4.3 等比数列（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3 等比数列 【题型1等比数列的判断】 【题型2等比数列前n项和的基本量计算】 【题型3利用等比中项运算】 【题型4利用与关系求通项或项】 【题型5等比数列求和公式及其应用】 【题型6等比数列的性质及其应用】 【题型7等比数列通项公式、求和公式的综合应用】 【题型8等差数列、等比数列的基本计算】 1、等比数列的定义 （1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。 （2）数学语言表达式： (，为非零常数)． 2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中. 注意：同号的两个数才有等比中项。 3、通项公式及前n项和公式 （1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为； 通项公式的推广：. （2） 等比数列的前项和公式：当时，；当时，. 4、等比数列的性质 已知是等比数列，是数列的前项和． 1、等比数列的基本性质 （1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为. （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）若，则有 口诀：下标和相等，项的积也相等 推广： （4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。 （5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列 熟记： 1.等比数列的单调性 当 q>1,>0 或 0<q<1，<0 时,{)是递增数列;当 q>1,<0 或 0<q<1,>0 时，(}是递减数列;当q=1时,{)是常数列. 2.等比数列的常用结论 （1） （2）若 （3） 【题型1等比数列的判断】 【典例1】已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式1-1】计算机的价格不断降低，若每年计算机的价格降低，现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降低为（   ）． A．300元 B．900元 C．2400元 D．3600元 【变式1-2】如果某地某天某病毒患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成2人感染），则3天后的患者人数将会是原来的（    ） A．8倍 B．15倍 C．16倍 D．31倍 【变式1-3】下列三个数依次成等比数列的是（    ） A．1，4，8 B．，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8 【题型2利用等比中项运算】 【典例2】若是1与9的等比中项，则实数的值为（    ） A．3 B． C． D．9 【变式2-1】等比数列中，，，则与的等比中项为（    ） A．12 B． C． D．30 【变式2-2】在数列中，，则与的等比中项为 ． 【题型3利用与关系求通项或项】 【典例3】已知等比数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的通项公式. 【变式3-1】设数列的前项和为，若，则（   ） A．65 B．127 C．129 D．255 【变式3-2】设为数列的前项和，且，则（    ） A． B．2024 C． D．0 【变式3-3】已知数列的前项和为，且．求数列的通项公式； 【题型4等比数列前n项和的基本量计算】 【典例4】已知是单调递增的等比数列，，则公比q的值是 ． 【变式4-1】在等比数列中，，，则 【变式4-2】在等比数列中，若，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【变式4-3】递增等比数列中，，，则（      ） A． B． C．72 D．144 【题型5等比数列求和公式及其应用】 【典例5】等比数列中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】在等比数列中，公比，前87项和，则（    ） A． B．60 C．80 D．160 【变式5-2】已知等比数列的公比，且，则 . 【变式5-3】在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为 ． 【题型6等比数列的性质及其应用】 【典例6】已知等比数列的公比为，则（    ） A．20 B．24 C．28 D．32 【变式6-1】在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式6-2】若等比数列满足，，则 ． 【变式6-3】在等比数列中，，，则等于 ． 【题型7等比数列通项公式、求和公式的综合应用】 【典例7】已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式7-1】记等比数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】记为数列的前项和．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】记为正项等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【题型8等差数列、等比数列的基本计算】 【典例8】已知递增等比数列满足，是与的等差中项． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式8-1】已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则（    ） A．16 B．18 C．19 D．20 【变式8-2】已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，是和的等差中项，是和的等比中项. (1)求数列和数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【变式8-3】已知等差数列的前项和为，，等比数列满足是和的等差中项，且 (1)求数列的通项公式及前项和； (2)求数列的前项和. 一、单选题 1．已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．在等差数列中，，等比数列满足，则（    ） A．9 B． C．16 D．4 3．已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B． C． D． 5．已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．若是2和8的等比中项，则实数的值是（   ） A．5 B．或5 C．4 D．或4 7．已知是等比数列，且，，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 二、填空题 9．等比数列的公比，其前项和为，且，则 . 10．设等比数列满足，，则 . 11．设数列的前项和为，且满足，则 . 12．记为数列的前项和，已知，则数列的通项公式 三、解答题 13．设数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 14．已知等差数列的前项和为，若，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前项和. 15．在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 等比数列 【题型1等比数列的判断】 【题型2等比数列前n项和的基本量计算】 【题型3利用等比中项运算】 【题型4利用与关系求通项或项】 【题型5等比数列求和公式及其应用】 【题型6等比数列的性质及其应用】 【题型7等比数列通项公式、求和公式的综合应用】 【题型8等差数列、等比数列的基本计算】 1、等比数列的定义 （1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。 （2）数学语言表达式： (，为非零常数)． 2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中. 注意：同号的两个数才有等比中项。 3、通项公式及前n项和公式 （1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为； 通项公式的推广：. （2） 等比数列的前项和公式：当时，；当时，. 4、等比数列的性质 已知是等比数列，是数列的前项和． 1、等比数列的基本性质 （1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为. （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）若，则有 口诀：下标和相等，项的积也相等 推广： （4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。 （5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列 熟记： 1.等比数列的单调性 当 q>1,>0 或 0<q<1，<0 时,{)是递增数列;当 q>1,<0 或 0<q<1,>0 时，(}是递减数列;当q=1时,{)是常数列. 2.等比数列的常用结论 （1） （2）若 （3） 【题型1等比数列的判断】 【典例1】已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据已知及等比数列的定义可得结果. 【详解】因为为等比数列且通项公式为， 所以公比， 故选：A. 【变式1-1】计算机的价格不断降低，若每年计算机的价格降低，现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降低为（   ）． A．300元 B．900元 C．2400元 D．3600元 【答案】C 【分析】根据题意列式求解即可. 【详解】由题意，现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降低为. 故选：C 【变式1-2】如果某地某天某病毒患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成2人感染），则3天后的患者人数将会是原来的（    ） A．8倍 B．15倍 C．16倍 D．31倍 【答案】B 【分析】 根据题意表示出3天后患者人数，即可得答案. 【详解】解：由题意可得，1天后患者人数为，2天后患者人数为，3天后患者人数为， 所以3天后的患者人数将会是原来的15倍. 故选：B. 【变式1-3】下列三个数依次成等比数列的是（    ） A．1，4，8 B．，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8 【答案】C 【分析】 根据等比数列的知识求得正确答案. 【详解】 ，A选项错误；，B选项错误. 因为，所以9，6，4依次成等比数列，C选项正确. ，D选项错误. 故选：C 【题型2利用等比中项运算】 【典例2】若是1与9的等比中项，则实数的值为（    ） A．3 B． C． D．9 【答案】C 【分析】由等比中项的性质求解． 【详解】由已知得，∴， 故选：C. 【变式2-1】等比数列中，，，则与的等比中项为（    ） A．12 B． C． D．30 【答案】C 【分析】根据等比中项定义直接求解即可. 【详解】记与的等比中项为G， 则， 所以. 故选：C 【变式2-2】在数列中，，则与的等比中项为 ． 【答案】 【分析】根据等比中项的性质即可得出答案. 【详解】设与的等比中项为，则. 故答案为： 【题型3利用与关系求通项或项】 【典例3】已知等比数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用结合题意可求出的通项公式； （2）利用结合（1）可求出. 【详解】（1）解：由， 当，， 两式相减得：， 所以，所以 等比数列的公比为，而由， 即， 所以，代入，则， 所以. （2）因为，， 所以， 所以. 【变式3-1】设数列的前项和为，若，则（   ） A．65 B．127 C．129 D．255 【答案】B 【分析】降次作差得，再利用等比数列通项公式即可得到答案. 【详解】时，，则. 时，， ， 是2为首项，2为公比的等比数列，， 故选：B. 【变式3-2】设为数列的前项和，且，则（    ） A． B．2024 C． D．