3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时） 导学案 1、 学习目标 1. 掌握抛物线的几何性质及其简单应用． 2. 掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题． 2、 教学重难点 重点：掌握抛物线的几何性质及其简单应用. 难点：掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题. 3、 学习过程 1． 复习回顾，引入新知 教师：PPT展示复习的内容，并要求学生自主完成填空. 抛物线的简单几何性质 图形及方程 开口 范围 对称轴 顶点 离心率 通径 学生：按要求自主完成填空，并做好分享答案的准备，由学生代表分享答案，师生共同完善补充. 2． 应用新知 例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴． 跟踪练习：设抛物线的顶点为O，经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于B，C两点，经过抛物线上一点P且垂直于轴的直线与轴交于点Q．求证：是和的比例中项． 例6如图3.3-6，已知定点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点 ，于点，与相交于点，求点的轨迹方程． 追问：问题2中，若设点关于轴的对称点为，求点的轨迹方程，其轨迹是什么？你能在生活中找到实际例子吗？ 跟踪练习：如图所示，已知点，轴于点，点为线段上的动点（不与端点重合），轴于点，于点，与相交于点，记动点的轨迹为． 求的方程. . 思考：(1)解决抛物线的综合问题时，一般的基本解题思路是什么？， (2) 生活中还有哪些事物与抛物线有关？ 师生活动：学生思考、小组谈论，推选代表发言. 教师引导学生对所学知识、数学思想进行小结，并对学生回答情况进行评价和补充. 3． 能力提升 新知扩展：直线与抛物线的位置关系 几何角度： 思考：直线与抛物线相交，一定有两个公共点吗？ 跟踪练习：已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________. 题型：代数式中的轨迹方程 引例：若点满足方程，则点P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 4． 课堂小结 5． 随堂限时小练 1．抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 2．已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 3．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 4．已知抛物线的方程为，直线过定点P（2,0），斜率为．当为何值时，直线与抛物线： （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点． 5．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点. (1)若直线的斜率为，求线段的长； (2)求证：直线平行于抛物线的对称轴. 6． 课后作业布置 作业1：完成教材：第138页 练习1,2,3,4,5 作业2：配套辅导资料对应的《抛物线的简单几何性质 第2课时》 7． 课后作业答案 练习（第138页） 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点关于准线的对称点为； （2）关于轴对称，与直线相交所得线段的长为12； （3）关于轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形． 2．点在抛物线上，为焦点，直线与准线相交于点，求． 3．设抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为，求抛物线的方程和点的坐标． 4．两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的，两点，为何值时，直线经过抛物线的焦点? 5．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于，两个动点，求点的轨迹方程． 习题3.3 （第138页） 1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）；（2）；（3）；（4）． 2．填空题． （1）准线方程为的抛物线的标准方程是 ； （2）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是 ． 3．抛物线上一点与焦点的距离，求点的坐标． 4．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形： （1）顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等于6； （2）顶点在原点，对称轴是轴，并经过点． 5．如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，求． 6．如图，直线与抛物线相交于，两点，求证：． 7．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽为7m，高为0．7m．根据图中的坐标系，求这条抛物线的方程． 8．图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水面下降1m后，水面宽多少?(精确到0.1m) 9．从抛物线上各点向轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线． 10．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长． 11．已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2，求点的轨迹方程． 12．已知抛物线的方程为，直线绕点旋转，讨论直线与抛物线的公共点个数，并回答下列问题： （1）画出图形表示直线与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况? （2）与直线的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系? 13．