． C． D．2 2．（2023秋•扶余市期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 二．填空题（共5小题） 3．（2023秋•舒兰市期末）一元二次方程的根的判别式△ 　　0．（填“”“ ”或“” 4．（2023秋•榆树市校级期末）一元二次方程根的判别式的值是 　　． 5．（2023秋•船营区校级期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　 　． 6．（2023秋•梅河口市期末）若一元二次方程无解，则的取值范围为 　　． 7．（2023秋•双阳区期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是 　　（写出一个即可） 三．解答题（共4小题） 8．（2023秋•南关区校级期末）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 9．（2023秋•宁江区期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，求此方程的根． 10．（2023秋•龙山区期末）已知关于的方程 （1）当取何值时，方程有两个实数根； （2）为选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根． 11．（2023秋•二道区期末）已知关于的一元二次方程．求证：对于任意实数，原方程总有两个实数根． 根与系数的关系 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•九台区期末）已知、是一元二次方程的两根，那么的值为　　 A． B．1 C． D．7 二．填空题（共2小题） 2．（2023秋•舒兰市期末）已知关于的方程的一个根为，则另一个根为 　 　． 3．（2023秋•桦甸市期末）关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则　　． 三．解答题（共5小题） 4．（2023秋•西安区期末）已知关于的方程． （1）请你判断方程的解的情况； （2）若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 5．（2023秋•大安市期末）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围 （2）若两实数根分别为和，且，求的值． 6．（2023秋•蛟河市期末）已知关于的方程的一个解与方程解相同． （1）求的值； （2）求方程的另一个解． 7．（2023秋•扶余市期末）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程有一个根为，求的值及另一个根． 8．（2023秋•龙山区期末）阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　 　，　　． （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求 的值． （3）思维拓展：实数、满足，，且，求的值． 实际问题与一元二次方程 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•丰满区期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为求车道的宽度（单位：．设停车场内车道的宽度为 ，根据题意所列方程为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•长春期末）某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室．已知2021年该学校用于购买图书的费用为10000元，2023年用于购买图书的费用增加到14400元．设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为，根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共4小题） 3．（2023秋•扶余市期末）近年来我市大力发展旅游产业，已知旅游总收入从2015年的150亿元上升到2017年的216亿元，设这两年旅游总收入的年平均增长率为，则可列方程　 　． 4．（2023秋•浑江区期末）在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，有 　　家公司出席了这次交易会？ 5．（2023秋•靖宇县期末）新冠病毒在无防护下传播速度很快，已知有1个人感染了病毒，经过两轮传染后共有625个人感染了病毒，若每轮传染中平均一个人传染个人，则可列方程为 　 　． 6．（2023秋•宁江区期末）如图，学校将一面积为的矩形空地一边增加，另一边增加后，建成了一个正方形训练场，则此训练场的面积为　 　． 三．解答题（共2小题） 7．（2023秋•丰满区期末）目前，以为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底用户数达到9.68万户，求这两年全市用户数的年平均增长率． 8．（2023秋•梨树县期末）某旅行社为吸引市民组团去松花湖旅游，推出如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元，如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．某单位组织员工去松花湖旅游，共支付给该旅行社旅游费用2700元，请问该单位这次共有多少名员工去旅游？ 一元二次方程的应用—增长率问题 1．（2023秋•蛟河市期末）一种笔记本电脑，原来的售价是15000元，经过连续两年的降价，今年每台售价为12150元，每年降价的百分率相同． （1）求每年降价的百分率是多少？ （2）若小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？ 2．（2022秋•丰满区校级期末）如图，建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，若每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多改造老旧小区的个数． 3．（2022秋•南关区期末）新时代教育投入得到了高度重视，某省2020年公共预算教育经费是200亿元，到2022年公共预算教育经费达到242亿元． （1）求2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率． （2）按照这个增长率，预计2023年公共预算教育经费能否超过266亿元？ 4．（2023秋•吉林期末）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2018年利润为2亿元，2020年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率． （2）若2021年保持前两年的年平均增长率不变，则预想该企业2021年的利润能否超过3.4亿？ 5．（2023秋•靖宇县期末）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和6.05万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快件总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月可投递快递0.4万件，那么该公司现有的16名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？ 6．（2023秋•宁江区期末）扬州市为打造“绿色城市”降低空气中的浓度，积极投入资金进行园林绿化工程，已知2014年投资1000万元，预计2016年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同． （1）求平均每年投资增长的百分率； （2）经过评估，空气中的浓度连续两年较上年下降，则两年后的浓度比最初下降了百分之几？ 7．（2020秋•东辽县期末）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元． 假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本． 一元二次方程的应用—商品销售问题 1．（2023秋•前郭县期末）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？ （3）若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 2．（2023秋•吉林期末）某地蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由． 3．（2020秋•德惠市期末）某校九年级二班的一个数学综合实践小组去沃尔玛超市调查某种商品“十一”节期间的销售情况，下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况： 小阳：据调查，该商品的进价为12元件． 小佳：该商品定价为20元时，每天可售出240件． 小欣：在定价为20元的基础上，涨价1元，每天少售出20件；降价1元，则每天多售出40件． 根据他们的对话，若销售的商品每天能获利1920元时，应该怎样定价更合理？ 4．（2020秋•乾安县期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价3元，则平均每天销售数量为 　　件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 5．（2023秋•南关区校级期末）果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售． （1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率； （2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由． 一元二次方程的应用—图形面积问题 1．（2023秋•榆树市校级期末）如图，公园原有一块长，宽的矩形空地．后来从这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．如果各区域鲜花面积和为，求所铺设的石子路的宽度． 2．（2023秋•农安县期末）某校生物小组有一块长，宽的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为，小道的宽应是多少？ 3．（2023秋•梨树县期末）已知一个包装盒的表面展开图如图． （1）若此包装盒的容积为，请列出关于的方程，并求出的值； （2）是否存在这样的的值，使得此包装盒的容积为？若存在，请求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 4．（2023秋•二道区期末）如图，公园有一块正方形空地，现在从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（图中阴影部分），原空地边减少到点处，另一边减少到点处，若剩余空地是矩形且面积为． （1）求原正方形空地的边长． （2）实际建造时要求栽种鲜花的面积是原正方形空地面积的一半，且不改变的长度，求实际建造时的长度． 5．（2023秋•临江市期末）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 6．（2023秋•双辽市期末）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，墙对面有一个宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的长和宽各为多少？ （2）围成养鸡场的面积能否达到？请说明理由． 7．（2021秋•通榆县期末）今年我县在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善．某小区规划在长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中的小路分别与和平行，其余部分种草．如果使草坪的总面积为，设小路宽为．如图所示，施工人员设计了两种方案，请你通过计算帮助选择一种数据准确且更容易测量和实施的方案． 8．（2023秋•前郭县期末）关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）上述方程的根，恰好是斜边为6的直角三角形另外两边的边长，求这个三角形的周长． 9．（2023秋•通榆县期末）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙长25米），现在已备足可以砌50米长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300米． 10．（2022秋•延边州期末）如图，有一块矩形铁片，长，宽，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么铁皮各角切去的正方形的边长应为多少？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程（5种经典基础练+4种优选提升练） 一元二次方程 一．选择题（共3小题） 1．（2023秋•前郭县期末）下列关于的方程中， 一定是一元二次方程的为　　 A ． B ． C ． D ． 【分析】根据一元二次方程的定义解答 ． 一元二次方程必须满足四个条件： （1） 未知数的最高次数是 2 ； （2） 二次项系数不为 0 ； （3） 是整式方程； （4） 含有一个未知数 ． 由这四个条件对四个选项进行验证 ． 【解答】解：、是一元一次方程， 故错误； 、是一元二次方程， 故正确； 、是分式方程， 故错误； 、时是一元一次方程， 故错误； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念， 判断一个方程是否是一元二次方程， 首先要看是否是整式方程， 然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2 ． 2．（2023秋•梅河口市期末）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是　　 A． B． C． D．为任意实数 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解． 一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0． 由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【解答】解：根据一元二次方程的定义可得：， 解得， 故选：． 【点评】此题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 3．（2023秋•二道区期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是　　 A． B． C．3 D．6 【分析】根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：把代入方程中得： ， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 4．（2023秋•扶余市期末）若方程是一元二次方程，当满足条件　　． 【分析】一元二次方程的一般形式是，，据此即可求解． 【解答】解：根据题意得： 解得． 【点评】本题容易忽视的问题是． 5．（2023秋•二道区期末）关于的方程是一元二次方程，则的值为 　　． 【分析】根据二次项系数不为零，最高次项的次数为2，求解即可． 【解答】解：关于的方程是一元二次方程， ，， ，且，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 6．（2023秋•东辽县期末）若是方程的一个根，则的值为　2　． 【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：， 原式． 故答案为：2． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型． 7．（2023秋•丰满区期末）若一元二次方程的一个解是，则的值为 　2024　． 【分析】把代入即可求出的值，然后代入代数式求值即可． 【解答】解：把代入，可得， 解得， ． 故答案为：2024． 【点评】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键． 8．（2023秋•九台区期末）在一元二次方程中，若、、满足关系式，则这个方程必有一个根为　　． 【分析】由，可得：当时，有；当时，有，故问题可求． 【解答】解：由题意，一元二次方程，满足， 当时，一元二次方程即为：； ， 当时，代入方程，有； 综上可知，方程必有一根为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，此类题目的解法是常常将1或或0代入方程，来推理判断方程系数的关系． 解一元二次方程 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•浑江区期末）方程的左边配成完全平方式后所得的方程为　　 A． B． C． D．以上答案都不对 【分析】先变形得到，再把方程两边加上9得，然后根据完全平方公式得到． 【解答】解：先移项得， 方程两边加上9得， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了配方法解方程，配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 二．填空题（共1小题） 2．（2023秋•龙山区期末）方程的解是 　，　． 【分析】首先移项可得，再两边直接开平方即可． 【解答】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：，， 故答案为：，． 【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 三．解答题（共7小题） 3．（2023秋•吉林期末）解方程：． 【分析】在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方． 【解答】解：由原方程移项，得 ， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 配方，得 ， ， ，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法配方法．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 4．（2023秋•蛟河市期末）用求根公式解方程． 【分析】首先确定二次项系数，一次项系数，常数项的值，计算判别式的值确定方程是否有解，若有解即可代入求根公式计算． 【解答】解：，，． ． ， 即，． 【点评】本题主要考查了公式法解一元二次方程，主要公式运用的条件是． 5．（2023秋•宁江区期末）解方程． 【分析】提公因式法因式分解解方程即可． 【解答】解：， 移项，得， ， ， 或， 解得，． 【点评】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程． 6．（2023秋•临江市期末）用适当的方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【分析】（1）先把方程化为一般式，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【解答】解：（1）， 方程整理为， ， ， ， ， 所以，． （2）， 方程变形为， ， ， 即， 或， 所以，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． 7．（2023秋•龙山区期末）解方程：．小滨的解答如下： 解：原方程可化简为， 方程两边同时除以，得， 小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程． 【分析】方程解答不正确，两边除以时，没有考虑为0的情况，写出正确过程即可． 【解答】解：方程解答不正确， 正确解答为：方程化简得：， 移项得：， 分解因式得：， 可得或， 解得：，． 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8．（2023秋•东辽县期末）阅读下面的例题： 解方程：． 解：①当时，原方程化为， 解得，（不合题意，舍去）； ②当时，原方程化为， 解得（不合题意，舍去），． 综上，原方程的根是，． 请参照例题解方程：． 【分析】仿照题干所给例题分类讨论：当时，去绝对值得到，利用因式分解求解；当时，原方程化为，利用因式分解法求解． 【解答】解：①当时， 原方程可化为， 解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）； ②当时，原方程可化为， 解得，． 综上所述，原方程的根是，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解． 9．（2023秋•梨树县期末）解方程：． 小明是这样解答的： 将方程左边分解因式，得第一步 方程两边同时除以，得第二步 解，得第三步 （1）小明的解法从第　二　步开始出现错误； （2）写出正确的解答过程． 【分析】首先判定小明的解法从第二步开始出现错误，再利用因式分解的方法与步骤求得方程的解即可． 【解答】解：（1）小明的解法从第二步开始出现错误； （2） ， ，． 【点评】此题考查用因式分解法解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键 根的判别式 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•丰满区期末）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是　　 A．4 B． C． D．2 【分析】根据题意得△，进行计算即可得． 【解答】解：方程有两个相等实数根， △， ， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的个数与根的判别式的关系． 2．（2023秋•扶余市期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断． 【解答】解：一元二次方程有实数根， ，且， 解得且， 故选：． 【点评】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 3．（2023秋•舒兰市期末）一元二次方程的根的判别式△ 　　0．（填“”“ ”或“” 【分析】根的判别式△，把相应值代入求值即可． 【解答】解：，，， △． 故答案为：． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 4．