专题01 三角形（3种经典基础练+3种优选提升练）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版，吉林专用）

专题01 三角形（3种经典基础练+3种优选提升练） 与三角形有关的线段 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•扶余市期末）已知三角形两边的长分别是5和9，则此三角形第三边的长可能是　　 A．1 B．4 C．8 D．14 2．（2023秋•大安市期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位：厘米），用它们能摆出三角形的是　　 A．1，2，1 B．1，2，2 C．2，2，5 D．2，3，5 3．（2023秋•乾安县期末）长度分别为2，7，的三条线段能组成一个三角形，的值可以是　　 A．4 B．5 C．6 D．9 4．（2023秋•扶余市期末）下列说法正确的是　　 A．三角形的三条中线交于一点 B．三角形的三条高都在三角形内部 C．三角形不一定具有稳定性 D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部 5．（2023秋•宁江区期末）如图，在中，，，是边上的中线，若的周长为30，则的周长是　　 A．20 B．24 C．26 D．28 二．填空题（共2小题） 6．（2023秋•大安市期末）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是　 　． 7．（2023秋•铁西区期末）已知，，是的三边长，满足，为奇数，则　　． 三．解答题（共1小题） 8．（2023秋•四平期末）若、、为三角形的三边长，试证明：的值一定为负． 与三角形有关的角 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•靖宇县期末）将一副三角板按图中的方式叠放，则等于　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•大安市期末）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•东辽县期末）如图，在中，平分，平分，与交于点，其中，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•临江市期末）有一块直角三角板放置在上，三角板的两条直角边、恰好分别经过点、，在中，，则的度数是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•东丰县期末）如图，是的一个外角，，，则　　 A． B． C． D． 二．填空题（共2小题） 6．（2023秋•东丰县期末）如图，在中，，，平分，交于点．过点作于点，则的度数为 　 　． 7．（2023秋•延边州期末）如图，在中，点在的延长线上，若，，则的度数为 　 　． 三．解答题（共4小题） 8．（2023秋•东辽县期末）如图， 在中，，，． 求的度数 ． 9．（2023秋•梅河口市期末）如图，在中，是高，角平分线，相交于点，，，求和的度数． 10．（2023秋•梨树县期末）在中，，，分别是边，上的高，且，相交于点，求的度数． 11．（2023秋•东丰县期末）如图所示，，均为直角三角形，且，，过点作平分交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 多边形及其内角和 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•永吉县期末）一个正多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2023秋•通榆县期末）已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是　　 A．五边形 B六边形 C．七边形 D．八边形 3．（2023秋•永吉县期末）七边形的内角和是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•梨树县期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，，则为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•靖宇县期末）如图，七边形中，、的延长线交于点，着、、、对应的邻补角和等于，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•龙山区期末）如图，五边形的内角都相等，且，，则　　 A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 7．（2023秋•靖宇县期末）如图，、、、是五边形的4个外角，若，则　 　． 8．（2023秋•梨树县期末）一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个正多边形是正 　 　边形． 9．（2023秋•大安市期末）如图，八角帽又称“红军帽”，是红军的象征，也是中国工农红军军服佩饰最显眼的部分之一，其帽顶近似正八边形．正八边形的一个内角的大小为　 ． 10．（2023秋•双辽市期末）如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数为 　 　． 11．（2023秋•东辽县期末）若一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形是正 　　边形． 三．解答题（共5小题） 12．（2023秋•延边州期末）一个多边形的内角和的等于，求这个多边形的边数． 13．（2023秋•铁西区期末）若一个多边形的内角和的比它的外角和多，那么这个多边形的边数是多少？ 14．（2023秋•双辽市期末）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． 15．（2023秋•东丰县期末）如图，在正五边形中，交的延长线于点，交的延长线于点，求的度数． 16．（2023秋•临江市期末）（1）已知：如图①，在中，、分别平分和，直接写出与的数量关系为 　 　． （2）已知：如图②，在四边形中，、分别平分和，试探究与的数量关系． 与三角形有关的折叠问题 1．（2023秋•长岭县期末）已知，在直角三角形中，，是上一点，且． （1）如图1，求证：； （2）将沿所在直线翻折，点落在边所在直线上，记为点． ①如图2，若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 2．（2022秋•城关区校级期末）如图1，一张三角形纸片，点，分别是边上两点． 研究（1）：如果沿直线折叠，使点落在上的点处，则与的数量关系是 　 　； 研究（1）：如果折成图2的形状，猜想，和的数量关系是 　　； 研究（3）：如果折成图3的形状，猜想，和的数量关系是什么，并说明理由． 内外角平分线问题 1．（2021秋•临江市期末）我们探究过三角形内角和等于，四边形内角和等于，请解决下面的问题： （1）如图1，，则　 　（直接写出结果）； （2）连接、，若、、、分别是四边形的四个内角的平分线； ①如图2，如果，那么的度数为　 　　（直接写出结果）； ②如图3，若，与平行吗？请写出理由． 2．（2023秋•佛山期末）已知，直线与交于点，与交于点，点，均不与点重合，平分，平分． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，延长与交于点，过作射线与交于点，且满足．求证：； （3）如图3，过点作，是的外角平分线所在直线，与射线交于点，与交于点．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 3．（2024春•永年区期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在中，是与的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （2）探究2：如图2中，是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （3）探究3：如图3中，是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：　 　． 4．（2024春•曲阳县期末）新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形． （1）在中，，，则为 　　倍角三角形． （2）如图1，直线与直线相交于，，点、点分别是射线、上的动点；已知、的角平分线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． （3）如图2，直线直线于点，点、点分别在射线、上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、，若为3倍角三角形，试求的度数． 5．（2022秋•和平区校级期末）【数学模型】 如图（1），，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． （1）如图（3），若，，，则　　． （2）如图（4），若不平行，，，则的度数是多少呢？ 易证，，请你完成接下来的推理过程： 　　， 、分别是、的平分线， ，． 　　， 又，， 　　度． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出与、之间的数量关系是：　　． 【类比应用】 如图（5），的平分线与的平分线交于点． 已知：、，则　　（用、表示）． 6．（2023秋•潍坊期末）在中， （1）如图①所示，如果，和么的平分线相交于点，那么　 　； （2）如图②所示，和的平分线相交于点，试说明； （3）如图③所示，和的平分线相交于点，猜想与的关系并证明你的猜想 7．（2022秋•东至县期末）【概念认识】 如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，，若的三分线交于点，求的度数； （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数． 8．（2022秋•宣化区期末）中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点． （1）如图1，猜想与的关系，并说明你的理由； （2）如图2，作外角的平分线交的延长线于点． ①求证：； ②若，求的度数． 与三角形有关的动点问题 1．（2024春•农安县期末）（问题背景） ，点、分别在、上运动（不与点重合）． （问题思考） （1）如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，　 　． （2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． ①若，则　　． ②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； （问题拓展） （3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③，　　．（用含的代数式表示） 2．（长白县期末）中，，点、分别是边、上的点，点是一动点．令，，． （1）若点在线段上，如图（1）所示，且，则 　　 ； （2）若点在边上运动，如图（2）所示，则、、之间有何关系？ （3）若点在斜边的延长线上运动，则、、之间有何关系？猜想并说明理由． 3．（2022春•青山湖区校级期末）已知：三角形和同一平面内的点． （1）如图1，点在边上，交于，交于．若，则的度数为 　　． （2）如图2，点在的延长线上，，，证明：． （3）如图3，点是三角形外部的一个动点，过作交直线于，交直线于，直接写出与的数量关系（不需证明）． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形（3种经典基础练+3种优选提升练） 与三角形有关的线段 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•扶余市期末）已知三角形两边的长分别是5和9，则此三角形第三边的长可能是　　 A．1 B．4 C．8 D．14 【分析】先根据三角形的三边关系求出的取值范围，再求出符合条件的的值即可． 【解答】解：此三角形第三边的长为，则 ，即， 只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2．（2023秋•大安市期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位：厘米），用它们能摆出三角形的是　　 A．1，2，1 B．1，2，2 C．2，2，5 D．2，3，5 【分析】看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可． 【解答】解：、，不能构成三角形，故错误； 、，能构成三角形，故正确； 、，不能构成三角形，故错误； 、，不能构成三角形，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3．（2023秋•乾安县期末）长度分别为2，7，的三条线段能组成一个三角形，的值可以是　　 A．4 B．5 C．6 D．9 【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的． 【解答】解：由三角形三边关系定理得，即． 因此，本题的第三边应满足，把各项代入不等式符合的即为答案． 4，5，9都不符合不等式，只有6符合不等式， 故选：． 【点评】考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 4．（2023秋•扶余市期末）下列说法正确的是　　 A．三角形的三条中线交于一点 B．三角形的三条高都在三角形内部 C．三角形不一定具有稳定性 D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部 【分析】依据三角形角平分线、中线以及高线的概念，即可得到正确结论． 【解答】解：．三角形的三条中线交于一点，正确； ．锐角三角形的三条高都在三角形内部，错误； ．三角形一定具有稳定性，错误； ．三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误； 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形角平分线、中线以及高线的概念，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 5．（2023秋•宁江区期末）如图，在中，，，是边上的中线，若的周长为30，则的周长是　　 A．20 B．24 C．26 D．28 【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：是边上的中线， ， 的周长为30， ， ， ， 的周长， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 二．填空题（共2小题） 6．（2023秋•大安市期末）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是　三角形的稳定性　． 【分析】将其固定，显然是运用了三角形的稳定性． 【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 【点评】注意能够运用数学知识解释生活中的现象，考查三角形的稳定性． 7．（2023秋•铁西区期末）已知，，是的三边长，满足，为奇数，则　7　． 【分析】根据在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边；可求第三边长的范围，再根据奇数的定义得出答案． 【解答】解：， ，， 解得：，， 由三角形三边关系定理得：，即， 又为奇数， ． 故答案为：7． 【点评】本题考查了三角形三边关系以及非负数的性质，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 三．解答题（共1小题） 8．（2023秋•四平期末）若、、为三角形的三边长，试证明：的值一定为负． 【分析】根据平方差公式和完全平方公式把变形为，再根据三角形的三边关系即可得出答案． 【解答】解： ， 、、为三角形的三边长， ，，，， 的值一定为负． 【点评】此题考查了三角形的三边关系，用到的知识点是平方差公式、完全平方公式以及三角形的三边关系，关键是对给出的式子进行变形． 与三角形有关的角 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•靖宇县期末）将一副三角板按图中的方式叠放，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据三角板可知：，，再根据三角形内角和为，可以求出的度数． 【解答】解：，， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，关键是根据三角板得到与的度数． 2．（2023秋•大安市期末）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】利用三角形外角的性质解答即可． 【解答】解：如图所示， ， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知性质定理是解答此题的关键． 3．（2023秋•东辽县期末）如图，在中，平分，平分，与交于点，其中，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 【解答】解：在中，， ． 平分，平分， ，， ． 是的外角， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数是解题的关键． 4．（2023秋•临江市期末）有一块直角三角板放置在上，三角板的两条直角边、恰好分别经过点、，在中，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的内角和定理得到，求得，得到，于是得到结论． 【解答】解：， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 5．（2023秋•东丰县期末）如图，是的一个外角，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的外角的性质可知，据此可求得答案． 【解答】解：是的一个外角， ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查三角形的外角的性质，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，牢记三角形的外角的性质是解题的关键． 二．填空题（共2小题） 6．（2023秋•东丰县期末）如图，在中，，，平分，交于点．过点作于点，则的度数为 　　． 【分析】先根据角平分线定义求出，再根据直角三角形两锐角互余求出及，再通过求解． 【解答】解：，是的角平分线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，解题关键掌握三角形内角和定理及直角三角形两个锐角互余． 7．（2023秋•延边州期末）如图，在中，点在的延长线上，若，，则的度数为 　　． 【分析】直接根据三角形外角的性质解答即可． 【解答】解：，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 三．解答题（共4小题） 8．（2023秋•东辽县期末）如图， 在中，，，． 求的度数 ． 【分析】先根据可知，再根据三角形的内角和定理求出与的度数， 由即可得出结论 ． 【解答】解：， ， ，， ． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理， 垂直的定义， 熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键 ． 9．（2023秋•梅河口市期末）如图，在中，是高，角平分线，相交于点，，，求和的度数． 【分析】先根据得出的度数，再由直角三角形的性质可得出的度数；由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的性质得出和的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】解：是 的高， ，， ； ，，， ， ，分别平分，， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线和高，熟知三角形内角和是是解题的关键． 10．（2023秋•梨树县期末）在中，，，分别是边，上的高，且，相交于点，求的度数． 【分析】先设，，，再结合三角形内角和等于，可得关于的一元一次方程，求出，从而可分别求出，，，在中，利用三角形内角和定理，可求，再利用三角形外角性质，可求出． 【解答】解：在中，， 故设，，． 在中，， ， 解得， ． ，分别是边，上的高， ，， 在中，， ． 【点评】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质． 三角形三个内角的和等于，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和． 11．（2023秋•东丰县期末）如图所示，，均为直角三角形，且，，过点作平分交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【分析】（1）利用角平分线的性质，先说明与的关系，再利用平行线的判定得结论； （2）先求出，再利用三角形的外角和内角的关系求解． 【解答】（1）证明：，且平分， ， 又， ， ． （2）解：由（1）知，． 在中，， ． ． 【点评】本题考查了平行线的判定和三角形的内角和定理，掌握三角形内角和定理及推论是解决本题的关键． 多边形及其内角和 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•永吉县期末）一个正多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数． 【解答】解：多边形的边数为：． 故选：． 【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键． 2．（2023秋•通榆县期末）已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是　　 A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【分析】设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程，从而求出边数的值． 【解答】解：设这个多边形是边形， 则， 解得：， 即这个多边形为七边形． 故选：． 【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决． 3．（2023秋•永吉县期末）七边形的内角和是　　 A． B． C． D． 【分析】利用多边形的内角和公式即可解决问题． 【解答】解：根据多边形的内角和公式可得：．故选． 【点评】本题比较容易，考查了多边形的内角和公式． 4．（2023秋•梨树县期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，，则为　　 A． B． C． D． 【分析】利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理可得结果． 【解答】解：，， ， ， ， 即， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出的度数． 5．（2023秋•靖宇县期末）如图，七边形中，、的延长线交于点，着、、、对应的邻补角和等于，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由外角和内角的关系可求得、、、的和，由五边形内角和可求得五边形的内角和，则可求得． 【解答】解：、、、的外角的角度和为， ， ， 五边形内角和， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得、、、的和是解题的关键． 6．（2023秋•龙山区期末）如图，五边形的内角都相等，且，，则　　 A． B． C． D． 【分析】由五边形的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出，从而求出． 【解答】解：五边形的内角都相等， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了正五边形的内角和以及正五边形的有关性质．解此题的关键是能够求出，和正五边形的每个内角是108度． 二．填空题（共5小题） 7．（2023秋•靖宇县期末）如图，、、、是五边形的4个外角，若，则　　． 【分析】先根据邻补角的定义得出与相邻的外角的度数，再根据多边形的外角和定理即可求解． 【解答】解：如图，，， ． ， 故答案为． 【点评】本题主要考查了多边形内角与外角的关系及多边形的外角和定理，比较简单． 8．（2023秋•梨树县期末）一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个正多边形是正 　六　边形． 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可． 【解答】解：设正多边形的边数是，根据题意得， ， 解得， 这个多边形为六边形． 故答案为：六． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 9．（2023秋•大安市期末）如图，八角帽又称“红军帽”，是红军的象征，也是中国工农红军军服佩饰最显眼的部分之一，其帽顶近似正八边形．正八边形的一个内角的大小为 　　． 【分析】利用多边形的内角和及正多边形的性质列式计算即可． 【解答】解：， 即正八边形的一个内角的大小为， 故答案为：． 【点评】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 10．（2023秋•双辽市期末）如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数为 　　． 【分析】利用正多边形的性质求出，，即可解决问题． 【解答】解：由题意得：，，，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11．（2023秋•东辽县期末）若一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形是正 　六　边形． 【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数． 【解答】解：外角是， ，则这个多边形是六边形． 故答案为：六． 【点评】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握． 三．解答题（共5小题） 12．（2023秋•延边州期末）一个多边形的内角和的等于，求这个多边形的边数． 【分析】根据多边形内角和公式列出关于的方程，解答即可． 【解答】解：设多边形的边数为，根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数为5． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握多边形的外角和是和多边形内角和公式． 13．（2023秋•铁西区期末）若一个多边形的内角和的比它的外角和多，那么这个多边形的边数是多少？ 【分析】由多边形的内角和定理，外角和是，即可计算． 【解答】解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， ， 答：这个多边形的边数是12． 【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形内角和定理： 且为整数）；多边形的外角和是． 14．（2023秋•双辽市期末）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． 【分析】根据多边形的外角和为，内角和公式为：，由题意可得到方程，解方程即可得解． 【解答】解：设这个多边形是边形，由题意得： ， 解得：． 答：这个多边形的边数是8． 【点评】此题主要考查了多边形的外角和与内角和公式，做题的关键是正确把握内角和公式为：，外角和为． 15．（2023秋•东丰县期末）如图，在正五边形中，交的延长线于点，交的延长线于点，求的度数． 【分析】方法1、根据正五边形的内角及等腰三角形的性质计算即可． 方法2、根据正五边形的内角和得出．再根据，即可得出结论． 【解答】解：方法是正五边形， ， ， ， ， ； 方法2、五边形是正五边形， ． ， ． 【点评】此题是多边形的内角和，主要考查了正五边形的内角的计算，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出正五边形的内角． 16．（2023秋•临江市期末）（1）已知：如图①，在中，、分别平分和，直接写出与的数量关系为 　　． （2）已知：如图②，在四边形中，、分别平分和，试探究与的数量关系． 【分析】（1）根据角平分线的定义，以及三角形内角和定理可得答案； （2）根据角平分线的定义可得，，再根据四边形的内角和可得，代入化简即可． 【解答】解：（1）如图①，， 、分别平分和， ，， 在中，由三角形内角和定理得， ， 故答案为：； （2）如图②，，理由如下： 、分别平分和， ，， 在中，由三角形内角和定理得， ， 而， ． 【点评】本题考查多边形的内角和、三角形的内角和以及角平分线的定义，掌握角平分线的定义以及多边形的内角和定理是得出正确答案的前提． 与三角形有关的折叠问题 1．（2023秋•长岭县期末）已知，在直角三角形中，，是上一点，且． （1）如图1，求证：； （2）将沿所在直线翻折，点落在边所在直线上，记为点． ①如图2，若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【分析】（1）先判断出，进而得出，即可得出结论； （2）先求出，进而利用折叠得出，再利用直角三角形的性质得出，即可得出结论． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ； （2）①当时，， ， 由（1）知，， ， 由折叠知，， ； ②当时，当时，同①的方法得，，， ； 当时，同①的方法得，，， ． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，折叠的直线，等式的性质，判判断出是解本题的关键． 2．（2022秋•城关区校级期末）如图1，一张三角形纸片，点，分别是边上两点． 研究（1）：如果沿直线折叠，使点落在上的点处，则与的数量关系是 　 　； 研究（1）：如果折成图2的形状，猜想，和的数量关系是 　　； 研究（3）：如果折成图3的形状，猜想，和的数量关系是什么，并说明理由． 【分析】研究（1）：翻折问题要在图形是找着相等的量．图1中为折痕，有，再利用外角的性质可得结论； 研究（2）：图2中与是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论； 研究（3）：图3中由于折叠与是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论． 【解答】解：（1）与的数量关系是； 故答案为：； （2）， 理由：在四边形中，， ， ，， ， ， △是由沿直线折叠而得， ， ； 故答案为：； （3）． 理由：交于点， ，， ， ， △是由沿直线折叠而得， ， ． 【点评】此题考查了三角形内角和定理，注意此类一题多变的题型，基本思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理及其推论进行证明． 内外角平分线问题 1．（2021秋•临江市期末）我们探究过三角形内角和等于，四边形内角和等于，请解决下面的问题： （1）如图1，，则　 　（直接写出结果）； （2）连接、，若、、、分别是四边形的四个内角的平分线； ①如图2，如果，那么的度数为　 　　（直接写出结果）； ②如图3，若，与平行吗？请写出理由． 【分析】（1）根据三角形内角和解答即可； （2）①由四边形的内角和为以及角平分线的定义可得，据此解答即可； ②由①得，从而得出，可得，进而得出，可得． 【解答】解：（1），， ． 故答案为：； （2）①、、、分别是四边形的四个内角的平分线， ，，，， ， 在中，， 在中，， ， ； ， ． 故答案为：； ②，理由如下： 、、、分别是四边形的四个内角的平分线， ，，，， ， 在中，， 在中，， ， ； ， ， ． 在中，， ，， ， ， ． 【点评】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握角平分线的性质和等量代换是解决问题的关键． 