第二章 二次函数 知识归纳与题型突破（十六类题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第二章 二次函数 知识归纳与题型突破（十六类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 二、二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　①；②；③；④， 　　其中；⑤.（以上式子a≠0） 　　几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 2.抛物线的三要素： 　　开口方向、对称轴、顶点. 　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 3.抛物线中，的作用： 　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. 　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： 　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 4.用待定系数法求二次函数的解析式： 　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 要点： 求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 三、二次函数与一元二次方程的关系 　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 要点： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 四、利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 03 题型归纳 题型一　二次函数的有关概念及应用 例题 1．在函数中，以x为自变量的二次函数有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 2．在二次函数中，二次项系数与一次项系数的和是 ． 3．若函数是关于x的二次函数，则（    ） A． B．3 C．3或 D．2 4．如果二次函数的图像经过原点，那么 ． 题型二　求二次函数的解析式 例题 5．已知二次函数图象经过点(-1，0)，(1，-8)和(3，0)，则它的解析式为 ． 巩固训练 6．顶点是，且与抛物线的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为 ． 7．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是 ． 题型三 二次函数图像的平移 例题 8．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线解析式为（   ） A．y=(x+3)2 +1 B．y=(x-3)2 +1 C．y= (x-3)2 +1 D．y=(x-3)2 -1 巩固训练 9．把抛物线y＝6（x+1）2平移后得到抛物线y＝6x2，平移的方法可以是（　　） A．沿y轴向上平移1个单位 B．沿y轴向下平移1个单位 C．沿x轴向左平移1个单位 D．沿x轴向右平移1个单位 10．将抛物线平移，使平移后得到抛物线．则需将原抛物线（    ） A．先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 题型四 填二次函数的顶点、对称轴等 例题 11．抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 巩固训练 12．抛物线经过和两点，则该抛物线的对称轴为直线 ． 13．抛物线的顶点坐标是 ；与轴的交点坐标是 ． 题型五 特殊二次函数的图像和性质 例题 14．抛物线共有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴是轴 C．都有最高点 D．随的增大而增大 巩固训练 15．关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．拋物线顶点 16．由二次函数可知（　　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴为直线 C．函数最小值为3 D．随的增大而减小 17．二次函数 图象上有两点与，则m n．（选填＞、＜或＝） 18．已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小，则m的取值范围为 ． 题型六 二次函数的图像和性质 例题 19．二次函数y＝3x2+2x的图象的对称轴为(　　) A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x= D．x= 巩固训练 20．对二次函数的性质描述正确的是（   ） A．函数图象开口朝下 B．当时，随的增大而减小 C．该函数图象与轴的交点位于轴负半轴 D．该函数图象的对称轴在轴左侧 21．已知二次函数均过点、、，则，，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 22．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为7 D．当时，的值随值的增大而增大 题型七 根据二次函数的图像判断参数的符号 例题 23．二次函数的图像如图所示，下列结论中正确的是（    ）．    A． B． C． D． 巩固训练 24．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论①abc＜0，②a＋b＋c＝2，③a＞④0＜b＜1中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 25．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论 ①；②；③；④当时，；⑤中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④ D．①②④ 题型八 二次函数的对称性及应用 例题 26．若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴经过的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 27．已知二次函数（）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，方程的两实数根为，，若，则（   ） A． B． C． D． 28．已知抛物线是由抛物线先关于轴作轴对称图形，再将所得的图象向下平移个单位长度得到的，点、都在抛物线上，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 题型九 二次函数的最值 例题 29．已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．有最大值1，有最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，有最小值 D．有最大值1，有最小值 巩固训练 30．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴的右侧，该二次函数有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 31．已知抛物线经过点和点，则t的最小值是（    ） A． B． C．0 D．1 题型十 二次函数与一次函数、反比例函数 例题 32．在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致是（    ） A． B．   C．   D．   巩固训练 33．抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．    题型十一 二次函数与一元二次方程 例题 34．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=－1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线（  ） A．x=－1 B．x=2 C． D． 巩固训练 35．已知函数的图像与轴只有一个交点，则的值为 ． 36．抛物线与轴相交于、两点，其顶点为，将此抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，如图得到一个新的图象．现有直线与该新图象有四个交点，则的取值范围为(      ) A． B． C． D． 题型十二 图表数据题 例题 37．已知二次函数中，与的部分对应值如下表，则下列结论正确的是（   ） 0 2 3 4 5 0 0 A．图象开口向下 B．抛物线对称轴是直线 C．当时， D．当时，随的增大而减小 巩固训练 38．已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 2 4 … y … 2 2 … 下列结论错误的是（    ） A．该函数有最大值 B．该函数图象的对称轴为直线 C．当时，函数值y随x增大而减小 D．方程有一个根大于3 39．下表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： 2 8 1 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论： ①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 题型十三 二次函数的实际应用 例题 40．某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩（即的长度）是（  ） A． B． C． D． 巩固训练 41．从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t﹣5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s的运动路径长为（　　） A．15m B．20m C．25m D．30m 42．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 题型十四 二次函数的几何应用 例题 43．如图所示，矩形中，，P是线段上一点（P不与B重合），M是上一点，且，设的面积为y，则y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 44．已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于A，与x轴的正半轴交于B、C，且BC=2，S△ABC=3，则c的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 45．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，则的最小值是 ． 46．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，动点 P 从点 C 出发，沿 C﹣A﹣B﹣C 运动，速度为 2cm/s，动点 Q 从点 C 出发，沿 C﹣B﹣A﹣C 运动，速度为cm/s，两点相遇时停止．这一过程中 P，Q 两点之间的距离 y 与时间 t 之间的关系的大致图象是（）    A．  B． C．   D．   题型十五 新定义题 例题 47．在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 巩固训练 48．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时m的最大值和最小值的差为    49．如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，…，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点，，…，都在直线：上；②抛物线依次经过点，，…；则顶点的坐标为 ． 题型十六 解答题 例题 50．已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 巩固训练 51．如图所示，抛物线与直线相交于点，． (1)直接写出实数，的值，并求出点A，的坐标； (2)若，请直接写出的取值范围． 52．已知抛物线 与x 轴交于点，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使得的值最大，求点P的坐标． 53．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个．设销售价为元/个． (1)求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润（元）与销售价（元/个）之间的函数关系式； (2)当取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 54．如图，二次函数图象的顶点是，与x轴交于点A和点．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)点Q为第一象限的抛物线上一点，且． ①求的值； ②交x轴于M，求的值． 55．已知二次函数，其中． (1)若二次函数的图象经过，求二次函数表达式； (2)若该二次函数图象开口向上，当时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标； (3)在二次函数图象上任取两点，当时，总有，求的取值范围． 56．如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）坐标分别为，，交y轴于点C．    (1)求出抛物线解析式； (2)如图1，过y轴上点D作的垂线，交线段于点E，交抛物线于点F，当时，请求出点F的坐标； (3)如图2，点H的坐标是，点Q为x轴上一动点，点在抛物线上，把沿翻折，使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 二次函数 知识归纳与题型突破（十六类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 二、二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　①；②；③；④， 　　其中；⑤.（以上式子a≠0） 　　几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 2.抛物线的三要素： 　　开口方向、对称轴、顶点. 　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 3.抛物线中，的作用： 　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. 　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： 　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 4.用待定系数法求二次函数的解析式： 　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 要点： 求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 三、二次函数与一元二次方程的关系 　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 要点： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 四、利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 03 题型归纳 题型一　二次函数的有关概念及应用 例题 1．在函数中，以x为自变量的二次函数有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义进行选择即可． 【解析】解： y＝−3x2＋2x＋1是二次函数； y＝−x＋5是一次函数；是反比例函数；是二次函数；一次函数.故有两个是二次函数. 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件： （1）一次函数y＝kx＋b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1； （2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2． 巩固训练 2．在二次函数中，二次项系数与一次项系数的和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项； 由题意可得二次项系数是2，常数项是，再求和即可． 【解析】解：在二次函数中， 二次项系数为2， 一次项次数为， ∴二次项系数与一次项系数的和是：， 故答案为：． 3．若函数是关于x的二次函数，则（    ） A． B．3 C．3或 D．2 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义进行求解即可． 【解析】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知形如的函数是二次函数是解题的关键． 4．如果二次函数的图像经过原点，那么 ． 【答案】2 【分析】直接把原点坐标代入二次函数解析式中进行求解即可． 【解析】解：∵二次函数的图像经过原点， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数图象上的点一定满足二次函数解析式是解题的关键． 题型二　求二次函数的解析式 例题 5．已知二次函数图象经过点(-1，0)，(1，-8)和(3，0)，则它的解析式为 ． 【答案】y=2x2-4x-6 【分析】设交点式解析式y=a(x+1)(x-3)，然后把点(1，-8)代入求出a的值即可． 【解析】解：设抛物线解析式y=a(x+1)(x-3)， 点(1，-8)代入得，a(1+1)(1-3)=-8， 解得a=2， 所以，y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6， 故答案为y=2x2-4x-6， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，设交点式解析式求解更简便． 巩固训练 6．顶点是，且与抛物线的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为 ． 【答案】/ 【分析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣2）2，然后根据二次项系数的意义得到a＝﹣3，从而确定所求抛物线的解析式． 【解析】解：∵抛物线的顶点是， ∴设所求的抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2， ∵抛物线y＝a（x﹣2）2与抛物线y＝﹣3x2的形状相同，开口方向相同， ∴a＝﹣3， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2． 故答案为：y＝﹣3（x﹣2）2． 【点睛】此题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键． 7．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的性质可得出，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，取，即可得出结论． 【解析】解：设二次函数的解析式为． ∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线与y轴的交点坐标为， ∴． 取，时，二次函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出，是解题的关键． 题型三 二次函数图像的平移 例题 8．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线解析式为（   ） A．y=(x+3)2 +1 B．y=(x-3)2 +1 C．y= (x-3)2 +1 D．y=(x-3)2 -1 【答案】A 【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【解析】解：∵抛物线y＝x2向左平移3单位，再向上平移1个单位， ∴所得的抛物线的顶点坐标为（－3，1）， ∴所得的抛物线解析式为y＝（x＋3）2＋1． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 巩固训练 9．把抛物线y＝6（x+1）2平移后得到抛物线y＝6x2，平移的方法可以是（　　） A．沿y轴向上平移1个单位 B．沿y轴向下平移1个单位 C．沿x轴向左平移1个单位 D．沿x轴向右平移1个单位 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的平移规律进行解答． 【解析】解：∵y＝6x2＝6（x+1﹣1）2， ∴抛物线y＝6x2可由y＝6（x+1）2沿x轴向右平移1个单位得出； 故选D． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 10．将抛物线平移，使平移后得到抛物线．则需将原抛物线（    ） A．先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．求得两个抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标的平移规律得到抛物线的平移规律． 【解析】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是， 所以将点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点． 所以需要将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线． 故选：D． 题型四 填二次函数的顶点、对称轴等 例题 11．抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 【答案】 向下 直线 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握的图象的性质是解题的关键．根据二次函数解析式，根据可知开口朝下，对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】解：二次函数解析式， 开口朝下，对称轴为直线，顶点坐标为． 故答案为：向下；直线；． 巩固训练 12．抛物线经过和两点，则该抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据两点的纵坐标相同可知两点关于对称轴对称，据此即可求出答案，熟练掌握利用二次函数的对称性求解函数的对称轴是解题的关键． 