2024-2025学年人教版数学九年级上册期末模拟练习 （真题重组卷）-

期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•衡阳期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•湘潭期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x+3y﹣5＝0 B．x2+＝1 C．x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0 3．（2024春•瓯海区期末）用配方法解方程x2﹣2x＝1时，配方后所得的方程（　　） A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2 4．（2023秋•宁津县期末）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．80° 5．（2023秋•阿荣旗期末）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为（　　） A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 C．30x+2×20x＝×20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 6．（2023秋•怀仁市期末）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 7．（2023秋•越秀区期末）如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（　　） A．40° B．140° C．70° D．80° 8．（2023秋•昭通期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论中，不正确的是（　　） A．AB＝4 B．b2﹣4ac＞0 C．ab＜0 D．a﹣b+c＜0 二．填空题（共8小题） 9．（2023秋•建邺区期末）如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 　 　． 10．（2023秋•船营区校级期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则旋转角为 　 　°． 11．（2023秋•海门区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'，连接AA'，则AA'的长为 　 　． 12．（2023秋•潍城区期末）已知关于x的一元二次方程：x2﹣kx+3＝0有两个实根x1、x2，则x1x2＝　 　． 13．（2023秋•新吴区期末）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互为联根方程，那么a的值为 　 　． 14．（2023秋•船山区期末）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　 　． 15．（2024春•海淀区校级期末）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 　 　米． 16．（2023秋•丰台区期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点C为劣弧上的点．过点C的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA＝8，则△PMN的周长为 　 　． 三．解答题（共9小题） 17．（2023秋•长寿区期末）解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0． 18．（2023秋•南京期末）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点． （1）连接OC，求证：OC垂直平分AB； （2）若AB＝8，，求⊙O的半径． 19．（2023秋•潮州期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，D为△ABC内一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，连接DE，BD，CE． （1）求证：BD＝CE； （2）若DE⊥AC，求∠BAD的度数． 20．（2023秋•冠县期末）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？ （2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 21．（2023秋•百色期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 22．（2023秋•奇台县校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AC＝4，CE＝2，求半径的长． 23．（2022秋•渠县期末）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生数是 　 　人，圆心角β＝　 　度； （2）补全条形统计图； （3）已知该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？ （4）若在这次竞赛中有A、B、C、D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加区级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A、C两人同时参赛的概率． 24．（2023秋•嘉兴期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，且过点B（﹣1，2），C（3，0）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，当抛物线经过点B时，求m的值； （3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且S△ABC＝2S△ACP，求点P的坐标． 25．（2021秋•疏附县期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N． （1）求抛物线的函数关系式； （2）求直线AC的函数关系式； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求△APC面积的最大值． 期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•衡阳期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A选项不是轴对称图象，也不是中心对称图形，不合题意； B选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意； C选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意； D选项是轴对称图象，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2．（2023秋•湘潭期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x+3y﹣5＝0 B．x2+＝1 C．x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0 【解答】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当a＝0时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（2024春•瓯海区期末）用配方法解方程x2﹣2x＝1时，配方后所得的方程（　　） A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2 【解答】解：∵x2﹣2x＝1， ∴（x﹣1）2＝2， 故选：D． 4．（2023秋•宁津县期末）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．80° 【解答】解：设AB的中点为O，连接OD，如图所示： ∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC， ∴A、C、B、D四点共圆， ∵量角器上点D对应的读数是100°， ∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°， ∴∠BCD＝∠BOD＝40°， 故选：B． 5．（2023秋•阿荣旗期末）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为（　　） A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 C．30x+2×20x＝×20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30， 故选：B． 6．（2023秋•怀仁市期末）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接OC， ∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，OA＝4， ∴AB＝2OA＝8， ∵OA＝OC，∠OAB＝60°， ∴△AOC为等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴∠COB＝30°， ∴， ∴OC为△AOB的中线， ∴S△AOC＝S△BOC， ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 7．（2023秋•越秀区期末）如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（　　） A．40° B．140° C．70° D．80° 【解答】解：∵PA是圆的切线． ∴∠OAP＝90°， 同理∠OBP＝90°， 根据四边形内角和定理可得： ∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°， ∴∠ACB＝∠AOB＝70°． 故选：C． 8．（2023秋•昭通期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论中，不正确的是（　　） A．AB＝4 B．b2﹣4ac＞0 C．ab＜0 D．a﹣b+c＜0 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0）， ∴A（﹣3，0）， ∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，所以选项A正确，不合题意； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以选项B正确，不合题意； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ∴b＝2a＞0， ∴ab＞0，所以选项C不正确，符合题意； ∵x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，所以D正确，不合题意． 故选：C． 二．填空题（共8小题） 9．（2023秋•建邺区期末）如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 　　． 【解答】解：∵共有9种小正方形，其中黑色正方形的有3个， ∴小刚任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色区域的概率是＝， 故答案为：． 10．（2023秋•船营区校级期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则旋转角为 　60　°． 【解答】解：∵∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合， ∴∠A′B′C＝60°，AB＝A′B′＝A′C， ∴△A′B′C是等边三角形， ∴∠B′A′C＝60°， ∴旋转角的度数为60°． 故答案为：60． 11．（2023秋•海门区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'，连接AA'，则AA'的长为 　5　． 【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB＝＝5， ∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'， ∴BA＝BA′＝5，∠ABA′＝90°， ∴AA′＝＝5． 故答案为：5． 12．（2023秋•潍城区期末）已知关于x的一元二次方程：x2﹣kx+3＝0有两个实根x1、x2，则x1x2＝　3　． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程：x2﹣kx+3＝0有两个实根x1、x2， ∴x1x2＝3． 故答案为：3． 13．（2023秋•新吴区期末）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互为联根方程，那么a的值为 　﹣2　． 【解答】解：∵x2﹣（2+a）x+2a＝0， ∴（x﹣2）（x﹣a）＝0， 解得：x1＝2，x2＝a． ∵关于x的两个一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互为联根方程， ∴x＝2或x＝a关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0的根． 将x＝2代入方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0得：4（a﹣1）﹣2a2﹣a+2＝0， 整理得：2a2﹣3a+2＝0， ∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0， ∴此时该方程无实数根，即x＝2不是关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0的解； 将x＝a代入方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0得：（a﹣1）a2﹣a3﹣a+2＝0， 整理得：a2+a﹣2＝0， 解得：a1＝﹣2，a2＝1， 又∵a﹣1≠0， ∴a＝﹣2， ∴a的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 14．（2023秋•船山区期末）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　﹣1或2　． 【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1， ①当（x﹣1）2＝x2时，不可能得出最小值为1； ②当（x﹣1）2＞x2时，x2＝1，x＝1或x＝﹣1则若x＝1，则（x﹣1）2＝0，不符合题意； 若x＝﹣1，符合题目意思． ∴x＝﹣1； ③当（x﹣1）2＜x2时，则（x﹣1）2＝1， ∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1； ∴当x﹣1＝1时，x＝2， 当x﹣1＝﹣1时，x＝0（不合题意舍去）， 故答案为：﹣1或2． 15．（2024春•海淀区校级期末）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 　8　米． 【解答】解：令y＝8，即y＝﹣x2+10＝8， 解得：x＝±4， ∴则EF＝4﹣（﹣4）＝8（米）． 16．（2023秋•丰台区期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点C为劣弧上的点．过点C的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA＝8，则△PMN的周长为 　16　． 【解答】解：∵PA，PB，MN是⊙O的切线，PA＝8， ∴MA＝MC，NC＝NB，PA＝PB＝8， ∴△PMN的周长＝PM+MC+NC+PN＝PM+MA+NB+PN＝PA+PB＝16． 故答案为：16． 三．解答题（共9小题） 17．（2023秋•长寿区期末）解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0． 【解答】解：（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3+4x）＝0， （x﹣3）（5x﹣3）＝0， x﹣3＝0或5x﹣3＝0， 解得x1＝3，． 18．（2023秋•南京期末）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点． （1）连接OC，求证：OC垂直平分AB； （2）若AB＝8，，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接OA，OB，OC， ∵由C是的中点， ∴＝， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵OA＝OB， ∴OC垂直平分AB； （2）解：由（1）知，OC垂直平分AB， ∵AB＝8，， ∴AD＝AB＝4， ∴CD＝＝＝2， 设⊙O的半径为r， 则OD＝r﹣2，OA＝r， 在Rt△AOD中， AD2+OD2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2， 解得r＝5． 19．（2023秋•潮州期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，D为△ABC内一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，连接DE，BD，CE． （1）求证：BD＝CE； （2）若DE⊥AC，求∠BAD的度数． 【解答】（1）证明：∵将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝42°， ∵∠BAC＝42°， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠CAE＝∠BAD， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：由（1）知AD＝AE，∠DAE＝42°， ∵DE⊥AC， ∴∠CAE＝DAE＝21°， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＝21°． 20．（2023秋•冠县期末）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？ （2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【解答】解：（1）设每件降价x元，则每件盈利（90﹣x﹣50）元，平均每天可售出（20+2x）件， 依题意得：（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， 又∵要使顾客得到较多的实惠， ∴x＝20． 答：每件应降价20元． （2）每天不可能盈利2000元，理由如下： 设每件降价y元，则每件盈利（90﹣y﹣50）元，平均每天可售出（20+2y）件， 依题意得：（90﹣y﹣50）（20+2y）＝2000， 整理得：y2﹣30y+600＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0， ∴原方程无实数根， 即每天不可能盈利2000元． 21．（2023秋•百色期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【解答】解：（1）如图，过点O作OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O以点D，由题意可知，CD＝1m，AB＝6m， ∴OC⊥AB，AB＝6m， ∴AC＝BC＝AB＝3m， 设圆的半径为r m，即OA＝OD＝r m，OC＝（r﹣1）m， 在 Rt△AOC中， OC2+AC2＝OA2，即 （r﹣1）2+32＝r2， 解得r＝5， 即该圆的半径为5m； （2）设水面升到如图EF的位置，则EF∥AB，OD与EF相交于点G， ∵OD⊥EF， ∴EG＝FG＝EF＝m， 连接OE，在Rt△EOG中，OE＝5m，EG＝4m， ∴OG＝＝3m， ∴CG＝OC﹣OG＝4﹣3＝1（m）， 即水面上涨的高度为 1 米． 22．（2023秋•奇台县校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AC＝4，CE＝2，求半径的长． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵AC＝CD， ∴∠A＝∠ADC． ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠BDO． ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°． ∴∠ADC+∠BDO＝90°． ∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°． 又∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：∵CD＝AC， ∴CD＝4， 设半径为x，则OC＝x+2， 在直角三角形ODC中， OC2＝OD2+CD2，即（x+2）2＝x2+42， ∴x＝3． ∴半径的长为3． 23．（2022秋•渠县期末）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生数是 　50　人，圆心角β＝　144　度； （2）补全条形统计图； （3）已知该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？ （4）若在这次竞赛中有A、B、C、D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加区级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A、C两人同时参赛的概率． 【解答】解：（1）本次调查的学生数为10÷20%＝50（人）； 圆心角β的度数为360°×＝144°； 故答案为：50；144； （2）优秀等级的人数为50﹣2﹣10﹣20＝18（人）， 补全条形统计图为： （3）1500×＝600（人）， 所以估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为600人； （4）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A、C两人的结果数为2， 所以恰好抽到A、C两人同时参赛的概率＝＝． 24．（2023秋•嘉兴期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，且过点B（﹣1，2），C（3，0）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，当抛物线经过点B时，求m的值； （3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且S△ABC＝2S△ACP，求点P的坐标． 【解答】解：（1）把B（﹣1，2），C（3，0）代入y＝ax2+bx+3， 则， 解得， ∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+x+3； （2）∵y＝﹣x2+x+3， ∴对称轴为直线x＝﹣＝， 令B点关于对称轴的对称点为B′， ∴B′（2，2）， ∴BB′＝3， ∵抛物线向左平移m（m＞0）个单位经过点B， ∴m＝3； （3）设直线AC的解析式为y＝kx+n， 把A（0，3），C（3，0）代入y＝kx+n得：， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， 过点B作BD⊥y轴交AC于点D，如图： 则点D的纵坐标为2， 把y＝2代入y＝﹣x+3得，﹣x+3＝2， 解得x＝1， ∴D（1，2）， ∴BD＝2， ∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝×1•BD+×2•BD＝1+2＝3， 过点P作PE⊥x轴交AC于点E， 设点P（x，﹣x2+x+3），则E（x，﹣x+3）， ∴PE＝﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+x， ∵S△ABC＝2S△ACP＝3， ∴S△ACP＝， ∵S△ACP＝×3•PE＝． ∴PE＝1， 令﹣x2+x＝1， 解得x＝1或2， ∴当x＝1时，y＝﹣++3＝3； 当x＝2时，y＝﹣×4+×2+3＝2， ∴P（1，3）或（2，2）． 25．（2021秋•疏附县期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N． （1）求抛物线的函数关系式； （2）求直线AC的函数关系式； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求△APC面积的最大值． 【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），C（﹣2，3），得， 解得， 故抛物线为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）设直线为y＝kx+n过点A（1，0），C（﹣2，3），则， 解得， 故直线AC为y＝﹣x+1； （2）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，过点C作CG⊥x轴于点G， 设Q（x，﹣x+1），则P（x，﹣x2﹣2x+3）， ∴PQ＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2， 又∵S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ•AG＝（﹣x2﹣x+2）×3＝﹣（x+）2+， ∴△APC面积的最大值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$