第11练 函数的图像、函数与方程-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分专题二 函数、导数及其应用 第11练 函数的图像、函数与方程 [小题·精讲精练] 【例2】已知函数f(x)= e,x0, lIn z,r>0g()= [例题讲坛] f(x)+x十a.若g(x)存在2个零点，则a的取值 【例1】函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x) 范围是 的解析式可能为 A.[-1,0) B.[0,+o∞) C.[-1,+∞) D.[1,十∞) [思路引导]已知函数零点个数求有关参数的 取值范围何题的 -2-11012 关键是将函数零点个数问题转化为方程解的个 A.f(r)=zsin r+.r2 rsin r 数，或两个函数图象交点的个数问题，再去求解 Ix+1 B.f(x)= x+1 [解析]画出函数f(x) C.f(x)= asin x-+a D.f(x)= xsin x 的图象，y=e2在y轴右 交 x十1 x2+1 侧的图象去掉，再画出 [思路引导] 直线y=一x,并上下移 作 由图象分析出函数的奇偶性、函数值符号，结合 动，可以发现当直线过 -3-2-10 排除法可得出合适的选项， ,点(0,1)时，直线与函数 业 [解析]由图象可得函数f(x)为偶函数，且x∈ 图象有两个交点，并且 R,f(x)≥0，当且仅当x=0时，f(x)=0, 向下可以无限移动，都 时 对于A,因为f(-x)=一xsin(-x)+(-x)2 可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程 -x+1 f(x)=一xr一a有两个解，也就是函数g(x)有两 可 个零，点，此时满足一a≤1，即a≥一1. 中=f八)，∈R,所以函数f)是偶函 rsin x+x2 [答案]C 沿 数，又y=sinx十x,x>0, 【规律归纳】已知函数有零点求参数值或取值范 则y'=cosx十1≥0，所以函数y=sinx十x在 围常用的方法和思路： 此 (0,十o∞)上单调递增，所以y=sinx十x>0,故 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的 不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围， 解析式可能为A,故A正确：对于B,由 3 (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域 线 。37元 的问题加以解决， 2 2 (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直 <0,不合题意，故B错误： 十1 角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合 2 3元十1 求解 对于C,图为f(-x)=一xsin（-x)+(-x) -x+1 [小题·分层分练] atsin二，所以f(-x)≠f(x)且f(-x)≠ [一层·打基础] x+1 知识点一利用图象刻画实际问题 一f(x),所以函数f(x)是非奇非偶函数，故C错 1.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直 误：对于D,由f(x)=in=0,不合题意，故D 观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家 x2+1 万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图 错误.故选A. 象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分 [答案]A 【规律归纳】识别函数图象的方法技巧 析函数的图象特征.则函数()=一2红的图 x2+1 1,由解析式确定函数图象 象大致为 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置：从函 数的值域，判断图象的上下位置. ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势， ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性. ④从函数的周期性，判断图象的循环往复， ⑤从函数的特殊点，排除不合要求的图象， ⑥从函数的极值点判断函数图象的拐点， 2.由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为 熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义 城问题 21 培优限时练小题突破·数学 2.已知函数f(x)的部分图象大致如图所示，则：[三层·早拔尖] f(x)的解析式可能为 10.(多选)已知函数f(x)是定义在（一∞，0）U(0, +o∞)上的偶函数，当x∈(0，十∞)时，f(x)= r(x-1)2,0<x≤2 2f八x-2),x>2, 则下列选项正确的是( A.函数f(x)的最大值为1 B.函数f(x)的最小值为0 C.函数f(x)的零点有无数个 A.f(x)=-2x3+x B.f(x)= D.函数g(x)=8[f(x)]2-6f(.x)十1的零点个 x2+1 数为14 C.f(r)=xcos 4x D)= 11.已知函数f(x)= 1|x-1|,x<2 2(x-3)2-1,x≥2若方程 知识点二判断函数零点所在区间及零点个数 3.函数f(.x)=2十x3一9的零点所在区间为( f(f(.x)= 2的实根个数为 () A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4) A.4 B.8 C.10 D.12 4.已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当 x∈[-1,1]时，f(x)=2一1，则函数F(.x) 12.已知函数f(x)= x1≤2，若实数a,bd l5-x,x>2 f(x)一lgx的零点个数是 ( (a<b<c)满足f(a)=f(b)=f(c),则a十b= A.9 B.10 C.11 D.18 :a十b十c的取值范围是 知识点三函数图象、零点的应用 5.(多选)已知定义在R上的偶函数f(x),其周期 -2-2x+1x≤0·若方程 13.已知函数f(x)={log.5xc>0, 为4.当x∈[0,2]时，f(x)=2r一2，则 f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且 A.f(2023)=0 x1<x2<x3<x4,则a的最小值是 B.f(x)的值域为[-1,2] C.f(x)在[4,6]上单调递减 x&(x1+x2)+ 16,的最大值是 T3Ti D.f(x)在[-6,6]上有8个零点 6.(多选)记函数fx)=r十1≤0，若f) [小题·真题真练] llgx.x>0 1.(2024·全国甲卷)函数f(.x)=-x2+(e-e-r) =f(x2)=f(x3)(1,x2,x3互不相等)，则x1+ sinx在区间[一2.8,2.8]的图象大致为 x2十x3的值可以是 ) A.-2B.6 C.8 D.9 [二层·提考能] 7.函数f(x)=e一2十x的零点所在的区间是( A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1) 8.函数f(x)的一个正数零点附近的函数值用二分 法逐次计算，参考数据如下： f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.438)=0.165 f(1.4065)=-0.052 那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为( A.1.5B.1.25C.1.41 D.1.44 9.函数f(.x)= 4nx+的大致图象是 ee 2.(2023·天津卷)函数f(x)的图象如下图所示， 则f(x)的解析式可能为 A.5(e-e) B.5sin x2+2 x2+1 C.5(ete-r) D. 5cos x x2十2 x2+1 22培优限时练小题突破·数学 对于D,二次函数开口向上,所以a>0,此时g(r)一工”在 小题·真题真练 (0.十o)为增函数,符合;故选B. 1.D 易得,→1,所以a的取值范围是[2,十co);故选D. 11.解析:①当a=3时,/(x)- ,0<r<3. logx.x>3, 第11练 函数的图像、函数与方程 则 /(9)-log9-2. './[/(9)]-f(2)-v②; 小题·分层分练 ②分别画出y一f(x)与y一2的图象,如图所示 1.C 由题意可知:/(r)的定义域为R,关于原点对称, 7 ....-f) 奇函数,排除AB,且/(1)一-1<0,排除D.故选C. 7=2 2.C 由图象可知f(1) 0,故BD不成立;对于A选项;f(x) 9x 画数y-f(x)一2有两个零点,结合图象可得4<a 9 当/()<o时e(-。)(+), 故a的取值范围是[4,9). 故答案为:v2:[4,9). 所以1(2)在(-)上单在(一)上单 答案:①/2 ②[4,9) 12.