6.4数列求和课堂测试-2025届高三数学一轮专题复习

班级：_____ 考号：____________ 姓名：____________ 【章节】6.4数列求和 课堂测试 【用时】15分钟 一、单选题 1．（2020·内蒙古包头·二模）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（    ） A．100 B．105 C．110 D．115 1．D 【解析】根据函数满足，利用倒序相加法求出，再求前20项和. 【详解】因为函数满足， ①， ②， 由①②可得，， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题. 2．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（    ）    A． B． C． D． 2．B 【分析】由题可得，后由裂项求和法可得答案. 【详解】注意到，则. 则 . 故选：B 3．（2024·浙江杭州·二模）设数列满足．设为数列的前项的和，则（   ） A．110 B．120 C．288 D．306 3．A 【分析】利用分组求和法，结合已知，可得答案. 【详解】 . 故选：A. 4．（2022高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2021=（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．C 【分析】根据递推关系式得出数列是周期为6的周期数列，利用周期性即可求解. 【详解】∵an+1=an-an-1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=-1，a7=1，a8=2，…， 故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0， 故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+（-1）+（-2）=1. 故选：C. 5．（2024·福建泉州·一模）记数列的前n项和分别为，若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是等差数列，可设公差为，由， 可得，解得：， 所以， 再由得：， 则数列的前n项和分别为， 即， 所以， 故选：A. 6．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列满足，则数列的前5项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 当时， ， ， 两式相减可得：，所以， 又时，，所以不满足， 所以，设，数列的前项和， 所以， 设数列的前5项和为： . 故选：D. 二、多选题 7．（21-22高二下·全国·单元测试）已知数列的前n项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 5．BCD 【分析】由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，由数列的裂项相消求和可得. 【详解】解：由即为，可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即， 又，可得 故选：BCD 8．（2023·辽宁·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（    ）． A． B． C． D． 6．BC 【分析】运用累和法、裂项相消法，结合等差数列的前n项和公式逐一判断即可. 【详解】由题意可知：，于是有， 显然可得：， ，因此选项A不正确，选项B正确； 当 时，， 显然适合上式，，因此选项D不正确； ， ，因此选项C正确， 故选：BC 三、填空题 9．（2024·山东济南·三模）数列满足，若，，则数列的前20项的和为 ． 8．210 【分析】数列的奇数项、偶数项都是等差数列，结合等差数列求和公式、分组求和法即可得解. 【详解】数列满足，若，，则， 所以数列的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列 所以数列的前20项的和为 . 故答案为：210. 四、解答题 11．（2024·陕西渭南·三模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 12．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且. (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 11．(1) (2)． 【分析】（1）设等比数列的公比为，由已知条件和等比数列基本量的计算，求出数列首项和公比，得通项公式； （2）利用错位相减法可得数列的前n项和． 【详解】（1）设数列的公比为， ∵，， ∴， 即，∴（舍去）， ∴，即， ∴． （2）∵，∴． ∴， ， 两式相减得， ∴． 12．(1)数列的通项公式为； (2)数列的前20项和为. 【分析】（1）根据等差中项求出，再根据求出公差，最后根据等差数列的通项公式，求出的通项公式； （2）先写出，对为偶数的情况进行裂项，再用分组求和法求出. 【详解】（1）因为为等差数列，且与的等差中项为5， 所以，解得， 因为， 所以，解得， 因为，所以， 所以， 故数列的通项公式为； （2）由题知， 即 所以 ， 故数列的前20项和为. 一、单选题 1．（2022·安徽·模拟预测）已知数列，的通项公式分别为，，现从数列中剔除与的公共项后，将余下的项按照从小到大的顺序进行排列，得到新的数列，则数列的前150项之和为（    ） A．23804 B．23946 C．24100 D．24612 1．D 【分析】易得数列为偶数列，为数列，故只需分析偶数列中的项即可 【详解】因为，，，故数列的前项中包含的前项，故数列的前150项包含的前项排除与公共的8项. 记数列，的前项和分别为，， 故选：D. 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以， 因为，所以，， 即， 所以数列是等差数列， 又，，所以， 所以数列的公差为，首项为， 所以，所以， 所以，则， 所以. 故选：C. 二、多选题 7．（2021·湖南衡阳·一模）设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”.则下列数列为“吉祥数列”的有（    ） A． B． C． D． 7．BC 【分析】按照求和方法对各个选项逐一求和验证即可得出结论. 【详解】对于A，，，， 所以不为常数，故A不正确； 对于B，由并项求和法知：，，，故B正确； 对于C，，，， 所以，故C正确； 对于D，，，， 所以不为常数，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 9．（2023·上海黄浦·三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则 ．    9．/ 【分析】根据给定条件，求出数列的递推关系，利用累加法求出通项，再利用裂项相消法求和作答. 【详解】依题意，在数列中，， 当时，，满足上式， 因此，，数列的前项和为， 则， 所以. 故答案为： 10．（2022·上海·模拟预测）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆都与圆相互外切，以表示圆的半径，已知为递增数列，若，则数列的前n项和为 ． 10． 【分析】根据图像结合几何知识可证，利用错位相减法求数列的前n项和． 【详解】的倾斜角，设圆、与直线的切点分别为，连接，过作，垂足为， 则 ∵，整理得 数列是以首项，公比的等比数列，即 ∴，设数列的前n项和为，则有： 两式相减得： 即 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 班级：_____ 考号：____________ 姓名：____________ 【章节】6.4数列求和 课堂测试 【用时】15分钟 一、选择题 1．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（    ） A．100 B．105 C．110 D．115 2．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（    ）    A． B． C． D． 3．设数列满足．设为数列的前项的和，则（   ） A．110 B．120 C．288 D．306 4．已知数列{an}满足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2021=（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．记数列的前n项和分别为，若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 6．设数列满足，则数列的前5项和为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知数列的前n项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 8．（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 9．数列满足，若，，则数列的前20项的和为 ． 三、解答题 11．已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 12．已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且. (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 选做： 1．已知数列，的通项公式分别为，，现从数列中剔除与的公共项后，将余下的项按照从小到大的顺序进行排列，得到新的数列，则数列的前150项之和为（    ） A．23804 B．23946 C．24100 D．24612 2．已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 3．设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆都与圆相互外切，以表示圆的半径，已知为递增数列，若，则数列的前n项和为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$