函数的概念整体教学设计报告课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的概念 ——大单元教学整体教学 设计报告 人民教育出版社A版 必修第一册 高中数学 高一年级 《普通高中数学课程标准2017年版（2020年修订）》指出：高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。落实学科核心素养决定了教学设计要从“课时”走向“单元”；教学过程要从“碎片化”走向“整体化”。大单元教学整体设计倡导将教学内容置于单元主题内容中去把控，更多关注教学内容本质，蕴含的思想以及学生素养的培养，弥补课时教学设计中易出现的学生知识割裂之不足，利于学生形成一个完整的知识链条和结构体系， 总 述 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 利于学生数学学科核心素养的发展；同时也可改变教师过分关注知识点的倾向，拓展其教学视野，以及提高教学效率等重要作用。教师对整个单元主题进行一体化构思，增强设计的整体性，引导学生循环往复、螺旋上升地经历数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模等过程。 总 述 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI (一)定位 函数概念的本质是两个变量之间的一种特殊的对应关系，反应运动变化的基本思想。函数不仅是贯穿高中数学课程的主线，而且贯穿在整个中小学数学中。小学阶段，通过具体实例（如：行程问题中s=vt等）体现函数思想。初中阶段，建立变量观点下的函数概念，能在具体情境中认识和理解函数及研究函数的变化，学会研究一类函数的思想方法，进而掌握几类主要函数，使学生获得感性认识。高中阶段，学生会用集合对应的语言刻画变化过程，理解函数概念，特别是理解对应关系的特征，理解符号y=f(x)意义，掌握用函数研究变化规律的方法，建立数与形的联系，是对函数概 一、 “函数的概念”单元概述 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 4 念再认识的一个理性思维阶段。同时函数的概念为进一步学习选择性必修部分的导数，高等数学中的微积分做好准备，起到承上启下的作用。引导学生从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数概念。 一、 “函数的概念”单元概述 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 5 （二）内容 “函数的概念”是人教A版必修第一册第三章《函数的概念与性质》的第一节。 1.经历函数的形成与发展过程，从函数的萌芽（几何观念下的函数）发展到函数的“变量说”（代数观念下的函数），1837年狄利克雷提出了“对应说”（对应关系下的函数），对于一个范围内的每一个x值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数），在康托尔创立集合论的基础上近代函数的定义产生，即“集合—对应说”，从而结束了长达200多年的争论不休。 一、 “函数的概念”单元概述 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 6 2.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会用集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。 3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。 4.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 一、 “函数的概念”单元概述 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 7 （三）内容解析 函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律最为基本的数学语言和工具；是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础，在物理、化学、生物等其他学科中也有广泛应用。函数在高中数学中具有引领和辐射作用，是高中重要的数学知识；是一种重要的数学模型(比如后面要学习的指数函数，对数函数，幂函数等)；是数与形沟通的一个桥梁；是一个交汇平台，数列，不等式，向量，三角函数等都可以在函数这个交汇点得到充分体现；是重要的数学思想方法，函数与方程思想在高中数学中有广泛的应用。 一、 “函数的概念”单元概述 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 8 为帮助学生更全面地认识函数，可从以下三个不同角度进行探索： 1.函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型 通过探索、理解可以用变量与变量之间的依赖关系反应事物规律，这是我们认识现实世界的重要视角。在现实生活中，有些变量之间没有依赖关系(速度和湿度)，有些变量之间存在依赖关系(世界人口数量是随着时间的变化而变化的)，当一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的值。具有这种特征的变量之间的依赖关系在现实世界中大量存在。例如，邮件的重量与邮费等。函数反应变量与变量之间的这种依赖关系，它是刻画现实世界中自然规律的重要模型。 一、 “函数的概念”单元概述 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 9 一、 “函数的概念”单元概述 2.函数是联结两类对象的桥梁 函数是联结两类对象的桥梁，即通常说的映射关系。 3.函数是“图形”，是数与形沟通的桥梁 函数关系是平面上点的集合，又可以看成平面上的一个“图形”。在很多情况下，函数是满足一定条件的曲线。因此，从某种意义上说，研究函数是研究曲线的性质，研究曲线的变化，函数可以看成数形结合的载体（解析几何，向量，函数）之一。在讨论函数问题时，帮助学生养成画函数图象，并且用函数图象思考问题的习惯。树立“图形意识”是掌握函数性质、学好函数的关键。 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 10 二、“函数的概念”单元目标 （一）单元目标 1.经历函数概念的形成过程，能说出几个关键阶段和代表人物；撰写小论文，感悟函数概念形成过程中蕴含的人文精神和科学精神。 2.在“变量说”的基础上，建立“对应关系说”观点下用集合语言表述函数的概念；理解f(x)的含义，能用函数的定义刻画简单具体的函数；在由具体函数情境到一般函数概念的形成过程中，培养学生的数学抽象素养；从函数模型构成要素的角度认识具体函数，并通过函数模型的建立，进一步加深对函数概念的认识。 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 11 二、“函数的概念”单元目标 3.通过学习函数的表示法，进一步理解函数的概念，深化对具体模型的认识。同时，基于高中所涉及的函数大多均可用解析式和图象表示，向学生渗透数形结合思想，培养学生直观想象素养。 4.在参与教师设计的各环节活动中，发展有逻辑的表达交流的能力，积累数学探究活动的经验，提升数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模素养。 本单元的学习具有引领和示范价值，“函数的概念”是高中数学第一个重要概念，为其他概念的形成提供研究思路和方法，也为函数的性质以及基本初等函数的研究奠定基础。 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 12 二、 “函数的概念”单元目标 （二）目标解析 达成上述目标的标志是： 1.了解函数概念从“变量说”最终到“集合—关系说”的发展历程；经历函数概念漫长的讨论与修正，论述函数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件，最终建立清晰、准确的函数定义，逐渐养成用数学思维思考的学习习惯。 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 13 二、 “函数的概念”单元目标 2.学生在熟悉情境和关联情境中，均能抽象对应关系、定义域与值域，归纳共性进而抽象出函数概念，并且能够用实例解释函数的概念；理解对应关系的本质，体会引入符号 f 表示对应关系的必要性；用数学的眼光看待事物，发展数学抽象素养。 3.学生知道解析式、图象与表格是函数表示的三种常用方法，了解各自的特点，清楚函数的表示不局限于这三种方法；对于一些常用函数、分段函数等，能根据函数的解析式画出函数的图象，根据图象写出解析式，掌握研究图象与数量关系的基本方法，借助图象探索数学规律，用数学语言的表达世界，发展数学建模、直观想象、数学运算素养。 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 14 三、 评 价 任 务 1.过程性评价 在教学过程中，时刻关注学生学习状态，使用不同等级（1.一般；2.良好；3.优秀）对学生学习进行过程性评价。 评价目标 评价人 平均得分 自评 互评 教师评 回答问题参与度         学习活动参与度         小组合作的参与度         小组合作的贡献度         语言表达的清晰度       DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 15 三、 评 价 任 务 2.终结性评价 在教学结束后，通过如下 简单量规，学生和教师通 过不同分值（5,4,3,2,1） 对学习目标完成情况进行 终结性评价。 学习目标 评价人 平均得分 自评 互评 教师评 了解函数发展过程         了解狄利克雷函数         应用集合语言和对应关系刻画函数概念         了解构成函数的要素         根据简单具体函数建立函数模型         理解分段函数的定义域         会画简单分段函数的图象         理解符号max{f(x),g(x)}         结合图象写出分段函数解析式       DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 16 四、 课 时 安 排 本单元具体分3个课时：第1课时，函数概念的发展历程，以史为鉴，培养学生批判性思维；第2课时，函数的概念，在具体情境中找出共性，抽象出函数概念，发展学生的数学抽象素养；第3课时，函数的表示法，体会函数从数到形，从形到数的过程，充分利用图象特征可简化代数运算。 第1课时 第3课时 第2课时 单元整体设计思路 函数的发展历程 函数的概念 函数的表示 单元整体设计教学反思 认识一个数学概念的“基本套路” 从具体情境抽象出共同本质特征 定义 定义相关概念 表示 某些特例（分段函数等） DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 17 五、 学 习 活 动 设 计 第1课时 活动1.（课前1天）分小组收集完成几何观念下的函数、代数观念下函数、对应观念下的函数概念发展的关键时间、人物、事件等，形成文字材料； 活动2.（课上10钟）三位讲述人从函数概念发展的不同阶段讲述函数概念发展历程； 伽俐略G.Galileo， 1564-1642 意大利数学家 欧拉 L．Euler 1707－1783 瑞士数学家 柯西 Cauchy 1789-1857 法国科学家 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 18 五、 学 习 活 动 设 计 活动3.（课上15分钟）通过一系列问题：解析式是判断 函数的标准吗？函数有哪些表达形式？任意一个函数的 两个变量之间都存在依赖关系吗？“依赖”这个词更换 一下，你觉得用哪个词语好呢？引导学生发现“变量说” 遇到了解释不清楚的问题，从而带领学生进入集合论下 的函数阶段； 狄利克雷 P.G.L.Dirichlet 1805－1859 数学家 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 19 五、 学 习 活 动 设 计 活动4.（课上15分钟）尝试用集合的语言描述狄利克雷函数，尝试从集合的角度给出函数定义；了解1859年清代数学家李善兰首次将funtion译 作函数； 活动5.（课后40分钟）结合本节内容，请同学们参考 选题，通过自主活动，了解函数的发展历程及其广泛的应用， 撰写小论文。 参考选题： 1函数产生的社会背景;2函数概念发展的历史过程 3函数符号的故事;4数学家与函数 李善兰 1811－1882 清朝数学家 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 20 四、 学 习 活 动 设 计 第2课时 活动6.通过观察图片及教师解说，让学生明确变量之间有着密切的依赖关系，并且 这种依赖关系在现实世界中大量存在，常用函数模型来刻画。初中所学函数的定义，无法判断是是不是函数与是不是同一函数等问题引发认知冲突，带着疑问与争议，激发好奇心，开启新知的探究； 活动7.自主阅读课本上问题1，问题2，启发学生从集合角度描述S 与 t 的函数关系和工资w与工作天数d的关系。思考它们是不是同一个函数； DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 21 四、 学 习 活 动 设 计 活动8.自主阅读课本上问题3，问题4，尝试用进行集合语言描述，引导学生从图像及解析式的角度认识函数，进一步强化“集合-关系说”； 活动9.上述问题1至问题4中的函数有哪些共同特征？学生自主思考2分钟后，同位之间相互讨论2分钟，学生总结共性，逐步抽象出函数概念，结合小问题辨析函数概念； 活动10.学生自主总结，师生共同分析对比初高中函数定义的不同，加深了对函数概念的理解。 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 22 四、 学 习 活 动 设 计 第3课时 活动11.回忆函数常用的三种表示法（解析法、图象法、列表法），分析、评价不同表示方法的优点，用这三种方法把笔记本的总价格表示为单价的函数，进行简单的实际应用； 活动12.采用“微项目”教学，理解分段函数定义，一题多变练、一题多解体会图形在解题中的重要作用，创建“微任务”，以便巩固学习成果。 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 23 六、 单 元 作 业 设 计 先独立完成课时作业，然后小组合作研究，完成“函数的概念”思维导图；结合具体实例分析、比较函数的各种表示方法的特点，并使用表格清晰表达。 DA DAN YUAN ZHENG TI SHE JI 24 $$