精品解析：北京市回民学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

北京市回民学校 2024－2025学年度第一学期期中考试（11月） 高一数学 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定相关知识直接求解. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C 2. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式的性质可知选项A正确；举反例可说明选项B、D错误；令，可得选项C错误. 【详解】由得，选项A正确. 若，满足，但，选项B错误. 当时，，选项C错误. 若，满足，但，选项D错误. 故选：A. 3. 下列函数中，与是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项判断即可得答案. 【详解】函数的定义域为， 对于A，函数的定义域为，且对应关系与函数相同，故A正确； 对于B，函数的定义域为，但是，对应关系与函数不相同，故B错误； 对于C，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，且，则对应关系与函数不相同，故D错误. 故选：A. 4. 已知，，，则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性确定正确答案. 【详解】， 函数在上单调递增，所以. 故选：A 5. 函数在下列哪个区间存在零点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首项判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】函数定义域为, 当时恒成立，当时单调递增，单调递增且大于零恒成立，单调递增， 根据复合函数的单调性可知在上单调递增， 又，， 即，所以的零点位于区间内. 故选：C 6. 若函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例说明“为奇函数”是“”的既不充分也不必要条件. 【详解】由“为奇函数”不能得到“”，如，为奇函数，但在时没有意义. 由“”不能得到“为奇函数”，如，，但为偶函数. 故“为奇函数”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7. 若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列式求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：A. 8. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【详解】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 9. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图像，根据图像得出满足的条件和范围，从而得出答案. 【详解】作出的图像如下图所示， ，不妨设， ，时，， 则由图像可知，，， 所以， 故选：D. 10. 设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可. 【详解】若时，，； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值； 若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得. 故选：B 【点睛】关键点睛：利用分类讨论法，结合最值的性质是解题的关键. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分母不等于和二次根式中被开方数大于等于即可得到函数的定义域. 【详解】由得，，所以函数的定义域为. 故答案为：. 12. 已知函数，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论的范围，代入函数表达式解方程即可得到结果. 【详解】当时，由得，或（舍）， 当时，由得，，不合题意，舍去， 综上得，. 故答案为：. 13. 已知函数同时满足以下条件： ①定义域为；②值域为；③，都有. 试写出一个函数解析式_________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题设写出一个定义域为R，值域为的偶函数即可. 【详解】由题设，是定义域为R，值域为的偶函数， 所以满足. 故答案为：（答案不唯一） 14. 方程组的解集________. 【答案】 【解析】 【分析】解方程组即可得到方程组的解集. 【详解】由得，或， ∴方程组的解集为. 故答案为：. 15. 已知符号表示不超过x的最大整数，若函数（），给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据新定义分析得到的图象，即可判断①②③；将方程有且仅有3个根转化为与的图象有3个交点，然后结合图象即可判断④. 【详解】因为符号表示不超过x的最大整数，若函数， 所以当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以函数的图象如图所示：    对于①，由上面的图象可知，①是正确的， 对于②，由上面的图象可知，②是错误的， 对于③，由上面的图象可知，③是正确的， 对于④，由上面的图象可知，，，， 因为方程有且仅有3个根，等价于与的图象有个交点， 结合图象可知，当或. 故答案为：①③④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知全集，集合，. （1）当时，求集合，，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，利用集合的基本运算可得结果. （2）由可得关于的不等式，解不等式可得结果. 【小问1详解】 由题意得，， 当时，， ∴，，. 【小问2详解】 由（1）得，. ∵，∴,解得， ∴实数的取值范围为. 17. 求下列不等式的解集. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1） （2）或 （3） （4）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式可得结果. （2）结合绝对值的几何意义可解不等式得到结果. （3）分式型不等式转化为一元二次不等式可得结果. （4）讨论的取值范围，解不等式即可得到结果. 【小问1详解】 由得， 解得， ∴不等式的解集为. 【小问2详解】 由得，或，解得或， ∴不等式的解集为或. 【小问3详解】 由，，即，不等式等价于， 不等式的解集为. 【小问4详解】 当时，不等式转化为，不等式的解集为. 当时，不等式转化为， 当时，不等式可化为，不等式的解集为或， 当时，不等式可化为，不等式的解集为. 综上得，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 18. 已知函数， （1）判断函数的奇偶性？并证明； （2）试用函数单调性的定义证明：在上为增函数； （3）若，且，求的取值范围. 【答案】（1） 函数为奇函数.证明如下： 函数定义域，关于原点对称. ∵， ∴为奇函数. （2） ，且， . ∵，∴，，， ∴，即， ∴在上为增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）分析函数定义域，利用定义法可证明为奇函数. （2）利用定义法可证明在上为增函数. （3）由得，，利用函数单调性建立关于的不等式，解不等式即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，∴，， ∵在上为增函数， ∴，解得或， ∴的取值范围为. 19. 已知二次函数图象过点，，. （1）求函数的解析式； （2）已知函数有两个不同的正数零点. （i）求的取值范围； （ii）若，求的值. 【答案】（1）. （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）待定系数法可求二次函数解析式. （2）（i）由函数有两个不同的正数零点可得方程有两个不相等正实数根，利用判别式和韦达定理可求的取值范围，（ii）由可求的值. 【小问1详解】 设二次函数的解析式为， 由题意得，，解得， ∴函数解析式为. 【小问2详解】 由（1）知， ∴. （i）∵有两个不同的正数零点， ∴有两个不相等正实数根， ∴，解得， ∴的取值范围是. （ii）由（i）得，， ∴， ∴， ∵，∴. 20. 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)． (1)当时，求s的值； (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由． 【答案】（1）24km（2）（3）沙尘暴发生30h后将侵袭到N城． 【解析】 【分析】(1)根据图象,计算可得答案; (2)根据图像分三段写出函数解析式,再写成分段函数的形式; (3)根据分段函数解析式,计算出和时,函数的最大值,两个最大值都小于650,所以时, 这场沙尘暴不会侵袭到N城,在时,令,解得即可得到答案. 【详解】解：（1）由图像可知，当时，，所以km． （2）当时，； 当时，； 当时， ． 综上可知，． （3）因为当时，， 当时，， 所以当时，令， 解得. 因为，所以． 故沙尘暴发生30h后将侵袭到N城． 【点睛】本题考查了利用图象求分段函数的解析式和函数值,属于中档题. 21. 已知集合，其中且，，非空集合，记为集合中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． （1）若，，写出所有可能的集合； （2）若，，且是12的倍数，求集合的个数； （3）若；证明：存在非空集合，使得是的倍数． 【答案】（1），，，； （2）4； （3） （1）若，则是从这个数所取， 把这个数分成组，每组中两个数的和为， 从这组中取个数，必有两个数属于同一组，例如，则取，是的倍数，结论成立； （2）若，不妨设， 从中任取3个数，， 若与都是的倍数，则，这与矛盾， 所以中任意两个数的差都不是的倍数，不妨设不是倍数， 考虑这个数：， ①若这个数除以的余数各不相同，则必有一个是的倍数，又且均不为， 故存在，使得， 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立； ②若这个数除以的余数中有两个相同，由它们的差是的倍数，又均不为的倍数， 所以存在，使得， 若是偶数，取，，结论成立， 若是奇数，取，，结论成立， 综上，存在非空集合，使得是的倍数． 【解析】 【分析】（1）根据定义直接写出集合； （2）由和只有为12或24，直接写出集合，即可得个数． （3）进行分类讨论，先根据和分类，在时，则是从这个数所取，对个数按和为分组，再取数即可证，对，设，然后在剩下的个数中找到若干个数的和是的倍数，再按这个倍数的奇偶性分类取得集合证得结论成立． 【小问1详解】 ，集合可能为：，，，； 【小问2详解】 不妨设，则，， 因此或， 时，， 时，， 因此中只能选项一个，中选两个，为， 综上集合有，共有4个； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，关键点是如何找到集合，使得是的倍数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市回民学校 2024－2025学年度第一学期期中考试（11月） 高一数学 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，与是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在下列哪个区间存在零点（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为________. 12. 已知函数，若，则________. 13. 已知函数同时满足以下条件： ①定义域为；②值域为；③，都有. 试写出一个函数解析式_________. 14. 方程组的解集________. 15. 已知符号表示不超过x的最大整数，若函数（），给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知全集，集合，. （1）当时，求集合，，； （2）若，求实数的取值范围. 17. 求下列不等式的解集. （1）； （2）； （3）； （4）. 18. 已知函数， （1）判断函数的奇偶性？并证明； （2）试用函数单调性的定义证明：在上为增函数； （3）若，且，求的取值范围. 19. 已知二次函数图象过点，，. （1）求函数的解析式； （2）已知函数有两个不同的正数零点. （i）求的取值范围； （ii）若，求的值. 20. 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)． (1)当时，求s的值； (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由． 21. 已知集合，其中且，，非空集合，记为集合中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． （1）若，，写出所有可能的集合； （2）若，，且是12的倍数，求集合的个数； （3）若；证明：存在非空集合，使得是的倍数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $