第24章 圆 单元测试卷2024--2025学年人教版数学九年级上册

人教新版九年级上册《第24章 圆》单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（　　） A．27° B．108° C．116° D．128° 2．（3分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（　　） A．100° B．110° C．70° D．109° 3．（3分）如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，圆心O到弦AB的距离OC＝3，则弦AB的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（3分）如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（　　） A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的圆 C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆 5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（　　） A． B．2 C．2 D．8 6．（3分）下列说法中正确的个数有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径一定垂直于弦； ③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴； ④直径是弦； ⑤长度相等的弧是等弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（3分）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　） A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm 8．（3分）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（　　） A．∠ACB＝90° B．∠BDC＝∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD＝180° 9．（3分）如图，过点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC．过上一点D作⊙O的切线，交AB，AC于点E，F．若∠A＝90°，△AEF的周长为4，则BC的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（　　） A．3 B．1+ C．1+3 D．1+ 二、填空题（每题3分，共21分） 11．（3分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∠BAD＝55°，则∠ACB＝　 　°． 12．（3分）如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为　 　厘米． 13．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE等于　 　． 14．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝　 　． 15．（3分）小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是 　 　cm． 16．（3分）已知：⊙O半径OA＝1，弦AB、AC长分别为、，则∠BAC＝　 　． 17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为y＝x+t，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的值是 　 　． 三、解答题 18．（7分）如图，在△AOC中，∠AOC＝90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点B，且OB＝BC，求∠A的度数． 19.（7分）如图，中式古典园林中的月亮门的大部分可以看作是以点O为圆心的圆的一部分，其中地面入口宽AB为1.8米，高AC为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离EG为2.9米，求月亮门所在圆O的半径为多少米？ 20．（8分）如图AB是⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°． （1）求证：DP是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为1cm，求图中阴影部分的面积． 21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC． （1）求证：∠CAB＝∠BCD； （2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长． 22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．BC平分∠ABD，过点B作BD⊥l于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）连接OD，若∠ABD＝60°，CD＝3，求OD的长． 23．（11分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，连接AD． （1）求证：AD∥OC． （2）小聪与小明在做这个题目的时候，对∠CDA与∠AOC之间的关系进行了探究： 小聪说，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值； 小明说，∠CDA+∠AOC的值随∠A度数的变化而变化． 若∠CDA+∠AOC的值为y，∠A度数为x，你认为他们之中谁说的是正确的？若你认为小聪说的正确请你求出这个固定值：若你认为小明说的正确，请你求出y与x之间的关系． 人教版九年级上册《第24章 圆》单元测试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（　　） A．27° B．108° C．116° D．128° 【分析】直接由圆周角定理求解即可． 【解答】解：∵∠A＝54°， ∴∠BOC＝2∠A＝108°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 2．（3分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（　　） A．100° B．110° C．70° D．109° 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠D＝70°， ∴∠B＝180°﹣70°＝110°， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 3．（3分）如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，圆心O到弦AB的距离OC＝3，则弦AB的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】利用点到直线的距离的定义得到OC⊥AB，则根据垂径定理得到AC＝BC，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长． 【解答】解：∵圆心O到弦AB的距离OC＝3， ∴OC⊥AB， ∴AC＝BC， 在Rt△OAC中，∵OA＝5，OC＝3， ∴AC＝＝4， ∴AB＝2AC＝8． 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 4．（3分）如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（　　） A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的圆 C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆 【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【解答】解：∵PB⊥l于B， ∴以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切． 故选：B． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（　　） A． B．2 C．2 D．8 【分析】作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2． 【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图， ∵OH⊥CD， ∴HC＝HD， ∵AP＝2，BP＝6， ∴AB＝8， ∴OA＝4， ∴OP＝OA﹣AP＝2， 在Rt△OPH中，∵∠OPH＝∠APC＝30°， ∴∠POH＝60°， ∴OH＝OP＝1， 在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1， ∴CH＝＝， ∴CD＝2CH＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质． 6．（3分）下列说法中正确的个数有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径一定垂直于弦； ③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴； ④直径是弦； ⑤长度相等的弧是等弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆的性质、直径的性质、等弧的定义一一判断即可； 【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等；错误．必须在同圆或等圆中； ②平分弦的直径一定垂直于弦；错误，此弦不是直径； ③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；错误，应该是每一条直径所在的直线都是对称轴； ④直径是弦；正确； ⑤长度相等的弧是等弧．错误．能够完全重合的两条弧是等弧； 故选：A． 【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆的性质、直径的性质、等弧的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．（3分）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　） A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm 【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【解答】解：如图，连接AC，AO， ∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm， ∴AM＝AB＝×8＝4cm，OD＝OC＝5cm， 当C点位置如图1所示时， ∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB， ∴OM＝＝＝3cm， ∴CM＝OC+OM＝5+3＝8cm， ∴AC＝＝＝4cm； 当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm， ∵OC＝5cm， ∴MC＝5﹣3＝2cm， 在Rt△AMC中，AC＝＝＝2cm． 故选：C． 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 8．（3分）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（　　） A．∠ACB＝90° B．∠BDC＝∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD＝180° 【分析】先利用圆的定义可判断点A、B、C、D在⊙O上，如图，然后根据圆周角定理对各选项进行判断． 【解答】解：∵点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等， ∴点A、B、C、D在⊙O上，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，所以A选项的结论正确； ∵∠BDC和∠BAC都对， ∴∠BDC＝∠BAC，所以B选项的结论正确； 只有当CD＝CB时，∠BAC＝∠DAC，所以C选项的结论不正确； ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD＝180°，所以D选项的结论正确． 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 9．（3分）如图，过点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC．过上一点D作⊙O的切线，交AB，AC于点E，F．若∠A＝90°，△AEF的周长为4，则BC的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【分析】根据切线长定理得到AC＝AB，再根据切线长定理、三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵AB、AC为⊙O的切线， ∴AC＝AB， ∵FD、FC为⊙O的切线， ∴FD＝FC， 同理，ED＝EB， ∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝4， ∴AC＝AB＝2， ∴BC＝AB＝2． 故选：B． 【点评】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键． 10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（　　） A．3 B．1+ C．1+3 D．1+ 【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题； 【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H． ∵AQ＝QP， ∴OQ⊥PA， ∴∠AQO＝90°， ∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK， 当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解） 在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2， ∴OH＝OC＝1，CH＝， 在Rt△CKH中，CK＝＝， ∴CQ的最大值为1+， 故选：D． 【点评】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 二、填空题（每题3分，共21分） 11．（3分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∠BAD＝55°，则∠ACB＝　35　°． 【分析】连接BD，根据圆周角定理的推论得到∠ABD＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ADB，根据圆周角定理解答即可． 【解答】解：连接BD， ∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∵∠BAD＝55°， ∴∠ADB＝90°﹣55°＝35°， 由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB＝35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理的解题的关键． 12．（3分）如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为　　厘米． 【分析】先求出弦AC的长，再过点O作OB⊥AC于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则OB＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可． 【解答】解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9， ∴AC＝9﹣3＝6， 过点O作OB⊥AC于点B，则AB＝AC＝×6＝3cm， 设杯口的半径为r，则OB＝r﹣2，OA＝r， 在Rt△AOB中， OA2＝OB2+AB2，即r2＝（r﹣2）2+32， 解得r＝cm． 故答案为：． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 13．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE等于　69°　． 【分析】由∠BOD＝138°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，又由圆的内接四边四边形的性质，求得∠BCD的度数，继而求得∠DCE的度数 【解答】解：∵∠BOD＝138°， ∴∠A＝∠BOD＝69°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝111°， ∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝69°． 故答案为：69°． 【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用． 14．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝　2　． 【分析】设⊙O切AC于点E，切BC于F，切AB于G，连接OE，OF，由切线的性质易证四边形CEOF为正方形，得到CE＝CF＝r，由切线长定理得AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r，利用6﹣r+8﹣r＝10可求出r． 【解答】解：如图，⊙O切AC于点E，切BC于F，切AB于G，连接OE，OF， ∴OE⊥AC，OF⊥BC， ∴正方形CEOF为正方形， ∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10， 设⊙O的半径为r，则CE＝CF＝r， ∴AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r， ∴AB＝AG+BG＝AE+BF，即6﹣r+8﹣r＝10， 解得：r＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了圆的切线的性质和切线长定理：圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等．证得四边形CEOF为正方形是解题的关键． 15．（3分）小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是 　3　cm． 【分析】设圆形零件的圆心是O，连接OA，OB，由切线的性质定理得到OB⊥AB，由切线长定理推出OA平分∠BAC，求出∠BAC＝180°﹣60°＝120°，得到∠OAB＝60°，由锐角的正切求出OB＝3tan60°＝3（cm），得到这个零件的半径是3cm． 【解答】解：设圆形零件的圆心是O，连接OA，OB， ∵⊙O与直尺，三角板均相切，切点分别是B和C， ∴OB⊥AB，OA平分∠BAC， ∴∠OAB＝∠BAC， ∵∠BAC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠OAB＝60°， ∵tan∠OAB＝tan60°＝， ∴OB＝3tan60°＝3（cm）， ∴这个零件的半径是3cm． 故答案为：3． 【点评】本题考查切线的性质，切线长定理，解直角三角形，关键是由切线长定理推出∠OAB＝∠BAC． 16．（3分）已知：⊙O半径OA＝1，弦AB、AC长分别为、，则∠BAC＝　75°或15°　． 【分析】画出图形，构造出直角三角形，根据勾股定理求得三角形的边长，求得∠BAO和∠CAO，再求出∠BAC的度数即可． 【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F， ∵AB＝，AC＝， ∴由垂径定理得，AE＝，AF＝， ∵OA＝1， ∴由勾股定理得OE＝，OF＝， ∴∠BAO＝45°， ∴OF＝OA， ∴∠CAO＝30°， ∴∠BAC＝75°， 当AB、AC在半径OA同旁时，∠BAC＝15°． 故答案为：75°或15°． 【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为y＝x+t，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的值是 　2﹣或﹣2≤t＜0　． 【分析】设直线y＝x+t与x轴交于E，与y轴交于D，与圆唯一的公共点为C，圆心为B，连接BC，根据等腰直角三角形 的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：设直线y＝x+t与x轴交于E，与y轴交于D，与圆唯一的公共点为C，圆心为B， 连接BC， 则∠BCE＝90°， ∵点A的坐标为（2，0）， ∴OA＝2， ∴BC＝OB＝， 在y＝x+t中，令x＝0，则y＝t，令y＝0，则x＝﹣t， ∴E（﹣t，0），D（0，t）， ∴OD＝OE， ∴△ODE是等腰直角三角形， ∴∠DEO＝45°， ∴∠EBC＝45°， ∴BE＝， ∴， ∴， 当直线y＝x+t经过点A时， 则有2+t＝0， 解得t＝﹣2， 故答案为：2﹣或﹣2≤t＜0． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质定理是解题的关键． 三、解答题 18．（7分）如图，在△AOC中，∠AOC＝90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点B，且OB＝BC，求∠A的度数． 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠BOC，∠A＝∠ABO，根据三角形外角的性质得出∠ABO＝∠C+∠BOC＝2∠C，求出∠A+∠C＝90°，再求出答案即可． 【解答】解：∵OB＝BC， ∴∠C＝∠BOC， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠ABO， ∵∠ABO＝∠C+∠BOC， ∴∠A＝∠ABO＝2∠C， ∵∠AOC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∴3∠C＝90°， ∴∠C＝30°， ∴∠A＝2∠C＝60°． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 19.（7分）如图，中式古典园林中的月亮门的大部分可以看作是以点O为圆心的圆的一部分，其中地面入口宽AB为1.8米，高AC为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离EG为2.9米，求月亮门所在圆O的半径为多少米？ 【分析】设圆O的半径为r米，根据垂径定理求出AF，将OF用含r的代数式表示出来，在Rt△AFO中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【解答】解：如图，连接OA． 设圆O的半径为r米，则OA＝OE＝r米， ∵EF⊥AB，AB＝1.8米， ∴AF＝AB＝0.9米， ∵FG＝AC＝0.2米，EG＝2.9米， ∴OF＝EG﹣OE﹣FG＝（2.7﹣r）米， 在Rt△AFO中利用勾股定理，得AF2+OF2＝OA2， ∴0.92+（2.7﹣r）2＝r2，解得r＝1.5． 答：月亮门所在圆O的半径为1.5米． 【点评】本题考查垂径定理的应用，掌握垂径定理有勾股定理是解题的关键． 20．（8分）如图AB是⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°． （1）求证：DP是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为1cm，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得出∠AOD＝120°，得出∠DOP＝60°，∠APD＝30°，得∠ODP＝90°，即可证明DP是⊙O的切线； （2）用△ODP的面积减去扇形BOD的面积即可求出图中阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵∠ACD＝60°， ∴∠AOD＝2∠ACD＝120°， ∴∠DOP＝180°﹣120°＝60°， ∵∠APD＝30°， ∴∠ODP＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴OD⊥DP， ∵OD为半径， ∴DP是⊙O切线； （2）解：∵∠ODP＝90°，∠P＝30°，OD＝1cm， ∴OP＝2cm，DP＝ cm． ∴图中阴影部分的面＝S△ODP﹣S扇形BOD ＝•OD•DP﹣ ＝×1×﹣ ＝（cm2）． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，扇形面积的计算等知识，正确切线的判定定理与扇形的面积计算公式是解决问题的关键． 21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC． （1）求证：∠CAB＝∠BCD； （2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长． 【分析】（1）根据等弧对等角证明即可； （2）连接OC，根据垂径定理得到CE＝DE，再利用勾股定理计算出CE，然后计算2CE即可． 【解答】（1）证明：∵直径AB⊥弦CD， ∴弧BC＝弧BD． ∴∠A＝∠BCD； （2）连接OC， ∵直径AB⊥弦CD， ∴CE＝ED． ∵直径AB＝4， ∴CO＝OB＝2， ∵BC＝2， ∴△OCB是等边三角形， ∴∠COE＝60°， ∴∠OCE＝30°， ∴OE＝OC＝1， 在Rt△COE中， ∴CE＝＝， ∴CD＝2CE＝2． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理． 22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．BC平分∠ABD，过点B作BD⊥l于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）连接OD，若∠ABD＝60°，CD＝3，求OD的长． 【分析】（1）连接OC，由题意可证OC∥BD，进而证明CD是⊙O的切线； （2）连接OD，过点O作OG⊥BD于点G，得矩形OCDG，可得OG＝CD＝3，由锐角三角函数的概念求出OB的长，然后由勾股定理可得出答案． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵BC平分∠ABD， ∴∠OCB＝∠CBD， ∴∠OCB＝∠CBD， ∴OC∥BD， ∵BD⊥DC， ∴OC⊥DC， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：连接OD，过点O作OG⊥BD于点G， 得矩形OCDG， ∴OG＝CD＝3， 在Rt△OBG中，∠ABD＝60°，OG＝3， ∴sin60°＝， ∴OB＝＝2， ∴OC＝OB＝2， 在Rt△OCD中，根据勾股定理得： OD＝＝＝． 【点评】本题考查的是切线的判定定理、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 23．（11分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D． （1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由； （2）若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长． 【分析】（1）根据在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的圆周角相等，可以判断出BC、MD的位置关系； （2）根据垂径定理和AE＝16，BE＝4，可以得到AB和OE的长度，然后根据勾股定理可以求得CE的长度，进而求得CD的长度． 【解答】解：（1）BC、MD的位置关系是平行， 理由：∵∠M＝∠D， ∴， ∴∠M＝∠MBC， ∴BC∥MD； （2）连接OC， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝16，BE＝4， ∴∠OEC＝90°，EC＝ED，AB＝AE+BE＝20， ∴OC＝10，OE＝OB﹣BE＝6， ∴CE＝， ∴CD＝2CE＝16， 即线段CD的长是16． 【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解题此类问题的关键是明确题意，根据所要证明或求解的问题找出相应的条件，利用圆周角定理、垂径定理和勾股定理的相关知识解答． 4．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，连接AD． （1）求证：AD∥OC． （2）小聪与小明在做这个题目的时候，对∠CDA与∠AOC之间的关系进行了探究： 小聪说，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值； 小明说，∠CDA+∠AOC的值随∠A度数的变化而变化． 若∠CDA+∠AOC的值为y，∠A度数为x，你认为他们之中谁说的是正确的？若你认为小聪说的正确请你求出这个固定值：若你认为小明说的正确，请你求出y与x之间的关系． 【分析】（1）连接OD，要证明AD∥OC，只要证明∠ODA＝∠DOC即可； （2）小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值，根据AD∥OC，证明∠CDA+∠AOC＝270°即可． 【解答】（1）证明：连接OD，如图所示， ∵BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D， ∴∠ODC＝∠OBC＝90°， 在Rt△ODC和Rt△OBC中， ∵OD＝OB，OC＝OC， ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）． ∴∠DOC＝∠BOC． ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD． ∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°， ∴∠ODA+∠OAD＝∠DOC+∠BOC ∴∠ODA＝∠DOC， ∴AD∥CO． （2）解：小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值， ∵∠CDA+∠AOC＝y，∠A＝x， ∴∠ODA＝∠OAD＝x，∠ODC+∠ODA+∠AOC＝y， ∵∠ODC＝90°， ∴90°+x+∠AOC＝y， ∵AD∥CO， ∴∠OAD+∠AOC＝180°， 即x+∠AOC＝180°， ∴90°+180°＝y， 即y＝270°． ∴小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定值． 【点评】此题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，根据已知得出△ODC≌△OBC是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$