精品解析：上海市宝山区实验学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

上海市宝山区实验学校2024学年第一学期八年级数学期中考试 2024.11 一、填空题（每题2分，共30分） 1. 计算：________． 2. 计算：______． 3. 写出二次根式的一个有理化因式是________． 4. 不等式x﹣2＜x的解集是_____． 5. 方程的根是__________． 6. 关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为________． 7. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则的取值范__________． 8. 在实数范围内分解因式：___________． 9. 函数的定义域是 __________________． 10. 已知函数，若，则________． 11. 如果是正比例函数，则k=________________． 12. 如果正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是________． 13. 函数的图像在每一象限内，y的值随x的增大而__________． 14. 某工厂废气年排放量450万立方米，为了改善大气环境质量，决定分二期治理，使年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，每期减少的百分率是__________． 15. 如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y＝(k≠0)与△ABC有交点，则k的取值范围是____． 二、选择题（每题3分，共15分） 16. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 17. 下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( ) A. B. C. D. 18. 下列说法正确的个数是（ ） ①是x的函数；②等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成正比例；③已知，则直线经过第二、四象限． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 19. 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 20. 甲、乙俩人在同一笔直的公路上步行从A地去往B地，已知甲、乙俩人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲、乙俩人的距离y（千米）与甲步行的时间（小时）的函数关系图象如图所示，下列说法正确的个数是（ ） ①乙的速度为7千米/时； ②乙到终点时甲、乙相距8千米； ③当乙追上甲时，两人距A地21千米； ④A、B两地距离27千米． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、简答题（每题5分，共20分） 21. 计算： 22. 计算： 23. 用配方法解方程： 24. 解方程： 四、解答题（第25、26题每题6分，第27、28题每题7分，第29题9分，共35分） 25. 先化简，再求值：已知,求的值 26. 已知与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当时，求y的值； （3）当时，求x的取值范围． 27. 正比例函数的图像和反比例函数的图像相交于A、B两点，点A在第二象限，点A的横坐标为，作轴，垂足为D，O为坐标原点，． （1）分别求正比例和反比例函数解析式； （2）若x轴上有点C，且，求C点的坐标． 28. 如图，现准备用32米长的木板建有关面积为130平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一道1米宽的小门． （1）如果墙长15米，求仓库的长和宽； （2）如果墙长a米，在离开墙9米开外仓库一侧修条小路，那么墙长至少要多少米？ 29. 如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． （1）求点的坐标和反比例函数的解析式； （2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； （3）在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市宝山区实验学校2024学年第一学期八年级数学期中考试 2024.11 一、填空题（每题2分，共30分） 1. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，将被开方数分解为完全平方数与剩余因数的乘积，即可完成化简． 【详解】解：= ． 2. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 3. 写出二次根式的一个有理化因式是________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以的一个有理化因式是． 【详解】解：×＝（）2＝x＋y， 故的一个有理化因式是 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．本题二次根式有理化主要利用平方公式． 4. 不等式x﹣2＜x的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解集． 【详解】x-2＜x， （-1）x＞-2， x＞-， x＞-2-2． 故答案为x＞-2-2． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式和分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5. 方程的根是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考出来解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 6. 关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】将x＝0代入方程即可求出m的值． 【详解】解：将x＝0代入， ∴， ∴， ∵m＋1≠0，即m≠﹣1 ∴m＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为0． 7. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则的取值范__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】∵关于x的方程（k-2）x2-x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k-2≠0且△=（-1）2-4（k-2）•1=-4k+9＞0， 即， 解得：k＜且k≠2， 故答案为：k＜且k≠2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式组是解此题的关键． 8. 在实数范围内分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据公式法解，得出，再根据因式分解即可得出答案． 【详解】解：由，得：， 原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 9. 函数的定义域是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得5-x＞0，解不等式即可求解． 【详解】依题意有5-x＞0， 解得x＜5． 故答案为x＜5． 【点睛】考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 10. 已知函数，若，则________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据已知中的函数解析式，将已知的自变量值（式子）代入化简，求值可得答案． 【详解】∵， ∴， 解得，x=-1, 经检验，x=1是原方程的解. 故答案为：-1. 【点睛】本题考查的知识点是函数的值，解题的关键是建立等式进行求解，难度不大，属于基础题目． 11. 如果是正比例函数，则k=________________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义可得出关于k的方程，解出即可． 【详解】依题意得：k2-2k=0且k-2≠0， 解得k=0， 故答案是：0． 【点睛】本题正比例函数的定义，应注意求出k的值时，不要忘记检验k-2≠0这个条件． 12. 如果正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质（正比例函数，k≠0），当k＜0时，该函数的图象经过第二、四象限）解答． 【详解】解：∵正比例函数 的图象经过第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是熟练的掌握正比例函数的性质． 13. 函数的图像在每一象限内，y的值随x的增大而__________． 【答案】增大 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知对于反比例函数，当时，图像在每一象限内，y随x增大而减小，当时，图像在每一象限内，y随x增大而增大．据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数的图像在每一象限内，y的值随x的增大而增大， 故答案为：增大． 14. 某工厂废气年排放量450万立方米，为了改善大气环境质量，决定分二期治理，使年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，每期减少的百分率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每期减少的百分率是x，根据年排放量由450万立方米经过两年后变为288万立方米建立方程求解即可． 【详解】解：设每期减少的百分率是x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴每期减少的百分率是， 故答案为：． 15. 如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y＝(k≠0)与△ABC有交点，则k的取值范围是____． 【答案】1≤k≤4 【解析】 【详解】如图，设直线y=x与BC交于E点，分别过A. E两点作x轴的垂线，垂足为D， F，EF交AB于M， ∵A点的横坐标为1，A点在直线y=x上， ∴A(1,1)， 又∵AB=AC=2，AB∥x轴，AC∥y轴， ∴B(3,1)，C(1,3)，且△ABC为等腰直角三角形， BC的中点坐标为 )， 即为(2,2)， ∵点(2,2)满足直线y=x， ∴点(2,2)即为E点坐标，E点坐标为(2,2)， ∴k=OD×AD=1，或k=OF×EF=4， 当双曲线与△ABC有唯一交点时，1⩽k⩽4. 故答案为1⩽k⩽4. 二、选择题（每题3分，共15分） 16. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 先化简各选项，根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意，故A错误； B、，符合题意，故B正确； C、，不符合题意，故C错误； D、，不符合题意，故D错误； 故选：B． 17. 下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，进行判断． 【详解】解：A、，方程没有实数根； B、，方程有两个相等的实数根； C、，方程没有实数根； D、△，方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查了用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况的方法． 18. 下列说法正确的个数是（ ） ①是x的函数；②等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成正比例；③已知，则直线经过第二、四象限． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查正比例函数的性质，函数的概念、变量成反比例．根据函数的概念、正比例函数的性质判断即可． 【详解】解：①是的函数，正确； ②等腰三角形的面积一定，则底边和底边上的高的乘积为定值，故它的底边和底边上的高成反比例，原说法错误； ③已知，则，故直线经过第一、三象限，原说法错误， ∴正确的只有①， 故选：B． 19. 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、一次函数、增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数性质．根据反比例函数、一次函数的增减性即可得到答案． 【详解】解：A、函数，当时，函数值y随自变量x的值增大而减小，或当时，函数值y随自变量x的值增大而减小，故A错误，不符合题意； B、函数，当时，函数值y随自变量x的值增大而增大，或当时，函数值y随自变量x的值增大而增大，故B错误，不符合题意； C、函数，函数值y随自变量x的值增大而增大，故C错误，不符合题意； D、函数，函数值y随自变量x的值增大而减小，故D正确，符合题意； 故选：D． 20. 甲、乙俩人在同一笔直的公路上步行从A地去往B地，已知甲、乙俩人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲、乙俩人的距离y（千米）与甲步行的时间（小时）的函数关系图象如图所示，下列说法正确的个数是（ ） ①乙的速度为7千米/时； ②乙到终点时甲、乙相距8千米； ③当乙追上甲时，两人距A地21千米； ④A、B两地距离27千米． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的运用，行程问题的追击题型的等量关系的运用，一元一次方程的运用，解答时分析清楚函数图象的数据之间的关系是关键． ①由函数图象数据可以求出甲的速度，再由追击问题的数量关系建立方程就可以求出乙的速度； ②由函数图象的数据由乙到达终点时走的路程甲走的路程就可以求出结论； ③乙或甲行驶的路程就是乙追上甲时，两人距地的距离； ④求出乙到达终点的路程就是，两地距离． 【详解】解：①由题意，得 甲的速度为：千米时； 设乙的速度为千米时，由题意，得 ， 解得：． 即乙的速度为7千米时， 故①正确； ②乙到终点时甲、乙相距的距离为： 千米，故②正确； ③当乙追上甲时，两人距地距离为： 千米．故③正确； ④，两地距离为： 千米，故④错误． 综上所述：正确的有①②③． 故选：C． 三、简答题（每题5分，共20分） 21. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法、加减法运算，掌握以上知识点是解题的关键．分别化简每个二次根式，进行分母有理化，最后再进行同类二次根式的合并即可得到答案． 【详解】解：原式 22. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接根据二次根式的乘除计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ． 23. 用配方法解方程： 【答案】＝1+，＝1﹣ 【解析】 【分析】根据配方法的步骤解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 方程两边同时除以3，得， 配方，得， 则， 所以，x﹣1＝±， 所以，＝1+，＝1﹣． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 24. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】先移项，然后通过提取公因式（3x-2）进行因式分解； 【详解】 ∴原方程的解是， 【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 四、解答题（第25、26题每题6分，第27、28题每题7分，第29题9分，共35分） 25. 先化简，再求值：已知,求的值 【答案】 【解析】 【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案． 【详解】 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质． 26. 已知与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当时，求y的值； （3）当时，求x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． （1）利用正比例函数的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式； （2）利用（1）中关系式求出自变量为时对应的函数值即可； （3）先求出函数值是和5时的自变量x的值，x的取值范围也就求出了． 【小问1详解】 解：设， 把，代入得， 解得：， ∴， 即； 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∴x的取值范围是． 27. 正比例函数的图像和反比例函数的图像相交于A、B两点，点A在第二象限，点A的横坐标为，作轴，垂足为D，O为坐标原点，． （1）分别求正比例和反比例函数解析式； （2）若x轴上有点C，且，求C点的坐标． 【答案】（1）正比例函数解析式为；反比例函数解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．还考查了坐标与图形的性质．解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）先根据反比例函数和正比例函数的性质求出A点坐标是，B点的坐标是，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，根据，A点坐标是，B点的坐标是，得出，求出x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设反比例函数为，正比例函数为， ∵这两个函数的图象关于原点对称，A点的横坐标为， ∴A和B这两点应该是关于原点对称的，， ∵， ∴，则， ∴A点坐标是，B点的坐标是， 把代入得：， ∴反比例函数解析式为：； 把代入得：， ∴正比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：设， ∵，A点坐标是，B点的坐标是， ∴， 即， 解得， ∴或． 28. 如图，现准备用32米长的木板建有关面积为130平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一道1米宽的小门． （1）如果墙长15米，求仓库的长和宽； （2）如果墙长a米，在离开墙9米开外仓库一侧修条小路，那么墙长至少要多少米？ 【答案】（1）长为13米，则宽为10米 （2）20米 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． （1）设长方形的长为，则宽为米，而仓库的面积为，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题； （2）根据长方形的长宽列出不等式，并解答． 【小问1详解】 设长方形的长为，则宽为米， 由题意，得 解得或 当时，显然，不符合题意，舍去 所以． 答：长方形的长为13米，则宽为10米； 【小问2详解】 解：∵宽为10米米， 此时不符合题意． 当长为20米时，宽为6.5米米， 米， ∴墙长至少要20米． 29. 如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． （1）求点的坐标和反比例函数的解析式； （2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； （3）在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）点在直线，可得出点的横坐标，再将点的坐标代入反比例解析式即可求得反比例解析式； 点评 （2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，可证，由此可得点的坐标，由待定系数法求可求出直线的解析式； （3）根据题意作出图形，由面积比可得，设点的横坐标为，由此表达点，的坐标，进而可得和的长度，得出关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 解：点在直线， ， ， 点在第一象限，且点的纵坐标为， 将点代入直线， ， ； 【小问2详解】 解：根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，如图， ， ， ， 由旋转可知，， ， ，， ， 设直线的函数解析式为， ，即， 直线的函数解析式为； 【小问3详解】 解：如图， ，， ， ，即， ， 设点的横坐标为，由（1）可知双曲线的解析式为：， ，，， ，， ，解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、旋转的性质等知识，（2）证得三角形全等是解题关键，（3）中面积转化为线段的比值是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $