精品解析：北京市清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024清华附中朝阳学校高二（上）期中 数 学 （清华附中朝阳学校 望京学校） 2024年11月 一、单选题（每小题5分，共50分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（ ） A. B. C. D. 4. 设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 6. 若数列满足，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A. B. C. D. 8. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 9. 已知点F是双曲线的一个焦点，直线，则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为______． 12. 若双曲线的焦距是，则实数_______． 13. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则________；双曲线的渐近线方程是________． 14. 若数列的前项和，则此数列的通项公式为____________；数列中数值最小的项是第_________________项． 15. 已知直线与曲线的图象有公共点，则实数的一个取值为______；实数的最大值为______． 16. 已知曲线，点在曲线上，给出下列四个结论： ①曲线关于直线对称： ②当时，点不在直线上： ③当时，； ④当时，曲线所围成的区域的面积大于. 其中所有正确结论的有____________． 三、解答题（共5个小题，共70分） 17. 在直四棱柱中，，，，， （1）求证：平面； （2）若直四棱柱体积为36，求二面角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴端点分别为，，. （1）求椭圆的标准方程； （2），为椭圆的焦点，为椭圆上一点，且.求点的坐标； （3）为椭圆上任意一点（不与、重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为常数，并说明理由. 19. 如图，在多面体中，为等边三角形，，.点为的中点，再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知. （1）求证：平面； （2）设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 20. 已知椭圆过点，焦距为. （1）求椭圆的方程，并求其短轴长； （2）过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点.设直线的斜率为，求的最大值. 21. 已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集. （1）若，写出的所有子集； （2）若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值； （3）若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024清华附中朝阳学校高二（上）期中 数 学 （清华附中朝阳学校 望京学校） 2024年11月 一、单选题（每小题5分，共50分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】， 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为， 故选：D 2. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程即可求出答案. 【详解】, 又焦点在轴上,所以焦点坐标为，. 故选：C. 3. 平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的基底表示以及线性运算即可求得结果. 【详解】如下图所示： 易知. 故选：D 4. 设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先根据双曲线求出渐近线方程，再与比较即可求出的值． 【详解】由双曲线的几何性质可得，双曲线的渐近线方程为，又因为渐近线方程为，即，故，选C． 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属基础题． 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，先求出两圆的圆心和半径，再利用两圆位置关系的判断方法，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 又，所以两圆的位置关系为外切， 故选：C. 6. 若数列满足，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定数列的周期即可求解. 【详解】, 所以， 所以， 所以数列周期为3，由，可得， 所以. 故选：D 7. 已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出与圆的位置关系，然后根据圆心到直线的距离的最大值求解出弦长的最小值. 【详解】直线恒过定点，圆的圆心为，半径为， 又，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为． 故选：A. 8. 已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值． 【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为， 则，， 所以. 对于，， 取数列各项为(，, 则， 所以n的最大值为11． 故选：C． 9. 已知点F是双曲线的一个焦点，直线，则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由点到直线距离公式和充分必要条件可判断. 【详解】由双曲线，可知，且渐近线方程为 若点F到直线l的距离，得，或， 如图，由双曲线性质可知，直线l与双曲线C没有公共点； 反之，若直线l与双曲线C没有公共点，因为直线l过原点， 由图可知，，或， 则， 即点F到直线l的距离大于或等于1， 所以，“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的充分不必要条件. 故选：A 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系、夹角，异面直线距离、点面距离一一判定选项即可. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系， 则，， 对于①，此时易知，即， 而平面的一个法向量为，显然，即①正确； 对于②，易知平面，即平面， 则直线到平面的距离即点到平面的距离， 此时， 设平面的一个法向量为，则， 令，即， 所以点到平面的距离，即②错误； 对于③，设， 则， ， 所以， 若，则， 显然时符合题意，故③正确； 对于④，当面积最小时即到距离最小时， 此距离亦即异面直线与的距离，易知，则平面， 此距离即到平面的距离， 不妨设平面的一个法向量为，则， 令，即， 则到平面的距离， 所以面积的最小值为，故④错误. 故选：C 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求出的值，进一步得出答案. 【详解】因为抛物线， 所以，∴ 所以的准线方程为. 故答案为： 12. 若双曲线的焦距是，则实数_______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程直接求解. 【详解】由双曲线，即， 且焦距为， 即， 解得， 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则________；双曲线的渐近线方程是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点为，由题设结合双曲线参数关系求，进而根据上曲线方程写出渐近线方程即可. 【详解】由题设，抛物线焦点为，故对于，有， ∴，则，故渐近线方程为. 故答案为：，. 14. 若数列的前项和，则此数列的通项公式为____________；数列中数值最小的项是第_________________项． 【答案】；3 【解析】 【详解】数列的前项和，数列为等差数列，数列的通项公式为=，数列的通项公式为，其中数值最小的项应是最靠近对称轴的项，即n=3，第3项是数列中数值最小的项． 15. 已知直线与曲线的图象有公共点，则实数的一个取值为______；实数的最大值为______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. ## 【解析】 【分析】首先得到直线过定点，曲线是半个圆，数形结合得到两种临界情况，根据直线斜率变化情况，解不等式，即可得到结果. 【详解】 直线可变形为，可得到直线过定点， 曲线为以原点为圆心，为半径的圆的上半部分， 若两个图象有公共点，则只需要直线和圆相交即可，如图是两种临界情况， 当直线过点直线的斜率为；当直线过点时得到直线的斜率为， 当直线斜率存在时，即时，直线的斜率为， 由图可得直线斜率的范围是， 即解得 ， 当时，直线为，符合题意. 故得到范围是， 则实数的一个取值可以为，的最大值为. 故答案为：（答案不唯一）；. 16. 已知曲线，点在曲线上，给出下列四个结论： ①曲线关于直线对称： ②当时，点不在直线上： ③当时，； ④当时，曲线所围成的区域的面积大于. 其中所有正确结论的有____________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对于①：举例，确定点和点是否满足曲线方程来判断；对于②：带入，然后对曲线方程左边因式分解即可；对于③：代入，因式分解得，然后利用基本不等式求的最值即可；对于④：代入，得到，结合双曲线的图象特点来判断面积的大小. 【详解】对于①：点满足曲线，但不满足曲线，所以曲线不关于直线对称，①错误； 对于②：当时，，即， 所以，所以，即点不在直线上，②正确； 对于③：当时，，即，所以 所以，得，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，③正确； 对于④：当时，曲线，所以， 所以，即，所以曲线所围成的区域的面积大于椭圆面积，椭圆面积大于以长轴和短轴为对角线的菱形面积， 故曲线所围成的区域的面积大于，④正确； 故答案为：②③④． 三、解答题（共5个小题，共70分） 17. 在直四棱柱中，，，，， （1）求证：平面； （2）若直四棱柱体积为36，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 由题意知，， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，且平面，平面， 所以平面， 又，、平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用直四棱柱的性质及线面平行的判定定理，可证平面平面，再由面面平行的性质定理，即可得证； （2）先根据棱柱的体积公式求得，过作于，连接，证明即为二面角的平面角，在三角形中求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知，底面为直角梯形， 所以梯形的面积， 因为四棱柱的体积为36， 所以， 过作于，连接， 因为平面，且平面， 所以， 又，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在△中，， 所以，， 所以， 故二面角的余弦值为． 18. 已知椭圆的离心率为，长轴端点分别为，，. （1）求椭圆的标准方程； （2），为椭圆的焦点，为椭圆上一点，且.求点的坐标； （3）为椭圆上任意一点（不与、重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为常数，并说明理由. 【答案】（1） （2），或，或，或 （3）为常数，理由：设，又，， 则， ， 所以， 又，所以， 则， 即为常数. 【解析】 【分析】（1）椭圆的标准方程为，由已知可得，，进而得到，即可求得椭圆的标准方程； （2）设，由，在中，由勾股定理，再可得，与椭圆的方程联立，即可求出点的坐标； （3）设，由， ，可得，即为常数. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为， 因为长轴端点分别为，，所以， 因为椭圆的离心率为，所以，则， 所以， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设， 因为，为椭圆的焦点，为椭圆上一点，且， 所以， 由（1）知椭圆为，， 所以， 整理得，与联立， 解得， 所以点的坐标为，或，或，或. 【小问3详解】 略 19. 如图，在多面体中，为等边三角形，，.点为的中点，再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知. （1）求证：平面； （2）设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）选条件①：平面平面， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面， 所以. 因为为等边三角形，点为的中点， 所以，因为平面平面， 所以平面. 选条件②： 因为，为等边三角形，所以， 因为，则， 所以为直角三角形，所以， 因为平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为为等边三角形，点为的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）选条件①，根据面面垂直的性质推出平面，继而推出，再结合题意，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；选条件②，根据勾股定理逆定理证明，可得平面，继而推出，再结合题意，根据线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）由（1）可得平面，则可得平面，由此建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，由（1）知平面， 所以平面. 如图，以点为原点，过点A在平面ABC内作AC的垂线作为x轴， 分别以所在直线为轴､轴建立空间直角坐标系， 所以， 所以. 因为点为上一点，设， 所以. 因为，则，所以， 所以，所以，所以. 设平面的法向量为，所以， 所以，令，得， 所以. 设直线与平面所成角为，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 20. 已知椭圆过点，焦距为. （1）求椭圆的方程，并求其短轴长； （2）过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点.设直线的斜率为，求的最大值. 【答案】（1），4 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意根据长轴顶点坐标、焦距以及平方关系列方程即可求解. （2）不妨设直线的方程为，，，则.联立直线的方程与椭圆方程，由韦达定理得，联立直线与直线的方程得点的坐标，由中点坐标公式得点的坐标，由斜率公式以及韦达定理可得斜率的表达式（只含有参数），对分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意知，. 所以，. 所以椭圆的方程为，其短轴长为4. 【小问2详解】 设直线的方程为，，，则. 由，得. 所以. 由得直线的方程为. 由得. 因为， 所以，. 所以. 因为为的中点，且， 所以. 所以直线的斜率 . 当时，. 当时， 因为，当且仅当时，等号成立. 所以. 所以当时，取得最大值. 21. 已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集. （1）若，写出的所有子集； （2）若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值； （3）若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值. 【答案】（1）； （2）2； （3）13. 【解析】 【分析】（1）根据子集的定义， 即可容易求得； （2）取，求得，再利用反证法假设，推得与矛盾即可； （3）令，讨论时不满足题意，再验证时的情况满足题意，即可求得的最小值. 【小问1详解】 当时，，的所有子集为. 【小问2详解】 当时，取，因为，所以是的子集，此时； 若，设且， 根据题意，，其中； 因为，所以，所以； 又因为，所以； 因为，所以， 所以； 因为，所以， 所以，与矛盾. 综上所述，. 【小问3详解】 设 ， 设的元素个数为， 若不是的子集， 则最多能包含中的一个元素以及中的元素； 令，易验证不是的子集， 当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的子集， 所以，若的任意一个元素个数为的子集都是的子集，则； 当时，存在，使得中必有两个元素属于， 同时中两个元素之和为的某个正整数指数幂， 所以是的子集； 所以，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握题中对子集的定义，同时要熟练的使用证明方法，属综合困难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $