专题04 直线和圆锥曲线常考题型（11种题型）（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

专题5 直线和圆锥曲线常考题型（11种题型） 【题型1】数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 【题型2】弦的垂直平分线问题 【题型3】动弦过定点的问题 【题型4】过已知曲线上定点的弦的问题 【题型5】共线向量问题 【题型6】面积问题 【题型7】弦或弦长为定值问题 【题型8】角度问题 【题型9】四点共线问题 【题型10】范围问题(本质是函数问题) 【题型11】存在性问题(存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等) 直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类:无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切;对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系 解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是: (1)直线的斜率不存在，直线的斜率存, (2)联立直线和曲线的方程组; (3)讨论类一元二次方程 (4)一元二次方程的判别式 (5)韦达定理，同类坐标变换 (6)同点纵横坐标变换 (7)xy，k(斜率)的取值范围 (8)目标:弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等 （1）中点坐标公式:，其中x，y是A，B的中点坐标。 （2）弦长公式:若点A，B在直线y=k+b(k≠0)上 则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一 （3）两条直线垂直:则,=-1， 两条直线垂直，则直线所在的向量=0 （4）韦达定理：即的两根为，则，。 【题型1】数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 【典例1】如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点. (1)当直线倾斜角为时，求直线的方程； (2)求证：的面积为定值. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）根据直线倾斜角得到直线的斜率，进而设直线方程，根据直线与曲线有一个交点联立方程组解得答案； （2）设直线为，直线与椭圆只有一个公共点联立方程组消元得，直线与椭圆交于两点，连立方程组结合韦达定理得，结合三角形面积公式得答案； 【详解】（1）因为直线倾斜角为，直线为，因为椭圆， 直线与椭圆只有一个公共点，联立方程，得， ，所以直线为或 （2）因为直线与椭圆只有一个公共点，设直线为由，得 , 又因为直线与椭圆交于两点，得 所以，因为直线与轴交于点，所以 所以 . 【变式1-1】若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 【变式1-2】已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． (1)求C的标准方程； (2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆定义得，，再结合关系即可得到答案； （2）求出，设直线方程为，联立椭圆方程，利用即可. 【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 由椭圆的定义知，， 可得，所以， 所以椭圆的标准方程为:. （2）已知，所以，设直线方程为， 由方程组消去，得， 该方程的判别式， 由，得， 此时与有且只有一个公共点，所以的方程为:. 【变式1-3】已知双曲线，，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据直线过点，写出点斜式，当直线与渐近线平行时，与双曲线有且只有一个交点，当直线与渐近线不平行时，联立直线与双曲线，根据判别式可得斜率的值； （2）根据双曲线的定义及三角形余弦定理与面积公式可得解. 【详解】（1）当时，， 则直线的方程为， 又双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点； 当时， 联立方程组， 得， ， 解得； 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； （2）由双曲线， 则，，， 又点在双曲线上，即，即， 在中， 由余弦定理， 即， 解得， 所以的面积. 【题型2】弦的垂直平分线问题 【典例2】已知直线l：与圆C：相交于A，B两点．求及弦AB的垂直平分线的方程． 【答案】，． 【分析】把圆的方程化为标准方程，利用点到直线的距离与勾股定理可得弦长，由两直线垂直可得斜率，再由点斜式求方程即可 【详解】圆的方程可化为，故其圆心，半径， 圆心C到l的距离， 所以． 直线l的斜率为， 所以AB的垂直平分线的斜率为， 由垂径定理知弦AB的垂直平分线过圆心， 故弦AB的垂直平分线的方程为，即． 【变式2-1】圆与直线相交于、两点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，根据两直线垂直求出线段的垂直平分线所在直线的斜率，然后利用点斜式可求得所求直线的方程. 【详解】圆的圆心坐标为， 由圆的几何性质可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直， 直线的斜率为，则所求直线的斜率为， 因此，线段的垂直平分线的方程是，即. 故选：C. 