清单01 集合与逻辑（考点清单，知识导图+10个考点清单+题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期湘教版

清单01 集合与逻辑 （10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】关于集合的元素的特征 (1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合. 【清单02】元素与集合关系 元素与集合的关系： (1)如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作N，正整数集，记作N*或N+，整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 【清单03】集合的表示方法 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…. 2.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 【清单04】集合与集合的关系（子集、真子集、空集） （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.记作： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等.记作： （3）真子集：若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集。 记作：AB（或BA） （4）空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作：. 规定：空集是任何集合的子集。 高端结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。 【清单05】集合的运算（并集、交集、补集） （1）并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： （2）交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： （3）补集：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： 高端结论 （1） （2） （3）， （4）若A∩B=A，则，反之也成立，若A∪B=B，则，反之也成立 （5）若x(A∩B)，则xA且xB，若x(A∪B)，则xA，或xB 【清单06】充分条件与必要条件充要条件概念与判断 (1)概念:符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：. 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件. ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件. (2)充分条件、必要条件与充要条件的判断 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 【清单07】全称量词与全称量词命题 1.全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示. 2. 全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题. 3. 全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对. 【清单08】存在量词与存在量词命题 1.全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示. 2. 存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题. 3. 存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对. 【清单09】命题的否定 1.一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定. 2.如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然. （1）全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： . （2）存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： . 【清单10】判断命题真假的方法 (1)真命题的判定方法. 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证. (2)假命题的判定方法. 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法. 【考点题型一】元素与集合的关系 技巧：判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。 （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。 【例1】若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知集合，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 【变式1-3】已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式1-4】已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 【考点题型二】韦恩图及其应用 技巧：Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用. 【例2】已知全集，集合，，那么下面的维恩图中，阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】自年起，江西新高考采用“”模式，其中，“”为全国统考科目，即语文、数学、外语；“”为首选科目，考生要在物理、历史科目中选择门；“”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物学个科目中选择门.已知某校首选科目为物理的考生有人，其中再选科目选了化学的有人，再选科目没有选生物学的有人，再选科目同时选了化学和生物学的有人，则该校首选科目为物理的考生中，再选科目同时选了思想政治和地理的人数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知全集，集合，，那么下面的韦恩图中，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知集合或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】根据集合间的关系求参数 技巧：根据集合之间关系，求参数的值或范围： 1.求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示. 2.涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视. 【例3】已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知集合，非空集合，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知集合，，且，则（   ） A．0 B．0或 C． D．1 【变式3-4】已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【考点题型四】根据两集合相等求参数 技巧：集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 【例4】若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1， 【变式4-1】设，集合，集合，若，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【变式4-2】若集合，集合，且，则（   ） A．， B．， C．， D．不确定 【变式4-3】已知，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式4-4】含有三个实数的集合可以表示为，也可以表示为，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．或1 【考点题型五】集合的交集、并集与补集的混合运算 技巧：求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到. 【例5】已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】设全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】充分、必要条件的判断 技巧：1．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类： (1)充分不必要条件，即p⇒q，而q p. (2)必要不充分条件，即p q，而q⇒p. (3)充要条件，既有p⇒q，又有q⇒p. (4)既不充分也不必要条件，既有p q，又有q p. 2．