6.1直线、射线、线段 同步练习 2024--2025学年人教版七年级数学上册

6.1 线段、射线、直线提优练习解析 一、单选题 1．下列几何图形与相应语言描述相符的有（    ）    ①直线a、b相交于点A；②射线与线段没有公共点；③延长线段；④直线经过点A. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 2．下列说法中，①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③两点之间直线最短；④若，则点是线段的中点；⑤线段与线段是同一条线段；⑥射线不可以延长，但可以反向延长，正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 3．如图，，是线段上两点，，分别是线段，的中点，下列结论：①若，则 ②若，则 ③④其中正确的结论是（    ） A．① ② ③ B． ③ ④ C．① ② ④ D． ① ② ③ ④ 【答案】D【详解】解：∵，分别是线段，的中点， ∴，，如图 ①若， ∴，∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②若， ∴， ∵M、N分别是线段，的中点， ∴ ， ，∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴，故④正确， 4．平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作几条直线（  ） A．1条、4条、8条或10条 B．1条、5条、9条或10条 C．1条、5条、6条、8条或10条 D．1条或10条 【答案】C 【详解】解:如下图，分以下四种情况： ①当五点在同一直线上，如图： 故可以画1条不同的直线； ②当有四个点在同一直线上， 故可以画5不同的直线； ③当有两个三点在同一直线上， 故可以画6条不同的直线； ④当有三个点在同一直线上， 故可以画8不同的直线； ⑤当五个点都不在同一直线上时， 因此当n=5时，一共可以画×5×4=10条直线． 故可以作1条、5条、6条，8条或10条直线． 5．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 根据规律得到， ∴ 6．如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D【详解】① ∵H是的中点，∵分别是的中点，  ∴①正确. ② 由①知 ∴②错误. ③ ∴③正确. ④      ∴④正确. 综上，①③④正确. 7．如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，则下列结论：① ；②；③；④，其中正确结论的有 （     ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：是的三等分点，，，， ，，，，故①正确； ，，，，是线段的中点， ，，， 故②正确； ， ， ， ，，故③不正确； ，，， ，，故④正确；综上，正确的有①②④， 二、填空题 8．下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 填序号． ①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 【答案】②④ 9．有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号） 【答案】②③④ 10．平面内有10条直线两两相交，交点个数最多有个，最少有个，则的值为 ． 【答案】46 【详解】解：根据题意，当10条直线相交于一点时，交点个数最少，此时交点有1个， 即， 当任意两条直线相交都产生一个交点时，交点个数最多， 此时交点个数为，即，所以． 11．点A,B,C在直线上，若，则= 【答案】或 【详解】解：①当C在线段AB外时，如图所示： ∵， ∴， ∴； ②当C在线段AB之间时，如图所示： ∵， ∴， ∴； ∴=或. 12．如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为 千米． 【答案】12.5 【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长； 当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AB+BC+BD+BE=1+3+(3+2)+(3+2+1.5) =15.5千米； 当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AC+BC+CD+CE=(1+3)+3+2+ (2+1.5)=12.5千米； 当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AD+BD+CD+DE=(1+3+2)+(3+2) +2+1.5=14.5千米． 综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小，最小值为12.5千米． 13．如图，，两村相距7km，，两村相距6km.现要建一个自来水厂，使得该厂到四个村庄的距离之和最小，则下列说法：    ①自来水厂应建在线段的中点处； ②自来水厂应建在线段与线段的交点处； ③自来水厂到四个村庄的距离之和的最小值为； ④自来水厂到四个村庄的距离之和可能小于． 其中正确的有 .（填所有正确说法的序号） 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，交于点E，在平面内任取一点，连接，，，，    ∵，，∴， ∴当自来水厂建在点E处时，来水厂到四个村的距离之和最小为，故答案为：． 14．