3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时）（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时） 教学设计 1、 教学目标 1. 了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养. 2. 能利用性质解决与抛物线有关的问题． 3. 能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养． 2、 教学重难点 重点：了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养． 难点：能利用性质解决与抛物线有关的问题 3、 学情分析与教材分析 1. 学情分析： 从学习背景来看，学生在此前已经学习了直线和圆的方程，以及椭圆和双曲线的几何性质，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。这为学生进一步学习抛物线的几何性质奠定了坚实的基础。然而，由于解析几何的学习时间还不长，部分学生在理解和掌握上可能存在一定的困难。 在认知能力方面，学生已经具备了一定的逻辑推理和归纳猜想能力，能够通过观察和分析来探索数学规律。因此，在教学过程中，教师可以充分利用学生的这些能力，引导他们通过类比椭圆和双曲线的几何性质，来探究抛物线的几何性质。 此外，学生的兴趣点也是学情分析中不可忽视的因素。通过设置教学情境和课堂练习，激发学生的学习兴趣和探究欲望，使他们能够主动参与到学习活动中来。同时，教师还需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习能力和学习风格，提供个性化的指导和帮助。 综上所述，针对抛物线的简单几何性质的学情分析，教师需要全面了解学生的学习背景、认知能力和兴趣点，并根据这些因素来制定教学计划和教学策略。在教学过程中，教师应注重培养学生的观察、分析和逻辑推理能力，同时关注学生的个体差异，提供个性化的指导和帮助，以确保每位学生都能够理解和掌握这一重要内容。 2. 教材分析： 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第三章《圆锥曲线》，本节课主要学习抛物线的简单几何性质 在教材中，抛物线的简单几何性质通过抛物线的标准方程进行引入，并通过对抛物线图像的观察和分析，探讨其几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等。这些性质不仅在数学内部有着紧密的联系，而且在实际应用中也有着广泛的应用价值，如物理中的抛体运动、工程设计中的抛物线形状设计等。 此外，这一部分内容还蕴含着丰富的数学思想和方法，如数形结合、分类讨论、归纳猜想等。通过学习抛物线的几何性质，学生可以进一步理解这些数学思想和方法，并培养自己的数学素养和解题能力。 教材在编排上也注重循序渐进，先通过类比椭圆和双曲线的几何性质来引导学生探究抛物线的几何性质，再通过例题和练习来巩固所学知识，并提高学生的应用能力。同时，教材还注重培养学生的观察、分析和推理能力，通过引导学生观察抛物线的图像、分析抛物线的性质，培养他们的直观想象和数学运算能力。 综上所述，抛物线的简单几何性质在高中数学选择性必修第二册中具有重要的地位和作用，它不仅是学生学习解析几何、圆锥曲线等内容的基础，也是培养学生数学素养和解题能力的重要途径。 4、 教学过程 1． 复习回顾，引入新知 教师：抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程。 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 学生：按要求自主完成填空，并做好分享答案的准备. 课前活动：类比用方程研究椭圆双曲线几何性质的过程与方法， ① 你认为应研究抛物线的哪些几何性质，如何研究这些性质？ 提示：范围，对称性、顶点、离心率等 学生：类比学习椭圆时研究方法，进行抛物线的简单几何性质的分析，学生先自己做一做，再在小组说一说，选出代表在班级讲一讲。 设计意图：依据学生思维的形象直观性和认知的情景依存性，在问题的指引下， 学生自主探究，深入思考， 感知数学， 并在小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导．全班交流后，及时点评。 2． 新课探究 类比：类比研究椭圆范围的方法，观察抛物线，你可以发现抛物线上点的横坐标和纵坐标的范围分别是什么？ 学生：尝试着观察抛物线的图，以及类比椭圆的探究方法，与同桌讨论分析，得出答案. 预设：范围是，纵坐标的范围是. 因为，由方程①可知，对于抛物线上的点，，， 当时，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同； 当的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 思考：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？ 预设：在方程中，并无限制，因此。而因为，且，所以。 设计意图：让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。 教师：归纳总结，得出抛物线的第一个几何性质：范围，并完成以下表格： 图形 标准方程 横坐标范围 横坐标范围 _________ ________ __________ ________ _________ ________ __________ ________ 类比：类比研究椭圆对称性的方法，得到什么结论？ 思考：观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？ 预设答案：学生观察图形容易得到开口向右的抛物线关于轴对称，没有对称中心。 思考：从“数”的角度，怎样说明抛物线图像关于x轴对称？ 预设：以代，方程①不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 教师：要说明抛物线的图像关于x轴对称，只需要在抛物线上任取一点，关于x轴的对称点也在抛物线上即可。 设计意图：引导学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的对称性。 教师：归纳总结，得出抛物线的第二个几何性质：对称性：双抛物线关于轴对称．并完成下列表格： 图形 标准方程 焦点位置 抛物线的轴 _________ ________ __________ ________ _________ ________ __________ ________ 类比：类比求椭圆顶点的方法，尝试求抛物线的顶点. 学生：进行知识迁移，类比椭圆求顶点的办法，得出抛物线的顶点坐标. 预设： 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程①中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． 教师：归纳总结，得出抛物线的第三个几何性质：顶点，并完成表格： 图形 标准方程 求定点坐标 顶点坐标 令___=0，___=0 令___=0，___=0 令___=0，___=0 令___=0，___=0 教师：给出抛物线离心率的定义，并根据抛物线的定义，得出离心率为1。 结论：抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 师生：总结抛物线与椭圆、双曲线性质的差异，并完成以下表格： 椭圆 双曲线 抛物线 范围 封闭 无限伸展 但有渐近线 无限伸展 没有渐近线 对称性 对称中心为原点 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴 两条对称轴 一条对称轴 顶点 4个 2个 1个 离心率 0<e<1 e>1 e＝1 决定形状的因素 e决定扁平程度 e决定“张口”大小 p决定“张口”大小 学生：回顾所学，并完成以上表格，做好分享答案准备. 设计意图：通过，类比椭圆和双曲线的几何性质的学习过程，学习抛物线的几何性质。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。 3． 应用新知 例 3 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，所以可设它的标准方程为． 深入思考：为什么抛物线关于x轴对称，且过点(2，−2√2)，标准方程可设为y^2=2px(p>0)？ 因为点在抛物线上，所以，解得． 因此，所求抛物线的标准方程是． 方法总结：待定系数法求抛物线标准方程的五个步骤 一定焦点：确定抛物线焦点的位置； 二设方程：设出抛物线的标准方程； 三列方程：根据题意建立关于参数p的方程； 四解方程：解方程求参数p的值； 五下结论：写出所求抛物线标准方程. 跟踪练习：已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程． 预设：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，所以可设它的标准方程为． 因为点在抛物线上，所以，解得． 因此，所求抛物线的标准方程是． 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 思考：结合例题3和跟踪训练，思考以下问题： 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程． 预设：因为点在第四象限，所以抛物线的开口方向可能向右，也可能向下，因此共有两条. 当抛物线的开口向右时，就是【例3】的结果： 当抛物线的开口向下时，就是【跟踪训练】的结果： 例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长． 要求：根据之前学习的弦长公式，求出弦长 学生：回顾之前的弦长公式，并求出弦长 预设：易知，直线l的方程为,将代入，整理得 ， 设，．， 思考：还有没有其他方法解答例4 提示：结合抛物线的定义，将过焦点的弦长问题，进行等价转化 学生：从抛物线的定义入手，进行转化，得出新的解答方法： 预设：下面介绍另外一种方法——数形结合的方法． 设，．由抛物线的定义可知，等于点到准线的距离．由，，得，于是，同理，，于是得 ． 由此可见，只要求出点，的横坐标之和，就可以求出． 解：由题意可知，，，焦点的坐标为，准线方程为．如图3.3-4， 设，，，两点到准线的距离分别为，，由抛物线的定义，可知 ，，于是． 因为直线的斜率为1，且过焦点，所以直线的方程为． ① 将①代入方程，得，化简，得． 所以，． 所以，线段的长是8． 师生：方法总结：抛物线的焦点弦长公式： 图形 标准方程 焦点弦长公式 思考：如果直线不经过焦点，还等于吗？ 学生：思考并讨论出答案. 预设：如图，在中，，，则 跟踪练习： 预设： 4． 能力提升 扩展性质一：通径 定义：过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为圆锥曲线的通径 x y O 扩展性质二：抛物线的焦半径和焦点弦公式 结论：在抛物线的所有焦点弦中，通径最短 扩展性质三：抛物线的中相切 5． 课堂小结 、 6． 随堂限时小练 1．已知抛物线上一点与其焦点的距离为5，则点到轴的距离等于（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【详解】设，焦点为,， 由抛物线的定义可知： ，所以， 将其代入抛物线方程中得故，所以点到轴的距离等于4， 故选：B 2．（多选）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为（    ） A．(3，2) B．(3，－2) C．(－3，2) D．(－3，－2) 【详解】抛物线y2＝8x的准线方程为， 设点P的坐标为(x，y)， ∵|PF|＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3. 把x＝3代入方程y2＝8x得y2＝24， ∴y＝±. ∴点P的坐标为(3，±). 故选：AB. 3．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为． 故选：AC 4． 已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且， 则 . 【详解】根据抛物线的定义可得， 所以. 故答案为：10. 5．已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点， (1) 求抛物线方程； (2) 求弦的长度. 【详解】（1）由题意，可设抛物线为，又抛物线经过点， 所以，则抛物线方程为. （2）由（1）知：抛物线焦点为，则直线， 代入抛物线消去y，得，则，显然， 所以，，则. 6．如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线于，两点. (1) 求的值； (2) 求证：OM⊥ON. 【详解】（1）直线l的方程为， 直线与抛物线联立得，消去y可得， 其中， 由韦达定理得； （2）证明：，，所以， 又∵，∴. 设OM，ON的斜率分别为，， 则，，有， 则OM⊥ON. 7． 课后作业布置 作业1：完成教材：第136页 练习1,2,3,4 作业2：配套辅导资料对应的《抛物线的简单几何性质 第1课时》 8． 课后作业答案 练习（第136页） 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）关于轴对称，并且经过点； （2）关于轴对称，准线经过点； （3）准线在轴的右侧，顶点到准线的距离是4； （4）焦点在轴负半轴上，经过横坐标为16的点，且平行于准线． 1．【答案】（1）．（2）．（3）．（4）． 【解析】（1）由题可设抛物线的标准方程为， ∵抛物线过点，，，则抛物线的标准方程为． （2）∵抛物线关于轴对称，且准线过点，∴抛物线的焦点在轴正半轴上， 设抛物线的标准方程为，由题知，抛物线的准线方程为， 所以，得，抛物线的标准方程为． （3）抛物线的准线在轴右侧，∴可设抛物线的方程为， ∵抛物线顶点到准线的距离是4，所以，得，∴抛物线的标准方程为． （4）抛物线的焦点在轴负半轴，∴可设抛物线的方程为， ∵抛物线经过横坐标为16的点，，， 又平行于准线，∴，∴，∴抛物线的标准方程为． 2．在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中的系数的关系： （1）；（2）；（3）；（4）． 2．解析：抛物线如图，x的系数的绝对值越大，抛物线的开口越大． 3．过点作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，求． 3．解析：直线的方程为，与抛物线的方程联立， 消去，得．由根与系数的关系，得，． ． 4．垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程． 4．解析：设直线的方程为，与抛物线的方程联立，消去，得， 解得，．，解得，所以直线的方程为． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$