清单02 一元二次函数、方程与不等式（考点清单，知识导图+10个考点清单+题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期湘教版

清单02 一元二次函数、方程与不等式 （10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】符号变换法则与比较大小 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，. 【清单02】不等式的性质 基本性质有： (1)对称性：(2)传递性： (3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b， 运算性质有： (1)可加法则：(2)可乘法则： (3)可乘方性： 【清单03】基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 2.由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 【清单04】用基本不等式求最大（小）值 总方针：在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数. 2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值. 4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值. 【清单05】一元二次不等式及零点 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 【清单06】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 【清单07】一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 【清单08】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集． 【清单09】解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． (3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【清单10】利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如 已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 【考点题型一】利用不等式的性质比较大小 技巧：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 【例1】“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-4】已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 技巧：利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如 已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 【例2】已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 【变式2-1】已知,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】对基本不等式的理解及简单应用 技巧：应用基本不等式时的三个关注点 (1)一正数：指式子中的a，b均为正数. (2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值. (3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值. 【例3】已知正实数 ，则 “ ” 是 “ ” 的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】已知a，b为正实数，，则（    ） A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4 C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2 【变式3-2】已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 【考点题型四】利用基本不等式比较大小 技巧：利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． 【例4】下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若x，y满，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列不等式恒成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式4-3】若，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A． B． C． D． 【考点题型五】利用基本不等式求解恒成立问题 技巧：利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 【例5】若实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【变式5-2】已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-4】，不等式恒成立，则正数的最小值是（   ） A．8 B．16 C．27 D．36 【考点题型六】利用基本不等式求最值 技巧：利用基本不等式求代数式的最值 (1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． (2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式． 【例6】若，则函数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式6-2】已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】若，则有（    ） A．最小值6 B．最小值8 C．最大值8 D．最大值3 【变式6-4】若存在，使不等式成立，则k的最小值是（    ） A．8 B．10 C．16 D．24 【考点题型七】解不含参数的一元二次不等式 技巧:解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集． 【例7】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】函数的零点为1，2，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式7-2】不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【变式7-3】不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式7-4】已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式 的解集（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】一元二次不等式与根与系数关系的交汇 技巧：三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 【例8】“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】关于的一元二次方程有一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式8-3】若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】设：实数满足，：一元二次方程“”有两个负数解，则是（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点题型九】含有参数的一元二次不等式的解法 技巧：解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． (3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【例9】不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）. A．或 B． C． D．或 【变式9-1】若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 【变式9-2】关于的不等式的解集为，且，则实数的值等于（    ） A．或2 B．1或 C． D． 【变式9-3】关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式9-4】已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【考点题型十】不等式的恒成立问题 技巧：不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。 【例10】已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【变式10-1】若关于的不等式对恒成立，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】下列条件是条件的充分条件的是（    ） A．条件：1是二次方程的一个根 B．条件： C．条件：关于的不等式的解集为 D．条件：关于的二次方程有两不等实根，且在上恒成立 【变式10-3】下列说法正确的是（    ） A．若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件 B．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 C．若不等式的解集为，则不等式的解集为 D．“”为假命题的充要条件为 【变式10-4】下列说法正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．若实数满足，则 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 一元二次函数、方程与不等式 （10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】符号变换法则与比较大小 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，. 【清单02】不等式的性质 基本性质有： (1)对称性：(2)传递性： (3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b， 运算性质有： (1)可加法则：(2)可乘法则： (3)可乘方性： 【清单03】基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 2.由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 【清单04】用基本不等式求最大（小）值 总方针：在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数. 2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值. 4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值. 【清单05】一元二次不等式及零点 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 【清单06】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 【清单07】一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 【清单08】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集． 【清单09】解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． (3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【清单10】利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如 已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 【考点题型一】利用不等式的性质比较大小 技巧：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 【例1】“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】同向不等式可以相加，所以“且”“”，必要性满足； 若时，取，此时且不成立，即充分性不成立； 则“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 【变式1-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可比较大小. 【详解】因为， 故， ， ， 即， 故. 故选：D. 【变式1-2】已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由条件结合充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由，可得： 若，则，当时，，故不能推出； 若，则当时，，可得，也不能推出． 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 【变式1-3】下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】AB选项，举出反例；CD选项，利用不等式的性质进行判断；C由，可得，即可判断出；D利用不等式的基本性质即可判断出. 【详解】A选项，若，不等式两边同除以得，，A错误； B选项，不妨设，满足，但，B错误； C选项，，不等式两边同时减去一个数，不等号不变，所以，故C错误； D选项，∵，∴，平方得，D正确. 故选：D. 【变式1-4】已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特值说明判断A；作差比较大小判断BC；利用不等式性质推理判断D. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，，则，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 【考点题型二】利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 技巧：利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如 已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 【例2】已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】用已知式子表示，并利用不等式的性质求的范围，验证最大值取到即可. 【详解】， 由不等式的性质，，所以 所以，所以， 当且仅当时，且已知，解得， 即的最大值为. 故选：A. 【变式2-1】已知,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等关系的运算法则可判断充分性，根据特值法可判断必要性. 【详解】根据不等关系的运算法则,知当时,，所以充分性成立； 当时,,但不满足，所以必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-2】已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系列不等式组，结合不等式性质求的取值范围. 【详解】由已知及三角形三边关系得， 所以，则，两式相加得， 所以. 故选：C 【变式2-3】若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用不等式性质求目标式范围. 【详解】由题设，则，又，所以. 故选：C 【变式2-4】已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 对于A，，,, 综上可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误； 故选：D. 【考点题型三】对基本不等式的理解及简单应用 技巧：应用基本不等式时的三个关注点 (1)一正数：指式子中的a，b均为正数. (2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值. (3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值. 【例3】已知正实数 ，则 “ ” 是 “ ” 的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】充分性举反例，必要性用均值不等式证明. 【详解】若，取，，则，即不能推出，故充分性错误； 若，由均值不等式可知，所以，2个等号取等条件都是， 所以可以推出，所以必要性正确，所以是必要不充分条件. 故选：B 【变式3-1】已知a，b为正实数，，则（    ） A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4 C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2 【答案】A 【分析】由题设条件等式，运用基本不等式计算即得. 【详解】因a，b为正实数，由可得， 即得，当且仅当时取等号， 即时，ab的最小值为4. 故选：A. 【变式3-2】已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的面积公式考虑设直角边为、，利用均值不等式解得最小值为. 【详解】设三角形的两条直角边长为、，可得， 三角形的周长为，当且仅当时取等号． 故选：C 【变式3-3】已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式以及作差法即可求解. 【详解】由题意，则，即，由基本不等式得， 又，即， 所以. 故选：D. 【变式3-4】两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 【答案】B 【分析】根据基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，为正数，且， 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为， 则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济. 故选：B 【考点题型四】利用基本不等式比较大小 技巧：利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． 【例4】下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式的推导式结合作差法可直接判定结果.其余选项可用举反例和做差法来判定. 【详解】由于，可得，可知选项A错误，选项B正确； 可得则，可知选项C错误； 正负不定， 则大小不定，可知选项D错误. 故选项：B. 【变式4-1】若x，y满，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式的性质进行逐一判断即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以， 因为， 而，所以， 于是有，故选项AB都不正确； 由， 故选：C 【变式4-2】下列不等式恒成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】对于A、B、C：取特殊值否定结论；对于D：利用基本不等式直接证明. 【详解】对于A：取，，则，，此时. 故A错误； 对于B：取，，则，，此时. 故B错误； 对于C：取，，则，，此时. 故C错误； 对于D：因为，所以. 故D正确. 故选：D 【变式4-3】若，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式串 可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误. 【详解】对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误； 对于选项B： ，，∴B错误； 对于选项C ：， 因为 ∴C错误； 对于选项D：∵，当且仅当时取等号， ∴，D正确； 故选：D 【变式4-4】若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确． 考点：不等式的性质 【考点题型五】利用基本不等式求解恒成立问题 技巧：利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 【例5】若实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据常见不等式，结合题目中的等量关系，整理不等式，逐项检验，可得答案. 【详解】因为，，所以，所以，所以A正确，B错误； 因为，又，所以， 所以，所以，所以C正确，D错误. 故选：AC. 【变式5-1】不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】由题意可得 ，令，则有，，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案. 【详解】因为,为正数，所以， 所以，则有， 令，则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，则， 又，所以，即，所以的最小值为， 所以，即的最大值为. 故选：D. 【变式5-2】已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可得答案. 【详解】解：因为，，恒成立， 即恒成立， 又因为， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以的最大值为.故选：A. 【变式5-3】已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据所给条件转化，利用均值不等式求最小值，再解关于的不等式，即可得解. 【详解】因为，，且， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得， 所以整数可取、，共个. 故选：A 【变式5-4】，不等式恒成立，则正数的最小值是（   ） A．8 B．16 C．27 D．36 【答案】B 【分析】由基本不等式求得的最小值，然后利用恒成立即可求解 【详解】由基本不等式可知， 当且仅当取得等号，由题意， ∴正数的最小值是16. 故选：B 【考点题型六】利用基本不等式求最值 技巧：利用基本不等式求代数式的最值 (1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． (2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式． 【例6】若，则函数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以， 当且仅当时，即时，取得最小值. 故选：D. 【变式6-1】已知，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为7. 故选：D 【变式6-2】已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，然后根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式6-3】若，则有（    ） A．最小值6 B．最小值8 C．最大值8 D．最大值3 【答案】B 【分析】借助配凑法结合基本不等式计算即可得. 【详解】当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 即有最小值. 故选：B. 【变式6-4】若存在，使不等式成立，则k的最小值是（    ） A．8 B．10 C．16 D．24 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，结合不等式有解即可得解. 【详解】因为，故， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 因为存在，使不等式成立， 所以，即的最小值为8， 故选：A. 【考点题型七】解不含参数的一元二次不等式 技巧:解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集． 【例7】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式不等式等价于，即可求解. 【详解】由可得， 故等价于，解得， 故选：C 【变式7-1】函数的零点为1，2，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由零点得出参数值，再解不等式即可得到结果. 【详解】由题意可得，解得， ∴代入不等式得：， 整理可得：，即， ∴或， 故选：D. 【变式7-2】不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先将原不等式化为，得到或，求解，即可得出结果. 【详解】因为可化为，即，即， 所以或，解得：或. 即原不等式的解集为：或. 故选：B 【变式7-3】不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】直接解出一元二次不等式即可. 【详解】，解得或. 故选：B. 【变式7-4】已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式 的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】为方程的两根，且，由韦达定理得到，分式不等式变形后等价于，求出不等式解集. 【详解】由题意得为方程的两根，且， 由韦达定理得，故， 故， 等价于，解得， 故不等式解集为. 故选：B 【考点题型八】一元二次不等式与根与系数关系的交汇 技巧：三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 【例8】“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的充要条件，再求解即可. 【详解】由一元二次方程的两个根为， 又方程有一个正实数根和一个负实数根， ，， 即“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件为， 则其充分不必要条件的范围应为的真子集， 结合选项可得选项C符合题意， 故选：C. 【变式8-1】关于的一元二次方程有一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立不等式，再解不等式即得答案. 【详解】二次函数的图象开口向上， 由的一个根小于1，另一个根大于1，得， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【变式8-2】已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可. 【详解】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 【变式8-3】若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，依题意可得，解得即可. 【详解】令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解， 所以，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A． 【变式8-4】设：实数满足，：一元二次方程“”有两个负数解，则是（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由命题求出的范围，利用充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】命题：一元二次方程有两个负数解，所以，解得， 所以是的充分不必要条件， 故选：A. 【考点题型九】含有参数的一元二次不等式的解法 技巧：解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． (3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【例9】不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】由不等式解集得到是方程的两根，，根据韦达定理得到，，代入不等式并化简得到，求出不等式解集. 【详解】由题意得是方程的两根，， 故，， 所以，，代入不等式中， 即， 化简得，解得或. 故选：A. 【变式9-1】若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】求得不等式的解，由已知可得（两个等号不能同时成立），求解即可. 【详解】因为，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以（两个等号不能同时成立），解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【变式9-2】关于的不等式的解集为，且，则实数的值等于（    ） A．或2 B．1或 C． D． 【答案】D 【分析】分，和三种情况解不等式，再结合已知求解即可. 【详解】因为， 所以，当时，不等式的解集为， 又不等式的解集为，所以，解得， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为， 又不等式的解集为，所以，解得， 所以实数的值等于. 故选：D. 【变式9-3】关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求解两个不等式，就第二个含参的不等式分类讨论其解集，借助于数轴表示即可求得参数的范围. 【详解】由，可得或；由 ，可得（*）. ① 若，即时，则由（*），可得，此时原不等式的解集为，显然不符合题意； ② 若时，则由（*），可得，显然不符合题意； ③ 若时，则由（*），可得， 此时要使不等式组的整数解的集合为，须使，即. 综上可得，实数的取值范围 故选：B. 【变式9-4】已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】分、、三种情况讨论计算，分别求出不等式的解集，即可判断. 【解答】由， 当时，不等式即为，解得， 即不等式的解集为； 当时，解方程得， 则当时，，函数开口向上， 故不等式的解集为； 当时，，函数开口向下， 所以不等式的解集为或. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或， 所以不等式的解集不可能是选项D对应的解集. 故选：D. 【考点题型十】不等式的恒成立问题 技巧：不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。 【例10】已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】命题p可利用参变分离法将原问题转化为，结合基本不等式即可求得a的范围，命题q直接利用判别式即可求得a的范围，取交集即可得答案. 【详解】∵愿明天即命题为真命题， ， 又，当且仅当，即时，等号成立， ， ∵命题，为真命题， 或， ∵命题p，q都是真命题， 或． 故选：C 【变式10-1】若关于的不等式对恒成立，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含参一元不等式恒成立对a分类讨论即可得a的取值集合. 【详解】当时，不等式化为对恒成立； 当时，要使得不等式对恒成立， 则，解得， 综上，a的取值集合为. 故选：B. 【变式10-2】下列条件是条件的充分条件的是（    ） A．条件：1是二次方程的一个根 B．条件： C．条件：关于的不等式的解集为 D．条件：关于的二次方程有两不等实根，且在上恒成立 【答案】AD 【分析】利用充分条件的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，由1是二次方程的一个根，得，能推出，A是； 对于B，由于，则当时，，而不能推出，B不是； 对于C，当时，不等式的解集为，不能推出，C不是； 对于D，由方程有两不等实根，得，即， 由在上恒成立，得，解得，因此命题：， 而，因此条件是条件的充分条件，D是. 故选：AD 【变式10-3】下列说法正确的是（    ） A．若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件 B．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 C．若不等式的解集为，则不等式的解集为 D．“”为假命题的充要条件为 【答案】ACD 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断A，分类讨论求出k的范围判断B，根据数轴穿根法及不等式的解集求出及解不等式判断C，由命题的否定转化为不等式恒成立，看作关于的不等式恒成立即可判断D. 【详解】对A，若是的必要不充分条件，是的充要条件， 则，但是不能推出， 所以，但是不能推出，所以是的充分不必要条件，故A正确； 对B，当时，原不等式为，恒成立满足题意， 当时，由题意需满足，解得， 综上，实数的取值范围是，故B错误； 对C，由不等式的解集为， 结合数轴穿根法知，，且， 所以不等式可化为，解得，故C正确； 对D，由题意知为真命题， 则在时恒成立， 令，只需， 则，解得，故D正确. 故选：ACD 【变式10-4】下列说法正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．若实数满足，则 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】解不等式判断A；利用不等式性质判断B；利用基本不等式取等号条件判断C；由一元二次不等式恒成立求解判断D. 【详解】对于A，不等式化为，解得或，A错误； 对于B，由，得，因此，B正确； 对于C，依题意，， 当且仅当，即时取等号，而，因此不能取等号，C错误； 对于D，当时，恒成立，则；当时，必有，解得， 所以的取值范围是，D正确. 故选：BD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$