线段，在直线上截取线段，为线段的中点，为线段的中点，那么线段 ． 【答案】1或2 【详解】解：根据题意， ①当点C在线段AB上时；如图： ∵，， 又∵为线段的中点，为线段的中点， ∴，， ∴； ②当点C在线段AB的延长线上时；如图： 与①同理，可求，， ∴；∴线段DE的长度为：1或2； 15．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个．    【答案】5 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA； CB和CA中点重复 ∴发出警报的点P最多有5个． 16．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 【答案】24 【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴，∵， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， 17．已知线段AB=12,P是线段AB的三等点，Q是直线AB上一个动点，若AQ=PQ+BQ,则线段AQ的长为 【答案】8、16、20、 【详解】分点P是靠近点A的三分点和点P是靠近点B的三分点两种情况讨论： （1）点P是靠近点A的三分点，①当点Q在点B右侧时， 此时AP==4，因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，所以AP=BQ=4， 所以AQ=AB+BQ=12+4=16； ②当点Q在点B左侧时， 此时AP==4，因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，所以AP=BQ=4，所以AQ=AB-BQ=12-4=8； （2）点P是靠近点B的三分点，①当点Q在点B右侧时， 此时AP==8，因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，所以AP=BQ=8， 所以AQ=AB+BQ=12+8=20； ②当点Q在点P左侧时， 此时AP==8，BP=4，因为AQ=AP-PQ=PQ+BQ=BP+2PQ，即8-PQ=4+2PQ， 解得PQ=，所以AQ= AP-PQ =8-=；故答案为8、16、20、 18．如图，C，D是线段AB上两点，M，N分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：①∵M，N分别是线段，的中点， ∴，∵，∴，即， ∴，∴，故①正确，符合题意； ②∵，∴，∵M是线段的中点， ∴，∵，∴， 故②正确，符合题意； ③∵M，N分别是线段，的中点，∴， ∴， 整理得：，即，故③正确，符合题意； ④∵， ∴， ∴，∴， 故④不正确，不符合题意；故答案为：①②③． 19．如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．、为数轴上两个动点，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，点从点向左运动，速度为每秒3个单位长度，、同时运动，运动时间为． 有下列结论：①若点表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点是线段的中点；其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①③/③① 【详解】①若点表示的数是3， ∵点为线段的中点，表示的数是1， ∴，，即表示的数是2，∴，故①正确； ②若， 当点在点的右侧时，则点表示的数是4， ∵点为线段的中点，∴，即表示的数是，∴， 当点在点的左侧时，则点表示的数是，∵点为线段的中点， ∴，即表示的数是，∴， 综上，，故②不正确； ③当时，，， ∵、表示的数分别是，1，∴、表示的数分别是，， ∴，故③正确； ④当时，，， ∴、表示的数分别是，， ∵点在、的左侧，不可能是线段的中点 故④不正确；故答案为：①③ 20．如图（1）．点在线段上．图中共有三条线段： 线段， 线段， 线段， 若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两掊， 则称点为线段的 “奇分点”．若， 如图（2）， 点从点开始以每秒3cm的速度向A运动，当点M到达A点时停止运动，运动的时间为t秒．当t= 秒，M是线的“奇分点" （写出一种情况即可）， 如果同时点从点A的位置开始以每秒2cm的速度向点B运动， 如图（3）所示， 并与点同时停止， 则当 秒，M是线段AN的“奇分点”． 【详解】根据题意：，，， （1）当M是线段的“奇分点"时 ①AM=2BM，此时，解得； ②BM=2AM，此时，解得； ③AB=2BM，此时，解得； ∴当M是线段的“奇分点"时，t的值为或或； （2）∵M是线段AN的“奇分点”． ∴M点在线段AN上 ∴， ①AN=2MN，此时M为AN中点，，解得； ②AM =2MN，此时，解得； ③MN=2AM，此时，解得； ∴当M是线的“奇分点"时，t的值为或或； 三、解答题 21．如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）    (1)画直线； (2)画射线； (3)连接并延长到E，使得； (4)在线段上取点P，使的值最小． 【详解】（1）解：如图，直线即所求；    （2）解：如图，射线即所求；    （3）解：如图，线段即所求；    （4）解：如图，点P即为所求；∵， ∴当点A、C、P三点共线时，的值最小．    22．已知线段，为线段的中点，在所在直线上有一点，为的中点，若，求的长． 【答案】或 【详解】解：①如图，点在线段上， ； ②如图，当点在的延长线段上时， ； ③当点在线段上或在的延长线段上时，不符合题意，即这两种情况不可能． 23．已知线段a，b，c，求作：线段m，使．    【答案】见解析 【详解】解：如图所示：画出射线，以点O为圆心，a的长度为半径画弧，交射线于点A，再以点A为圆心，c的长度为半径画弧，在点A坐边交射线于点B，最后以点B为圆心，b的长度为半径画弧，在点B右边交射线于点C，即为所求． ∵，∴．    24．如图,在同一直线上有四点A、B、C、D,已知AD=DB,AC=CB且CD=4 cm,求AB的长. 【答案】14cm 【详解】设DB=x cm,则AD=x cm,AB=x cm.∵AC=CB, ∴AC=AB=x=x cm,CB=AB=x=x cm.∴CD=DB-CB=x cm. ∵CD=4 cm,∴ x=4,所以x=9.∴AB=×9=14(cm). 25．如图，已知平面内四个点A，B，C，D分别表示四个村庄，根据下列要求画图，并回答问题．（不要求写作法，但保留作图痕迹）    (1)连结，作直线； (2)作射线，并在射线上找点F使得； (3)若要在线段上建一所供电站O，向四个村庄供电，且满足到A村庄与C村庄所用电线最短，则供电站O应建在何处，请画出供电站点O的位置，并说明这样建的理由是 ． 【详解】（1）解：如图，线段，直线即为所求；    （2）如图，线段即为所求，（3）解：如图所示，连接与相交于点O，则点O即为所求，这样建的理由是两点之间，线段最短． 26．观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点： （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 【答案】（1）3，6，28，；（2）7，11，37， 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1+2=3个交点； 4条直线相交最多有1+2+3=6个交点；5条直线相交最多有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交最多有1+2+3+4+5=15个交点；7条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点，8条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6+7=28个交点， … n条直线相交最多有个交点； （2）1条直线最多把平面分成1+1=2部分；2条直线最多把平面分成1+1+2=4部分； 3条直线最多把平面分成1+1+2+3=7部分；4条直线最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分；5条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16部分；6条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6=22部分；7条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7=29部分； 8条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7+8=37部分； … n条直线最多把平面分成 27．已知：如图①，在数轴上有两点、，它们表示的数分别为、． (1)如果、在上，，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由． (2)如图②，点从点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度得到． ①如果，时，则点表示的数为________； ②对任意、的值，试说明点是线段的中点； (3)点在数轴上表示的数为.若，请只使用圆规在图③中画出点，使点表示的数为．（保留画图痕迹，写出必要的文字说明） 【详解】（1）解：， 理由：∵、在上，，∴，即； （2）解：由题意得，点表示的数为： ； ①当，时， 点表示的数为：，故答案为：1； ②∵点表示的数为，且， ∴，， ∴，∴点是线段的中点； （3）解：设点M在数轴上表示的数为m，则，∵， ∴， ∴， ∴，且点M在点B左侧， 如图，以点B为圆心，的长为半径作弧交线段于点M，则点M即为所求． 28．已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点．          （1）如图1，若，，求的长； （2）若，求的值； （3）若，，取的中点，的中点，的中点，则=______（用含a的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）的值为或；（3） 【详解】解：（1）∵D为AC的中点，E为BC的中点， ∴DC=AC=2，CE=BC=3，∴DE=DC+CE=2+3=5，∵F为DE的中点， ∴DF=DE=，∴CF=DF-DC=； （2）①当AC＞BC，点F在点C左侧时，如图所示：    ∵D为AC的中点，E为BC的中点，∴DC=AC，CE=BC， ∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，∵F为DE的中点，∴DF=DE=AB， ∵AB=16CF ，∴DF=4CF，∴CF=DC-DF=AC-4CF，∴AC=10CF， ∴BC=AB-AC=16CF-10CF =6CF，∴， ②当AC＜BC，点F在点C右侧时，如图所示：    ∵D为AC的中点，E为BC的中点，∴DC=AC，CE=BC， ∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，∵F为DE的中点，∴DF=DE=AB， ∵AB=16CF ，∴DF=4CF，∴CF=DF-DC=4CF-AC，∴AC=6CF， ∴BC=AB-AC=16CF-6CF =10CF，∴， 综上所述，的值为或． （3）如图，    设AC=x，BC=y，即x-y=a，∵D为AC的中点，E为BC的中点， ∴DC=AC=x，CE=BC=y，∵DC的中点为 ，CE的中点为， ∴，∴，∵的中点为 ， ∴，∴， ∴，故答案为：． 29．如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为． （1）______． （2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长． （3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长． 【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7， ∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；故答案为：12 （2）根据点，的运动速度知． 因为，所以，即，所以． （3）分两种情况：如图，当点在线段上时， 因为，所以． 又因为，所以，所以； 如图，当点在的延长线上时，， 30．点在线段上，． (1) 如图1，，两点同时从，出发，分别以，的速度沿直线向左运动； ①在还未到达点时，的值为 ； ②当在右侧时(点与不重合)，取中点，的中点是，求的值； (2) 若是直线上一点，且．则的值为 ． 【详解】解：（1）①AP=AC-PC，CQ=CB-QB， ∵BC=2AC，P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s，∴QB=2PC，∴CQ=2AC-2PC=2AP，∴ ②设运动秒， 分两种情况 A:在右侧， ，分别是，的中点 ，， ∴ B:在左侧，，分别是，的中点 ，， ∴MN=MQ+NQ=PQ+CQ ∴ （2）∵BC=2AC．设AC=x，则BC=2x，∴AB=3x， ①当D在A点左侧时，|AD-BD|=BD-AD=AB=CD，∴CD=6x，∴ ； ②当D在AC之间时，|AD-BD|=BD-AD=CD，∴2x+CD-x+CD=CD，x=-CD（不成立）， ③当D在BC之间时，|AD-BD|=AD-BD=CD，∴x+CD-2x+CD=CD，CD=x， ∴；|AD-BD|=BD-AD=CD，∴2x-CD-x-CD=CD，∴CD=； ④当D在B的右侧时，|AD-BD|=AD-BD=AB，∴CD=6x， ∴．综上所述，的值为或或或 31．在数轴上，表示数的点到原点的距离．如果数轴上两个点、分别对应数、，那么、两点间的距离为：，这是绝对值的几何意义．已知如图，点在数轴上对应的数为－3，点对应的数为2． （1）求线段的长． （2）若点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使？若存在，求出点对应的数；若不存在说明理由． （3）若点是数轴上在点左侧的一点，线段的中点为点，点为线段的三等分点且靠近于点，当点在点左侧的数轴上运动时，请直接判断的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由． 【答案】（1）5；（2）或6；（3）随着点的移动，的值不变． 【详解】解：（1）点在数轴上对应的数为，点对应的数为2，． （2）存在．设点对应的数为，解方程，得， 点对应的数为，， ，即，， ①当时，有，解得； ②当时，有，此方程无解； ③当时，有，解得；综上，点的对应数为或6． （3）设点对应的数为，则，， 若点是数轴上在点左侧的一点，线段的中点为点，点为线段的三等分点且靠近于点， ，则点对应的数为；，则点对应的数为； ，则．随着点的移动，的值不变． 32．如图，已知线段，，线段在直线上运动（在左侧，在左侧），若 (1)求线段，的长 (2)若点，分别为线段，的中点，且，求线段的长； (3)当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段延长线上任意一点，则是一个定值，请加以说明. 【答案】(1)， (2) (3)，说明见解析 【详解】（1）解：， ，，解得，，∴，； （2）解：分两种情况讨论： ①当点在点右侧时，如图所示： ∵点，分别为线段，的中点， ∴，. ∴； ②当点在点左侧时，如图所示： ∵点，分别为线段，的中点， ∴， ，∴； （3）解：定值为2，说明如下： 点与点重合，点是线段延长线上任意一点，如图所示： ，，， ∴ ． 33．如图，线段 ，动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，为的中点．设点的运动时间为秒． (1) 秒后，． (2)当在线段上运动时，试说明为定值． (3)当在线段的延长线上运动时，为的中点，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动， 设点的运动时间为秒，为的中点， ， 当点在线段上时， 当点在线段的延长线上时， ，无解； 综上所述，当点出发秒后，； （2）由（1）知，，， ，， 为定值； （3）由（1）知，，， 当点在线段的延长线上时， 为的中点， ． 34．已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)【解决问题】： ①当秒时，写出数轴上点P，Q所表示的数； ②问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？ (2)【探索问题】： 若为的中点，为的中点，直接写出线段与线段的数量关系． 【详解】（1）①∵点A表示的数为8，B在A点左边，， ∴点B表示的数是， ∵动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数是． 动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动， 点P表示的数为5；点Q所表示的数为． ②设点P运动x秒时，则，， 当Q在P左侧时，与Q相距3个单位长度，如图：    ∵，∴，解得：， 当Q在P右侧时，与Q相距3个单位长度，如图：    ∵，∴解得：． ∴点P运动秒或3秒时与点Q相距3个单位长度． （2）或；理由如下： P在Q右侧时，如图， 有： ，∴ 即： ． 同理在左侧时有：． 35．如图，点在线段上，点M，N分别是，的中点． （1）若，，则线段的长为____________； （2）若，，则线段的长为____________； （3）若，求线段的长度； （4）若点为线段上任意一点，且，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论． 【拓展提问】若将例题中的“点在线段上”改为“点在线段的延长线上”，其他条件不变，（3）中结论还成立吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），描述见解析；【拓展提问】成立，理由见解析 【详解】（1）∵点M，N分别是，的中点，，， ∴，，∴；故答案为：； （2）∵点M，N分别是，的中点，，， ∴，，∴； （3）∵点M，N分别是，的中点， ∴，， ∵，， ∴； （4）猜想：； 结论：若点为线段上一点，且点分别是，的中点，则； 【拓展提问】成立．理由： 当点在线段的延长线上时，如图， ∵点分别是，的中点，∴，， ∵， ∴． 36．如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长； (2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点． (3)若，是数轴上的一点，且，求的值． 【答案】(1) (2)当时点是线段的中点 (3)或1 【详解】（1）解：∵，， 又∵点表示，点表示7，∴， ∴ ∴． （2）解：∵点，分别表示，6， 所以，，，，， 当是的中点时，即， ∴当时点是线段的中点． （3）解：①当点在线段上时，如图 ∵， 又∵ ∴， 又∵ ∴，即 ②当点在线段的延长线上时，如图 ∵，又∵ ∴，即 综上所述或1． 37．如图，是数轴上一条动线段，满足，“点在数轴上对应的数为24”表示为． (1)若线段在线段上，且满足． ①______； ②点E是线段上一点，满足，______； (2)如图，设（且），P是数轴上一点，若，猜想与的关系，并说明理由； (3)若点C是的中点，点D是的中点，以、、分别为直径的圆的周长为a、b、c，请直接写出的a、b、c关系． 【答案】(1)①22；②18 (2)，理由见解析 (3)当时，；当时，；当时，． 【详解】（1）解：①∵，∴，∵，∴， ∵，∴，， ∴，∴，故答案为：22； ②设，则，而，∵， ∴，解得：，∴，故答案为：18； （2）解：猜想：，理由如下： 如图， ∵，，∴∵， ∴，∵，∴ ∵∴ ∴； （3）解：设， ①当时，如图， ∵，，∵点C是的中点，点D是的中点， ∴，，∴， ∴，，，∴， ②当时，如图， 同理可得：，，， ∴，，，∴； ③当时，如图， 同理可得：，，， ∴，，，∴． 38．已知点在数轴上，点为线段的中点．    (1)如图，点在线段上，点之间的距离为． 若点是数轴的原点，点表示的数为3，当时，求点表示的数； 若，且，求的值； (2)若点表示的数分别为，其中，且两点关于原点对称，判断点为哪条线段的中点，并说明理由． 【答案】(1)；12 (2)点是线段的中点 【详解】（1）解：点是数轴的原点，点表示的数为3，， 点为线段的中点，，， 点之间的距离为，且，，， 点在点的左侧，点表示的数为； 点为线段的中点，，， ，，， ，，，； （2）解：点表示的数分别为，其中，且两点关于原点对称， ，， 点表示的数为：， 点表示的数为：， 点为线段的中点， 点表示的数为：， 画出图形如图所示：   ， ，，， ， 点是线段的中点． 39．主题式学习：数形规律探究学习 (1)发现规律，猜想说理． ．．．．．．．．．．．． 以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设 则 我们可以看出此等式的右边是若干个的和， ∴_________． 则_______． (2)运用规律，计算表达． ①求_____________． ②若，则__________． ③某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条． (3)迁移规律，解决问题． ①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班． ②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条． ③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？ 【答案】(1)， (2)①5047；②100；③， (3)①90；②135；③ 【详解】（1）解：． 则． 故答案为：，； （2）解：①． ②∵， ∴，解得或（舍去），则． ③如果该班有名同学，则共击掌次，共赠送祝福语条． 故答案为：①5047；②100；③，； （3）解：①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，10个城市一共需要开通架航班； ②横线上的线段有条，竖线上的线段有条， 则横线和竖线上的线段共有条； ③32支比赛分为8个小组，每个小组4支球队，共有场比赛， 16强分成8组对阵，共有8场比赛， 8强分成4组对阵，共有4场比赛， 4强分成2组对阵，共有2场比赛， 决赛有2场比赛，故共有场比赛． 故答案为：①90；②135；③64． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1 线段、射线、直线提优练习 一、单选题 1．下列几何图形与相应语言描述相符的有（    ）    ①直线a、b相交于点A；②射线与线段没有公共点；③延长线段；④直线经过点A. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中，①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③两点之间直线最短；④若，则点是线段的中点；⑤线段与线段是同一条线段；⑥射线不可以延长，但可以反向延长，正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，，是线段上两点，，分别是线段，的中点，下列结论：①若，则 ②若，则 ③④其中正确的结论是（    ） A．① ② ③ B． ③ ④ C．① ② ④ D． ① ② ③ ④ 4．平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作几条直线（  ） A．1条、4条、8条或10条 B．1条、5条、9条或10条 C．1条、5条、6条、8条或10条 D．1条或10条 5．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和(       ) A． B． C． D． 6．如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是线段上的一点，则下列结论：① ；②；③；④，其中正确结论的有 （     ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 8．下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 填序号． ①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 9．有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号） 10．平面内有10条直线两两相交，交点个数最多有个，最少有个，则的值为 ． 11．点A,B,C在直线上，若，则= 12．如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为 千米． 13．如图，，两村相距7km，，两村相距6km.现要建一个自来水厂，使得该厂到四个村庄的距离之和最小，则下列说法：    ①自来水厂应建在线段的中点处； ②自来水厂应建在线段与线段的交点处； ③自来水厂到四个村庄的距离之和的最小值为； ④自来水厂到四个村庄的距离之和可能小于． 其中正确的有 .（填所有正确说法的序号） 14．线段，在直线上截取线段，为线段的中点，为线段的中点，那么线段 ． 15．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个．    16．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 17．已知线段AB=12,P是线段AB的三等点，Q是直线AB上一个动点，若AQ=PQ+BQ,则线段AQ的长为 18．如图，C，D是线段AB上两点，M，N分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 19．如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．、为数轴上两个动点，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，点从点向左运动，速度为每秒3个单位长度，、同时运动，运动时间为． 有下列结论：①若点表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点是线段的中点；其中正确的有 ．（填序号） 20．如图（1）．点在线段上．图中共有三条线段： 线段， 线段， 线段， 若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两掊， 则称点为线段的 “奇分点”．若， 如图（2）， 点从点开始以每秒3cm的速度向A运动，当点M到达A点时停止运动，运动的时间为t秒．当t= 秒，M是线的“奇分点" （写出一种情况即可）， 如果同时点从点A的位置开始以每秒2cm的速度向点B运动， 如图（3）所示， 并与点同时停止， 则当 秒，M是线段AN的“奇分点”． 三、解答题 21．如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）    (1)画直线； (2)画射线； (3)连接并延长到E，使得； (4)在线段上取点P，使的值最小． 22．已知线段，为线段的中点，在所在直线上有一点，为的中点，若，求的长． 23．已知线段a，b，c，求作：线段m，使．    24．如图,在同一直线上有四点A、B、C、D,已知AD=DB,AC=CB且CD=4 cm,求AB的长. 25．如图，已知平面内四个点A，B，C，D分别表示四个村庄，根据下列要求画图，并回答问题．（不要求写作法，但保留作图痕迹）    (1)连结，作直线； (2)作射线，并在射线上找点F使得； (3)若要在线段上建一所供电站O，向四个村庄供电，且满足到A村庄与C村庄所用电线最短，则供电站O应建在何处，请画出供电站点O的位置，并说明这样建的理由是 ． 26．观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点： （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 27．已知：如图①，在数轴上有两点、，它们表示的数分别为、． (1)如果、在上，，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由． (2)如图②，点从点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度得到． ①如果，时，则点表示的数为________； ②对任意、的值，试说明点是线段的中点； (3)点在数轴上表示的数为.若，请只使用圆规在图③中画出点，使点表示的数为．（保留画图痕迹，写出必要的文字说明） 28．已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点．          （1）如图1，若，，求的长； （2）若，求的值； （3）若，，取的中点，的中点，的中点，则=______（用含a的代数式表示）． 29．如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为． （1）______． （2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长． （3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长． 30．点在线段上，． (1) 如图1，，两点同时从，出发，分别以，的速度沿直线向左运动； ①在还未到达点时，的值为 ； ②当在右侧时(点与不重合)，取中点，的中点是，求的值； (2) 若是直线上一点，且．则的值为 ． 31．在数轴上，表示数的点到原点的距离．如果数轴上两个点、分别对应数、，那么、两点间的距离为：，这是绝对值的几何意义．已知如图，点在数轴上对应的数为－3，点对应的数为2． （1）求线段的长． （2）若点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使？若存在，求出点对应的数；若不存在说明理由． （3）若点是数轴上在点左侧的一点，线段的中点为点，点为线段的三等分点且靠近于点，当点在点左侧的数轴上运动时，请直接判断的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由． 32．如图，已知线段，，线段在直线上运动（在左侧，在左侧），若 (1)求线段，的长 (2)若点，分别为线段，的中点，且，求线段的长； (3)当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段延长线上任意一点，则是一个定值，请加以说明. 33．如图，线段 ，动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，为的中点．设点的运动时间为秒． (1) 秒后，． (2)当在线段上运动时，试说明为定值． (3)当在线段的延长线上运动时，为的中点，求的长度． 34．已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)【解决问题】： ①当秒时，写出数轴上点P，Q所表示的数； ②问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？ (2)【探索问题】： 若为的中点，为的中点，直接写出线段与线段的数量关系． 35．如图，点在线段上，点M，N分别是，的中点． （1）若，，则线段的长为____________； （2）若，，则线段的长为____________； （3）若，求线段的长度； （4）若点为线段上任意一点，且，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论． 【拓展提问】若将例题中的“点在线段上”改为“点在线段的延长线上”，其他条件不变，（3）中结论还成立吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 36．如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长； (2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点． (3)若，是数轴上的一点，且，求的值． 37．如图，是数轴上一条动线段，满足，“点在数轴上对应的数为24”表示为． (1)若线段在线段上，且满足． ①______； ②点E是线段上一点，满足，______； (2)如图，设（且），P是数轴上一点，若，猜想与的关系，并说明理由； (3)若点C是的中点，点D是的中点，以、、分别为直径的圆的周长为a、b、c，请直接写出的a、b、c关系． 38．已知点在数轴上，点为线段的中点．    (1)如图，点在线段上，点之间的距离为． 若点是数轴的原点，点表示的数为3，当时，求点表示的数； 若，且，求的值； (2)若点表示的数分别为，其中，且两点关于原点对称，判断点为哪条线段的中点，并说明理由． 39．主题式学习：数形规律探究学习 (1)发现规律，猜想说理． ．．．．．．．．．．．． 以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设 则 我们可以看出此等式的右边是若干个的和， ∴_________． 则_______． (2)运用规律，计算表达． ①求_____________． ②若，则__________． ③某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条． (3)迁移规律，解决问题． ①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班． ②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条． ③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$