（2023秋•榆树市校级期末）一元二次方程根的判别式的值是 　13　． 【分析】直接根据△求解即可． 【解答】解：一元二次方程， ，，， △， 故答案为：13． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的判别式为△是解本题的关键． 5．（2023秋•船营区校级期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 【分析】利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可． 【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， △， 解得，． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 6．（2023秋•梅河口市期末）若一元二次方程无解，则的取值范围为 　　． 【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后求出的取值范围． 【解答】解：一元二次方程无解， △， 解得， 的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根． 7．（2023秋•双阳区期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是 　0　（写出一个即可） 【分析】直接利用根的判别式，得出△，进而求出的值． 【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， △， 解得：， 故的值可以是0． 故答案为：0． 【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出△符号是解题关键．一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△时，方程有两个相等的实数根；③当△时，方程无实数根． 三．解答题（共4小题） 8．（2023秋•南关区校级期末）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 【分析】由于方程有两个相等的实根，由此可以得到其判别式等于0，由此可以列出关于的方程，解此方程即可求出的值． 【解答】解：关于的方程有两个相等的实根， △， ， ，． 【点评】此题既考查了一元二次方程的根与判别式的关系，也考查了一元二次方程的解法，利用判别式首先求出待定系数的值，然后解方程即可解决问题． 9．（2023秋•宁江区期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，求此方程的根． 【分析】（1）根据△的意义得到△，即，然后解不等式即可得到的取值范围； （2）在（1）中的范围内可得到的最小整数为，则方程变为，然后利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △， ； （2）为符合条件的最小整数， ． 原方程变为， ， ，． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程两个不相等的实数根；当△，方程两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 10．（2023秋•龙山区期末）已知关于的方程 （1）当取何值时，方程有两个实数根； （2）为选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根． 【分析】（1）根据根的判别式△时，方程有两个实数根求的值即可； （2）根据根的判别式△时，方程有两个不相等的实数根列出不等式，求的取值范围，再得出整数的值． 【解答】解：（1）方程有两个实数根， △， 即， ； （2）方程有两个不相等实数根， △， 即， ； 令，代入方程得 ，． 【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 11．（2023秋•二道区期末）已知关于的一元二次方程．求证：对于任意实数，原方程总有两个实数根． 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行证明即可． 【解答】证明：关于的一元二次方程， ，，， ， 无论为任意实数，， 原方程总有两个实数根． 【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 根与系数的关系 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•九台区期末）已知、是一元二次方程的两根，那么的值为　　 A． B．1 C． D．7 【分析】先根据根与系数的关系得到，，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据题意得，， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，． 二．填空题（共2小题） 2．（2023秋•舒兰市期末）已知关于的方程的一个根为，则另一个根为 　　． 【分析】本题根据，即可得到答案． 【解答】解：设此方程的另一根为， 由一元二次方程根与系数的关系得：， 解得， 即方程的另一根为， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 3．（2023秋•桦甸市期末）关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则　　． 【分析】根据根与系数的关系得到，，再由变形得到，即可得到，然后解此方程即可． 【解答】解：根据题意得，， ， ， ， ，， △， 或， 不合题意， 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 三．解答题（共5小题） 4．（2023秋•西安区期末）已知关于的方程． （1）请你判断方程的解的情况； （2）若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到△，根据根的判别式的意义，当时，方程有两个不相等实数解；当时，方程有两个相等实数解； （2）先利用因式分解法解方程得到，，讨论：当时，即，从而得到的周长；当时，即或，，不符合三角形三边的关系，舍去． 【解答】解：（1）△ ， 当时，△，方程有两个不相等实数解； 当时，△，方程有两个相等实数解； （2）， ， 或， 解得，， 当时，即，此时的周长为； 当时，即或，，不符合三角形三边的关系，舍去， 综上所述，的周长为5． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了根的判别式和三角形三边的关系． 5．（2023秋•大安市期末）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围 （2）若两实数根分别为和，且，求的值． 【分析】（1）由关于的一元二次方程有实数根，即可得判别式△，即可得不等式，继而求得答案； （2）由根与系数的关系，即可得、，又由，即可得方程：，解此方程即可求得答案． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：； （2）、， ， ， 解得：． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式与根与系数的关系．此题难度不大，注意掌握一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△时，方程有两个相等的两个实数根；③当△时，方程无实数根．，是方程的两根时，，． 