清单05 三角函数（14个考点梳理+题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）高一数学上学期湘教版

清单05 三角函数（14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】任意角 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 【清单02】弧度制 1、弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 【清单03】三角函数定义及象限正负 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即； （3）叫做的正切，记做，即． 三角函数在各象限的符号： 【清单04】同角三角函数的基本关系式及变形 （1）平方关系： （2）商数关系： 变形1、平方关系式的变形： ，， 变形2、商数关系式的变形 ，． 【清单05】诱导公式 诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号． 诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上． 因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号． 诱导公式一： ，，，其中 诱导公式二： ，，，其中 诱导公式三： ，，，其中 诱导公式四： ，．，，其中 【清单06】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为内的三角函数； ③化为锐角的三角函数． 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）． 【清单07】正弦函数图象 （1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线． （2）图象 用三角函数图象解三角不等式的方法 1、作出相应正弦函数或余弦函数在上的图象； 2、写出适合不等式在区间上的解集； 3、根据公式一写出不等式的解集． 【清单08】正弦型函数的性质． 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1）定义域：（2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数． 【清单09】余弦型函数的性质． 函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到： （1）定义域：（2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间． （4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 【清单10】正切函数的性质 1、定义域： 2、值域： 由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线． 3、周期性：周期函数，最小正周期是 4、奇偶性：奇函数，即． 5、单调性：在开区间，内，函数单调递增 【清单11】三角恒等变换 两角和的余弦公式： 两角和正弦函数 两角差的正弦函数 两角和与差的正切函数， 二倍角的正弦、余弦、正切公式 公式的逆用；． ．． 公式的变形；降幂公式： 升幂公式： 【清单12】辅助角公式 形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 【清单13】图像变换 由得图象通过变换得到的图象 1、振幅变换： ，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅． 2、周期变换： 函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． 3、相位变换： 函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． 【考点题型一】角α/n所在象限的研究 技巧：已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以，根据的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意． 【例1】设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【变式1-1】若角是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【变式1-2】设是第二象限角，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【变式1-3】已知为第三象限角，则为第（    ）象限角. A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三 【变式1-4】已知角第二象限角，且，则角是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【考点题型二】区域角的表示 技巧：区域角的写法可 （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 【例2】集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-1】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-2】终边在第四象限的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ） A．B．C． D． 【考点题型三】扇形中的最值问题 技巧：角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 【例3】若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】设扇形的周长为，则当扇形的面积最大时，其圆心角的弧度数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（    ） A． B． C．2 D．不存在 【变式3-4】已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（    ） A． B． C． D．2 【考点题型四】已知tanα的值，求关于sinα、cosα的齐次式的值问题 技巧：①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 【例4】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】若，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式4-2】已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-3】已知，则（   ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【变式4-4】已知角的终边在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】sinα+cosα,sinα-cosα与sinα·cosα关系的应用 技巧：三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 【例5】若，，则（   ） A． B． C．2 D． 【变式5-1】已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】诱导公式的应用 技巧：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【例6】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知，，则为第几象限角（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式6-2】若，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式6-3】已知，关于等式，以下两个命题： ①对任意的，总存在，使得等式成立； ②对任意的，总存在，使得等式成立. 则下列判断正确的是（   ） A．①与②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①与②都不正确 【变式6-4】在有意义的前提下，下列各项与相等的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型七】解三角不等式问题 技巧：用三角函数的图象解（或）的方法 （1）作出直线，作出（或）的图象． （2）确定（或）的x值． （3）确定（或）的解集． 【例7】已知函数，函数图象与相邻两个交点的距离为，若任意恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】在上，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知是定义在上的奇函数，且，若，，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】正余弦函数的周期、奇偶、对称单调问题 技巧：正弦型函数的性质． 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1）定义域：（2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数． 余弦型函数的性质． 函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到： （1）定义域：（2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间． （4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 【例8】已知函数在区间上单调递减且， (1)求的解析式； (2)求使成立的的取值范围. 【变式8-1】设函数， (1)若将图象向左平移个单位，再将平移后图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数，求在上的值域. (2)若，且，求的值. 【变式8-2】已知函数的部分图象如图所示，点， (1)求的解析式； (2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的最值. 【变式8-3】已知向量. (1)若，且，求的值； (2)设函数，求函数在区间上的最大值以及相应的的值. 【变式8-4】已知函数，其中，.记的最小正周期为，. (1)求的值； (2)若与轴相邻交点间的距离为，求在区间上的最大值和最小值. 【考点题型九】根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 技巧：单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． 单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间． 【例9】已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知为偶函数，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若的最小正周期为，则 C．若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为 D．若，则的最小值为2 【变式9-2】函数在（）内没有最小值，且存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型十】正切函数的周期、奇偶、对称单调问题 技巧：1、定义域： 2、值域： 由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线． 3、周期性：周期函数，最小正周期是 4、奇偶性：奇函数，即． 5、单调性：在开区间，内，函数单调递增 【例10】已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 【变式10-1】设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 【变式10-2】已知函数（）的最小正周期为． (1)求的单调递增区间； (2)若，，求． 【变式10-3】已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 【变式10-4】设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期、渐近线及对称中心； (2)解不等式. 【考点题型十一】给角求值、给值求值、给值求角问题 技巧：给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． 【例11】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】已知，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式11-4】若，，则（    ） A． B． C． D．1 【考点题型十二】辅助角公式的应用 技巧：通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 【例12】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】已知函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-4】曲线与的交点中，与y轴最近的点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十三】根据三角函数图象求解析式 技巧：确定函数（）的解析式的步骤 （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，． （2）求，确定函数的周期，则． （3）求，常用方法有 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 【例13】已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（  ）    A． B． C． D． 【变式13-2】函数的图象如下，则其解析式可能是（     ） A． B． C． D． 【变式13-3】如图，已知函数，点，是直线与函数的图象的两个交点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式13-4】已知函数的部分图象如图所示，若所在平面不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【考点题型十四】三角函数图象的变换 技巧：对，，的三点说明 （1）越大，函数图象的最大值越大，最大值与是正比例关系． （2）越大，函数图象的周期越小，越小，周期越大，周期与为反比例关系． （3）大于0时，函数图象向左平移，小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”． 【例14】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D．1 【变式14-1】为得到函数的图象，只需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式14-2】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式14-3】函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移（）个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 【变式14-4】函数，则下列结论正确的有（    ） ①函数的最大值为； ②函数的一个对称中心为； ③函数在上单调递减； ④，将图象向右平移单位，再向下平移个单位可得到的图象. A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 三角函数（14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】任意角 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 【清单02】弧度制 1、弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 【清单03】三角函数定义及象限正负 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即； （3）叫做的正切，记做，即． 三角函数在各象限的符号： 【清单04】同角三角函数的基本关系式及变形 （1）平方关系： （2）商数关系： 变形1、平方关系式的变形： ，， 变形2、商数关系式的变形 ，． 【清单05】诱导公式 诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号． 诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上． 因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号． 诱导公式一： ，，，其中 诱导公式二： ，，，其中 诱导公式三： ，，，其中 诱导公式四： ，．，，其中 【清单06】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为内的三角函数； ③化为锐角的三角函数． 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）． 【清单07】正弦函数图象 （1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线． （2）图象 用三角函数图象解三角不等式的方法 1、作出相应正弦函数或余弦函数在上的图象； 2、写出适合不等式在区间上的解集； 3、根据公式一写出不等式的解集． 【清单08】正弦型函数的性质． 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1）定义域：（2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数． 【清单09】余弦型函数的性质． 函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到： （1）定义域：（2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间． （4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 【清单10】正切函数的性质 1、定义域： 2、值域： 由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线． 3、周期性：周期函数，最小正周期是 4、奇偶性：奇函数，即． 5、单调性：在开区间，内，函数单调递增 【清单11】三角恒等变换 两角和的余弦公式： 两角和正弦函数 两角差的正弦函数 两角和与差的正切函数， 二倍角的正弦、余弦、正切公式 公式的逆用；． ．． 公式的变形；降幂公式： 升幂公式： 【清单12】辅助角公式 形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 【清单13】图像变换 由得图象通过变换得到的图象 1、振幅变换： ，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅． 2、周期变换： 函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期． 3、相位变换： 函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）． 【考点题型一】角α/n所在象限的研究 技巧：已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以，根据的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意． 【例1】设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【答案】C 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 【变式1-1】若角是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【分析】根据第二象限角的范围确定半角的范围即可. 【详解】由题意可知， 当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴， 当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴， 即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限. 故选：C. 【变式1-2】设是第二象限角，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【分析】由 ，得到，对k赋值判断. 【详解】解：因为是第二象限角， 所以 ， ， 当 时， ，在第一象限； 当 时， ，在第二象限； 当 时， ，在第四象限； 故选：D 【变式1-3】已知为第三象限角，则为第（    ）象限角. A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三 【答案】A 【分析】根据为第三象限角得到的取值范围，进而可得的范围，即可求解. 【详解】因为为第三象限角， 所以 所以 当为偶数时，记, 所以 所以为第二象限角， 当为奇数时，记, 所以 所以为第四象限角， 所以为第二或第四象限角， 故选:A. 【变式1-4】已知角第二象限角，且，则角是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判断出所在象限． 【详解】因为角第二象限角，所以， 所以， 当是偶数时，设，则， 此时为第一象限角； 当是奇数时，设，则， 此时为第三象限角.； 综上所述：为第一象限角或第三象限角， 因为，所以，所以为第三象限角． 故选：C． 【考点题型二】区域角的表示 技巧：区域角的写法可 （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 【例2】集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】对分奇偶，结合终边相同的角的定义讨论判断即可 【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样； 当时，，此时表示的范围与表示的范围一样， 故选：C． 【变式2-1】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分奇偶讨论，结合图象可得答案. 【详解】当时，， 当时，,所以选项C满足题意. 故选：C. 【变式2-2】终边在第四象限的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角的定义即可写出答案. 【详解】终边在第四象限的角的集合是或. 故选：C. 【变式2-3】集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法来求得正确答案. 【详解】当k＝2n，n∈Z时,n360°＋45°≤α≤n360°＋90°，n∈Z； 当k＝2n＋1，n∈Z时，n360°＋225°≤α≤n360°＋270°，n∈Z. 故选：C 【变式2-4】若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】分是奇数、偶数两种情况进行讨论即可求解. 【详解】当为偶数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内； 当为奇数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内． 故选：C． 【考点题型三】扇形中的最值问题 技巧：角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 【例3】若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出扇形半径和圆心角，根据周长得到方程，并表示出扇形面积，利用基本不等式求出最值，得到扇形的半径和圆心角，从而结合三角函数得到，求出答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长， 故，则， 故扇形面积为， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故， 此时， 由对称性可知， 设内切圆的圆心为，因为，故， 过点作⊥于点， 则，在中，，即， 解得. 故选：B 【变式3-1】如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出，利用基本不等式可求得扇形面积的最大值及其对应的的值，进而可求出、，然后线段的中点，可得出，进而可求得线段的长. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则，， 由可得， 所以，扇形的面积为， 当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时． 因为，则扇形的圆心角， 取线段的中点，由垂径定理可知，      因为，则， 所以，. 故选：A. 【变式3-2】设扇形的周长为，则当扇形的面积最大时，其圆心角的弧度数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设扇形半径为，由周长求出弧长为，根据扇形面积公式求出面积最大时的值，并由此算出圆心角的弧度数，或使用基本不等式利用半径的二倍与弧长的和为定值结合扇形面积公式进行求解. 【详解】方法一： 设扇形的半径为（），则扇形的弧长（）， 扇形的面积，（）， 由二次函数知识，当（满足）时，扇形的面积取最大值， 此时，扇形的弧长，扇形圆心角的弧度数. 方法二： 设设扇形的半径为，弧长为（，），则扇形的周长， 由基本不等式， 扇形的面积，当且仅当时取等号， 此时，扇形的圆心角的弧度数. 故选：B. 【变式3-3】如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（    ） A． B． C．2 D．不存在 【答案】A 【分析】由题意点P，Q都不再运动，且满足已知条件时，为的中点，且，则为的中点，连接交于，求出，即可得解. 【详解】当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置， 此时，， 则要使当点P，Q都不再运动，且满足题中两个条件时， ，且点离最远，则为的中点， 所以为的中点， 连接交于， 因为四边形ABCD是边长为的正方形， 所以，为的中点， 又因，为的中点， 所以，， 所以， 因为为的中点， 所以， 所以. 故选：A. 【变式3-4】已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据扇形面积公式及其基本不等式求出扇形面积取得最大值时的扇形半径和弧长，利用弧度数公式即可求出圆心角. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，由已知得， 扇形面积为， 当且仅当，即时等号成立，此时，则圆心角， 故选：D. 【考点题型四】已知tanα的值，求关于sinα、cosα的齐次式的值问题 技巧：①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 【例4】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将弦的齐次分式化弦为切，代值计算即得. 【详解】， 故选：D. 【变式4-1】若，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的基本关系，把问题转化为“齐次式”求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 【变式4-2】已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据齐次式，弦切互化即可求解. 【详解】∵， ∴， ∴， 解得. 故选：D. 【变式4-3】已知，则（   ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】由已知可得，即可求值. 【详解】 . 故选：B. 【变式4-4】已知角的终边在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由角的终边，得，由同角三角函数的关系得，代入求值即可. 【详解】因为角的终边在直线上，所以. 所以. 故选：D. 【考点题型五】sinα+cosα,sinα-cosα与sinα·cosα关系的应用 技巧：三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 【例5】若，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合计算，并且需要分类讨论． 【详解】且， ， 又， ， 解得：或， 当，则，则； 当，则（舍去）； 故选：C． 【变式5-1】已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方，求出，即可得到且，最后根据计算可得. 【详解】因为，所以， 即，所以，即， 又是三角形的内角，所以，则， 所以. 故选：A 【变式5-2】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用与的关系，结合换元法求得，从而得解. 【详解】因为， 设，则，且， 又， 所以，即，即，所以， 所以，即异号， 所以. 故选：B. 【变式5-3】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角的三角函数关系求出，判断的范围，确定，结合齐次式法求值求出，即可求得答案. 【详解】因为，故， 即，得， 则，且， 所以， 所以，则， 故， 故选：B 【变式5-4】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合同角公式求出即可得解. 【详解】由，得，解得， 由，得，则，于是， 解得，所以. 故选：C 【考点题型六】诱导公式的应用 技巧：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【例6】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的商数关系化简可得结果. 【详解】. 故选：C. 【变式6-1】已知，，则为第几象限角（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简即可根据象限角的性质求解. 【详解】由，可得，， 故为第三象限角， 故选：C 【变式6-2】若，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据，将原式上下同时除以，化简求解即可. 【详解】根据题意可知，所以， 若 ，则，与矛盾 故，将其上下同时除以，可得， 化简可得，解之得或. 故选：B 【变式6-3】已知，关于等式，以下两个命题： ①对任意的，总存在，使得等式成立； ②对任意的，总存在，使得等式成立. 则下列判断正确的是（   ） A．①与②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①与②都不正确 【答案】B 【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值，举例判断即可. 【详解】①任意的，当时，， ，满足，故①正确； ②当时，，， 则不存在，使得等式成立，故②不正确. 故选：B. 【变式6-4】在有意义的前提下，下列各项与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合诱导公式和商数关系判断． 【详解】 故选：D． 【考点题型七】解三角不等式问题 技巧：用三角函数的图象解（或）的方法 （1）作出直线，作出（或）的图象． （2）确定（或）的x值． （3）确定（或）的解集． 【例7】已知函数，函数图象与相邻两个交点的距离为，若任意恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得周期为，根据周期公式可得.将不等式恒成立的范围化为的解集的子集，即可构造不等式求得结果. 【详解】，由题意可得相邻最低点距离个周期，即，， 由得：，， 即， 所以， ，， 即，，解得：. 故选：C. 【变式7-1】在上，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用正弦函数性质，结合图象解题 【详解】在[0，2π]上，函数的定义域满足， 即，结合图象，知道． 故选：B. 【变式7-2】已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数性质，再进行分情况讨论，最后对得出的不同取值范围取并集即可. 【详解】若函数在区间内无零点，则 此时需要分情况讨论: 当时，解得， 又因为，所以当时，可得. 当时，解得. 又因为所以当时，可得， 综上可知，的取值范围为 故选：D. 【变式7-3】已知是定义在上的奇函数，且，若，，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用所给条件求出的最小正周期，再转化到给定的函数值求范围即可. 【详解】由，是定义在上的奇函数，可得， 故的最小正周期为4，且已知， 故，，，已知， 则，解得. 故选：D 【变式7-4】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的性质可将问题转化为，利用三角函数的性质求解即可. 【详解】的定义域满足， 故，由于，所以， 故，解得， 故函数的定义域为 故选：C 【考点题型八】正余弦函数的周期、奇偶、对称单调问题 技巧：正弦型函数的性质． 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1）定义域：（2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数． 余弦型函数的性质． 函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到： （1）定义域：（2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间． （4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 【例8】已知函数在区间上单调递减且， (1)求的解析式； (2)求使成立的的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意先可以确定函数的最小正周期，进而得到的值，进而代值计算，从而求解； （2）根据正弦函数的性质解不等式即可. 【详解】（1）在区间上单调递减， 且， 的最小正周期， 解得. ， 由“五点法”可知. . （2）由（1）可知， ， ， 解得， 的取值范围是. 【变式8-1】设函数， (1)若将图象向左平移个单位，再将平移后图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数，求在上的值域. (2)若，且，求的值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用三角函数的图象变换求出，进而求出指定区间上的值域. （2）由（1）求出，再由结合和角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）依题意， ，将图象向左平移个单位，得， 于是，当时，，， 则，所以在上的值域为. （2）由（1）知，由，得， 由，得，则， . 【变式8-2】已知函数的部分图象如图所示，点， (1)求的解析式； (2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的最值. 【答案】(1)(2)最小值为，最大值为1 【分析】（1）由图象可得，代入求出，由，结合图象可得，求出，求出函数解析式； （2）根据伸缩和平移变换得到，整体法求出函数在上的最值. 【详解】（1）由图象知. 因为的图象过点，所以， 又，所以，所以. 又的图象过点，由“五点作图法”可得， 所以.所以. （2）由题意知， 当时，， 所以， 则， 所以在区间上的最小值为，最大值为1. 【变式8-3】已知向量. (1)若，且，求的值； (2)设函数，求函数在区间上的最大值以及相应的的值. 【答案】(1) (2)的最大值为，此时． 【分析】（1）根据向量共线满足的坐标关系，即可得，结合同角关系即可求解， （2）根据数量积的坐标运算，结合三角恒等变换可得，即可利用整体法求解. 【详解】（1），，，，，，． （2）由题意得， ，， 故当时，即，取最大值， 的最大值为，此时． 【变式8-4】已知函数，其中，.记的最小正周期为，. (1)求的值； (2)若与轴相邻交点间的距离为，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)的最小值为,的最大值为 【分析】（1）首先利用和差公式进行化简，再结合正弦型函数的周期性以及即可求得的值； （2）首先根据题意得出的最小正周期，进而可得，再利用正弦函数的图像与性质即可求得最值. 【详解】（1）由两角和与差的正弦公式可得, 由于，则的最小正周期为， , 因为，所以； （2）因为与轴相邻的两交点间的距离为， 所以的最小正周期为， 所以，即， 当时，， 结合正弦函数的图像与性质可得：当即时，取最小值, 当即时，取最大值. 【考点题型九】根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 技巧：单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． 单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间． 【例9】已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件求出的范围，结合正弦函数的性质列不等式可求结论. 【详解】因为，， 所以， 由已知，或， 所以或， 所以的取值范围是. 故选：B. 【变式9-1】已知为偶函数，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若的最小正周期为，则 C．若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为 D．若，则的最小值为2 【答案】D 【分析】先根据是偶函数求判断A选项；根据最小正周期公式计算可以判断B选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D选项. 【详解】为偶函数， 则A选项正确； 若的最小正周期为，由则，B选项正确； 若在区间上有且仅有3个最值点， 则,C选项正确； 若 ， 则或，， 则 或， 又因为，则的最小值为，D选项错误. 故选:D. 【变式9-2】函数在（）内没有最小值，且存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过取特殊值排除验证即可. 【详解】当时，此时 ， ，，不满足存在，使得，故排除A,D 当时，此时， ，， ， ，，此时不满足题意，故排除C 综上所述B正确 故选：B 【变式9-3】已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，求出，由此可得的最大、最小值. 【详解】由函数的值域为， 得，得， ， 得，由定义域为， 所以， ， 所以的取值范围是. 故选：D.    【变式9-4】已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合对称性解得，对比选项检验即可. 【详解】由题意可得：，解得， 根据各选项，代入检验知：当取1时，，即只有选项C符合题意. 故选：C. 【考点题型十】正切函数的周期、奇偶、对称单调问题 技巧：1、定义域： 2、值域： 由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线． 3、周期性：周期函数，最小正周期是 4、奇偶性：奇函数，即． 5、单调性：在开区间，内，函数单调递增 【例10】已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据正切函数的图象和性质，解不等式； （2）首先求函数的值域，再换元为函数，转化为讨论对称轴与定义域的关系，求函数的最小值问题，即可求解. 【详解】（1）不等式，即，则， 从而， 解得， 故不等式的解集为. （2）因为，所以，所以， 所以，即. 设，则. 设函数，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得，又，所以，即不符合题意. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 又，所以. 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 又，所以. 综上，的取值范围是. 【变式10-1】设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 【答案】(1)定义域是，最小正周期，单调增区间是（）.(2)；(3)答案见解析. 【分析】（1）由整体代换即可求出正切函数的定义域，由周期公式可得最小正周期，由单调性解不等式可得单调增区间. （2）由（1）中的单调性解不等式，可得其解集. （3）利用五点作图法即可得一个周期内的简图. 【详解】（1）由， 得（）， ∴的定义域是, ∵， ∴最小正周期， 由（），得（）. ∴函数的单调增区间是（）. 所以函数定义域是，最小正周期，单调增区间是（）. （2）由，得（）. 解得（）. ∴不等式的解集是. （3）令，则； 令，则； 令，则. ∴函数的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是，. 从而得函数在一个周期内的简图如下： 【变式10-2】已知函数（）的最小正周期为． (1)求的单调递增区间； (2)若，，求． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）借助正切函数的周期性可得的解析式，利用正切型函数的单调性计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系可得，结合诱导公式即可得解. 【详解】（1）由题可知，解得，所以， 令，， 可得，， 所以的单调递增区间为，； （2），即， 因为，所以， 所以， 所以． 【变式10-3】已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，且， 即的范围为． （3）函数的最小正周期为， 关于的方程在区间上至少存在2024个根， 故当时，关于的方程至少有2024个根， 即关于的方程，，至少有2024个根， 即当时，关于的方程，，至少有2024个根． 且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024， 故至少包含2023个周期，即， 所以． 【变式10-4】设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期、渐近线及对称中心； (2)解不等式. 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据正切函数的性质，采用整体代换的方法，即可求得答案； （2）结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知函数， 令，则， 故的定义域为，最小正周期为; 令，即， 故渐近线为； 令， 故对称中心为； （2）由，得， 故， 即不等式的解集为 【考点题型十一】给角求值、给值求值、给值求角问题 技巧：给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． 【例11】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式求解． 【详解】， 故选：B． 【变式11-1】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义可得，即可由诱导公式化简求解. 【详解】由题意可知， ， 故选：A 【变式11-2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】同过诱导公式和同角三家函数间的基本关系，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 【变式11-3】已知，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意利用诱导公式可得，结合角的范围分析求解. 【详解】因为，则，可得， 且，所以或. 故选：AD. 【变式11-4】若，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算即得. 【详解】依题意，. 故选：A 【考点题型十二】辅助角公式的应用 技巧：通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 【例12】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用差角公式展开，再切化弦，借助辅助角公式和诱导公式计算即可. 【详解】 ． 【变式12-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用辅助角公式，二倍角公式及其诱导公式综合化简求值即可 【详解】由于 ， 代入原式中得：，解得：； 又. 故选：D 【变式12-2】若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，结合正弦型函数的零点计算即可得解. 【详解】由， 令，则， 则由题意知，解得. 故选：A. 【变式12-3】已知函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与的关系，可采用换元法转化为关于的二次函数最大值的求解问题，根据的范围和二次函数性质可求得结果. 【详解】，， 令，则， 则，， 即的最大值为. 故选：A. 【变式12-4】曲线与的交点中，与y轴最近的点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先构造关于x的三角方程，利用辅助角公式求得x的值，进而求得与y轴最近的点的横坐标. 【详解】由，可得， 即，则， 则，即， 故取最小值时，. 故选：B 【考点题型十三】根据三角函数图象求解析式 技巧：确定函数（）的解析式的步骤 （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，． （2）求，确定函数的周期，则． （3）求，常用方法有 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 【例13】已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的位置特征，不妨令，，又，故，解得，在函数图象上，代入计算，求出，从而求出. 【详解】令，解得或， 是与曲线的两个相邻的交点， 且在单调递增区间上，在单调递减区间上，在左边， 不妨设，， 两式相减得， 又，故，所以，解得， 故， 又图象可知，在函数图象上， 故，解得， 所以. 故选：C 【变式13-1】已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数图像求出函数的图像距离原点最近的点的坐标，即可确定的值. 【详解】如图设函数的部分图像与轴的交点为，    由图可知，所以， 所以点与点关于点对称， 设，则，解得， 因为将函数函数的图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，且图象关于原点对称， 所以平移后的函数为奇函数，即相当于把的图象与轴最近的交点平移到坐标原点即可，由图可知此点为， 所以， 故选：B. 【变式13-2】函数的图象如下，则其解析式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象可知，由此可判断BCD不可能，结合函数周期说明A中图象可能正确，即可得答案. 【详解】结合题意以及各选项可知A可为2， 结合图象可知， 则对于B，，由此可判断B中解析式不可能； 对于C，，由此可判断C中解析式不可能； 对于D，，由此可判断D中解析式不可能； 对于 A，由于，即可取2； 由，则，由于，可取， 此时，A可能， 故选：A 【变式13-3】如图，已知函数，点，是直线与函数的图象的两个交点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用的图象与性质，可求得，结合图象，利用，可求得，即可求解. 【详解】设，由，得到， 当，由，得到， 所以，得到， 又，结合图象有， 得到，所以， 当时，，由， 得到， 所以，得到， 又，结合图象有， 得到，所以， 综上，，所以， 故选：C. 【变式13-4】已知函数的部分图象如图所示，若所在平面不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象求得，并确定对应值域为，令，将问题化为在上恒成立，求左侧最小值，即可得参数范围. 【详解】由图得，所以，得， 所以，将代入，得， 所以，于是，即. 又，所以，所以. 因为，所以，则. 所以，令，则. 不等式在上恒成立，即在上恒成立. 若且，所以即可， 又，易知在上单调递增， 所以时，有，故. 故选：B 【考点题型十四】三角函数图象的变换 技巧：对，，的三点说明 （1）越大，函数图象的最大值越大，最大值与是正比例关系． （2）越大，函数图象的周期越小，越小，周期越大，周期与为反比例关系． （3）大于0时，函数图象向左平移，小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”． 【例14】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】写出的解析式，根据正弦函数的性质确定的表达式，然后求得最小值正数即可． 【详解】由题意，它是奇函数， 则，，， ，则其最小值是， 故选：C． 【变式14-1】为得到函数的图象，只需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据三角函数图象变换的知识确定正确答案. 【详解】， 所以将函数的图象向左平移个单位长度， 得到. 故选：A 【变式14-2】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的平移可得，即可根据对称得求解. 【详解】由题意可得， 由于的图象关于点对称，故， 故,解得， 取，为最小值， 故选：A 【变式14-3】函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移（）个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 【答案】C 【分析】利用二倍角公式化简可得，由最小正周期可求得，可判断A错误，将点代入验证可得B错误，由平移规则并利用其对称性可得C正确，由三角函数值域可得的最大值为，即D错误. 【详解】易知 ； 对于A，由最小正周期为可得，即可得，即A错误； 对于B，由A可得，将代入检验可得，可得B错误； 对于C，若将函数图象向右移（）个单位可得到， 若的图象关于轴对称，则可得，即， 又因为，则当时，的最小值为，故C正确； 对于D，若，，即， 所以函数的最大值为，即D错误. 故选：C 【变式14-4】函数，则下列结论正确的有（    ） ①函数的最大值为； ②函数的一个对称中心为； ③函数在上单调递减； ④，将图象向右平移单位，再向下平移个单位可得到的图象. A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】先化简函数为，再利用正弦函数的性质逐项判断. 【详解】 ， ①函数的最大值为，故正确； ②易知函数的对称中心的纵坐标为，故错误； ③由，得， 因为在上单调递增，故函数在上单调递增，故错误； ④由，将图象向右平移单位得到 的图象， 再向下平移个单位可得到的图象，故正确； 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$