函数的零点问题、实际应用问题、图像问题专题复习讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的应用：零点问题、实际应用问题、图像问题复习讲义 考点一 零点问题 1.函数的零点 对于一般函数，我们把使得的实数叫做函数的零点 2.方程的解与函数的关系 函数的_________就是方程的实数解，也就是函数的图像与_______轴的交点的_________坐标,所以方程有实数解函数有零点函数图像与轴有交点. ※方程的解的数量函数与函数的交点的数量. 3.函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图像是一条__________的曲线，且___________________，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就是方程的解. 4.用二分法求方程的近似解 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 5.由函数零点的分布或方程解的分布求参数范围 策略一：讨论函数的单调性，进而利用零点存在性定理求参数范围. 策略二：刻画函数图像，根据函数的图像求参数范围. 6.常见函数的图像 (1)一次函数的图像由____和____决定，决定了函数的_______，决定了函数_____________. (2)二次函数的图像由_____和_____和_____决定，决定了函数的_________，与决定了函数的_________，且与_____________,决定了函数_________________. (3)指数函数的图像由_____决定，决定了函数的_________，当时，函数单调递_____，当时，函数单调递_____，指数函数过定点_______________. (4)对数函数的图像由_____决定，决定了函数的_________，当时，函数单调递_____，当时，函数单调递_____，对数函数过定点_______________. (5)常见函数的平移变换、翻折变换 ①将函数向左平移个单位得函数________的图像. ②将函数向右平移个单位得函数________的图像. ③将函数向上平移个单位得函数________的图像. ④将函数向下平移个单位得函数________的图像. ⑤将函数关于轴对称得函数________的图像. ⑥将函数关于轴对称得函数________的图像. ⑦将函数图像位于轴下方的图像向上翻折，轴上方图像不变，得函数________的图像. ⑧将函数图像位于轴右方的图像向左翻折，轴右方图像不变，得函数________的图像. 考向一 利用零点存在性定理确定零点的数量或范围 1．（23-24高一上·河南·期末）若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数，则的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东深圳·期末）函数 的零点所在的区间为（      ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 考向二 用二分法求方程的近似解 1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（   ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 2．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末·多选）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 4．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 考向三 根据一次函数零点的分布求参数范围 1．（23-24高一上·广东广州·期中）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪ 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围． 3．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知：函数． (1)当时，函数在区间上存在零点，求的取值范围； (2)已知，函数是定义域为上的奇函数，且当时，，求的值． 考向四 根据二次函数零点的分布求参数范围 1．（23-24高二下·浙江宁波·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知函数. (1)若，求与交点的横坐标； (2)若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围. 3．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)若，求关于x的不等式的解集； (2)若，且方程有两个不相等的负根，求实数b的取值范围． 考向五 根据指对幂函数零点的分布求参数范围 1．（23-24高三上·陕西西安·期末）已知函数若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东汕尾·期末）若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若恰有个零点、、，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为 ． 5．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知函数，若存在且，使得，则的取值范围为 . 6．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数，若方程有4个解分别为，且，则 . 7．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数有两个零点分别为和，则的取值范围是 ． 8．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是 ． 考点二 函数的实际应用 1.周长、面积、体积问题：核心表示出边长. 2.工程问题：核心表示出工作总量、工作效率、工作时间. 3.行程问题：核心表示出路程、速度、时间. 4.销售问题：核心表示出单价、数量、总价. 5.利润问题：核心表示出总收入和总支出.（期中总收入可能直接给出，也可利用总价等于单价×数量） 6.指数方程的求解 对于指数方程，则左右两边同时取的对数，得____________________,化简可得方程得解. 7.对数方程的求解 对于对数方程，则左右两边同时取的指数，得_______________,化简可得方程得解. ※注意单位统一 1．（23-24高一上·安徽·期末）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A．33 B．35 C．37 D．39 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知一种物质的某种能量与时间的关系为，其中是正常数，是大于1的正整数，若经过时间，该物质的能量由减少到，再经过时间，该物质的能量由减少到，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·陕西榆林·期末）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到5，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡．假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍．则该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要（参考数据：）（    ） A．40年 B．30年 C．20年 D．10年 6．（23-24高一上·广东广州·期末）中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 4 茶水温度/ 90.00 84.00 78.62 73.75 69.39 为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②.选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（参考数据：，）（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·云南曲靖·期末）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2． (1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式； (2)该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 8．（23-24高一上·福建泉州·期末）某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗，表示用个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比. 已知用1个单位量的洗涤溶液漂洗一次，可洗掉该物品原污渍量. (1)写出的值，并对的值给出一个合理的解释； (2)已知， ①求 ； ②“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”与“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次”，哪种方案去污效果更好？ 9．（23-24高一上·河南郑州·期末）后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投人成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润． 10．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知某工厂生产一种电子元件，每年需投入固定成本5万元，当年产量为（单位：万件）时，需额外投入可变成本（单位：万元）.根据市场调研，每个元件售价为7元；在年产量不超过8万件时，；在年产量超过8万件时，.假设该元件的年销量等于年产量. （注：年利润年销售收入固定成本可变成本） (1)求年利润关于年产量的函数解析式； (2)当为何值时，年利润最大？最大年利润是多少？ 11．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）某大学毕业生团队主动创业，计划销售轻食，每个月的店租和水电等成本为2万元，且每销售1份轻食，成本为5元.已知该团队轻食的月销售量为万份，该团队每个月保底能够销售5000份轻食，且当时，月销售收入为万元；当时，月销售收入为万元. (1)求该团队的月销售利润（万元）与月销售量为x（万份）之间的函数解析式； (2)当月销售量为何值时，该团队的月销售利润最小？最小利润为多少万元？ 12．（23-24高一上·陕西安康·期末）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和. (1)求值和的表达式； (2)当隔热层修建多少厘米厚时，最小？请说明理由并求出的最小值. 13．（23-24高一上·广东广州·期末）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求值； (2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 考点三 图像问题 1.由解析式求函数图像： (1)看函数奇偶性. (2)看函数特殊值(看题目所给的横坐标或令、). (3)看函数的单调性. (4)看函数的平移、翻折变换. 1．（24-25高一上·浙江丽水·期中）函数的图像可能是（     ） A．  B．  C．   D．   2．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）函数的大致图像为（    ） A．  B．  C．   D．   3．（2023·甘肃陇南·一模）函数的图像大致为（    ） A．  B．  C．   D．   4．（23-24高二下·吉林长春·期末）函数的图像为（    ） A．B．C． D． 5．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图像大致是（    ） A．  B．C．     D．   2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数的应用：零点问题、实际应用问题、图像问题复习讲义 考点一 零点问题 1.函数的零点 对于一般函数，我们把使得的实数叫做函数的零点 2.方程的解与函数的关系 函数的_________就是方程的实数解，也就是函数的图像与_______轴的交点的_________坐标,所以方程有实数解函数有零点函数图像与轴有交点. ※方程的解的数量函数与函数的交点的数量. 3.函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图像是一条__________的曲线，且___________________，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就是方程的解. 4.用二分法求方程的近似解 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 5.由函数零点的分布或方程解的分布求参数范围 策略一：讨论函数的单调性，进而利用零点存在性定理求参数范围. 策略二：刻画函数图像，根据函数的图像求参数范围. 6.常见函数的图像 (1)一次函数的图像由____和____决定，决定了函数的_______，决定了函数_____________. (2)二次函数的图像由_____和_____和_____决定，决定了函数的_________，与决定了函数的_________，且与_____________,决定了函数_________________. (3)指数函数的图像由_____决定，决定了函数的_________，当时，函数单调递_____，当时，函数单调递_____，指数函数过定点_______________. (4)对数函数的图像由_____决定，决定了函数的_________，当时，函数单调递_____，当时，函数单调递_____，对数函数过定点_______________. (5)常见函数的平移变换、翻折变换 ①将函数向左平移个单位得函数________的图像. ②将函数向右平移个单位得函数________的图像. ③将函数向上平移个单位得函数________的图像. ④将函数向下平移个单位得函数________的图像. ⑤将函数关于轴对称得函数________的图像. ⑥将函数关于轴对称得函数________的图像. ⑦将函数图像位于轴下方的图像向上翻折，轴上方图像不变，得函数________的图像. ⑧将函数图像位于轴右方的图像向左翻折，轴右方图像不变，得函数________的图像. 考向一 利用零点存在性定理确定零点的数量或范围 1．（23-24高一上·河南·期末）若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 又， 故在上有唯一零点，即. 故选：B. 2．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数，则的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为， 又函数，，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以， 所以零点所在的大致区间为. 故选：B. 3．（23-24高一下·广东深圳·期末）函数 的零点所在的区间为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为， 函数在上单调递增， 又，， 根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为． 故选：B . 4．（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，在上连续，且单调递增， 对于A，因为，， 所以的零点不在内，所以A错误， 对于B，因为，， 所以的零点不在内，所以B错误， 对于C，因为，， 所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以的零点不在内，所以D错误， 故选：C 考向二 用二分法求方程的近似解 1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（   ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】，， 第一次取，有， 故第二次取，有， 故此时可确定近似解所在区间为. 故选：B. 2．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末·多选）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题知第一次所取区间为，取中间值， 则第二次所取区间可能是或. 故选：BD. 3．（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 【答案】7 【详解】设至少需要计算次，则满足，即， 由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次. 故答案为：7 4．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为依次确定了零点所在区间为，，， 可得，即，解得. 所以. 故选：B. 考向三 根据一次函数零点的分布求参数范围 1．（23-24高一上·广东广州·期中）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪ 【答案】D 【详解】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0； 函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数， 所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0， 解得a＜－1或a＞. 故选：D. 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】当时，，显然不成立； 当时，函数在内有零点，需， 即，即，解得或， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知：函数． (1)当时，函数在区间上存在零点，求的取值范围； (2)已知，函数是定义域为上的奇函数，且当时，，求的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）解：当时，在区间上存在零点， 所以. 所以的取值范围为 （2）解：当时， 因为函数是定义域为上的奇函数， 所以. 所以. 考向四 根据二次函数零点的分布求参数范围 1．（23-24高二下·浙江宁波·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若时，，则，满足题意， 若，当，解得且，此时满足题意， 若时，，此时， 此时方程在只有一根，满足题意， 若时，，此时， 此时方程在只有一根，满足题意， 当，得时，此时， 此时方差的根为，满足题意， 综上可得或 故选：C 2．（23-24高一下·广东茂名·期末）已知函数. (1)若，求与交点的横坐标； (2)若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）若，则，解得， 所以， 由解得，或， 所以与交点的横坐标为或； （2）若，则在区间上没零点，不符合题意， 所以，所以的图象为抛物线， 对称轴为， 所以要使在区间上恰有一个零点，只须， 即，解得. 的取值范围. 3．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)若，求关于x的不等式的解集； (2)若，且方程有两个不相等的负根，求实数b的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）当时，， 令，得或， 当时，即，此时，所以的解集为； 当时，即，此时，解得或，所以解集为； 当，即，此时，解得或，所以解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （2）由，即，得， 由，即，即有两个不相等的负根， 则，解得. 故的取值为. 考向五 根据指对幂函数零点的分布求参数范围 1．（23-24高三上·陕西西安·期末）已知函数若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，作出的大致图象，如图所示， 要使得， 即函数与的图象有4个不同交点，则， 所以实数的取值范围是． 故选：A. 2．（23-24高一上·广东汕尾·期末）若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 作出函数的图象，如图所示： 令，则， 由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点， 从而函数有3个零点， 但对恒成立，即对恒成立， 又，则， 所以. 故选：D. 3．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，若恰有个零点、、，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设， 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 且有，， 由，即，即， 所以，，即，故. 故选：B. 4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为方程有四个根， 故函数的图象与函数的图象有四个交点， 它们的横坐标分别为，如图所示， 当时，，且，故， 当时，，且，所以，解得， 因为函数的图象与函数的图象有四个交点， 由图可得，，故， 所以， 令，，在单调递增， 所以，， 故 的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知函数，若存在且，使得，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示， 由图象可知，且， 所以，则， 所以，故的取值范围为． 故答案为：． 6．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数，若方程有4个解分别为，且，则 . 【答案】10 【详解】作出函数的大致图象，如下：    可知，且当时，有2个解； ， 得； 当时，由有2个解，根据图象的对称性，得. . 故答案为：10. 7．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数有两个零点分别为和，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】不妨设，因为函数有两个零点分别为、， 所以，所以，即，即， 所以，，其中，所以，， 因为函数在上为减函数，当时，， 所以，，故的取值范围是. 故答案为：. 8．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据对数函数与二次函数的性质作出函数图象，如图所示， 易知，所以， 则， 而由二次函数对称性可知，，    所以， 根据对勾函数的性质可知，， 所以. 故答案为：. 考点二 函数的实际应用 1.周长、面积、体积问题：核心表示出边长. 2.工程问题：核心表示出工作总量、工作效率、工作时间. 3.行程问题：核心表示出路程、速度、时间. 4.销售问题：核心表示出单价、数量、总价. 5.利润问题：核心表示出总收入和总支出.（期中总收入可能直接给出，也可利用总价等于单价×数量） 6.指数方程的求解 对于指数方程，则左右两边同时取的对数，得____________________,化简可得方程得解. 7.对数方程的求解 对于对数方程，则左右两边同时取的指数，得_______________,化简可得方程得解. ※注意单位统一 1．（23-24高一上·安徽·期末）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】B 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：． 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意可知第一次剩余的棍棒长度为尺， 则第n次剩余的棍棒长为尺， 由，解得， 所以当剩余的棍棒长度小于1厘米时,需要截取的最少次数为7. 故选: C. 3．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知一种物质的某种能量与时间的关系为，其中是正常数，是大于1的正整数，若经过时间，该物质的能量由减少到，再经过时间，该物质的能量由减少到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，所以，则， 由，得， 所以. 故选:B. 4．（23-24高二下·陕西榆林·期末）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到5，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，得， 则，即. 故选：A 5．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡．假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍．则该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要（参考数据：）（    ） A．40年 B．30年 C．20年 D．10年 【答案】D 【详解】设该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要年， 则由题意得，即， 所以，， 所以， 即该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要10年. 故选：D 6．（23-24高一上·广东广州·期末）中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 4 茶水温度/ 90.00 84.00 78.62 73.75 69.39 为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②.选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（参考数据：，）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由表格中数据可得，茶水温度下降的速度先快后慢， 所以选①， 则即， 解得，所以， 当时，可得， 即. 故选：. 7．（23-24高一上·云南曲靖·期末）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2． (1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式； (2)该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 【答案】(1)， (2)当投资稳健型产品的资金为6万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元 【详解】（1）由题意可设，， 由图知，函数和的图象分别过点和， 代入解析式可得，， 所以， . （2）设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元， 年收益为万元， 则，， 有， 则当，即万元时，的最大值为， 所以当投资稳健型产品的资金为6万元， 风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元． 8．（23-24高一上·福建泉州·期末）某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗，表示用个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比. 已知用1个单位量的洗涤溶液漂洗一次，可洗掉该物品原污渍量. (1)写出的值，并对的值给出一个合理的解释； (2)已知， ①求 ； ②“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”与“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次”，哪种方案去污效果更好？ 【答案】(1)；解释见解析 (2)①1，2；②答案见解析 【详解】（1）由题意得， 的值表示的含义为没有用洗涤溶液漂洗，残留污渍没有变化； （2）①，由，，得； 又，则， ②，设清洗前物品上污渍残留量为单位1， “用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”后残留污渍量为， “用个单位量的洗涤溶液漂洗两次”后残留污渍量为， ， 当时，，即“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次”效果好； 当时，，两种方案效果相同； 当时，，即“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”效果好. 9．（23-24高一上·河南郑州·期末）后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投人成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元 【详解】（1）由题可知 ， ； （2）由（1）得 ， 当时，； 当时，； （当且仅当时，即时等号成立） 因为，所以当时，， 所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元. 10．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知某工厂生产一种电子元件，每年需投入固定成本5万元，当年产量为（单位：万件）时，需额外投入可变成本（单位：万元）.根据市场调研，每个元件售价为7元；在年产量不超过8万件时，；在年产量超过8万件时，.假设该元件的年销量等于年产量. （注：年利润年销售收入固定成本可变成本） (1)求年利润关于年产量的函数解析式； (2)当为何值时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)6万件，最大年利润为13万元. 【详解】（1）当时，； 当时，； 所以 （2）当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减. 所以，； 当时，， 当且仅当，即时取“”. 因为，当该电子元件的年产量为6万件时，最大年利润为13万元. 11．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）某大学毕业生团队主动创业，计划销售轻食，每个月的店租和水电等成本为2万元，且每销售1份轻食，成本为5元.已知该团队轻食的月销售量为万份，该团队每个月保底能够销售5000份轻食，且当时，月销售收入为万元；当时，月销售收入为万元. (1)求该团队的月销售利润（万元）与月销售量为x（万份）之间的函数解析式； (2)当月销售量为何值时，该团队的月销售利润最小？最小利润为多少万元？ 【答案】(1) (2)当月销售量为万份时，该团队的月销售利润最小，为万元. 【详解】（1）由题意， 当时，， 当时，. ∴； （2）当时，， 当且仅当，即时取等， 当时，， 因此，当月销售量为万份时，该团队的月销售利润最小，为万元. 12．（23-24高一上·陕西安康·期末）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和. (1)求值和的表达式； (2)当隔热层修建多少厘米厚时，最小？请说明理由并求出的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，,则， 故， 所以; （2）由，，当且仅当，即取等号， 故时， 即隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，最小值为万元. 13．（23-24高一上·广东广州·期末）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求值； (2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 【答案】(1) (2) (3)该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 【详解】（1）由题意可知，当时，，所以，解得； （2）由于，故， 由题意知，当年生产吨时，年生产成本为：， 当销售吨时，年销售收入为：， 由题意，， 即. （3）由（2）知：， 即 ， 当且仅当，又，即时，等号成立. 此时，. 该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 考点三 图像问题 1.由解析式求函数图像： (1)看函数奇偶性. (2)看函数特殊值(看题目所给的横坐标或令、). (3)看函数的单调性. (4)看函数的平移、翻折变换. 1．（24-25高一上·浙江丽水·期中）函数的图像可能是（     ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【详解】由于，故为奇函数，排除CD， 又当时，，此时排除B， 故选：A 2．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）函数的大致图像为（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【详解】因为，且定义域关于原点对称， 故是偶函数，图像关于轴对称，排除A,D； 又因为，故排除B. 故选：C. 3．（2023·甘肃陇南·一模）函数的图像大致为（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【详解】的定义域为且， 因为，所以为奇函数，排除A，D， 当时，，B错误， 故选：C. 4．（23-24高二下·吉林长春·期末）函数的图像为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，A选项错误； 当时， ，函数单调递增，故BC选项错误. 故选：D. 5．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图像大致是（    ） A．  B．C．     D．   【答案】B 【详解】由函数，可得， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 又由时，，所以函数图象为B选项. 故选：B. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$