第22章一元二次方程 单元测试卷 2024--2025学年华东师大版九年级数学上册

新乡市金瀚学校九年级第23章一元二次方程 单元测试卷 姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分） 1. 下列关于的方程: ①; ②; ③; ④.其中一定是一元二次方程的有 【 】 （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 2. 根据下列表格的对应值,判断方程的一个根的取值范围是 【 】 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.0044 0.0269 （A） （B） （C） （D） 3. 已知是关于的方程的一个根,则的值为 【 】 （A）4 （B）5 （C）2 （D） 4. 一元二次方程的根的情况是 【 】 （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）没有实数根 （D）只有一个实数根 5. 从前有一个醉汉拿着竹竿进城,横拿竖拿都进不去,横着比城门宽m,竖着比城门高m,一个人告诉他可沿着城门的两对角斜着拿竹竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了,求竹竿的长度.若设竹竿长m,则可列方程为 【 】 （A） （B） （C） （D） 6. 若关于的一元二次方程有两个实数根,则实数的取值范围是 【 】 （A） （B）≤ （C）且 （D）≤且 7. 欧几里得在《几何原本》中,记载了用图解法解方程的方法,类似地,我们可以用折纸的方法求方程的一个正根.如图所示,一张边长为1的正方形纸片ABCD,先折出AD、BC的中点G、H,再折出线段AN,然后沿线段AN折叠使AD落在线段AH上,得到点D的新位置P,并连结NP、NH.此时,在下列四个选项中,有一条线段的长度恰好是方程的一个正根,则这条线段是 【 】 （A）线段BH （B）线段DN （C）线段CN （D）线段NH 8. 若方程中,满足且,则方程的根是 【 】 （A） （B） （C） （D）无法确定 9. 不论取何值,代数式的值 【 】 （A）总不小于4 （B）总不小于2 （C）可为任何实数 （D）可能为负数 10. 已知关于的两个多项式,其中为常数,下列说法: ①若的值始终与无关,则; ②关于的方程始终有两个不相等的实数根; ③若的结果不含项,则; ④当时,若的值为整数,则的整数值只有2个. 以上说法正确的个数为 【 】 （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 二、填空题（每小题3分,共15分） 11. 若一元二次方程的两根满足,则符合条件的一个方程为________________. 12. 把方程用配方法化为的形式,则_________. 13. 一元二次方程的一个根为,则的值为_________,方程的另一个根为_________. 14. 如果是两个不相等的实数,且满足条件,那么代数式的值是_________. 15. 关于的方程（为常数）的根的情况,下列结论: ①该方程有两个正根; ②该方程有两个负根; ③该方程有一个正根,有一个负根; 其中,正确结论的序号是_________. 三、解答题（共75分） 16.（每小题5分,共10分）解方程: （1）; （2）（公式法）. 17.（9分）阅读材料:已知一元二次方程的两根为,则根据一元二次方程的根的概念可得.据此我们可以在实数范围内对某些二次三项式进行因式分解. 根据材料,试在实数范围内分解因式:. 18.（9分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. （1）求的取值范围; （2）选取一个合适的整数,使方程的解为整数,并求解方程. 19.（9分）已知关于的一元二次方程有实数根. （1）求实数的取值范围; （2）设方程的两个实数根分别为,若,求的值. 20.（9分）已知关于的方程. （1）不解方程,判断此方程根的情况; （2）若此方程的一个根为1,请求出方程的另一个根. 21.（9分）元旦前,某礼品店以每张5元的进价购进3200张贺卡.当销售价为7元/张时,平均每天可售出300张. （1）为了减少库存,店主决定降价销售.经市场调查发现,如果这种贺卡的售价每降低0.5元/张,那么平均每天可多售出100张,店主想要在盈利的情况下平均每天刚好达到3000元营业额,则每张贺卡应降价多少元? （2）已知店主在12月27日按7元/张的价格销售完1200张贺卡后,采取（1）中的降价措施,请你判断店主能否在元旦前销售完贺卡（12月共计31天）.若能售完,计算他此次销售贺卡的利润率;若不能售完,说明理由. 22.（10分）如果关于的一元二次方程有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”. （1）方程是“倍根方程”吗?如果是,请说明理由; （2）若一元二次方程是“倍根方程”,且方程有一个根为2,求的值. 23.（10分）如图,有一农户要建一个矩形鸡舍,鸡舍的一边利用长为m的墙,另外三边用25 m长的篱笆围成,为方便进出,在垂直于墙的一边CD上留一个1 m宽的门. （1）若,则矩形鸡舍中的AB和BC的长分别为多少时,鸡舍面积为80 m2? （2）的值在什么范围时,（1）中符合题意的实数根有两个? （3）若墙的长度足够长,则鸡舍的面积能否达到90 m2? 新乡市金瀚学校九年级第23章一元二次方程 单元测试卷参考答案 一、选择题（每小题3分,共30分） 题号 1 2 3 4 5 答案 A C B C B 题号 6 7 8 9 10 答案 D B C A B 二、填空题（每小题3分,共15分） 11. （答案不唯一） 12. 13. , 14. 19 15. ③ 第12页 学科网（北京）股份有限公司 部分选择题、填空题答案提示 7. 欧几里得在《几何原本》中,记载了用图解法解方程的方法,类似地,我们可以用折纸的方法求方程的一个正根.如图所示,一张边长为1的正方形纸片ABCD,先折出AD、BC的中点G、H,再折出线段AN,然后沿线段AN折叠使AD落在线段AH上,得到点D的新位置P,并连结NP、NH.此时,在下列四个选项中,有一条线段的长度恰好是方程的一个正根,则这条线段是 【 】 （A）线段BH （B）线段DN （C）线段CN （D）线段NH 解析 方程的正实数根为. 设,则 由题意可得: 在Rt△ABH中,有勾股定理得: ∵ ∴ 解之得: ∴ ∴这条线段是DN. 选择答案【 B 】. 10. 已知关于的两个多项式,其中为常数,下列说法: ①若的值始终与无关,则; ②关于的方程始终有两个不相等的实数根; ③若的结果不含项,则; ④当时,若的值为整数,则的整数值只有2个. 以上说法正确的个数为 【 】 （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 解析 对于①, 若的值始终与无关,则: , 故结论①错误; 对于②,若,则: ∴ ∴该方程始终有两个不相等的实数根. 故结论②正确; 对于③ 若结果中不含项,则: ,. 故结论③正确; 对于④ 当, 若的值为整数,为整数 ∴或 解之得:或 ∴的整数值只有2个. 故结论④正确. 选择答案【 B 】. 三、解答题（共75分） 16.（每小题5分,共10分）解方程: （1）; 解: ∴或 解之得:; （2）（公式法）. 解: ∴ ∴ ∴. 17.（9分）阅读材料:已知一元二次方程的两根为,则根据一元二次方程的根的概念可得.据此我们可以在实数范围内对某些二次三项式进行因式分解. 根据材料,试在实数范围内分解因式:. 解:令 解之得: ……………………………………5分 ∴ . ……………………………………9分 18.（9分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. （1）求的取值范围; （2）选取一个合适的整数,使方程的解为整数,并求解方程. 解:（1）由题意可得: ∴ 解之得:; ……………………………………4分 （2）取 ……………………………………6分 ∴ 解之得:. ……………………………………9分 19.（9分）已知关于的一元二次方程有实数根. （1）求实数的取值范围; （2）设方程的两个实数根分别为,若,求的值. 解:（1）由题意可得:≥0 ∴≥0 解之得:≤; ……………………………………4分 （2）由根与系数的关系可得: ……………………………………6分 ∵ ∴ ∴ 解之得:,符合题意. ……………………………………9分 ∴的值为3. 20.（9分）已知关于的方程. （1）不解方程,判断此方程根的情况; （2）若此方程的一个根为1,请求出方程的另一个根. 