【变式2-2】已知圆经过点，且圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程及圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，圆与轴相切于点，求的面积. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）求出线段中点，再根据垂直关系得到垂直平分线方程，联立方程组得到圆心，再计算出半径即可； （2）求出，再得到，最后计算面积即可. 【详解】（1）设线段的垂直平分线的斜率为， 则线段的中点为， 所以，则，所以线段的垂直平分线的方程为 由，解得，得圆心，所以， 所以圆的标准方程为. （2）圆心到直线的距离， 则. 因为圆与轴相切于点，令，则，所以， 又到直线的距离为， 所以的面积为. 【变式2-3】已知圆C经过两点，，且圆心在直线上． (1)求线段AB的垂直平分线的方程； (2)求圆C的标准方程； (3)求圆C被直线 截得的弦长． 【答案】(1)； (2)； (3)6. 【分析】（1）由题可得线段的中点坐标及斜率，然后利用点斜式即得； （2）由可得圆心坐标，进而即得； （3）利用弦长公式即得. 【详解】（1）由，，可得其中点为，， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为2， 故线段AB的垂直平分线的方程为，即； （2）由，可得， 所以圆心，圆C的半径为， 所以圆C的标准方程为； （3）因为圆心，圆C的半径为5， 所以圆心到直线 的距离为， 所以圆C被直线 截得的弦长为. 【题型3】动弦过定点的问题 【典例3】已知圆过原点和点，圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设圆心，根据，可得出关于实数的等式，解出的值，即可得出圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，然后对直线斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，直接检验即可；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （3）设点，其中，则，设点，根据平面向量的坐标运算可得，根据点在圆上可得出，代入化简即可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）解：设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为. （2）解：由题意可知，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即.. 综上所述，直线的方程为或. （3）解：设点，其中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即. 故点的轨迹方程为. 【变式3-1】已知圆. (1)求过点与圆相切的直线方程. (2)求过点与圆相交且弦长为的直线方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分直线斜率存在和不存在，利用圆心到直线的距离等于半径列式求解； （2）由弦长求得圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式求解. 【详解】（1）∵圆，即， ∴圆心，半径， 当直线斜率存在时，设直线，即， 圆心到直线的距离，解得， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切， 综上，所求直线方程为或． （2）∵过点与圆相交且弦长为， ∴圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为7，不合题意； ∴直线斜率存在，设直线方程为，即， ∵圆心到直线的距离， 整理得，即，解得或， ∴所求直线方程为或． 【变式3-2】已知椭圆的右焦点为，点在C上. (1)求C的离心率； (2)设恒过点D的直线交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到关于的方程组，从而得到椭圆方程，进而求得其离心率； （2）设，，直线与椭圆联立，由根与系数关系可得k，从而得直线AB的方程. 【详解】（1）由题意得，解得，， 所以椭圆C的方程为， 故C的离心率； （2）设，， 联立，消去y得， 故， 由直线化为，恒过， 故，即，所以，解得， 此时二次方程为，满足题意， 故所求直线的方程为 【题型4】过已知曲线上定点的弦的问题 【典例4】已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)设是双曲线与圆在第一象限的交点，求的面积. (3)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知，再将点代入双曲线方程可得解； （2）联立双曲线与圆可得点坐标，进而可得三角形面积； （3）由已知可得直线方程，联立直线与双曲线，结合韦达定理与弦长公式可得解. 【详解】（1）由已知双曲线的实轴长为，即得， 所以双曲线方程为， 又双曲线过点，则， 解得， 则双曲线方程； （2）联立双曲线与圆的方程， 即，解得， 由点在第一象限，则， 又， 所以； （3）由已知直线，即，    联立直线与双曲线，即， 得，， 且，， 则弦长 . 【变式4-1】已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，弦AB长为12，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】设直线l的方程为，直曲联立，由韦达定理表示弦长求出斜率即可； 【详解】根据题意可得抛物线的焦点，根据题意可得直线的斜率存在，（显然当斜率不存在时，不符合题意） 设直线l的方程为，联立， 得，所以， 因为，解得， 则直线l的方程为或. 故选：B. 【变式4-2】已知，分别为椭圆 的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点和点代入椭圆方程，解之即可得解； （2）根据题意，利用直线的点斜式求得直线的方程，再联立直线与椭圆方程，直接求得点的坐标，从而得解. 【详解】（1）因为椭圆椭圆 经过点和点，， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）得，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立，解得或， 则， 所以. 【变式4-3】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与轴垂直的直线交于两点，是与的一个公共点，，. (1)求与的标准方程； (2)过点且与相切的直线与交于点，求. 【答案】(1)的标准方程为，的标准方程为 (2) 【分析】（1）由抛物线的定义代入计算，即可求得的标准方程，再将点的坐标代入椭圆方程，即可得到的标准方程； （2）根据题意，联立直线与抛物线方程，结合弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）记，则抛物线的方程为，其准线方程为. 因为，所以，解得，则的标准方程为. 不妨设点在第一象限，记，因为， 所以，解得.因为，所以，即. 由解得 所以的标准方程为. （2） 不妨设点在第一象限，则. 设直线. 联立得. 由，解得，则. 设. 联立得，则， 故. 【变式4-3】已知直线的方向向量与直线的方向向量共线且过点； (1)求的方程； (2)若与抛物线交于点为坐标原点，设直线，直线的斜率分别是；求及的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意，根据直线的方向向量的概念可得直线l的斜率为，结合直线的点斜式方程即可求解； （2）设，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理和两点表示斜率公式可得，进而，根据点到直线的距离公式求出点到直线l的距离d，结合化简计算即可. 【详解】（1）由题意知， 直线的斜率为直线l的斜率为， 依题意，直线的方程为，即； （2）设，由， 得， ， 设点到直线l的距离为， 由知，所以， 故.    【题型5】共线(向量)问题 【典例5】已知椭圆M：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆M的方程； (2)若过点的两条直线分别与椭圆M交于点A，C和B，D，且共线，求直线AB的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由短轴长可求出，由离心率为可求出，由此即可求得本题答案； （2）设点，因为共线，可设，可得，，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案. 【详解】（1）因为短轴长为，所以，则，           因为离心率，所以，所以，可得，       所以椭圆M的方程为. （2）设. 设，则，即，    代入椭圆方程，得， 即①            同理可得②              由②-①，得，            所以，            所以直线AB的斜率. 【点睛】思路点睛：把共线这个条件，转化为，是解决此题的关键. 【变式5-1】已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线与的斜率之积为定值； (3)判断三点，，是否共线？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，，三点共线，证明见解析. 【分析】（1）根据已知条列出有关的方程组，求出的值，可得椭圆的标准方程； （2）设点，将点的坐标代入椭圆的方程可得出与之间的关系，然后利用斜率公式，结合等量关系可证得结论； （3）设直线的方程为，可得直线的方程，与直线联立，可求出的坐标，然后求出直线的斜率，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求出点的坐标，再计算，的斜率，利用这两直线斜率相等可得结论. 【详解】（1）根据题意得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）根据题意可知直线与的斜率都存在且不为零，， 设，则（）， 则， 因为点在椭圆上， 所以，所以， 所以， 所以直线与的斜率之积为定值； （3），，三点共线，证明如下： 设直线的方程为， 则直线的方程为， 所以， 所以， 所以设直线的方程为， 由，得， 设，则，得， 所以， 所以， 因为， 所以，， 所以， 所以，，三点共线. 【变式5-2】在平面直角坐标系中，设双曲线的左、右焦点分别为，，一条过的直线交双曲线的右支于P，Q两点，M为线段的中点. (1)若M在直线上，求. (2)设是的内心，求证：O，I，M共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）联立直线和双曲线方程，利用韦达定理以及中点坐标公式得出，进而由弦长公式得出； （2）由韦达定理得出，由内心的性质结合定义、弦长公式得出，进而得出点的坐标，利用斜率相等证明O，I，M共线. 【详解】（1）由题意知直线斜率不为，， 设，直线的方程为， 由，得. 则，解得. 由韦达定理得， ，解得. 经检验，当时，直线交双曲线于右支两点 此时. （2）设，直线的倾斜角为， ，则. 因为内心I是角平分线交点，， 所以由切线长定理可知，的内切圆切边于点. 设内心，内切圆半径为， 的面积. 即，则. 整理得， ， 所以，即三点共线.    【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是由斜率相等证明三点共线，将几何问题转化为代数问题. 【变式5-3】如图，已知抛物线C：（）的焦点F，且经过点，． (1)求A点的坐标； (2)直线l交抛物线C于M，N两点，过点A作于D，且，证明：存在定点Q，使得DQ为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m即可得的坐标. （2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据及向量垂直的坐标表示列方程，求k、n数量关系，确定所过定点，再由易知在以为直径的圆上，即可证结论. 【详解】（1）由抛物线定义知：，则，故， 又在抛物线上，则，可得，故. （2）设，，由（1）知：， 所以，，又，故， 所以， 因为的斜率不为零，故设直线， 联立，整理得，且， 所以，，则，， 综上，， 当时，过定点； 当时，过定点，即共线，不合题意； 所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上， 而中点为，即为定值，得证. 【题型6】面积问题 【典例6】已知椭圆（）的右焦点为，且过点，直线过点且交椭圆于A、两点. (1)求椭圆的方程； (2)若线段的垂直平分线与轴的交点为. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若点，求的面积. 【答案】(1)； (2)或； 【分析】（1）根据椭圆的性质并代入所过点坐标计算即可； （2）（ⅰ）先排除直线l斜率不存在的情况，设其点斜式方程，联立椭圆方程结合韦达定理、直线垂直的斜率积计算即可；（ⅱ）由上的结论及弦长公式、点到直线的距离公式计算即可. 【详解】（1）根据题意有，解之得，所以椭圆的方程； （2）（ⅰ）显然若l斜率不存在，其垂直平分线与横轴重合，不符合题意； 不妨设直线的方程为，的中点为C， 设， l与椭圆方程联立有，整理得， 则， 所以， 易知，解之得， 即，整理得直线的方程为或； （ⅱ）由弦长公式可知 ， 由直线的对称性知点P到两条直线l的距离相同，即， 所以的面积为.    【变式6-1】已知圆：，点，点是圆A上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，与圆A交于，两点，则当点在圆A上运动时， (1)求点的轨迹方程； (2)证明：直线是点轨迹的切线； (3)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）根据题设得到，结合椭圆定义写出轨迹方程即可. （2）设求出直线l的方程，然后与椭圆联立消元，通过判别式等于零得方程有两个相等的根即可， （3）根据面积公式列出关于的表达式，然后根据的有界性求出最值即可 【详解】（1）由线段的垂直平分线的性质可知，， 故， 所以点在以点A，为焦点的椭圆上， 其中椭圆的长轴长为8，焦距为，短轴长， 故点的轨迹方程为：. （2）设， 则有：， 将代入椭圆：消去整理得 ， 故， 即 所以，直线是点轨迹的切线；. （3）由（2）可知，点到直线的距离为 ， 点A到直线的距离为 ， 故线段， 所以的面积为 ， 当且仅当时，等号成立， 所以当时，的面积的最大值为. 【变式6-2】已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点. (1)求的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程. （2）根据椭圆的定义求得，从而求得的面积. 【详解】（1）依题意，设椭圆方程为， 所以，解得. 所以椭圆的标准方程为. （2）由于，，根据抛物线的定义有： ，整理得， 所以的面积为. 【变式6-2】已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为. (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程; (2)若斜率为2且纵截距为1的直线与抛物线交于M，N两点，为抛物线的焦点，求的面积. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程得，进而求出双曲线方程及右焦点坐标，求得抛物线方程. （2）求出直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理求出三角形面积. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的渐近线方程为，则，双曲线的方程为， 双曲线的右焦点坐标为，而抛物线的焦点为， 于是，解得，所以抛物线的标准方程为. （2）直线的方程为，由消去得， ，设， 则，， 令直线与轴的交点为，，由（1）知， 所以的面积. 【题型7】弦或弦长为定值问题 【典例7】已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)过轨迹上一个定点引它的两条弦，，若直线，的斜率存在，且直线的斜率为证明：直线，的倾斜角互补． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设动圆圆心的坐标为，由题意可得，化简整理即可求得动圆圆心的轨迹的方程； （2）由两点的斜率公式，结合已知条件计算，即可得证． 【详解】（1）设动圆圆心的坐标为，则， 整理得，，故所求动圆圆心的轨迹的方程为． （2）证明：设，，则有，，， 直线的斜率为，所以， 于是 . 故直线，的倾斜角互补． 【变式7-1】已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点， (1)求抛物线方程； (2)求弦的长度； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意设抛物线为，结合所过的点求抛物线方程； （2）由（1）及题设有直线，联立抛物线，应用韦达定理及弦长公式求. 【详解】（1）由题意，可设抛物线为，又抛物线经过点， 所以，则抛物线方程为. （2）由（1）知：抛物线焦点为，则直线， 代入抛物线消去y，得，则，显然， 所以，，则. 【变式7-2】已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意设圆心，结合所过点、与直线相切列方程求参数，即可得圆心和半径，进而写出圆的方程； （2）由题意直线l与圆C的距离，讨论直线斜率，并设直线方程，应用点到直线的距离公式求参数，可得直线方程． 【详解】（1）由题意，设圆心，半径， ∵圆M经过点，∴， ∵圆M与直线相切， ∴圆心到直线的距离， ∴，化简，解得， 则圆心，半径， 所以圆M的方程为． （2）由题意，圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离由，解得， 则直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或． 【变式7-3】平面直角坐标系中，已知点，动点C满足条件：的周长为，记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程； (2)设过点B的直线l与曲线W交于两点，如果，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用椭圆的定义求解椭圆方程即可； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，直线与椭圆联立，利用弦长公式计算即可. 【详解】（1），因为的周长为，所以， 所以点的轨迹满足椭圆的定义，，又因为，所以， 并且点不能在轴上，所以点的轨迹方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，不合题意； 当直线的斜率不存在时，设，直线的方程为， 与椭圆方程联立得：， 所以， 由弦长公式得 解得， 所以的方程为或. 【题型8】角度问题 【典例8】已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，取，可得，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值. 【详解】设点，其中，则，， 取，则， 可得，因为，可得，解得，则， 因此，. 故选：D. 【变式8-1】椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率互为倒数，为椭圆上任意一点，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆方程为，根据条件列方程求出，即可求出椭圆方程，当点为椭圆短轴端点时角最大，利用余弦定理可求得该角. 【详解】设椭圆方程为， 则，解得， 则椭圆方程为， 当点为椭圆短轴端点时角最大， 此时， 因为， 故选：D. 【变式8-2】已知双曲线：的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为的三角形，则双曲线的离心率为 A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】根据双曲线的对称性知： 【变式8-3】已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，若以Fx为始边，FM为终边的角，则等于（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】设，根据题意列式求解，再根据抛物线的定义求. 【详解】由题意可得：， 设，则，解得或（舍去）， 即，∴. 故选：A. 【题型9】四点共线问题 【典例9】已知椭圆的焦距为，直线过点，且与椭圆相交于两点，是线段的中点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若梯形的顶点都在椭圆上，且，对角线和交于点，线段的中点分别为. (i)证明：四点共线； (ii)试探究直线与直线的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)(i)证明见解析；(ii)，证明见解析 【分析】（1）利用直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理和中点坐标公式来求解椭圆方程； （2）(i)用点差法可得中点弦斜率与中点与原点的斜率之积为定值，利用斜率相等来证明三点共线； (ii)用坐标来研究斜率，再用三点共线得到斜率相等，来找到相等关系，最后求出定点. 【详解】（1）由直线过点，得， 联立，消得：，易知， 设，则，整理得：， 又因为，所以，解得， 即椭圆. （2） (i)不妨设的中点为，的中点为， 再设 由题可知直线斜率必存在，且， 以上两式相减得， 即，同理， 因为可得：，则，即三点共线； 又因为四边形是梯形，且与交于， 由平面几何知识可知三点共线， 即得证四点共线； (ii)由(i)可知，，而， 所以， 设直线的方程为：，设直线的方程为：， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得：，不妨设， 同理，， 因为，所以 化简得：， 即 上式两边平方化简得：， 由平面几何知识易知三点共线，故设， 由可得， ，， 所以，即或（舍去） 化简得：， 结合，可得， 故直线与直线的交点为定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式9-1】多选题一般地，若，（，且），则称，，，四点构成调和点列.已知椭圆：，过点的直线与椭圆交于，两点.动点满足，，，四点构成调和点列，则下列结论正确的是（    ） A．，，，四点共线 B． C．动点的轨迹方程为 D．既有最小值又有最大值 【答案】ABC 【分析】由和可判断A，由向量的数乘运算可判断B，设，，通过向量的坐标运算可得出，从而可判断C，由点到直线的距离可判断D. 【详解】对于A，因为，，，四点构成调和点列， 则有，因为有公共点，所以三点共线， 且有，因为有公共点，所以三点共线， 即可得到，，，四点共线，A正确； 对于B，因为，所以， 即， 所以，B正确； 对于C，设，， 由，得， 两式相乘得：①， 同理可得：②， 则①+②得：， 又点在椭圆上， ，， ，即，即，C正确. 对于D，到直线的距离， 即为的最小值，无最大值，D错误. 故选：ABC 【题型10】范围问题(本质是函数问题) 【典例10】已知椭圆的中心为坐标原点，记的左、右焦点分别为，，上下顶点为，，且是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线斜率范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意及椭圆的性质有、，即可得椭圆方程； （2）根据题设，设直线方程为，联立椭圆方程，应用韦达定理及坐标表示得到关于k的不等式，即可求范围. 【详解】（1）由题意知，则；由，则， 故椭圆的标准方程为； （2） 由题意知，直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 联立，得， 由，得， 设，，则，， 则， 因为，所以，即， ∴，则或， 综上，斜率范围为. 【变式10-1】已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性，令，则，若结合斜率的两点式及椭圆上点得，再由已知及离心率公式求其范围. 【详解】由题意，和均关于原点对称，令，则， 若，则 ， 所以椭圆离心率. 故选：A 【变式11-1】已知双曲线的焦点在轴上，则离心率的范围为 ． 【答案】 【分析】利用双曲线标准方程的特征求出m的范围，再利用离心率公式求出的范围. 【详解】双曲线的焦点在轴上，将双曲线方程化为所以，解得，即. 离心率 ， 因为，所以，所以，从而. 故答案为： 【变式11-2】已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线，切点为A，B. (1)若点的坐标为，证明：直线； (2)求O到直线的距离的范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设切线方程为，联立方程，再根据结合韦达定理证明即可. （2）设出点的坐标，求出椭圆在点处的切线方程，再设出点的坐标，求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出距离的范围即得. 【详解】（1）依题意，切线的斜率存在，设切线方程为， 由消去得，则， 设的方程两根为，则，即直线的斜率有， 所以. （2）设椭圆上点，当椭圆在点处的切线斜率存在时，设其方程为， 由消去得， 则，化简得， 而，于是，即， 解得，直线的方程为，整理得， 当直线的斜率不存在时，点或，对应的切线方程分别为或，满足上式， 因此椭圆上任意点处的切线的方程为， 则椭圆上点处的切线的方程为， 设点，显然，由于直线，都过点，即， 显然点的坐标都满足方程，于是直线的方程为， 则原点O到直线的距离，而， 则当时，，当时，， 所以点O到直线的距离的取值范围是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 【题型11】存在性问题(存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等) 【典例11】已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过点能否作一条直线，使直线与椭圆交于，两点，且使得是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据椭圆的顶点及离心率即可得出椭圆方程； （2）当直线斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程，根据根与系数的关系建立 方程求斜率即可得解. 【详解】（1）椭圆的顶点为，， 又，， ， 椭圆的方程为：． （2）当过点的直线斜率不存在时，显然不成立， 设直线的斜率为，则其方程为：，如图，    联立方程组，消去并整理， 得：， 由在椭圆内部可知，方程有两不等实根， 设， ，且点是线段的中点， ，， 故存在这样的直线，方程为：，即， 【变式11-1】已知点在双曲线：（）上. (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由点在双曲线上，可得，求解可得双曲线的方程； （2）设直线的方程为，且设交点，，先利用点差法求得，进而求得直线的方程，代入双曲线方程消去可得的一元二次方程，利用判别式判断方程的根的情况即可得结论. 【详解】（1）已知点在双曲线：（）上， 所以，整理得，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）由题可知若直线存在，则直线的斜率存在，故设直线的方程为， 且设交点，， 则，两式相减得， 由于为中点，则，， 则， 即有直线的方程为，即， 由，可得， 检验判别式为，方程有实根， 故存在过点的直线与该双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点. 此时的方程为. 【变式11-2】已知椭圆的两个顶点分别为，离心率为椭圆上的动点，直线分别交动直线于点C，D，过点C作的垂线交x轴于点H． (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合即可求解； （2）结合两点式得直线方程，进而得到点坐标，由直线与直线垂直得到直线的斜率，结合点斜式得直线的方程，进而的到点坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解. 【详解】（1）由，又两个顶点分别为， 则，， 故椭圆E的方程为； （2）为椭圆上的动点，则，故直线的斜率存在且不为0， 则直线：，即，则点， 则直线：，即，则点， 则直线的斜率为，故直线：， 令,得， 又在椭圆上，则，整理得， 所以，则， 所以 综上，存在，使得有最大值. 【点睛】按题意结合两点式，点斜式求得点坐标，结合数量积运算及二次函数的最值即可求，思路相对明确，运算要细心，是中档题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5 直线和圆锥曲线常考题型（11种题型） 【题型1】数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 【题型2】弦的垂直平分线问题 【题型3】动弦过定点的问题 【题型4】过已知曲线上定点的弦的问题 【题型5】共线向量问题 【题型6】面积问题 【题型7】弦或弦长为定值问题 【题型8】角度问题 【题型9】四点共线问题 【题型10】范围问题(本质是函数问题) 【题型11】存在性问题(存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等) 直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类:无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切;对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系 解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是: (1)直线的斜率不存在，直线的斜率存, (2)联立直线和曲线的方程组; (3)讨论类一元二次方程 (4)一元二次方程的判别式 (5)韦达定理，同类坐标变换 (6)同点纵横坐标变换 (7)xy，k(斜率)的取值范围 (8)目标:弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等 （1）中点坐标公式:，其中x，y是A，B的中点坐标。 （2）弦长公式:若点A，B在直线y=k+b(k≠0)上 则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一 （3）两条直线垂直:则,=-1， 两条直线垂直，则直线所在的向量=0 （4）韦达定理：即的两根为，则，。 【题型1】数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 【典例1】如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点. (1)当直线倾斜角为时，求直线的方程； (2)求证：的面积为定值. 【变式1-1】若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【变式1-2】已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． (1)求C的标准方程； (2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 【变式1-3】已知双曲线，，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【题型2】弦的垂直平分线问题 【典例2】已知直线l：与圆C：相交于A，B两点．求及弦AB的垂直平分线的方程． 【变式2-1】圆与直线相交于、两点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知圆经过点，且圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程及圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，圆与轴相切于点，求的面积. 【变式2-3】已知圆C经过两点，，且圆心在直线上． (1)求线段AB的垂直平分线的方程； (2)求圆C的标准方程； (3)求圆C被直线 截得的弦长． 【题型3】动弦过定点的问题 【典例3】已知圆过原点和点，圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程. 【变式3-1】已知圆. (1)求过点与圆相切的直线方程. (2)求过点与圆相交且弦长为的直线方程. 【变式3-2】已知椭圆的右焦点为，点在C上. (1)求C的离心率； (2)设恒过点D的直线交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程. 【题型4】过已知曲线上定点的弦的问题 【典例4】已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)设是双曲线与圆在第一象限的交点，求的面积. (3)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【变式4-1】已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，弦AB长为12，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式4-2】已知，分别为椭圆 的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值. 【变式4-3】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与轴垂直的直线交于两点，是与的一个公共点，，. (1)求与的标准方程； (2)过点且与相切的直线与交于点，求. 【变式4-3】已知直线的方向向量与直线的方向向量共线且过点； (1)求的方程； (2)若与抛物线交于点为坐标原点，设直线，直线的斜率分别是；求及的值. 【题型5】共线(向量)问题 【典例5】已知椭圆M：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆M的方程； (2)若过点的两条直线分别与椭圆M交于点A，C和B，D，且共线，求直线AB的斜率. 【变式5-1】已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线与的斜率之积为定值； (3)判断三点，，是否共线？并证明你的结论． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，设双曲线的左、右焦点分别为，，一条过的直线交双曲线的右支于P，Q两点，M为线段的中点. (1)若M在直线上，求. (2)设是的内心，求证：O，I，M共线. 【变式5-3】如图，已知抛物线C：（）的焦点F，且经过点，． (1)求A点的坐标； (2)直线l交抛物线C于M，N两点，过点A作于D，且，证明：存在定点Q，使得DQ为定值． 【题型6】面积问题 【典例6】已知椭圆（）的右焦点为，且过点，直线过点且交椭圆于A、两点. (1)求椭圆的方程； (2)若线段的垂直平分线与轴的交点为. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若点，求的面积. 【变式6-1】已知圆：，点，点是圆A上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，与圆A交于，两点，则当点在圆A上运动时， (1)求点的轨迹方程； (2)证明：直线是点轨迹的切线； (3)求面积的最大值. 【变式6-2】已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点. (1)求的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积. 【变式6-2】已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为. (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程; (2)若斜率为2且纵截距为1的直线与抛物线交于M，N两点，为抛物线的焦点，求的面积. 【题型7】弦或弦长为定值问题 【典例7】已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)过轨迹上一个定点引它的两条弦，，若直线，的斜率存在，且直线的斜率为证明：直线，的倾斜角互补． 【变式7-1】已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点， (1)求抛物线方程； (2)求弦的长度； 【变式7-2】已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 【变式7-3】平面直角坐标系中，已知点，动点C满足条件：的周长为，记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程； (2)设过点B的直线l与曲线W交于两点，如果，求直线l的方程. 【题型8】角度问题 【典例8】已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率互为倒数，为椭圆上任意一点，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知双曲线：的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为的三角形，则双曲线的离心率为 A． B． C．3 D．5 【变式8-3】已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，若以Fx为始边，FM为终边的角，则等于（    ） A．2 B． C． D．4 【题型9】四点共线问题 【典例9】已知椭圆的焦距为，直线过点，且与椭圆相交于两点，是线段的中点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若梯形的顶点都在椭圆上，且，对角线和交于点，线段的中点分别为. (i)证明：四点共线； (ii)试探究直线与直线的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由. 【变式9-1】多选题一般地，若，（，且），则称，，，四点构成调和点列.已知椭圆：，过点的直线与椭圆交于，两点.动点满足，，，四点构成调和点列，则下列结论正确的是（    ） A．，，，四点共线 B． C．动点的轨迹方程为 D．既有最小值又有最大值 【题型10】范围问题(本质是函数问题) 【典例10】已知椭圆的中心为坐标原点，记的左、右焦点分别为，，上下顶点为，，且是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线斜率范围. 【变式10-1】已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知双曲线的焦点在轴上，则离心率的范围为 ． 【变式11-2】已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线，切点为A，B. (1)若点的坐标为，证明：直线； (2)求O到直线的距离的范围. 【题型11】存在性问题(存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等) 【典例11】已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过点能否作一条直线，使直线与椭圆交于，两点，且使得是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由． 【变式11-1】已知点在双曲线：（）上. (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【变式11-2】已知椭圆的两个顶点分别为，离心率为椭圆上的动点，直线分别交动直线于点C，D，过点C作的垂线交x轴于点H． (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$