0 【答案】D 【分析】利用的关系，结合条件构造，利用等比数列的定义及通项公式计算即可. 【详解】由， 且， 显然，所以是以为首项，为公比的等比数列， 即，故. 故选：D 【变式3-3】已知数列的前项和为，且．求数列的通项公式； 【答案】 【分析】根据仿写可得到，两式相减整理得，从而可得数列为等比数列，于是可求得通项公式． 【详解】当时，， 所以； 当时，， 则， 即. 又因为， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以. 【题型4等比数列前n项和的基本量计算】 【典例4】已知是单调递增的等比数列，，则公比q的值是 ． 【答案】2 【分析】根据等比数列的定义与性质求解. 【详解】由等比数列性质知，联立，解得或， 因为是单调递增的等比数列，所以，即． 故答案为：2 【变式4-1】在等比数列中，，，则 【答案】4 【分析】由等比数列的性质求解． 【详解】在等比数列中，奇数项都是同号的，则， 由，得， 故答案为：4 【变式4-2】在等比数列中，若，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义求出公比，结合等比数列的通项公式计算即可求解. 【详解】由题意知，设等比数列的公比为， 则， 所以. 故选：A 【变式4-3】递增等比数列中，，，则（      ） A． B． C．72 D．144 【答案】D 【分析】设公比为，然后由已知条件列方程可求出，从而可求出. 【详解】设公比为，因为，， 所以，得，得， 所以或（舍去）， 所以， 所以. 故选：D 【题型5等比数列求和公式及其应用】 【典例5】等比数列中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求出首项和公比，进一步求出，最后求新等比数列的前1010项和即可. 【详解】解：设等比数列的公比为q， ∵，， ∴，解得，. ∴， ，， 故选：A. 【点睛】从等比数列中抽取某些特定的项组成新的等比数列然后求和，考查求等比数列的通项公式的方法以及求和的方法，同时考查运算求解能力；基础题. 【变式5-1】在等比数列中，公比，前87项和，则（    ） A． B．60 C．80 D．160 【答案】C 【分析】根据题意，得到构成公比为的等比数列，设，得到，进而求得的值. 【详解】在等比数列中，由公比， 可得构成公比为的等比数列， 设，则， 因为数列的前87项和， 所以，解得，所以. 故选：C. 【变式5-2】已知等比数列的公比，且，则 . 【答案】120 【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案. 【详解】因为在等比数列中，若项数为，则， 所以 . 故答案为：120 【变式5-3】在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为 ． 【答案】450 【分析】利用等比数列的前100项中的所有偶数项和与所有奇数项和的关系即可计算得解. 【详解】在等比数列中，公比，则有， 而，于是得， 所以数列的前100项和 ． 故答案为：450 【题型6等比数列的性质及其应用】 【典例6】已知等比数列的公比为，则（    ） A．20 B．24 C．28 D．32 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列性质运算求解. 【详解】由题意可知， 所以. 故选：D. 【变式6-1】在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】已知条件作商可求得，然后根据等比数列性质可得. 【详解】因为，，所以，解得，则． 故选：B 【变式6-2】若等比数列满足，，则 ． 【答案】112 【分析】由等比数列的性质计算即可. 【详解】，故，解得， 故． 故答案为：112 【变式6-3】在等比数列中，，，则等于 ． 【答案】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，因为等比数列中，，， 故， 则． 故答案为：． 【题型7等比数列通项公式、求和公式的综合应用】 【典例7】已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列前n项和的性质，结合等比中项的应用计算即可求解. 【详解】由题意知，为等比数列的前n项和， 则成等比数列， 由等比中项，得， 即，解得或（舍去）. 故选：C 【变式7-1】记等比数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为（），根据求得，再由等比数列的性质得到，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为（）， 则，解得：， 又， 所以， 故选：C. 【变式7-2】记为数列的前项和．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用代入，构造等比数列求解其通项可得. 【详解】当时，，解得. 当时，，即， 则，且， 所以， 故是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以，则. 故选：B. 【变式7-3】记为正项等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】运用等比数列前项和的性质，即：等比数列依次项的和仍为等比数列求解即可. 【详解】设正项等比数列的公比为， 由题意知，， 所以，，成等比数列， 所以，即， 解得（舍负）. 故选：B. 【题型8等差数列、等比数列的基本计算】 【典例8】已知递增等比数列满足，是与的等差中项． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是与的等差中项，及为递增等比数列，确定，根据等比数列通项公式即可得出的通项公式； （2）将的通项公式代入，根据分组求和即可计算． 【详解】（1）因为是与的等差中项，， 所以，即，解得或， 因为为递增等比数列，所以， 所以． （2）， ． 【变式8-1】已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则（    ） A．16 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】设等差数列公差为d，等比数列公比为q，则，，，，代入条件，解得q，d的值，从而求出. 