解:（1） ……………………………………3分 ∵≥0 ∴,即 ∴该方程总有两根不相等的实数根; ……………………………………5分 （2）把代入原方程可得: 解之得: ……………………………………7分 ∴ 解之得: ∴方程的另一个根为3. ……………………………………9分 21.（9分）元旦前,某礼品店以每张5元的进价购进3200张贺卡.当销售价为7元/张时,平均每天可售出300张. （1）为了减少库存,店主决定降价销售.经市场调查发现,如果这种贺卡的售价每降低0.5元/张,那么平均每天可多售出100张,店主想要在盈利的情况下平均每天刚好达到3000元营业额,则每张贺卡应降价多少元? （2）已知店主在12月27日按7元/张的价格销售完1200张贺卡后,采取（1）中的降价措施,请你判断店主能否在元旦前销售完贺卡（12月共计31天）.若能售完,计算他此次销售贺卡的利润率;若不能售完,说明理由. 解:（1）设每张贺卡应降价元,由题意可得: ……………………………………2分 整理得: 解之得:（不符合题意,舍去） ……………………………………5分 答:每张贺卡应降价1元; （2）由（1）可知:降价后每天可售出贺卡（张） ……………………………………6分 （天） ∴店主能在元旦前销售完贺卡. ……………………………………7分 此次销售贺卡的利润率为: . ……………………………………9分 点评 利润率的计算方法为: . 22.（10分）如果关于的一元二次方程有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”. （1）方程是“倍根方程”吗?如果是,请说明理由; （2）若一元二次方程是“倍根方程”,且方程有一个根为2,求的值. 解:（1）是“倍根方程”. 理由如下: 解方程得: ∴ ∴方程是“倍根方程”; ……………………………………3分 （2）∵一元二次方程是“倍根方程”,且方程有一个根为2 ∴该方程的另一个根为4或1. ……………………………………4分 当方程的另一个根为4时,由根与系数的关系可得: 解之得:; ……………………………………7分 当方程的另一个根为1时,由根与系数的关系可得: 解之得: ……………………………………10分 综上,或. 23.（10分）如图,有一农户要建一个矩形鸡舍,鸡舍的一边利用长为m的墙,另外三边用25 m长的篱笆围成,为方便进出,在垂直于墙的一边CD上留一个1 m宽的门. （1）若,则矩形鸡舍中的AB和BC的长分别为多少时,鸡舍面积为80 m2? （2）的值在什么范围时,（1）中符合题意的实数根有两个? （3）若墙的长度足够长,则鸡舍的面积能否达到90 m2? 解:（1）设m,则m 由题意可得: ……………………………………2分 解之得: ……………………………………4分 当时,,不符合题意,舍去; 当时,,符合题意. 答:矩形鸡舍中的AB和BC的长分别为8 m、10 m时, 鸡舍面积为80 m2; ……………………………………6分 （2）由（1）可知,平行于墙的一边BC的长为10 m或16 m ∴当≥16时,（1）中符合题意的实数根有两个； ……………………………………8分 （3）若鸡舍面积能达到90 m2,则有: 整理得: ∵ ∴该方程无实数根 ∴鸡舍面积不能达到90 m2. ……………………………………10分 $$ 新乡市金瀚学校九年级第23章一元二次方程 单元测试卷 姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分） 1. 下列关于的方程: ①; ②; ③; ④.其中一定是一元二次方程的有 【 】 （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 2. 根据下列表格的对应值,判断方程的一个根的取值范围是 【 】 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.0044 0.0269 （A） （B） （C） （D） 3. 已知是关于的方程的一个根,则的值为 【 】 （A）4 （B）5 （C）2 （D） 4. 一元二次方程的根的情况是 【 】 （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）没有实数根 （D）只有一个实数根 5. 从前有一个醉汉拿着竹竿进城,横拿竖拿都进不去,横着比城门宽m,竖着比城门高m,一个人告诉他可沿着城门的两对角斜着拿竹竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了,求竹竿的长度.若设竹竿长m,则可列方程为 【 】 （A） （B） （C） （D） 6. 若关于的一元二次方程有两个实数根,则实数的取值范围是 【 】 （A） （B）≤ （C）且 （D）≤且 7. 欧几里得在《几何原本》中,记载了用图解法解方程的方法,类似地,我们可以用折纸的方法求方程的一个正根.如图所示,一张边长为1的正方形纸片ABCD,先折出AD、BC的中点G、H,再折出线段AN,然后沿线段AN折叠使AD落在线段AH上,得到点D的新位置P,并连结NP、NH.此时,在下列四个选项中,有一条线段的长度恰好是方程的一个正根,则这条线段是 【 】 （A）线段BH （B）线段DN （C）线段CN （D）线段NH 8. 若方程中,满足且,则方程的根是 【 】 （A） （B） （C） （D）无法确定 9. 不论取何值,代数式的值 【 】 （A）总不小于4 （B）总不小于2 （C）可为任何实数 （D）可能为负数 10. 已知关于的两个多项式,其中为常数,下列说法: ①若的值始终与无关,则; ②关于的方程始终有两个不相等的实数根; ③若的结果不含项,则; ④当时,若的值为整数,则的整数值只有2个. 以上说法正确的个数为 【 】 （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 二、填空题（每小题3分,共15分） 11. 若一元二次方程的两根满足,则符合条件的一个方程为_____________. 12. 把方程用配方法化为的形式,则_________. 13. 一元二次方程的一个根为,则的值为_________,方程的另一个根为_________. 14. 如果是两个不相等的实数,且满足条件,那么代数式的值是________. 15. 关于的方程（为常数）的根的情况,下列结论: ①该方程有两个正根; ②该方程有两个负根; ③该方程有一个正根,有一个负根; 其中,正确结论的序号是_________. 三、解答题（共75分） 16.（每小题5分,共10分）解方程: （1）; （2）（公式法）. 17.（9分）阅读材料: 已知一元二次方程的两根为,则根据一元二次方程的根的概念可得.据此我们可以在实数范围内对某些二次三项式进行因式分解. 根据材料,试在实数范围内分解因式:. 18.（9分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. （1）求的取值范围; （2）选取一个合适的整数,使方程的解为整数,并求解方程. 19.（9分）已知关于的一元二次方程有实数根. （1）求实数的取值范围; （2）设方程的两个实数根分别为,若,求的值. 20.（9分）已知关于的方程. （1）不解方程,判断此方程根的情况; （2）若此方程的一个根为1,请求出方程的另一个根. 21.（9分）元旦前,某礼品店以每张5元的进价购进3200张贺卡.当销售价为7元/张时,平均每天可售出300张. （1）为了减少库存,店主决定降价销售.经市场调查发现,如果这种贺卡的售价每降低0.5元/张,那么平均每天可多售出100张,店主想要在盈利的情况下平均每天刚好达到3000元营业额,则每张贺卡应降价多少元? （2）已知店主在12月27日按7元/张的价格销售完1200张贺卡后,采取（1）中的降价措施,请你判断店主能否在元旦前销售完贺卡（12月共计31天）.若能售完,计算他此次销售贺卡的利润率;若不能售完,说明理由. 22.（10分）如果关于的一元二次方程有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”. （1）方程是“倍根方程”吗?如果是,请说明理由; （2）若一元二次方程是“倍根方程”,且方程有一个根为2,求的值. 23.（10分）如图,有一农户要建一个矩形鸡舍,鸡舍的一边利用长为m的墙,另外三边用25 m长的篱笆围成,为方便进出,在垂直于墙的一边CD上留一个1 m宽的门. （1）若,则矩形鸡舍中的AB和BC的长分别为多少时,鸡舍面积为80 m2? （2）的值在什么范围时,（1）中符合题意的实数根有两个? （3）若墙的长度足够长,则鸡舍的面积能否达到90 m2? 新华师大版九年级上册数学摸底试卷 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$