充分条件与必要条件的判断． (1)直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的) (2)利用等价命题的关系判断：“p⇒q”的等价命题是“¬q⇒¬p”即“若¬q⇒¬p”成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件． 【例6】已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-1】（已知集合，则“”是“”（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】（已知集合（），则“”是“集合仅有1个真子集”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式6-4】（“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【考点题型七】根据充分、必要条件求参数取值范围 技巧：(1)化简p、q两命题， (2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， (3)利用集合间的关系建立不等关系， (4)求解参数范围． 【例7】若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】由全称或存在量词命题的真假确定参数取值范围 技巧：解题方法：（等价转化，分离参数） （1）对于命题p，，通过分离参数的方法求得参数的取值范围 （2）对于命题p，，通过否定转化为恒成立问题，确定出a的取值范围A，最后取A的补集 （3）对于命题p，，通过否定转化为恒成立问题，确定出a的取值范围 （4）对于命题p，，通过分离参数的方法求得参数的取值范围 【例8】已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】已知命题p：“，”，命题q：“，”.若命题p和命题都是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【变式8-5】若命题“”是假命题，则的值可以为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式8-6】已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-7】若命题“”为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-8】若命题“”为真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-9】命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】全称量词命题与存在量词命题的否定 技巧：1、一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论. 2、对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定. 【例9】命题，，则命题的否定形式是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-1】设命题，则为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-3】命题“”的否定是 （    ） A． B． C． D． 【变式9-4】下列四个结论中正确的是（    ） A．命题“若，则”的逆命题为真命题 B．命题“”的否定是“” C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要不充分条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 集合与逻辑 （10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】关于集合的元素的特征 (1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合. 【清单02】元素与集合关系 元素与集合的关系： (1)如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作N，正整数集，记作N*或N+，整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 【清单03】集合的表示方法 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…. 2.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 【清单04】集合与集合的关系（子集、真子集、空集） （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.记作： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等.记作： （3）真子集：若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集。 记作：AB（或BA） （4）空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作：. 规定：空集是任何集合的子集。 高端结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。 【清单05】集合的运算（并集、交集、补集） （1）并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB} Venn图表示： （2）交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示： （3）补集：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示： 高端结论 （1） （2） （3）， （4）若A∩B=A，则，反之也成立，若A∪B=B，则，反之也成立 （5）若x(A∩B)，则xA且xB，若x(A∪B)，则xA，或xB 【清单06】充分条件与必要条件充要条件概念与判断 (1)概念:符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：. 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件. ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件. (2)充分条件、必要条件与充要条件的判断 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 【清单07】全称量词与全称量词命题 1.全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示. 2. 全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题. 3. 全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对. 【清单08】存在量词与存在量词命题 1.全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示. 2. 存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题. 3. 存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对. 【清单09】命题的否定 1.一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定. 2.如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然. （1）全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： . （2）存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： . 【清单10】判断命题真假的方法 (1)真命题的判定方法. 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证. (2)假命题的判定方法. 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法. 【考点题型一】元素与集合的关系 技巧：判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。 （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。 【例1】若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论参数对应的元素，结合集合元素互异性确定参数取值集合即可. 【详解】当，则，显然集合元素不满足互异性； 当，则，此时集合为，满足； 当，即或，（其中舍）， 若，此时集合为，满足；若，此时集合为，满足； 综上，的取值集合为.故选：D 【变式1-1】已知集合，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用元素与集合的关系可求解. 【详解】因为，，所以，解得. 故选：D. 【变式1-2】已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系可得出或，再结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： （1）若，则，此时，， 此时集合中的元素不满足互异性，舍去； （2）若，即，解得或（舍）， 当时，，合乎题意. 综上所述，.故选：B. 【变式1-3】已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据条件得到或或，再利用集合的互异性即可求出结果. 【详解】因为，所以或或， 当时，，不满足集合元素的互异性， 当时，得到或（舍），又时，，满足题意， 当，得到，此时，不满足集合元素的互异性， 故选：A. 【变式1-4】已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 【答案】A 【分析】由题意得或，解方程，由集合元素的互异性即可求. 【详解】因为， 所以或， 当即时，，不符合集合元素的互异性， 故不符合题意，舍； 当即（舍）或时，，符合题意， 故的值为. 故选：A 【考点题型二】韦恩图及其应用 技巧：Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用. 【例2】已知全集，集合，，那么下面的维恩图中，阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集和补集的知识求得正确答案. 【详解】， 阴影部分表示集合为. 故选：D 【变式2-1】自年起，江西新高考采用“”模式，其中，“”为全国统考科目，即语文、数学、外语；“”为首选科目，考生要在物理、历史科目中选择门；“”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物学个科目中选择门.已知某校首选科目为物理的考生有人，其中再选科目选了化学的有人，再选科目没有选生物学的有人，再选科目同时选了化学和生物学的有人，则该校首选科目为物理的考生中，再选科目同时选了思想政治和地理的人数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合之间的容斥关系进行求解即可. 【详解】再选科目同时选了化学和生物学的有人， 再选科目选了化学，没有选生物学的有人； 再选科目没有选生物学，也没有选化学的有人， 即再选科目同时选了思想政治和地理的人数为人. 故选：C. 【变式2-2】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，图中阴影部分所表示的集合为，进而结合交集和补集的定义求解即可. 【详解】已知全集，集合，， 则， 图中阴影部分所表示的集合为 故选：C. 【变式2-3】已知全集，集合，，那么下面的韦恩图中，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦恩图，等价转化为集合的表示，结合并集和补集，可得答案. 【详解】由图可知，阴影部分为，由，则， 故选：C. 【变式2-4】已知集合或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，再根据补集的含义即可得到答案. 【详解】由题意得或， 由图知阴影部分表示的在中的补集， 则阴影部分表示的集合为. 故选：C. 【考点题型三】根据集合间的关系求参数 技巧：根据集合之间关系，求参数的值或范围： 1.求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示. 2.涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视. 【例3】已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，通过数轴即可求解. 【详解】因为， 所以由数轴可得， 故实数的取值范围为. 故选：B. 【变式3-1】已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解. 【详解】集合，若， 则若，则满足题意； 若，且，则， 综上所述，实数的取值范围是. 故选： 【变式3-2】已知集合，非空集合，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合间的包含关系，列出不等式，求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得， 故选：D. 【变式3-3】已知集合，，且，则（   ） A．0 B．0或 C． D．1 【答案】C 【分析】由集合的包含关系，确定等式求解即可. 【详解】由， 可得：或， 当可得：，集合中元素重复，故舍去， 当，解得：（舍去），， 而当时，，，符合题意， 故. 故选：C 【变式3-4】已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可；在、这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论： （1）当时，，合乎题意； （2）当时，，则， 因为时，解得； （3）当时，，则， 因为，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【考点题型四】根据两集合相等求参数 技巧：集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 【例4】若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1， 【答案】C 【分析】根据集合相等求参，再分别计算是否符合题意即可得出参数. 【详解】因为集合， 当，则，符合题意； 当，则不符合题意； 当，则不符合题意； 所以. 故选：C. 【变式4-1】设，集合，集合，若，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据集合元素的性质可求的值，故可得正确的选项. 【详解】因为，所以，，故， 故选：C 【变式4-2】若集合，集合，且，则（   ） A．， B．， C．， D．不确定 【答案】A 【分析】利用集合相等的条件求解即可. 【详解】因为集合，集合，且， 所以或，解得. 故选：A. 【变式4-3】已知，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用集合相等，求出，再求出，检验代入求值即可. 【详解】根据题意，故，则， 故，则，即， 当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当，时，，符合题意， 所以， 故选：C. 【变式4-4】含有三个实数的集合可以表示为，也可以表示为，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．或1 【答案】B 【分析】根据题意，得到，结合集合相等的概念，以及元素的互异性，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，可得， 因为，所以，即， 则满足，解得， 当时，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当时，可得，符合题意， 所以. 故选：B. 【考点题型五】集合的交集、并集与补集的混合运算 技巧：求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到. 【例5】已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用补集与交集的定义可求解. 【详解】因为全集，，所以， 又因为，. 故选：D. 【变式5-1】设全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由补集、并集的概念即可得解. 【详解】因为，， 所以，又， 所以. 故选：D. 【变式5-2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集、补集的概念即可求解. 【详解】因为集合， 所以，. 故选：A. 【变式5-3】设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补集与并集的概念计算即可. 【详解】易知，又，所以. 故选：C 【变式5-4】已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合补集和并集运算求解即可. 【详解】因为全集，集合，， 则，所以. 故选：A. 【考点题型六】充分、必要条件的判断 技巧：1．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类： (1)充分不必要条件，即p⇒q，而q p. (2)必要不充分条件，即p q，而q⇒p. (3)充要条件，既有p⇒q，又有q⇒p. (4)既不充分也不必要条件，既有p q，又有q p. 2．充分条件与必要条件的判断． (1)直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的) (2)利用等价命题的关系判断：“p⇒q”的等价命题是“¬q⇒¬p”即“若¬q⇒¬p”成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件． 【例6】已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分和必要条件的知识确定正确答案. 【详解】当“”时，“”； 当“”时，可能，不能得到“”； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式6-1】（已知集合，则“”是“”（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由集合间的包含关系即可判断. 【详解】 所以, 所以“”是“” 的充分不必要条件. 故选：C 【变式6-2】（“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】由解得； 由解得； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式6-3】（已知集合（），则“”是“集合仅有1个真子集”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】由真子集个数得到集合M只有一个元素，分和两种情况，结合根的判别式得到或，从而得到结论. 【详解】集合仅有1个真子集，即集合M只有一个元素， 若，方程等价于，解得，满足条件； 若，方程要满足，有， 则集合仅有1个真子集，有或， 则时满足集合M仅有1个真子集，集合M仅有1个真子集时不一定有， 所以“”是“集合M仅有1个真子集”的充分不必要条件. 故选：B． 【变式6-4】（“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】求出不等式的解，逐个选项判断，即可得答案. 【详解】解，即，即， 即，解得或， 由于，均推不出或，故A，B选项不合题意； C中条件和“”等价，不合题意， 时，一定有或成立，反之不成立， 故是“”的一个充分不必要条件， 故选：D 【考点题型七】根据充分、必要条件求参数取值范围 技巧：(1)化简p、q两命题， (2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， (3)利用集合间的关系建立不等关系， (4)求解参数范围． 【例7】若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义列式求解即得. 【详解】“”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或，则， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 【变式7-1】已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得出两个集合之间的关系：，再对集合B中的不等式求解，分类讨论研究即可． 【详解】由题意知： ①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：． 故选：A． 【变式7-2】已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简命题，根据是的必要条件求解. 【详解】由可得， 因为是的必要条件，所以， 则是的子集，故. 故选：D. 【变式7-3】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 【变式7-4】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 【考点题型八】由全称或存在量词命题的真假确定参数取值范围 技巧：解题方法：（等价转化，分离参数） （1）对于命题p，，通过分离参数的方法求得参数的取值范围 （2）对于命题p，，通过否定转化为恒成立问题，确定出a的取值范围A，最后取A的补集 （3）对于命题p，，通过否定转化为恒成立问题，确定出a的取值范围 （4）对于命题p，，通过分离参数的方法求得参数的取值范围 【例8】已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为命题，，且为真命题，则，解得. 故选：D. 【变式8-1】若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题的真假确定集合中的元素具有的性质，得正确结论． 【详解】“”为真命题，， 因此做这个中含有 上的数， “”为假命题，则中有不小于2的元素， 只有C选项的集合M满足题意. 故选：C． 【变式8-2】已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得为真命题，实数的取值范围；为真命题，实数的取值范围；进而可得与全为真命题时，实数的取值范围，进而可得结论. 【详解】若为真命题，则，又，所以，所以， 若为真命题，则有解，所以， 解得或， 所以与全为真命题时，实数的取值范围是或， 所以与不全为真命题，则实数的取值范围是或. 故选：D. 【变式8-3】已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题为假命题，则在上无解，即与，函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题为真命题，则，求出参数求交集即可. 【详解】命题为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点，      由图可知：或， 命题为真命题，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：C 【变式8-4】已知命题p：“，”，命题q：“，”.若命题p和命题都是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题p是真命题，命题是假命题，根据二次函数的单调性和二次方程有解列不等式组可得． 【详解】命题p和命题都是真命题，即命题p是真命题，命题是假命题， 所以，解得， 故选：C． 【变式8-5】若命题“”是假命题，则的值可以为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定的真假性，对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】由题知是真命题， 当，即时，恒成立，时，不恒成立； 当时，，解得， 综上得. 故选：B. 【变式8-6】已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题； 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A 【变式8-7】若命题“”为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据存在性命题真假性可得，运算求解即可. 【详解】若命题“”为真命题， 则，解得， 所以a的取值范围是. 故选：A. 【变式8-8】若命题“”为真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判别式大于等于，可求参数的取值范围. 【详解】因为命题“”为真命题， 所以即或， 故选：B. 【变式8-9】命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，得出“”是真命题，对分类讨论，即可求解. 【详解】由题意得，命题的否定：. ∵命题是假命题， ∴命题的否定是真命题. 当时，，符合题意， 当时，，解得， 综上所述，的范围是. 故选：A. 【考点题型九】全称量词命题与存在量词命题的否定 技巧：1、一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论. 2、对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定. 【例9】命题，，则命题的否定形式是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论． 【详解】命题，，为全称量词命题， 则该命题的否定为：，. 故选：C． 【变式9-1】设命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写全称量词命题的否定时，要把量词改为，并且否定结论. 【详解】因为全称量词命题， 所以. 故选：C. 【变式9-2】命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得到答案. 【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题， 则命题“，”的否定是：，， 故选：B. 【变式9-3】命题“”的否定是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定判断即可. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是. 故选：C 【变式9-4】下列四个结论中正确的是（    ） A．命题“若，则”的逆命题为真命题 B．命题“”的否定是“” C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【分析】结合不等式性质即可判断A；根据含有一个量词命题的否定可判断B；根据充要条件以及必要不充分条件的判断可判断CD. 【详解】对于A，命题“若，则”的逆命题为“若，则”， 取，则，故逆命题为假命题，A错误； 对于B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题“”的否定为：，B错误； 对于C，若，则，反之，若，则， 所以“”的充要条件是“”，C正确； 对于D，若，则不一定成立，如，但， 反之，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，正确. 故选：CD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$