【解析】解：∵抛物线经过和两点， ∴两点的纵坐标相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 13．抛物线的顶点坐标是 ；与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，和与y轴的交点坐标．根据顶点式求出顶点坐标，令求出y的值，即可求出抛物线与y轴的交点坐标． 【解析】解：抛物线顶点坐标是； 令， ∴与轴的交点坐标是． 故答案为：，． 题型五 特殊二次函数的图像和性质 例题 14．抛物线共有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴是轴 C．都有最高点 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图像与性质， 根据选项可对每条抛物线从开口方向、对称轴、最值、增减性几个方面进行分析确定共同的特点即可． 【解析】解：抛物线开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点； 抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点，顶点为原点； 抛物线开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点； 所以抛物线，，共有的性质为对称轴是y轴，而所有抛物线在没有限定自变量的取值范围时，增减性都不一致，故D不正确． 故选：B． 巩固训练 15．关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．拋物线顶点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质可进行求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【解析】解：、因为，所以抛物线开口向上，故正确，不符合题意； 、因为抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，所以，故正确，不符合题意； 、抛物线的对称轴为直线，故错误，符合题意； 、因为抛物线的对称轴为直线，当时，，所以，故正确，不符合题意； 故选：． 16．由二次函数可知（　　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴为直线 C．函数最小值为3 D．随的增大而减小 【答案】C 【分析】 根据二次函数顶点式可以得到，判断A错误；对称轴是直线，判断B错误；顶点坐标为，其最小值为3，判断C正确；且知道当时，随的增大而减小，判断D错误． 【解析】 解：A、二次函数中，， 其图象的开口向上，故本选项错误； B、二次函数的解析式是， 其图象的对称轴是直线，故本选项错误； C、由函数解析式可知其顶点坐标为， 其最小值为3，故本选项正确； D、二次函数的图象开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】 本题考查的是二次函数顶点式的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 17．二次函数 图象上有两点与，则m n．（选填＞、＜或＝） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，函数图象开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，然后判断作答即可． 【解析】解：∵， ∴图象开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 18．已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是根据二次函数，当时，随着的增大而减小，可以得到，然后求解即可． 【解析】解：二次函数， ∴开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，随着的增大而减小， ， 解得， 故答案为：． 题型六 二次函数的图像和性质 例题 19．二次函数y＝3x2+2x的图象的对称轴为(　　) A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x= D．x= 【答案】D 【分析】利用对称轴公式求解即可 【解析】y＝3x2+2x x=-=-= 故选D 巩固训练 19．对二次函数的性质描述正确的是（   ） A．函数图象开口朝下 B．当时，随的增大而减小 C．该函数图象与轴的交点位于轴负半轴 D．该函数图象的对称轴在轴左侧 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟悉二次函数对称轴、顶点、与轴（轴）交点是解决此类题的关键． ，可判断其开口方向向上，对称轴为直线，时随的增大而减小，令，得，抛物线与轴交于点，分别判断即可． 【解析】解：．，开口向上，故不符合题意； ．因开口向上，对称轴为直线，时随的增大而减小，故不符合题意； ．当时，，即与轴交点为在轴正半轴，故不符合题意； ．对称轴为直线，在轴左侧，故符合题意； 故选：． 20．已知二次函数均过点、、，则，，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线的开口方向和对称轴，求出点关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的增减性，即可求出答案． 【解析】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵二次函数均过点、、， ∴点关于直线的对称点是在函数的图象上， ∵， ∴，即， 故选：C． 21．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为7 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【解析】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而增大，故D选项不正确，不符合题意； 当时，， 解得，， ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型七 根据二次函数的图像判断参数的符号 例题 23．二次函数的图像如图所示，下列结论中正确的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在轴右，可确定与异号，然后再根据二次函数与轴的交点可以确定． 【解析】解：抛物线开口向上， ， 对称轴在轴左侧， 与同号， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数，①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③．常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于． 巩固训练 24．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论①abc＜0，②a＋b＋c＝2，③a＞④0＜b＜1中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向可以判断a与0的关系，由抛物线与y轴交点判断c与0的关系，然后根据对称轴以及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而得到结论． 【解析】解：∵抛物线的开口向上，∴a 当x=0时，可得c ∵对称轴x=- ∴a、 ∴abc＜0，故①正确； 当x=1时，即a++c=2 故②正确； 当x=-1时，a-+c 又a++c=2， ∴a+c=2-， 将上式代入a-+c， 即2-2b ∴b 故④错误； ∵对称轴x=- 解得 a， 因为b， ∴a， 故③正确． 故选B． 【点睛】本题是二次函数图像的综合题型，掌握二次函数的定义，对称轴等相关知识是解题的关键，是中考的必考点． 25．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论 ①；②；③；④当时，；⑤中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，需要具备一定的数形结合分析能力，理解抛物线的解析式中参数a，b，c对图象的影响，综合抛物线的开口方向，对称轴的位置，函数图象与y轴的交点位置，与x轴的交点个数，以及函数图象中一些特殊的值，即可判断各个选项．解题的关键是观察抛物线与两条坐标轴的交点位置、交点个数以及对称轴的位置． 【解析】解：因为抛物线开口向下， 所以； 因为对称轴在y轴右侧， 所以； 因为抛物线与y轴交于正半轴， 所以， 故，故①正确； 因为抛物线与x轴有两个交点， 所以，故②正确； 因为当时，，故③错误； 因为在这个范围内，抛物线在x轴上方，故，故④正确； 因为对称轴为，即， 解得，故⑤错误． 故选：D． 题型八 二次函数的对称性及应用 例题 26．若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴经过的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据纵坐标相等的两个点关于对称轴对称轴，即可求得对称轴为直线，进而即可求解． 【解析】解：∵抛物线经过，两点， ∴对称轴为直线， 故选：B． 巩固训练 27．已知二次函数（）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，方程的两实数根为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据题意可简略画出二次函数的图象，然后根据二次函数的图象可进行求解． 【解析】解：∵二次函数（）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴该图象与x轴的一个交点坐标为，即， 由方程（即）的两个根，可把它看作直线与二次函数的交点的横坐标，大致图象如图所示：    ∴由图象可知：； 故选D． 28．已知抛物线是由抛物线先关于轴作轴对称图形，再将所得的图象向下平移个单位长度得到的，点、都在抛物线上，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与几何变换，根据关于轴对称的抛物线形状相同、顶点横坐标互为相反数、纵坐标相同得出轴对称的抛物线，再得出平移后的抛物线的解析式，分别求出、的值，即可得出答案．解题的关键是根据轴对称的性质和平移的规律得出新抛物线的解析式． 【解析】， 抛物线的顶点为， 抛物线先作关于轴的轴对称抛物线的顶点为，再向下平移个单位长度顶点为， 抛物线的解析式为， 点、都在物线上， ，， ， 故选：A． 题型九 二次函数的最值 例题 29．已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．有最大值1，有最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，有最小值 D．有最大值1，有最小值 【答案】D 【分析】直接根据函数图象即可得出结论． 【解析】解：由函数图象可知，当时，；当时，． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像和最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键． 巩固训练 30．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴的右侧，该二次函数有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握根据“二次函数的最值：若自变量的取值范围是全体实数，则当时，抛物线开口向上，有最低点，当时，函数取得最小值”求解是解题的关键． 【解析】解：∵二次函数（为常数）的图象经过点， ∴， 解得：或， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， 解得：， ∴， ∴二次函数， ∴该二次函数图象开口向上，有最小值， 故选：A． 31．已知抛物线经过点和点，则t的最小值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可确定的最小值． 【解析】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点和点， ∴点和点关于对称轴对称，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴时，t有最小值为：． 故选：A． 题型十 二次函数与一次函数、反比例函数 例题 32．在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用抛物线的开口方向与对称轴的位置、一次函数的增减性判断系数a是否存在矛盾即可． 【解析】A、从图示来看的图象开口向上，则，但此时一次函数因y随x的增大而减小，则，两者相矛盾，故A不符合题意； B、从图示来看的图象开口向上，则，此时一次函数因y随x的增大而增大，则，两者相吻合，故B符合题意； C、从图示来看的图象开口向下，则，但此时一次函数因y随x的增大而增大，则，两者相矛盾，故C不符合题意； D、从图示来看，抛物线的对称轴在y轴的右侧，则，得出，这与抛物线的开口向下（）自相矛盾，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象及性质，解题的关键是分析函数图像与函数解析式系数之间的关系． 巩固训练 33．抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】根据函数图象直接可得结论． 【解析】解：∵抛物线与双曲线的交点的横坐标为， ∴的解集为， 即不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据函数图象交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 题型十一 二次函数与一元二次方程 例题 34．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=－1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线（  ） A．x=－1 B．x=2 C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的两根即可得出抛物线与x轴的两个交点坐标，再利用抛物线的对称性即可得出抛物线的对称轴． 【解析】解：方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=－1，x2=2， ∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为(-1，0)、(2，0)， ∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线， 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线与x轴的交点横坐标找出拋物线的对称轴是解题的关键． 巩固训练 35．已知函数的图像与轴只有一个交点，则的值为 ． 【答案】2或11 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟记二次函数与轴的交点个数与判别式的关系，由题中交点个数为1得到，列方程求解即可得到答案，数形结合，灵活运用二次函数图像与性质是解决问题的关键，注意系数的讨论． 【解析】解：①当，即时，函数为，是一条直线，与轴只有一个交点， ②当，即时，令，则， ∵函数图像与轴只有一个交点， ∴，解得， 综上所述，的值为2或11， 故答案为：2或11． 36．抛物线与轴相交于、两点，其顶点为，将此抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，如图得到一个新的图象．现有直线与该新图象有四个交点，则的取值范围为(      ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据解析式求与轴交点、的坐标，确定翻折后二次函数的解析式，求直线过边界点时对应的的值，并求直线与新抛物线相切时的值，继而得出的取值范围． 【解析】解：当时，， ， 或， ∴，，，， ∵， ∴沿轴翻折后所得抛物线的解析式为， 如图，作直线，分别过作直线的平行线交轴于点，作直线平行于，且与抛物线有唯一的公共点，设直线：，直线∶， ∵过，， ∴， ∴， ∴直线：， ∵与抛物线有唯一的公共点， ∴即， ∴， 解得， ∴直线∶， 结合图形可得直线与该新图象有四个交点，则的取值范围为， 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程与抛物线的关系，待定系数法求一次函数的解析式，抛物线与x轴的交点和几何变换问题以及直线的平移，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数的性质是解题的关键． 题型十二 图表数据题 例题 37．已知二次函数中，与的部分对应值如下表，则下列结论正确的是（   ） 0 2 3 4 5 0 0 A．图象开口向下 B．抛物线对称轴是直线 C．当时， D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键，利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【解析】由图可知，和对应的函数值相等， 抛物线对称轴是直线，此时抛物线有最小值， 故B正确， 抛物线开口向上，故A错误， 由图可知，当时，，故C错误， 当时，随的增大而增大，故D错误， 故选：B． 巩固训练 38．已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 2 4 … y … 2 2 … 下列结论错误的是（    ） A．该函数有最大值 B．该函数图象的对称轴为直线 C．当时，函数值y随x增大而减小 D．方程有一个根大于3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上坐标点的特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答；根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【解析】解：A、由表格中的数据可得，该函数有最大值，故选项正确，不符合题意； B、该函数图象的对称轴为直线，故选项正确，不符合题意； C、当时，y随x的增大而减小，故选项正确，不符合题意； D、由表格中的数据可得该函数图象的对称轴为直线，且方程有一个根， 方程有一个根，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 39．下表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： 2 8 1 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论： ①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，根据到对称轴距离比较二次函数值大小求出，再根据二次函数的性质逐个判断即可． 【解析】解：由表格数据可知，该二次函数对称轴为直线，点关于对称轴的对称的点为 若时，开口向上，离对称轴越近值越小， ∵， ∴， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，，符合题意； 当时，，解得，，符合题意； 若时，开口向下，离对称轴越近值越大， ∵， ∴， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，不符合题意； ∴，当时；当，， ∴①错误，②正确； ∵时，开口向上，当时函数值随增大而增大， 当代入得，当时， ∴，即正确； 故故③正确； ∵当时二次函数有最低点， ∴当时函数值随增大而增大，此时记二次函数的图象为图形，存在直线与图形最多有一个交点， ∴时存在直线与图形有两个交点， ∵， ∴，故④正确． 综上②③④正确． 故答案为：②③④． 题型十三 二次函数的实际应用 例题 40．某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩（即的长度）是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，求出点的坐标是正确解决问题的关键． 令，则，求出的值，即可得出点的坐标，从而得解． 【解析】解：令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， ， 故选：D． 巩固训练 41．从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t﹣5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s的运动路径长为（　　） A．15m B．20m C．25m D．30m 【答案】B 【分析】根据小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式求出t=3，t=5时的函数值，求其差即可． 【解析】解：∵小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t﹣5t2， 当t=3时，h＝30×3﹣5×32=90-45=45m， 当t=5时，h＝30×5﹣5×52=150-125=25m， ∴小球从第3s到第5s的运动路径长为45m-25m=20m． 故选B． 【点睛】本题考查求函数值，有理数减法，掌握求函数值的方法是解题关键． 42．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标； 设解析式为由题意得到顶点坐标及与轴交点的坐标，代入求解即可得到抛物线解析式；令，代入求解即可得到答案； 【解析】选择图2中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数关系式为6， 将点代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数关系式为， 当时，， ∴点的纵坐标为； 则的高度是， 故选：B． 题型十四 二次函数的几何应用 例题 43．如图所示，矩形中，，P是线段上一点（P不与B重合），M是上一点，且，设的面积为y，则y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理可得，因为，所以，过点M作于点E，可得，然后根据相似三角形的性质得到，由此可用x表示ME，最后根据三角形的面积公式即可确定函数关系． 【解析】解：∵， ∴，∴， ∵，∴， 如图，过点M作于点E， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴，P不与B重合，那么，可与点C重合，那么． 故y与x之间的函数关系式为． 故答案选A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，主要是通过三角形相似得出等式． 巩固训练 44．已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于A，与x轴的正半轴交于B、C，且BC=2，S△ABC=3，则c的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A，令x＝0,求出A点坐标为(0，c)，又知BC＝2，根据S△ABC ＝3，求出c值. 【解析】∵BC＝2, S△ABC ＝3,∴×c×2＝3，解得：c＝3，故答案选C. 【点睛】此题主要考查二次函数性质的应用, 解本题的要点在于要利用三角形的面积来求解. 45．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小，利用解析式求得、点的坐标，根据抛物线的对称性求得的坐标，进一步求得的坐标，再求解即可． 【解析】解：作点关于对称轴的对称点，向下平移3个单位，得到，连接，交对称轴于点，此时的值最小， 可得 四边形是平行四边形， ， ， 在中，令，则， 点， 令，则， 解得或， 点， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 46．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，动点 P 从点 C 出发，沿 C﹣A﹣B﹣C 运动，速度为 2cm/s，动点 Q 从点 C 出发，沿 C﹣B﹣A﹣C 运动，速度为cm/s，两点相遇时停止．这一过程中 P，Q 两点之间的距离 y 与时间 t 之间的关系的大致图象是（）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分两种情况进行讨论：当t≤4s时，点P在AC上，点Q在CB上；当4＜t≤时，点P，Q都在AB上，分别依据图形得到P，Q两点之间的距离y与时间t之间的关系式，即可得到距离y与时间t之间的关系的大致图象． 【解析】解：∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm， ∴Rt△ABC中，AC=8cm， 当t≤4s时，点P在AC上，点Q在CB上，CP=2t，CQ=t， ∴Rt△CPQ中，PQ= t，即y=t； 当4＜t≤时，点P，Q都在AB上， PQ=6+8+10-2t-t=24-t，即y=24-t， 综上所述，当t≤4s时，函数图象为从左往右上升的线段；当4＜t≤，函数图象为从左往右下降的线段， 故选：C． 【点睛】此题考查动点函数的图象问题，解题的关键是进行分类讨论．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 题型十五 新定义题 例题 47．在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，涉及到新定义，一次函数的图象，解不等式，解题的关键是利用数形结合的思想． 先求出点C、D所在的直线表达式为，当时，还出抛物线与直线的大致图象，联立直线和抛物线的表达式，用a的代数式表示出x，根据x的范围求出a的范围，还需考虑根的判别式；当时，不成立． 【解析】解：设二次函数图象上的两点为点C、D， 题意得点 的“跳跃点”为，将代入， 得：， ∴，则点C在直线上，同理点D也在直线上， 对于二次函数， 令，则， 解得：或， ∴抛物线与x轴交于和， 当时，抛物线与直线的大致图象如图： 直线也经过，设为点D，另一个交点设为点C， 则联立直线和抛物线的表达式得到， 则， 则，解得， 则，而， ∴ ， ∴， 对于，化简为：， 而直线和抛物线在时有两个交点，故 ∴ ∴， ∴且； 当时，如图： 直线不可能与抛物线在时有两个交点，故舍， 综上：且． 巩固训练 48．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时m的最大值和最小值的差为    【答案】 【分析】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质等知识点，画出图象，从图象上可以看出，当函数从左向右运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值，解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值． 【解析】如图，    由题意得，互异二次函数的顶点在直线上运动， ∵在正方形中，点，点， ∴， 从图象上可以看出，当函数从左向右运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C， ∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值，当互异二次函数经过点时，，或； 当互异二次函数经过点时， ，或m=； ∴互异二次函数与正方形有交点时m的最大值和最小值分别是，—1， ∴最大值与最小值的差为， 故答案为：． 49．如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，…，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点，，…，都在直线：上；②抛物线依次经过点，，…；则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，则以为顶点的抛物线为，进而可根据，求坐标，根据题意确定，则；同理可求，；；进而可得，最后代值求解即可． 【解析】解：设，，， ∵抛物线沿直线：向上平移，抛物线的顶点，，…，都在直线：上， ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标，点的规律探究．熟练掌握二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标并推导一般性规律是解题的关键． 题型十六 解答题 例题 50．已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 【答案】(1)次函数的表达式为，对称轴为直线 (2)最大值为8，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质； （1）先将和分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可； （2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可． 【解析】（1）解：二次函数经过和， ， 解得， 二次函数的表达式为， 对称轴为直线； （2）解：由（1）可知的开口向上， 二次函数的对称轴为直线在内， 当时，有最小值； 直线距直线最远， 当时，有最大值． 巩固训练 51．如图所示，抛物线与直线相交于点，． (1)直接写出实数，的值，并求出点A，的坐标； (2)若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，；，； (2)． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题以及二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由图象得，；再联立方程组，解出即； （2）运用数形结合思想，得出当时，则，即可作答． 【解析】（1）解：结合图象，得出抛物线的顶点坐标为，直线与轴交于点， ∴，， 即，； ∵抛物线与直线相交于点，． ∴ ∴ 整理得 ∴ 则 结合图象，得； （2）解：∵，且， ∴由图得． 52．已知抛物线 与x 轴交于点，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使得的值最大，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用两点式写出函数解析式，再把代入，求解即可； （2）根据，得到当三点共线时，的值最大，求出直线的解析式，进而求出点P的坐标即可． 【解析】（1）解：∵抛物线 与x 轴交于点， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，代入，得：， ∴， ∴； （2）∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当三点共线时，的值最大， ∴直线与对称轴的交点即为点， 设直线得解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 当时，， ∴． 53．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个．设销售价为元/个． (1)求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润（元）与销售价（元/个）之间的函数关系式； (2)当取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当时，利润最大为320元 【分析】本题主要考查了二次函数的销售利润问题，求二次函数的最值，解题的关键是理解题意． （1）根据销售利润单个的利润销售量，列出函数解析式即可； （2）运用二次函数的性质解决问题，由题意可知所以时，w最大为320． 【解析】（1）解： 即； （2）解： ， ∵，对称轴为直线， ∴当时， 随增大而增大， ∴当时，， 答：当时，利润最大为320元． 54．如图，二次函数图象的顶点是，与x轴交于点A和点．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)点Q为第一象限的抛物线上一点，且． ①求的值； ②交x轴于M，求的值． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】（1）设抛物线解析式为，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解； （2）①令过点P作轴，交于点E，交于点F，求出点A的坐标，然后求出，再求出，则可判断是等腰直角三角形，进而可求F的坐标，然后求出直线的解析式，再与二次函数解析式联立求出点Q的坐标，再利用勾股定理列式求出、的长，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解； ②根据等底的三角形的面积的比等于高的比求出，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求解即可． 【解析】（1）解：（1）设二次函数顶点式解析式， 将点代入得，， 解得， 所以，函数解析式为， 即； （2）解：①令，则， 解得，， 所以，点A的坐标为， 过点P作轴，交于点E，交于点F，    ∵顶点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， 则， 解得， ∴ 联立， 解得，， ∴点Q的坐标为， 由勾股定理得，，， ∴； ②∵点，， ∴， ∵点A到的距离相等， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，两点间的距离的求解，等底的三角形的面积的比等于高的比，等高的三角形的面积的比等于底边的比． 55．已知二次函数，其中． (1)若二次函数的图象经过，求二次函数表达式； (2)若该二次函数图象开口向上，当时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标； (3)在二次函数图象上任取两点，当时，总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)当时，；当时， 【分析】（1）把点代入二次函数解析式中，求得m的值，即可求得二次函数表达式； （2）由可求得抛物线的对称轴与顶点坐标，当时，函数在取得最大值，从而可求得m的值，进而得到M的坐标；在顶点取得最小值，即可求得其坐标； （3）分两种情况讨论，利用二次函数图象的增减性质即可求解． 【解析】（1）解：把点代入中，得：， 解得：， 故二次函数表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 当时， ∵， ∴当时，函数值随自变量的增大而增加，当时，函数值随自变量的增大而减小， ∴图象最低点N为抛物线的顶点，即在顶点取得最小值，最小值为； ∵， ∴函数在左端点的函数值大于函数在右端点的函数值， ∴函数在取得最大值； 当时，， 由题意得：， 则， ∴， ； （3）解：抛物线的对称轴为直线； ①当时，抛物线开口向上， 当时，函数值随自变量的增大而减小，当时，函数值随自变量的增大而增大； ∵当时，总有， ∴， ∴； ②当时，抛物线开口向下， 当时，函数值随自变量的增大而增大，当时，函数值随自变量的增大而减小； ∵当时，总有， ∴， ∴； 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，待定系数法求函数解析式，分类讨论思想；掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 56．如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）坐标分别为，，交y轴于点C．    (1)求出抛物线解析式； (2)如图1，过y轴上点D作的垂线，交线段于点E，交抛物线于点F，当时，请求出点F的坐标； (3)如图2，点H的坐标是，点Q为x轴上一动点，点在抛物线上，把沿翻折，使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴的垂线交于， 交轴于，得出，根据三角函数求出，设，，求得，，，，其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去； （3）分两种情况讨论：如图所示，当点位于轴负半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示，当点位于轴正半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解； 【解析】（1）解：将，代入表达式得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）过点作轴的垂线交于， 交轴于，    ∵，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴，即， ∴， ∵，， ∴直线：， 设，， ∴或， ∴或， 解得：，，，， ∴或或或 其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去， ∴点的坐标为或 ； （3）分两种情况讨论： ①如图所示，当点位于轴负半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，则四边形为矩形，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 由折叠可知：，， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②如图所示，当点位于轴正半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，    由得： ，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，综合考查了二次函数的图象和性质，锐角三角函数、折叠的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点及分类讨论思想的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$