设抛物线的焦点为，从点发出的光线经过抛物线上的点(不同于抛物线的顶点)反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴． 复习参考题3（第145页） 1．如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）A距地面439km，远地点（离地面最远的点）B距地面2384km，并且，A，B在同一直线上，地球半径约为6371km．求： （1）卫星运行的轨道方程（精确到1km）； （2）卫星轨道的离心率． 2．选择题 （1）曲线与曲线的　　 A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 （2）与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线 D．一个圆上 3．当从0到变化时，方程表示的曲线怎样变化？ 4．如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围． 5．设抛物线的顶点为，经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于，两点，经过抛物线上一点 且垂直于轴的直线与轴交于点．求证：． 6．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长． 7．已知点是椭圆上一点，且在轴上方，，分别是椭圆的左、右焦点，直线斜率为，求的面积． 8．从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且，，求此椭圆方程． 9．已知点，的坐标分别是，． 直线，相交于的，且它们的斜率之和是2，求点的轨迹方程． 10．如图，已知直线与抛物线交于，两点，且，交于点，点的坐标为，求的值． 11．已知的两个顶点，的坐标分别是，，且，所在直线的斜率之积等于，试探求顶点的轨迹． 12．在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短． 13．当变化时，指出方程表示的曲线的形状． 14．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m．已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？（精确到0.1 m） 15．综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2 m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知，是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位mm），分别求抛物线和双曲线的方程． 16．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，两点，以为直径画圆，观察它与抛物线的准线的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？ . 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时） 导学案 1、 学习目标 1. 掌握抛物线的几何性质及其简单应用． 2. 掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题． 2、 教学重难点 重点：掌握抛物线的几何性质及其简单应用. 难点：掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题. 3、 学习过程 1． 复习回顾，引入新知 教师：PPT展示复习的内容，并要求学生自主完成填空. 抛物线的简单几何性质 图形及方程 开口 范围 对称轴 顶点 离心率 通径 学生：按要求自主完成填空，并做好分享答案的准备，由学生代表分享答案，师生共同完善补充. 2． 应用新知 例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴． 分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图3.3-5所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可． 预设：证明：如图3.3-5，以抛物线的对称轴为轴， 抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系． 设抛物线的方程为 ① 点的坐标为，则直线的方程为 ② 抛物线的准线方程是． ③ 联立②③，可得点的纵坐标为． 因为焦点的坐标是， 当时，直线的方程为 ④ 联立①④，消去，可得，即． 可得点的纵坐标为，与点的纵坐标相等，于是平行于轴． 当时，易知结论成立． 所以，直线平行于抛物线的对称轴． 思考：你还有其他证明方法吗？ 学生：思考并讨论，得出答案： 由于点、的坐标还和直线有关，我们还可以先设直线的方程. 解法二：以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点， 建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为，， 设直线的方程为，将其代入，得 ，， 设，，则，， 过作垂直于抛物线的准线，垂足为，则， 则，，， 即三点共线，所以与重合， 从而直线平行于抛物线的对称轴． 结论： 跟踪练习：设抛物线的顶点为O，经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于B，C两点，经过抛物线上一点P且垂直于轴的直线与轴交于点Q．求证：是和的比例中项． 分析：设抛物线方程为，可求得，设，则证明即可. 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：设抛物线方程为， 则焦点为，联立解得， 则，， 设，则， ，则， 所以是和的比例中项. 例6如图3.3-6，已知定点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点 ，于点，与相交于点，求点的轨迹方程． 预设：设点，，其中，则点的坐标为． 由题意，直线的方程为 ① 因为点在上，将点的坐标代入①，得 ， ② 所以点的横坐标满足②． 直线的方程为 ③ 因为点在上，所以点的坐标满足③． 将②代入③，消去，得，即点的轨迹方程． 追问：问题2中，若设点关于轴的对称点为，求点的轨迹方程，其轨迹是什么？你能在生活中找到实际例子吗？ 轨迹方程为,其轨迹为抛物线的一部分，即为抛物拱，生活中的拱桥、卫星接受天线等都是抛物拱，抛出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分. 跟踪练习：如图所示，已知点，轴于点，点为线段上的动点（不与端点重合），轴于点，于点，与相交于点，记动点的轨迹为． 求的方程. . 预设：设，则．直线的方程为，，． ，． ，，化简得，其中． 即的方程为：． 思考：(1)解决抛物线的综合问题时，一般的基本解题思路是什么？， (2) 生活中还有哪些事物与抛物线有关？ 师生活动：学生思考、小组谈论，推选代表发言. 教师引导学生对所学知识、数学思想进行小结，并对学生回答情况进行评价和补充. 3． 能力提升 新知扩展：直线与抛物线的位置关系 几何角度： 思考：直线与抛物线相交，一定有两个公共点吗？ 预设：也可能只有一个公共点，直线平行于对称轴（斜率为0） 代数角度： 引例 预设： 跟踪练习：已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________. 预设：由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)， 代入抛物线方程，消去y并整理，得 k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0 当k＝0时，显然满足题意； 当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k<0或0<k≤1. 因此直线l的斜率的取值范围是[－1,1]. 题型：代数式中的轨迹方程 引例：若点满足方程，则点P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 预设：方程等价于，该代数式几何意义为： 该式表示动点到定点与定直线的距离相等且定点不在定直线上， 根据抛物线的定义可知：动点的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的一条抛物线． 故选：． 总结：根式中被开方数为平方和形式，大概率几何意义为两点间距离； 绝对值中式关于x,y的二元一次方程，大概率几何意义为点到直线的距离. 4． 课堂小结 5． 随堂限时小练 1．抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【详解】根据题意，抛物线在点处的切线的斜率存在， 设切线方程为， 联立方程组，得， 则，解得. 故选：C 2．已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【详解】方程，此式表示的是动点到定点与定直线的距离相等且定点不在定直线上， 根据抛物线的定义可知：动点的轨迹是以定点为焦点，定直线 为准线的一条抛物线． 故选：． 3．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 【详解】抛物线的焦点为， 设直线的方程，， 由消去得， 则，由，得， 联立解得或，因此，所以. 故答案为：5 4．已知抛物线的方程为，直线过定点P（2,0），斜率为．当为何值时，直线与抛物线： （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点． 【详解】由题意可设直线方程为：y＝k（x2）， 联立方程可得，整理可得k2x24（k2﹣1）x+4k2＝0（*） （1）直线与抛物线只有一个公共点⇔（*）没有根 ①k＝0时，x＝0符合题意 ②k≠0时，△＝16（k2﹣1）2﹣16k4＝0∴ 综上可得，，，或0， （2）直线与抛物线有2个公共点⇔（*）有两个根∴ ∴即∪ （3）直线与抛物线没有一个公共点⇔（*）没有根 解不等式可得，k或k， 即∪ 5．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点. (1)若直线的斜率为，求线段的长； (2)求证：直线平行于抛物线的对称轴. 【详解】（1）∵抛物线的焦点，准线方程为， 直线的方程为，联立方程，可得， ， 由抛物线的定义可知，； （2）设直线的方程为：， 令，可得， 设直线的方程为：，联立方程，化为， ，即， ∴，即直线平行于抛物线的对称轴. 6． 课后作业布置 作业1：完成教材：第138页 练习1,2,3,4,5 作业2：配套辅导资料对应的《抛物线的简单几何性质 第2课时》 7． 课后作业答案 练习（第138页） 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点关于准线的对称点为； （2）关于轴对称，与直线相交所得线段的长为12； （3）关于轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形． 1．解析：（1）由题意知，可设抛物线标准方程为，，准线方程为， 又∵焦点关于准线的对称点为，，， ∴所求抛物线的标准方程为． （2）由题意可设抛物线的标准方程为：，因为直线与抛物线相交所得线段的长为12，所以点在抛物线上，代入得：，解得：， 所以所求抛物线的标准方程为：． （3）如图所示，当焦点在轴正半轴时，设方程为．为正三角形，且， 则，∴所求抛物线的标准方程为． 同理可求当抛物线的焦点在轴的负半轴时，抛物线的标准方程为． 2．点在抛物线上，为焦点，直线与准线相交于点，求． 2．解析：因点在抛物线上，则，即，而焦点， 直线，即，而抛物线的准线为， 由，得点，，所以． 3．设抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为，求抛物线的方程和点的坐标． 3．解析：抛物线的准线方程为，设点的纵坐标为， 由已知结合抛物线定义得，又点到轴的距离为， 于是得点，而点在抛物线上， 从而有，整理得，而，解得， 所以抛物线的方程为，点的坐标为． 4．两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的，两点，为何值时，直线经过抛物线的焦点? 4．解析：直线和斜率互为相反数，且都过原点，则两直线关于轴对称， 又抛物线关于轴对称，焦点坐标为， 则，两点关于轴对称， 由可得，即，则， 要使直线经过抛物线的焦点，则，解得， 所以当时，直线AB经过抛物线的焦点． 5．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于，两个动点，求点的轨迹方程． 5．解析：因圆心在轴上移动，且该圆过点和，则线段是圆的直径，圆心， 而点在圆上，则，即，化简整理得， 所以点的轨迹方程． 习题3.3 （第138页） 1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）；（2）；（3）；（4）． 1．解析：（1）焦点坐标为，准线方程为； （2）焦点坐标为，准线方程为； （3）焦点坐标为，准线方程为； （4）焦点坐标为，准线方程为． 2．填空题． （1）准线方程为的抛物线的标准方程是 ； （2）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是 ． 2．解析：（1）； （2）抛物线的焦点为，准线为直线．设是到焦点距离等于6的点，由抛物线定义知，，解得，此时，， 即点的坐标为或． 3．抛物线上一点与焦点的距离，求点的坐标． 3．解析：设是抛物线上满足条件的点，由题意知，焦点为准线方程为． 因为，由抛物线定义知，，解得， 将代入，得， 因此，点的坐标为，． 4．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形： （1）顶点在原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离等于6； （2）顶点在原点，对称轴是轴，并经过点． 4．解析：（1）∵抛物线的焦点可能在轴的正半轴，也可能在轴的负半轴，不妨设抛物线的标准方程为，由题意，得即，∴所求抛物线的标准方程为或． 图形如图所示． (2)设抛物线的方程为，把点代入得，解得， ∴所求抛物线的标准方程为．图形如图所示． 5．如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，求． 5．解析：（解法一）由抛物线的方程可知，焦点的坐标为．因为，所以线段所在直线的斜率，因此直线的方程为，与抛物线的方程联立， 得，消去，得，解得，，所以，． 由题图知不合题意，舍去，所以点的坐标为． 因此． （解法二）抛物线的准线为，过作垂直于直线，垂足为，作于点，直线与轴交于点，如图： 则轴，即，四边形是矩形，中，， 由抛物线定义知，，而，，则，解得． （解法三）． 6．如图，直线与抛物线相交于，两点，求证：． 6．证明：将代入中，得，即， 解得，，则，， 所以．所以． (方法2)同方法1得方程． 设，，由一元二次方程根与系数的关系，可知，． 因为，，所以 所以，所以． 7．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽为7m，高为0．7m．根据图中的坐标系，求这条抛物线的方程． 7．解：设所求抛物线的方程为，依题意，知点在抛物线上， 代入方程，得，解得， ∴所求抛物线的方程为． 8．图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水面下降1m后，水面宽多少?(精确到0.1m) 8．解：在抛物线形拱桥上，以拱顶为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，如图．设该抛物线的方程为． ∵拱顶离水面2m，水面宽4m，∴点在抛物线上， ∴，解得，∴抛物线的方程为． 当水面下降1m时，，代入， 得，即．这时水面宽为． 9．从抛物线上各点向轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线． 9．解析：如图，设是抛物线上的任一点，轴，垂足为，则，设线段的中点为，则，即， 因为在抛物线上，所以，即．即垂线段中点的轨迹方程为，其轨迹是焦点坐标为，顶点在坐标原点的抛物线． 10．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长． 10．解析：由对称性可设等边三角形的另两个顶点为，， 依题意，得．于是有，即，解得或． 显然不合题意，由，得，即，． 所以等边三角形的边长为． 11．已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2，求点的轨迹方程． 11．解析：设，则，整理，得． 动点的轨迹方程是． 12．已知抛物线的方程为，直线绕点旋转，讨论直线与抛物线的公共点个数，并回答下列问题： （1）画出图形表示直线与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况? （2）与直线的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系? 12．解析：（1）如图所示． 直线与抛物线只有一个公共点时，直线与抛物线相切或直线与抛物线相交于一个公共点（此时直线与轴平行）． （2）直线的斜率存在时，设直线的斜率为，方程为，即， 由，消去得：， 时，直线的方程为，，方程组只有一个解，由图知直线与抛物线相交，只有一个公共点，直线的斜率为0； 时，， 当，即或时，方程组有两个相同的实数解，由图知直线与抛物线相切，只有一个公共点，直线的斜率分别为； 当，即时，方程组有两个不同的实数解，由图知直线与抛物线交于两点，直线的斜率； 当，即时，方程组没有实数解，由图知直线与抛物线相离，没有公共点，直线的斜率； 直线的斜率不存在时，的方程为，显然方程组没有实数解，由图知直线与抛物线相离，没有公共点，直线的斜率不存在； 所以抛物线与直线的方程组成的方程组解的个数与抛物线与直线公共点的个数相等． 13．设抛物线的焦点为，从点发出的光线经过抛物线上的点(不同于抛物线的顶点)反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴． 13．解析：如图，设直线与抛物线有唯一公共点，从焦点发出的光线经过点反射，反射光线为，将代入， 得． 整理得关于的方程．于是即． 可得点的坐标为． 过点作直线垂直于，与轴交于点， 则直线的方程为，可得，又， 得，， 所以， 因此．由于光线的入射角等于反射角， 所以， 因此， 于是轴．所以反射光线平行于抛物线的对称轴． 复习参考题3（第145页） 1．如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）A距地面439km，远地点（离地面最远的点）B距地面2384km，并且，A，B在同一直线上，地球半径约为6371km．求： （1）卫星运行的轨道方程（精确到1km）； （2）卫星轨道的离心率． 1．【答案】（1）；（2） 【解析】根据题意，以中点为坐标原点，，，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设卫星运行的轨道的椭圆方程为， 则由题知，解得， 所以， 由于， 所以所求椭圆方程为． （2）由（1）得，故此时卫星轨道的离心率． 2．选择题 （1）曲线与曲线的　　 A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 （2）与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线 D．一个圆上 2．【答案】（1）D （2）B 【解析】（1）曲线表示焦点在轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8． 曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为， 离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确． （2）设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为 ，半径为1； 圆，即的圆心为，半径为2． 依题意得， ，则， 所以点的轨迹是双曲线的一支．故选：B． 3．当从0到变化时，方程表示的曲线怎样变化？ 3．【解析】（1）当时，，曲线即，表示两条直线； （2）当时，，曲线，表示圆； （3）当时，，曲线表示椭圆； （4）当时，，曲线表示双曲线． 4．如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围． 4．【答案】或 【解析】直线方程与双曲线方程联立：得：， 当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去； 当时，，即或，无公共点． 综上所述：或． 5．设抛物线的顶点为，经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于，两点，经过抛物线上一点 且垂直于轴的直线与轴交于点．求证：． 5．【解析】设抛物线方程为，则焦点为， 联立解得，则，，， 设，则，且，，， 则． 6．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长． 6．【解析】因为抛物线关于轴对称， 设等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点，在抛物线上， 所以两个顶点，关于轴对称，所以设，， 由于抛物线的焦点坐标为，所以等边三角形的边长为，高为， 所以，解方程得，所以等边三角形的边长为． 解法二：因为抛物线关于轴对称， 设等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点，在抛物线上， 设正三角形的边长为，则，将点坐标代入，得 ，配方，得，，所以等边三角形的边长为． 7．已知点是椭圆上一点，且在轴上方，，分别是椭圆的左、右焦点，直线斜率为，求的面积． 7．【解析】椭圆化成标准形式为． ，是椭圆的左、右焦点，，， 设是椭圆上一点，则，且 消去，得，，． 当时，，不满足，舍去．由，得． 的面积． 8．从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且，，求此椭圆方程． 8．【解析】由椭圆方程可知：，，设椭圆焦点，又，则， ，，，整理可得：， 又，，，，， 此椭圆的方程为：． 9．已知点，的坐标分别是，． 直线，相交于的，且它们的斜率之和是2，求点的轨迹方程． 9．【解析】设，，的斜率存在，，又，， ∴由，得：， 整理得：，∴点的轨迹方程为：． 10．如图，已知直线与抛物线交于，两点，且，交于点，点的坐标为，求的值． 10．【解析】，， ，，则直线的方程为：，即， 设两点的坐标分别为，，联立，消得：， ，，，． 11．已知的两个顶点，的坐标分别是，，且，所在直线的斜率之积等于，试探求顶点的轨迹． 11．【解析】设点的坐标为， 由已知得：直线的斜率，直线的斜率， 由题意知，整理得， 当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点，； 当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点，； 当时，顶点的轨迹是圆，并除去两点，； 当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点，． 12．在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短． 12．【解析】根据题意设， 所以点到直线的距离为： 当且仅当时等号成立，此时 所以当时，点到直线的距离最短，为． 13．当变化时，指出方程表示的曲线的形状． 13．【解析】对于方程， 当时，方程为，即，表示轴； 当时，方程为，即，表示轴； 当且时，方程为， 若，即时，方程为圆，，表示以原点为圆心的单位圆； 若，即或时，方程表示双曲线； 若且时，即且时，方程表示椭圆； 综上，当时，表示轴；当时，表示轴；时，方程表示以原点为圆心的单位圆；或时，方程表示双曲线；且时，方程表示椭圆． 14．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m．已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？（精确到0.1 m） 14．【解析】取隧道截面，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，， 设抛物线方程，将点代入抛物线方程得， ∴抛物线方程为，行车道总宽度， 将代入抛物线方程，，所以限制高度为． 答：车辆通过隧道的限制高度是3.25米． 15．综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2 m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知，是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位mm），分别求抛物线和双曲线的方程． 15．【解析】解：对于双曲线，有，，，， 双曲线的方程为； ，抛物线的顶点的横坐标是， 抛物线的方程为． 16．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，两点，以为直径画圆，观察它与抛物线的准线的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？ 16．【解析】取的中点，分别过、、作准线的垂线、、，垂足分别为、、，如图所示： 由抛物线的定义可知，，， 在直角梯形中，， 故圆心到准线的距离等于半径，∴以为直径的圆与抛物线的准线相切． 相应于椭圆、双曲线，如图所示， 圆半径为，则 ，分别过点，做准线的垂线，则构成一个直角梯形， 两底长分别为 ，（为离心率） 圆心到准线的距离为梯形的中位线长，即 ∵椭圆，，∴相离； 双曲线，可得，相交． . 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$