解析:因为h(x)=x+(2-2n)x+m-m+1=(x-m+$ 调逃增,在(^+)上单调逃增,不符合图象,故A不成 1){}+m,所以h(x)图象的对称轴为直线x一m-1, 则h(x)的最小值为n. 立:故选C. 不等式h(h(x))0对xR恒成立等价于V/ 3.B 由已知,可知f(x)为增函数,且f(1)-2十1-9=-6 [m.十),h()一0. 0.f(2)-4十8-9-3 0,根据零点存在定理,函数f(x)在 因为h(1)在[m,十oo)上单调递增; (1,2)有零点,且零点是唯一的,故选B. 所以h(t)=h(m)=m+1,则m+1>0,解得m -1; 4.B 在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y一llgxl的 故m的取值范围是[一1,十co). 大致图象如图,由图象可知,它们共有10个不同的交点,因 故答案为:[-1,十o0). 此函数F(x)-f(x)一 |lgxl的零点个数是10. 答案:[-1,十o) 5.AB 对于A,f(2023)-f(506×4-1)=f(-1)=f(1)= 13.解析:由f(-x)=-f(r)得(m-2)x-(m-8)x= 0,所以A正确; -(n-2)r-(m-8)x. 对于B,当x[0,2]时,f(x)-2-2单调递增, 则n-2-0,即m-2,../(x)--6x,f(x)是R上的奇 所以当x[0,2]时,f(x)的值域为[-1,2], 数,且为减函数,由f(x+1) f(a)恒成立得工+1a恒 由于函数是偶函数,f(x)在[一2,0]上的值域也为 成立,又当xR时,x十1二1,所以a1. [一1,2],又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)的值域 答案:(-。.1) 为[一1,2],所以B正确; 14.解析:因为/(x)是二次函数,所以令f(x)一一x*}十 对于C,当x[0,2]时,f(x)-2*-2单调递增, 2r.(x0). 又f(x)的周期是4,所以f(x)在[4,6]上单调递增,所以C 令g(x)=xf(x+1)=x[-(x+1)*}+2(r+1)]=- 错误: 十r, 对于D,令f(x)=2-2-0,得x=1,所以f(1)=f(-1) g(-x)--(-r)-r=一g(x),故满足条件②; 0.由于f(x)的周期为4,所以f(5)-f(-5)-0,f(3) 令(c)-(2)--+2--+2在(0+)上是减画 f(一3)=0,所以f(x)在 -6,6]上有6个零点,所以D错 误,故选AB. 数,满足条件③, 6.BC 作出f(z)-{|+1|,<0 故答案为:一r十2x. 的图象,如图: 1lgr,r>0 答案:-r十2x 15.C 不等式xy ax*+2y*对于xé[1,2],y[2,3]恒成 #y-() 立,等价于a-2(-)对于x[1,2],y[2,3]恒成 立,令--,则1<3.',a-2r在[1,3]上恒成立, 令f(x)一f(x。)一f(x)一a,根据图象知, 实数a的取值范围为(0,1],且一(x十1)=x。十1-lgx 'a一1,故a的取值范围是[一1,十).故选C. 16.D 当x(-1,1)时,不等式2kx*}-kx-3<0幅成立, -a,所以x+x.--2,x。-10”,因为a(0,1],所以10 (1,10],所以r.+x.+x6(-1,8], 结合选项知,x。+x。十x。的值可以是6,8.故选BC. 当k一0时,满足不等式恒成立: 7.D 因为f(x)一e一2十x,且函数连续不间断,所以/(0) 当-0时,令f(x)-2x一kx- 3,则/(c)<0在(-1. *-2+0<0.f(1)--2+10,f(2)--2+2>0. f(3)-e-2+3>0.f(4)-e-2+40 1)上恒成立,函数/(1)的图像抛物线对称轴为x一 所以f(0)f(1)<0.f(1)f(2)>0.f(2)f(3)0,f(3)f(4) >0时,/(t)在(-1.)上单调递减,在(士,1)上单调 0,由零点存在性定理得函数f(x)一e一2十x的零点所 在的区间为(0.1),故选D. (1)#2^## 8.C 由所给数据可知,函数f(x)在区间(1,1.5)内有一个根, ,解得0之二1 递增,则有 #(1#2#。# 因为/(1.5)-0.6250.f(1.25)--0.984 0. 所以根在(1.25,1.5)内, 因为 1.5-1.25|-0.250.1,所以不满足精确度; <0时,/(x)在(一1.)上单调递增,在(,1)上单调 继续取区间中点1.375, 因为/(1.375)=-0.260<0,f(1.5)=0.625 0. 递减, 所以根在区间(1.375,1.5). 因为|1.5-1.375 |-0.1250.1,所以不满足精确度, 继续取区间中点1.438, 综上可知,k的取值范围是(-3.].