6．（2023秋•蛟河市期末）已知关于的方程的一个解与方程解相同． （1）求的值； （2）求方程的另一个解． 【分析】（1）分式方程较完整，可先求出分式方程的解，代入整式方程即可求得的值； （2）根据两根之积即可求得另一根． 【解答】解：（1）由解得， 经检验是方程的解． 把代入方程， 得：， 解得：； （2）由（1）知方程化为：， 方程的一个根为2，则设它的另一根为， 则有： ． 【点评】此题主要考查方程解的意义，及同解方程、解方程等知识．注意运用根与系数的关系使运算简便． 7．（2023秋•扶余市期末）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程有一个根为，求的值及另一个根． 【分析】（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）将代入原方程求出值，再将的值代入原方程利用十字相乘法解一元二次不等式即可得出方程的另一个根． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：． （2）将代入原方程，， 解得：， 原方程为， 解得：，． 的值为5，方程的另一个根为． 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及十字相乘法解一元二次不等式，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△”是解题的关键． 8．（2023秋•龙山区期末）阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　　，　　． （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求 的值． （3）思维拓展：实数、满足，，且，求的值． 【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出及的值； （2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论； （3）由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，结合，可求出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【解答】解：（1）一元二次方程的两个根为，， ，， 故答案为：，； （2）一元二次方程的两根分别为，， ，， ； （3）实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个实数根， ，． ， ， ， 的值为或． 【点评】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 实际问题与一元二次方程 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•丰满区期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为求车道的宽度（单位：．设停车场内车道的宽度为 ，根据题意所列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：若设停车场内车道的宽度为 ，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2023秋•长春期末）某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室．已知2021年该学校用于购买图书的费用为10000元，2023年用于购买图书的费用增加到14400元．设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为，根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：由题意可得， ． 故选：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题． 二．填空题（共4小题） 3．（2023秋•扶余市期末）近年来我市大力发展旅游产业，已知旅游总收入从2015年的150亿元上升到2017年的216亿元，设这两年旅游总收入的年平均增长率为，则可列方程　　． 【分析】设这两年旅游总收入的年平均增长率为，由2015年及2017年的旅游总收入，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设这两年旅游总收入的年平均增长率为， 根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2023秋•浑江区期末）在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，有 　13　家公司出席了这次交易会？ 【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有家公司参加，则每个公司要签份合同，签订合同共有份，由此列出方程解答即可． 【解答】解：设有家公司出席了这次交易会，依题意，得 整理得： 解得：，（舍去） 答：共有13家公司参加商品交易会． 故答案为：13． 【点评】考查了一元二次方程的应用，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，个点（没有三点共线）之间连线，所有线段的条数．解答中注意舍去不符合题意的解． 5．（2023秋•靖宇县期末）新冠病毒在无防护下传播速度很快，已知有1个人感染了病毒，经过两轮传染后共有625个人感染了病毒，若每轮传染中平均一个人传染个人，则可列方程为 　　． 【分析】利用经过两轮传染后患了新冠的人数开始患病的人数每轮传染中平均一个人传染的人数），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出的值． 【解答】解：依题意得：两轮传染后患了新冠的人数开始患病的人数每轮传染中平均一个人传染的人数）， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（2023秋•宁江区期末）如图，学校将一面积为的矩形空地一边增加，另一边增加后，建成了一个正方形训练场，则此训练场的面积为　225　． 【分析】可设训练场的边长为，则原空地的长为，宽为．根据长方形的面积公式列出方程即可． 【解答】解：设训练场的边长为，则原空地的长为，宽为， 依题意，得， 解之，得， 所以，训练场的面积为． 故答案为：225． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 三．解答题（共2小题） 7．（2023秋•丰满区期末）目前，以为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底用户数达到9.68万户，求这两年全市用户数的年平均增长率． 【分析】根据该市2019年底及2021年底有用户的数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设这两年全市用户数的年平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这两年全市用户数的年平均增长率为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．（2023秋•梨树县期末）某旅行社为吸引市民组团去松花湖旅游，推出如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元，如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．某单位组织员工去松花湖旅游，共支付给该旅行社旅游费用2700元，请问该单位这次共有多少名员工去旅游？ 【分析】设该单位这次共有名员工去旅游．求出人数为25人时的旅游总费用，由该值小于2700元，可得出，利用旅游总费用旅游人均费用人数，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合人均旅游费用不得低于70元，即可确定结论． 【解答】解：设该单位这次共有名员工去旅游． （元，， ． 根据题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：该单位这次共有30名员工去旅游． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 一元二次方程的应用—增长率问题 1．（2023秋•蛟河市期末）一种笔记本电脑，原来的售价是15000元，经过连续两年的降价，今年每台售价为12150元，每年降价的百分率相同． （1）求每年降价的百分率是多少？ （2）若小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？ 【分析】（1）可设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的售价为元，第二次的降价后的售价为元，根据题意可列出方程． （2）用现价减去原价即可求得结论． 【解答】解：（1）设每年降价的百分率是，根据题意可得： ， ，（舍去） 答：每年降价的百分率为． （2）， 答：多付了1350元． 【点评】本题属于方程中的增长率问题，关键是会根据增长率列出式子，再找到等量关系列出方程． 2．（2022秋•丰满区校级期末）如图，建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，若每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多改造老旧小区的个数． 【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，利用2021年投入资金金额年投入资金金额年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，根据2022年改造老旧小区所需资金不多于2022年投入资金金额，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． （2）设该市在2022年可以改造个老旧小区， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 的最大值为18． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 3．（2022秋•南关区期末）新时代教育投入得到了高度重视，某省2020年公共预算教育经费是200亿元，到2022年公共预算教育经费达到242亿元． （1）求2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率． （2）按照这个增长率，预计2023年公共预算教育经费能否超过266亿元？ 【分析】（1）设2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率为，利用2022年公共预算教育经费年公共预算教育经费年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）由题意求出2023年公共预算教育经费，即可解决问题． 【解答】解：（1）设2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率为； （2）由题意得：2023年公共预算教育经费为（亿元）， ， 按照这个增长率，预计2023年公共预算教育经费能超过266亿元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2023秋•吉林期末）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2018年利润为2亿元，2020年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率． （2）若2021年保持前两年的年平均增长率不变，则预想该企业2021年的利润能否超过3.4亿？ 【分析】（1）设这两年该企业年利润的平均增长率为，由题意：2018年利润为2亿元，2020年利润为2.88亿元．列出一元二次方程，解方程取其正值即可； （2）求出2021年该企业的年利润，再比较即可． 【解答】解：（1）设这两年该企业年利润的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：这两年该企业年利润的平均增长率为； （2）年该企业的年利润为（亿元），， 该企业2019年的利润能超过3.4亿元， 答：该企业2019年的利润能超过3.4亿元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2023秋•靖宇县期末）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和6.05万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快件总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月可投递快递0.4万件，那么该公司现有的16名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？ 【分析】（1）设该公司投递快件总件数的月平均增长率为，根据该公司今年三月份与五月份完成投递的快件总件数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据6月份的快件总件数月份的快递总件数增长率），可求出6月份的快件总件数，利用6月份可完成投递快件总件数每人每月可投递快件件数人数可求出6月份可完成投递快件总件数，二者比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设该公司投递快件总件数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）． 答：该公司投递快件总件数的月平均增长率为． （2）6月份快递总件数为：（万件）， （万件）， ， 该公司现有的16名快递投递员不能完成今年6月份的快递投递任务． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 6．（2023秋•宁江区期末）扬州市为打造“绿色城市”降低空气中的浓度，积极投入资金进行园林绿化工程，已知2014年投资1000万元，预计2016年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同． （1）求平均每年投资增长的百分率； （2）经过评估，空气中的浓度连续两年较上年下降，则两年后的浓度比最初下降了百分之几？ 【分析】（1）设平均每年投资增长的百分率是．根据2014年投资百分率）年的投资，据此列方程即可． （2）设两年前的的浓度为1，求出两年后的浓度即可解决问题； 【解答】解：（1）设平均每年投资增长的百分率是． 由题意得， 解得，（不合题意舍去）． 答：平均每年投资增长的百分率为； （2）， 答：两年后的浓度比最初下降． 【点评】本题考查一元二次方程的应用、百分率问题等知识，解题的关键是记住本法律的意义，灵活运用所学知识解决问题． 7．（2020秋•东辽县期末）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元． 假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本． 【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）由4月份该公司的生产成本月份该公司的生产成本下降率），即可得出结论． 【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为． （2）（万元）． 答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 一元二次方程的应用—商品销售问题 1．（2023秋•前郭县期末）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？ （3）若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 【分析】（1）观察函数图象，根据图象中点的坐标，利用待定系数法求出与之间的函数关系式； （2）利用超市销售该种干果获得的利润每千克的销售利润日销售量，即可求出结论； （3）利用超市销售该种干果获得的利润每千克的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价9元． 【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为， 将，代入得：， 解得：， 与之间的函数关系式为． （2） （元． 答：当每千克干果降价3元时，超市获利2210元． （3）依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又要让顾客获得更大实惠， ． 答：这种干果每千克应降价9元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据图中点的坐标，，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 2．（2023秋•吉林期末）某地蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由． 【分析】（1）设平均每次下调，根据该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元列一元二次方程，求解即可； （2）分别计算出方案一和方案二的总费用，再进行比较即可． 【解答】解：（1）设平均每次下调， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 答：平均每次下调； （2）方案一更优惠，理由如下： 方案一：（元， 方案二：（元， ， 采购员选择方案一更优惠． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键． 3．（2020秋•德惠市期末）某校九年级二班的一个数学综合实践小组去沃尔玛超市调查某种商品“十一”节期间的销售情况，下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况： 小阳：据调查，该商品的进价为12元件． 小佳：该商品定价为20元时，每天可售出240件． 小欣：在定价为20元的基础上，涨价1元，每天少售出20件；降价1元，则每天多售出40件． 根据他们的对话，若销售的商品每天能获利1920元时，应该怎样定价更合理？ 【分析】设定价为元，则有进价）每天售出的数量每天利润；解方程求解即可． 【解答】解：当涨价时，设每件商品定价为元，则每件商品的销售利润为元， 根据题意，得 ， 整理，得， 解得，，． 当降价时，设每件商品定价为元，则每件商品的销售利润为元， 根据题意，得 整理，得 解得，，， 综上所述，比较两种方案后，定价为18元更合理． 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系“要使商品每天获利1920元”准确地列出方程是解题的关键． 4．（2020秋•乾安县期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价3元，则平均每天销售数量为 　　件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出件，即平均每天销售数量为件； （2）利用商品平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件． 故答案为：26； （2）设每件商品应降价元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得， 整理，得， 解得：，． 要求每件盈利不少于25元， 应舍去， ． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利每天销售的利润是解题关键． 5．（2023秋•南关区校级期末）果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售． （1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率； （2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由． 【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从15元下调到9.6列出一元二次方程求解即可； （2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果． 【解答】解 （1）设田丰每次价格下调的百分率为． 由题意，得． 解这个方程，得，． 因为降价的百分率不可能大于1，所以不符合题意， 符合题目要求的是． 答：田丰每次价格下调的百分率是． （2）小李选择方案一购买更优惠． 理由：方案一所需费用为：（元， 方案二所需费用为：（元． ， 小李选择方案一购买更优惠． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，在解决有关增长率的问题时，注意其固定的等量关系 一元二次方程的应用—图形面积问题 1．（2023秋•榆树市校级期末）如图，公园原有一块长，宽的矩形空地．后来从这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．如果各区域鲜花面积和为，求所铺设的石子路的宽度． 【分析】设所铺设的石子路的宽度为 ，则其余部分可合成长为，宽为的矩形，根据各区域鲜花面积和为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设所铺设的石子路的宽度为 ，则其余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得： 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：所铺设的石子路的宽度为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2023秋•农安县期末）某校生物小组有一块长，宽的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为，小道的宽应是多少？ 【分析】本题可设道路的宽为 ，将4块草地平移为一个长方形，长为，宽为．根据长方形面积公式即可求出道路的宽． 【解答】解：设道路的宽为 ，依题意有 ， 整理，得． ， ，（不合题意，舍去） 答：小道的宽应是． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程． 3．（2023秋•梨树县期末）已知一个包装盒的表面展开图如图． （1）若此包装盒的容积为，请列出关于的方程，并求出的值； （2）是否存在这样的的值，使得此包装盒的容积为？若存在，请求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用其容积等于，列出有关的一元二次方程求解即可； （2）利用容积等于，列出有关的一元二次方程后利用根的判别式判断方程根的情况即可． 【解答】解：（1）设包装盒的高为，根据题意得： 整理得： 解得：或 答：包装盒的高为或． （2）不存在，理由如下： 根据题意得： 整理得： △， 此方程无实数根， 不存在这样的的值，使得包装盒的容积为1800立方厘米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据设出的立方体的高表示出其长是解决本题的关键． 4．（2023秋•二道区期末）如图，公园有一块正方形空地，现在从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（图中阴影部分），原空地边减少到点处，另一边减少到点处，若剩余空地是矩形且面积为． （1）求原正方形空地的边长． （2）实际建造时要求栽种鲜花的面积是原正方形空地面积的一半，且不改变的长度，求实际建造时的长度． 【分析】（1）设原正方形空地的边长为 ，根据剩余空地是矩形且面积为．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设实际建造时的长度为 ，根据实际建造时栽种鲜花的面积是原正方形空地面积的一半，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设原正方形空地的边长为 ， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：原正方形空地的边长为； （2）设实际建造时的长度为 ， 由题意得：， 解得：， 答：实际建造时的长度为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 5．（2023秋•临江市期末）如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设出的长，表示出的长，利用长方形面积公式列方程解答，再根据墙的最大可用长度为12米得出解答案即可； （2）利用（1）中的方法列出方程解答，利用根的判别式判定方程有没有根即可得答案． 【解答】解：（1）设的长为 米，则，根据题意，得， 整理，得， 解得， 墙的最大可用长度为12米， ， ， ，即的长为6米； （2）不能围成面积为90平方米的花圃． 理由：假设存在符合条件的长方形，设的长为米， 于是有， 整理得， △， 该方程无实数根， 不能围成面积为90平方米的花圃． 【点评】此题考查一元二次方程的应用，利用长方形的面积计算公式列方程是解题关键． 6．（2023秋•双辽市期末）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，墙对面有一个宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的长和宽各为多少？ （2）围成养鸡场的面积能否达到？请说明理由． 【分析】（1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出的值即可，注意要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出△的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，（舍去）， 则养鸡场的宽是，长为． （2）设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 整理得：， △， 因为方程没有实数根， 所以围成养鸡场的面积不能达到． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围． 7．（2021秋•通榆县期末）今年我县在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善．某小区规划在长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中的小路分别与和平行，其余部分种草．如果使草坪的总面积为，设小路宽为．如图所示，施工人员设计了两种方案，请你通过计算帮助选择一种数据准确且更容易测量和实施的方案． 【分析】方案一：设小路的宽为，则草坪部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪部分的总面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 方案二：设小路的宽为，则草坪部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪部分的总面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：方案一：根据题意可列方程． 整理，得． 解得，（舍去）． 此时小路宽为米，不便于测量和施工． 方案二：根据题意可列方程． 整理，得． 解得，（舍去）． 此时小路宽为1米，因此选择方案二． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．（2023秋•前郭县期末）关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）上述方程的根，恰好是斜边为6的直角三角形另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出△，解之即可得出结论； （2）根据根与系数的关系可得出、，结合勾股定理可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由方程的两根均为正值可确定的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根， △， 解得：． （2），是方程的两个根， ，． ，即， 或． ， ， 这个三角形的周长． 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及勾股定理，解题的关键是：（1）由方程有两个实数根找出△；（2）利用根与系数的关系结合勾股定理找出． 9．（2023秋•通榆县期末）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙长25米），现在已备足可以砌50米长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300米． 【分析】设为 ，则为，根据题意可得等量关系：矩形的长宽，根据等量关系列出方程，再解即可． 【解答】解：设为 ，则为， 根据题意得方程：， ， 解得；，， 当时（不合题意，舍去）， 当时（符合题意）． 答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． 10．（2022秋•延边州期末）如图，有一块矩形铁片，长，宽，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么铁皮各角切去的正方形的边长应为多少？ 【分析】设切去正方形的边长为，得出盒底的长为，宽为，再根据题意列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：设切去正方形的边长为， 则盒底的长为，宽为， 根据题意得：， 展开得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 则铁皮各角应切去边长为的正方形． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$