2．（2023秋•佛山期末）已知，直线与交于点，与交于点，点，均不与点重合，平分，平分． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，延长与交于点，过作射线与交于点，且满足．求证：； （3）如图3，过点作，是的外角平分线所在直线，与射线交于点，与交于点．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 【分析】（1）利用直角三角形的性质，角平分线的定义和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质解答即可得出结论； （2）利用（1）的方法求得，再利用三角形的外角的性质计算得到，根据内错角相等，两直线平行即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，计算得到，再利用三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义解答即可；②当时，计算得到，，利用与①同样的方法解答即可． 【解答】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， ，， ； （2）证明：平分，平分， ，， ． ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当时， ， ， ， ． ， ， ． ． ． 平分， ， ， 平分， ； ②当时， ， ， ， ，， ， ， ． ． ． 平分， ， ， 平分， ． 综上，在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，的度数为或． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理及其推论，平行线的判定定理，熟练掌握直角三角形的性质，三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 3．（2024春•永年区期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在中，是与的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （2）探究2：如图2中，是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． （3）探究3：如图3中，是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：　 　． 【分析】（1）首先根据角平分线的定义，可得，，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）先由角平分线得出，，再由三角形的外角的性质得出，，再根据三角形外角的性质，即可得出结论； （3）首先根据三角形的外角性质，得，，再根据角平分线的定义，可得，，再根据三角形内角和定理，即可求解． 【解答】解：（1）， 理由如下：和分别是与的角平分线， ，， ， 又， ， ； （2）， 理由如下：和分别是与外角的角平分线， ，， 又是的一外角， ， ， 是的一外角， ； （3）结论：． 根据三角形的外角性质，得，， 是外角与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用三角形的外角的性质是解本题的关键． 4．（2024春•曲阳县期末）新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形． （1）在中，，，则为 　　倍角三角形． （2）如图1，直线与直线相交于，，点、点分别是射线、上的动点；已知、的角平分线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． （3）如图2，直线直线于点，点、点分别在射线、上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、，若为3倍角三角形，试求的度数． 【分析】（1）由，可知，再根据倍角三角形的定义可得结论． （2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果． （3）首先证明，分四种情形分别求出即可． 【解答】解：（1），， ， ， 为3倍角三角形， 故答案为：3； （2）解：， ． 又平分，平分， ， ． ①当时，， ； ②当时，， ； ③当时，， ； ④当时，， ， ． 综上，在中当一个角是另一个角的2倍时，等于、、或； （3）解：平分，平分， ，， ， ； 又平分， ①， ②； ①②得：． 若为3倍角三角形： 若，， ， ； 若， ， （不符合题意，舍去）； 若，， ； 若，，， （不符合题意，舍去）； 综上所述，等于或时，为3倍角三角形． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键． 5．（2022秋•和平区校级期末）【数学模型】 如图（1），，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． （1）如图（3），若，，，则　　． （2）如图（4），若不平行，，，则的度数是多少呢？ 易证，，请你完成接下来的推理过程： 　　， 、分别是、的平分线， ，． 　　， 又，， 　　度． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出与、之间的数量关系是：　　． 【类比应用】 如图（5），的平分线与的平分线交于点． 已知：、，则　　（用、表示）． 【分析】【解决问题】 （1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：，，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论； （2）同理列两式相加可得结论； （3）根据（1）和（2）可得结论； 【类比应用】 首先延长交于点，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案． 【解答】解：【解决问题】 （1）如图3，， ， ， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为：； （2）如图（4），，， ， 、分别是、的平分线， ，． ， ， 又，， 度． 故答案为：，，； （3）由（1）和（2）得：， 故答案为：； 【类比应用】 如图（5），延长交于， ， ， 平分，平分 ，， ， ， 、， 即． 【点评】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握角平分线的性质和等量代换是解决问题的关键． 6．（2023秋•潍坊期末）在中， （1）如图①所示，如果，和么的平分线相交于点，那么　 　； （2）如图②所示，和的平分线相交于点，试说明； （3）如图③所示，和的平分线相交于点，猜想与的关系并证明你的猜想 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用三角形的内角和定理计算可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，再利用三角形外角的性质进行证明； （3）根据角平分线的定义及三角形的内角和定理及其推论进行证明． 【解答】解：（1）、分别为，的平分线， ，． ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）是的角平分线， ． 又是的平分线， ， ，， ； （3）． 证明：、分别是与的外角平分线， ，， ， ． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解题的关键是 7．（2022秋•东至县期末）【概念认识】 如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，，若的三分线交于点，求的度数； （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数． 【分析】（1）分是“邻三分线”、 是“邻三分线”两种情况，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据“邻三分线”的定义计算即可． 【解答】解：（1）当是“邻三分线”时，， 则， 当是“邻三分线”时，， 则， 综上所述，的度数为或； （2）在中，， 则， 、分别是邻三分线和邻三分线， ， ． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，正确理解“邻三分线”、“邻三分线”的定义是解题的关键． 8．（2022秋•宣化区期末）中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点． （1）如图1，猜想与的关系，并说明你的理由； （2）如图2，作外角的平分线交的延长线于点． ①求证：； ②若，求的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，由三角形的内角和得到，，于是得到结论； （2）①由角平分线的性质得到，由三角形的内角和得到，于是得到结论；②由角平分线的性质得到，，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）， 理由：三个内角的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ； （2）①平分， ， ， ， ； ②平分， ， 三个内角的平分线交于点， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 与三角形有关的动点问题 1．（2024春•农安县期末）（问题背景） ，点、分别在、上运动（不与点重合）． （问题思考） （1）如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，　 　． （2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． ①若，则　　． ②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； （问题拓展） （3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③，　　．（用含的代数式表示） 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； ②由①的思路可得结论； （3）在②的基础上，将换成即可． 【解答】解：（1）， ， 、分别是和角的平分线， ，， ， ； 故答案为：； （2）①，， ，， 是的平分线， ， 平分， ， ， 故答案为：45； ②的度数不随、的移动而发生变化， 设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ； （3）设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ； 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 2．（长白县期末）中，，点、分别是边、上的点，点是一动点．令，，． （1）若点在线段上，如图（1）所示，且，则 　　 ； （2）若点在边上运动，如图（2）所示，则、、之间有何关系？ （3）若点在斜边的延长线上运动，则、、之间有何关系？猜想并说明理由． 【分析】（1）连接，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再表示出即可； （2）方法与（1）相同； （3）根据点的位置，分、、三点共线前、后和三点共线时三种情况，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和讨论求解． 【解答】解：（1）如图，连接， 由三角形的外角性质，，， ， ，， ， 故答案为：； （2）连接， 由三角形的外角性质，，， ， ，， ； （3）如图1，由三角形的外角性质，， ； 如图2，，； 如图3，， ． 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键，难点在于作辅助线构造出三角形，（3）难点在于要分情况讨论． 3．（2022春•青山湖区校级期末）已知：三角形和同一平面内的点． （1）如图1，点在边上，交于，交于．若，则的度数为 　　． （2）如图2，点在的延长线上，，，证明：． （3）如图3，点是三角形外部的一个动点，过作交直线于，交直线于，直接写出与的数量关系（不需证明）． 【分析】（1）根据平行线的性质，即可得到； （2）延长交于．根据平行线的性质以及判定进行推导即可； （3）分两种情况讨论，即可得到与的数量关系：，． 【解答】解：（1），， ，， ； 故答案为：85； （2）证明：如图1，延长交于． ， ． 又， ． ． （3），， 理由：如图2，，， ，， ； 如图3，，， ，， ． 即， 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$