故选D. 因为f(1.438)-0.1650./(1.375)=-0.260<0. 所以根在区间(1.375,1.438)内. 128 参考答案 因为|1.438-1.375 -0.063 0.1满足精确度, 则a+b+c-2十cE[6,7). 因为f(1.4065)=-0.052<0,所以根在(1.4065,1.438) 故答案为:2:[6,7). 内,所以方程的一个近似解为1.41,故选C. 答案:2[6,7) 9.A 由题意得4ln|*|+10,即ln|x|--,得x≠ 13.解析:作出函数f(x)的图象 如图所示。 士e,且x子0. 由图可知,要使方程f(x)一 所以f(x)的定义域为(r |x士e,且x0) a有四个不同的解,则需1< a<2,故a的最小值是1. -e ,三 #/(-x)-ln-+1= 。一 4ln 1=一/(c)所以 由二次函数图象的对称性 可知,x十x。=-2,由对数 f(x)为奇函数, 110 其图象关于原点对称,排除B.C: 函数的图象及性质可知, llog=llog l,即logx=-log,所以。 ##<<十.()-寸- ### -3 <0,所以 二 排除D.故选A. 10.ABC,xE(0,2]时,f(x)-(x-1),当x2时,f(x) xr 最大值为-2×2+1-4. 2/(x-2),.当x(0.十oo)时,将/(c)在区间(0.2]上 答案:14 的图象依次向右乎移2个单位长度的同时,再将图象上所 小题·真题真练 有点的纵坐标缩短为原来的一,就可以得到函数/(x)在 1.B 排除法。由题知函数/(x)的定义域为R,关于原点对 (0.十oo)上的图象,又f(x)是偶函数,.f(x)的图象关于 称,f(-r)=-(-r)十(e-e)sin(-x)=-r十(e- 轴对称,排除A.C;/(1)--1+(e--)sin1-1+ v轴对称,作出y一f(r)的图象如图所示。 e)sinx一f(x),所以函数f(r)为偶函数,函数图象关于y #(6);→ _故选B.。# 2.D 由图知:函数图象关于y轴对称,其为偶函数,且/(一2) 由图可知选项A,B.C正确.令g(x)=0.得f(c)-或 ) -f(2)<0. 5sn且定义域为R,即B中画数为奇函 ()-l,易知直线y-与y-/(r)的图象有6个交 1+1 数,排除; 点,直线y-与画数y-/(c)的图象有10个交点,.函 当x→0时))→0.5(+)0.即A.C 中(0.+o) 十2 十2 数g(x)共有16个零点,选项D不正确.故选ABC. 上函数值为正,排除; 11.C 因为(c){ 2 故选D. 2(r-3)-1,x>2' 则#(-()#/(2)#1./(4)#-1. 第12练 函数模型及其应用 小题·分层分练 令 1.D 从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40km/h时的 .2 燃油效率大于5km/L,故乙车消耗1L.汽油的行驶路程可 大于5km,所以选项A错误;由图可知以相同速度行驶相同 又在同一平面直角坐标系中画出y-/(x)与y-士的 路程甲车消耗汽油最少,所以选项B错误;甲车以80km/h 图象, 的速度行驶时的燃油效率为10km/L.,故行驶1小时的路程 由图象观察可知y一f(r)与 为80km,消耗8L.汽油,所以选项C错误;当最高限速为 -有4个交点,不妨设 80km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效 率,故用丙车比用乙车更省油,所以选项D正确 为x.x.r.x且xx。 2.D 因为△ABC是边长为2的等边三角形, <r<r. 所以当AE一x时,设直线/与AC交点为F, 2 ##(0<1). <2<r<3<r<4. 当f(/(x)-一时,由f(x) 此时函数为开口向上的二次函数;此时可排除BC, 当E点在AB中点右侧时,SAm-(2-x)·③(2-x)一 =.,0<x=<1,则存在4个不同实根, #(2_)} 由f(x)-工,2<x。3,则存在2个不同实根, 由/(x)一x,3<x4,则存在2个不同实根, 综上f(f(x))-一的实根个数为10.故选C. ##(-2)#③(1<2), (1x-1<2,故f(c)在(-oo,1]. 12.解析:由/(r)一 15-r,r>2 此时函数为开口向下的二次函数,此时可排除A,故选D. (2.十)上单调递减. 在[1,2]上单调递增,且有f(1)=0,f(2)=1,f(0)=1; f(4)-1.f(5)-0,5-2-3; 由 /(a)=f()=f(c),则0 <1<2<4>c< 由x[0,2]时,f(x)- x一1,则f(x)关于x=1对称, 故十-2, 129