【详解】设等差数列公差为d，等比数列公比为q，则，，，， 则，， 解得或0（舍），， 则，， 故 故选：D 【变式8-2】已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，是和的等差中项，是和的等比中项. (1)求数列和数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算求解数列的通项公式，结合等差中项和等比中项的性质，根据等比数列基本量的运算即可求解数列的通项公式； （2）结合等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，正项等比数列的公比为q（）， 由题意，和，得，则， 故数列的通项公式为． 由题意是和的等差中项，是和的等比中项，得， 由，，，得，则， 由且，得，故数列的通项公式为. （2）由题意和（1），得，，…，构成了首项为，公差为的等差数列， ，，…，构成了首项为，公比为的等比数列， 记数列的前n项和为， 则 . 【变式8-3】已知等差数列的前项和为，，等比数列满足是和的等差中项，且 (1)求数列的通项公式及前项和； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的求和公式及通项公式即可得解； （2）由等差中项结合已知条件即可求得及公比，再利用等比数列求和公式即可得解. 【详解】（1），即， 又，，所以等差数列的公差， 等差数列的首项， ，. （2）是和的等差中项， ，即， 又，，， 所以等比数列的公比， . 一、单选题 1．已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据等比数列性质利用等差数列通项公式计算可得，代入计算可得结果. 【详解】由，，成等比数列可得， 即，解得， 所以可得， 故选：D. 2．在等差数列中，，等比数列满足，则（    ） A．9 B． C．16 D．4 【答案】A 【分析】由等差数列通项公式的性质可得，由等比数列通项公式的性质可得． 【详解】由条件及等差数列通项公式的性质知， 则，于是由等比数列通项公式的性质可知. 故选：A 3．已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由等比数列的通项公式计算基本量即可. 【详解】由于，， 所以，两式相除得， 解得或， 因为，所以. 故选：A 4．已知等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设出公比，根据题目条件得到方程组，求出，，由等比数列通项公式基本量计算得到答案. 【详解】设公比为，则， 故，其中，， 则 故选：D 5．已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得. 【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列. 则，即，由，得， 所以. 故选：B 6．若是2和8的等比中项，则实数的值是（   ） A．5 B．或5 C．4 D．或4 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比中项的意义求得结果. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 7．已知是等比数列，且，，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列通项公式可算得公比，进而可得与，即可判断各选项. 【详解】由已知是等比数列，，设公比为， 所以， 所以， 解得， 所以，， 所以，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项错误； 故选：C. 8．设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出等比数列公比即可计算得解. 【详解】等比数列的公比为，由，得， 即，而，则， 因此， 所以. 故选：C 二、填空题 9．等比数列的公比，其前项和为，且，则 . 【答案】/ 【分析】由题意可得，可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得：，， . 故答案为：. 10．设等比数列满足，，则 . 【答案】 【分析】根据题设及等比数列通项公式求基本量，即可求. 【详解】令公比为，则，可得， 所以或（舍），可得，则. 故答案为： 11．设数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】 【分析】利用等比数列的定义判定，再利用等比数列的通项公式和前项和公式来求解即可. 【详解】由，可得， 所以数列是一个公式为的等比数列， 即， 所以 即， 所以由等比数列的求和公式可得：， 故答案为:. 12．记为数列的前项和，已知，则数列的通项公式 【答案】 【分析】利用，来求得的通项公式. 【详解】当时，，解得． 当时，，所以，即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以， 故答案为：. 三、解答题 13．设数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与关系，可得是等比数列，求得答案； （2）由（1）求出，根据分组求和求得答案. 【详解】（1）因为，所以当时，， 所以，即. 当时，，解得， 则是首项为1，公比为3的等比数列， 故． （2）由（1）可知当为奇数时，； 当为偶数时，. 当为奇数时， ， 当为偶数时， . 综上，. 14．已知等差数列的前项和为，若，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出，得到通项公式和前项和； （2），利用错位相减法求和得到答案. 【详解】（1）设公差为，则， ， 解得，故； ； （2）， 故①， 则②， 式子①-②得 ， 所以. 15．在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造等比数列即可求解； （2）由公式法求和、分组求和法即可求解. 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）因为， 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $$