第9练 对数与对数函数-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分 专题二 函数、导数及其应用 ------- 第9练 对数与对数函数 [小题·精讲精练] [logx,x2, 当-2时,f(x)-{ x-2 [解析] [例题讲坛] 当<2时,/(x)--2-3+1 【例1】 已知a>b>0,若log.b+loga= x-3 效 r-3 ,则# (0.1). _ ) 当x2时,f(x)=|logx=logx[1,+co). A.② B.2 所以当a一2时,/(x)的值域为(0,十) C.2v2 D.4 画出f(x)每段的图象,如图所示: [思路引导] 灵活运用对数的运算性质。 交 5 [解析] .logb十loga logb 作 解得log.b=2或log.b-,若log.b-2, , 业 则b-a^②},代入ab-b"得a“{}-(a②)“-a^②}, '.-2a,又a>0.a-2. 时 则b-22-4,不合题意;若logb- 由图象知:当a<2或a>3时,存在x1,x2 可 (x子x2),使得f(xi)一f(x2). 即=b^,代入a-b得(^{②})b-^2-^{}, 当2<a<3时,不存在x1,x2(xi≠x2),使得 *.2b-b,又b0..-2. f(x)-f(x). 则a-6-4..-2.故选B. 此 故答案为:(0,十o),[2,3] “6 [答案](0,十oo)[2,3] [答案] B 【规律归纳】 】 1.应用对数型函数的图象可求解的 【规律归纳】 对数运算的一般思路 问题 (1)将真数化为底数的指数寡的形式进行化简, (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的 (2)将同底对数的和、差、倍合并, 下 (3)*-Nb-log.N(a0,且a1)是解决有 对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域 关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意 (最值)、零点时,常利用数形结合思想, 互化. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应 (4)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底 的函数图象问题,利用数形结合法求解 的对数式. 2.对数函数图象的规律 【例2】 已知a>0,函数f(x)= 在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到 logx,xa 右底数逐渐增大. {-2 当a一2时,f(x)的值域为 {且:-3 [小题·分层分练] ;若不存在x1,x(x≠x2),使得f(x) [一层·打基础] 一f(x),则实数a的取值范围是 知识点一 对数式的化简与求值 [思路引导] 1. 下列结论中错误的个数为 (|logx ,r2. 1(其中e为自然对数的底数); 由a-2得到f(x)一 再分x<2 -2 lgeloge ②[(-8){}]--2;③23-3*2;④$ 和x二2,分别利用反比例型函数和对数函数的 性质求解:画出函数f(x)的图象,利用数形结合 e-2nx(其中x>0). A.0 B1 法求解. C.2 D.3 17 培优限时练小题突破·数学 2.(多选)已知25*一2-100,则下列式子中正确 lg2+lg5-1g8 12.(1)化简; 的有 ) ( lg50-1g40 (2)化简:23+log4二 ,-1 A. B. ab (3)设2“-5-m,且 C.ab8 D.a+2h>9 3. loge3·log4+log 8+5lo8.2- 知识点二 对数函数的图象及其应用 13.某服装店对原价分别为175元和200元的甲乙 4.已知函数①y=logx;②y=logx;③y=log; 两种服装搞促销活动,规定甲服装每天降价 ④y=logx的大致图象如图所示,则下列不等 5%,直到其售完为止;乙服装每天降价7%,直 ( 关系正确的是 __ 到其售完为止.假设两种服装在10天内均没有 售完, ①y-lngx 天后甲服装的售价将高于乙服 装的售价: ②-l□, ③-lng: 的解集是 ④y=logx [三层·早拔尖] A.a十c十a B.a十db十c 15.(多选)已知函数f(x)一-logx,下列说法正确 C.b十c<a十d D.b+d<a十c 的是 ) 5.若函数f(x)一log。(x十a)的图象过点(-2,0). A.函数f(x)为偶函数 则a- _ B.若f(a)= f(b) ,其中a>0,b>0,a去b,则 A.3 B.1 C.-1 D. -3 a-1 知识点三 对数函数的性质及其应用 C.函数f(一r^2+2x)在(1,3)上单调递增 6.若函数f(x)-ln(x2-2ax+3a)在[1,+oo)上 D.若0<a<1,则|f(1+a)<|f(1-a) 单调递增,则实数a的取值范围是 ( ) 16.如图所示,正方形ABCD的 A.(-,1] B.(-1,1] 四个顶点在函数 = C.[-1,十) D.[1,十) logx,y2=2logx.y3= 7.已知函数v一f(x)是定义域为R的奇函数,当; logx+3(a>1)的图象上,) >0时,f(x)=logx,若f(a)>1,则实数a的取 值范围为 则a一 [二层·提考能] 17.若函数f(x)-log.(2xr-a)在区间[,2]上恒 8.已知函数①y-4;②y=log.2;③y=logx;④y -logo.ux;y-logx+1;y=log(x+1).其 有/(x)>0则实数a的取值范围是 ) ( 中是对数函数的是 18.已知16log .r-glog .-x,16log y-12logy-y. A.①②③ B.③④ C.③④ D.②④ 9.若logx-logay-logsx<-2,则 ,_ _ [小题·真题真练] A.2x<3y<5s B.5<3y2x D.5<2x<3y 1.(2024·天津卷)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c= C.3v2r5 log0.2,则a,,c的大小关系为 10.设函数f(x)--4+2+1-1,g(x)-lg(ax^②} ) A.a>>( 一4x十1),若对任意心ER,都存在x。ER,使 B.b>a>e C.c>a>b f(x.)三g(xo),则实数a的取值范围为( D.b>ca ) A.(0,4] B.(-,4] 2.(2024·新课标全国II卷)设函数f(x)一(x十a) C.(-4.0] D.[4.十) ln(x十b).若f(x)>0,则a②}十62的最小值为 $1.在y=3,y=logoax,y=x,y=x,这四个函$ #A.B.C.# 数中,对于定义域中的任意x1,x(x1去x2),使 D.1 2 恒成立的函数的 3.(2024·全国甲卷)已知a1且 logsa log4 个数是 ,-_ ) A.0 B.1 C.2 D.3 18参考答案 8.B因为y=x“图象过(1,1)，故由图象可得a<0, 所以函数L=√/一x+2x十3在[-1,1)上是增函数，在 又y=b图象过(0,1)，故由图象可得0<b<1, [1,3]上是城函数， 又y=logr图象迹(1,0)，故由图象可得c>1. 故log1c<log11=0,0<sinb<1,>b°=1，故log4c< 因为函数y ( ）是减函数 sinb<b.故选B. 9.AB因为函数y=logx为(0，十o)上的增函数，由l0ga≤ 所以画载=（侵）】 的单调递增区间为[13]. logb,可得b>a>0.由于函数y=3r为R上的增函数，则 3☑<3动，故A正确：画数y=(侵厂为R上的减画数，且。 故答案为：[片1]小：[13]（开闭均可） <0,则（号）广-b>(宁)=1，故B正确：南对数的注质可 答案：[小[13]（开闭均可） 15.C 令g(x)=(x-a)(x+2)=x2+(2-a)x-2a, 得b一a>0,但b-a与1的大小关系不确定，故ln(b一a)与 0的大小关系不确定，故C错误：取a=3,b=9,则有log13= 因为y=(写）广在定义越R上单调适减， 1>2=log3,即1og3>log3,故D错误. 是维画数)=（付）0 在区间（一1,2）上单调 1B对于A:圆为子>1，降以号-（受y>(宁”=1.所以 递增，则g(.x)=r+(2-a)x-2a在区间(-1,2)上单调 x>y,所以A错误：0<a<1,所以f(x)=a为减函数， 递减，所以“22≥2，解得≥6，所以a的取值花国为 又x>y>1,所以a<a,B正确，C错误：对于D,图为a< [6,十o∞).故选C a=1而y>y=1,所以a'<y,所以D错误. 11.D从2023年起，第n(n∈N”)该企业人均增加收入超过 16,解桥：令g)=ar+2r+3,由于x)的位城是(0，号]， 3000元，因为从2023年起，每年将在此基础上以10%的增 所以g(x)的值战是[2，十∞). 长率增长，所以，第n年该企业的人均增加收入为1000× a>0 1.1"元，由1000×1.1>3000，即1.1*>3，可得1n1.1" 因此有12a-4-2.解得a=1, In 3 In 3 nln1.1>n3.所以，n>n=nn0≈ 4a 2.40-2.3011,故2023+12=2035年开始，该企业每年 1.10 这时g)=+2x+3,)=(宁y2 由于g(x)的单调递减区间是（一∞，一1门， 人均增加收入开始超过3000元，故选D. 所以f(x)的单调递增区间是（一∞，一1]. 12.B因为函数y=1-a(a>0,a≠1)是减函数，所以a>1. 答案：(-∞，一1] 又因为函数y=x+(a一5)x+1图像的对称轴是直线x= 522所以画数y=+(a-5)x+1在(-0,52)上单 17.B画数/)=e-吉的定义域为R “f(-x)-e-↓ 调道减，在（佰22十∞）上单调递增。 。与=二e三一f(x),·f(x)是奇函 数，那么不等式f(2x一1)十f(一x一1)>0等价于 a>I f(2.x-1)>-f(-x-1)-f(1+x),易证f(x)是R上的 又高数是R上的减高数，所以>1 ,解得2≤ 单调递增函数，.2x一1>x十1，解得x>2, .不等式f(2x一1)十f(一x一1)>0的解集为(2，十o∞). a-3≥1-a 小题·真题真练 a≤3，所以a的取值范围是[2,3].故选B. ) 1.B因为(x1y),(xy)为函数y=2的图象上两个不同 13.解折：画教f)=·3中，由a-1≠0，得r≠0， 的点，所以y=25y=2,且x1≠x…则2≠2=，所以y a‘-1 即函数f(x)的定义域为（一0©，0）U(0,十0∞)， 十头=21+2>2V的·25=2V√2的5，所以当十业> 2 由f(x)是偶蓝数得，对Hx∈（一0,0）U(0,十∞) f(一x)=f(r)恒成立， √20万>0，所以1g,当十出>10g,V2万=十，故 2 2 即x)'·3 -=x3·3 a-1 4·则—1—7，教罗】 3 选B. 2.D由y=1.0在R上递增，则a=1.01<b=1.01, a 由y-x3在[0，十∞)上递增，则a=1.01>c=0.6.所 a-1a-1' 以b>a>e.故进D. 因此a=9'对Vx≠0恒成立， 所以a=9. 3.D周为fx)=”为锅画数，则fx)-f(-x)= 故答案为：9 答案：9 1心一(-r。=[e-e门=0，又因为x不恒为 er-1 er-1 er-1 14.解析：令一x2十2x+3≥0，解得一1≤x≤3， 0,可得e-e-a=0,即e=e-,则x=(a-1)x,即1= 所以函教y=(侵) 的定义城为[一1,3]， a-1,解得a=2.故选D. 则-x+2.x+3=-(x-1)2+4∈[0.4]， 第9练对数与对数函数 所以√-x+2x+3∈[0,2]， 小题·分层分练 1 所以（）】 -+2十 ∈[： Ig 2 In2.Tog e 1.B对于①：由于ge =ln3,又y=lnx(r>0)是 增函数，故①正确， /++ 的值城为[子1]： 对于②：由于[（一8）门言=(82)齐=8=2，所以②错误. 对于③：对21=3“两边同时取常用对数，得g23 令1=√一x+2.x+3,.x∈[-1,3]， 1g3®2，即g3×1g2=g2×1g3,显然正确，故③正确. 令u=-x2十2xr十3，其在[-1.1)上是增函数，在[1.3]上 是减函数， 对于①：eh=C 而函数=√在定义域内为增函数， 综上，错误站论的个数为1.故选B. 125 培优限时练小题突破·数学 2.BCD由已知可得a=logs100,b=log100 所以子+方=2bgm25十0g2=1bgm1250≠1，故N 11.c 由()<f)士型可得高餐图象上任惑 2 两点(x1f(x,)),(x:,f(x)中点的函数值小于中点的 错误； 纵坐标，则函数为凹虽数， 所以。+号=l6g25+2kg2=10g100=1,故B正确： 又y=3,y=log.x图象满足题意. 故选C 由+名=12√品当当-名即=26=4时 a 取等号，显然取不到，所以ab>8,故C正确： 12.解折：1少原式-业2+5-8g(） =1 lg 50-lg 40 u+2=a+2)(日+)=5+2+岩≥5+2=9，当 a (2)23++=23·2%6+=21·2%1+=22h4=2X 且仅当2弘=0，即a=6=3时取等号，显然取不到，所以a十 41=2 2b>9,故D正确：故选BCD. (3)由2"=5=m得a=logm,b=logm, 3.解析：log:3·1og4+log,8十5% log.2+-log-5-log.10-2. 器器+器+ m2=10,m>0,故m=√10. -·微号+聚+2 故答案为：1,2,10 答案：(1)1(2)2(3)10 -2+号+-号 13.解析：设n天后甲服装的售价将高于乙服装的售价， 11 故答案为：气 则有1751-5%)”>201-7%)r→0.875>（器）n> 11 n0.875≈6.3 答案：2 n器 4.A由已知可得b>a>1>d>c,则a十b>a十c,b十d>a十 所以7天后甲服装的售价将高于乙服装的售价， c,故A正确，D错误：又a十d与b十c的大小不确定，故B,C 故答案为：7 错误.故选A. 答案：7 5.A由已知得f(-2)=log(-2+a)=0,所以-2+a=1. 解得：a=3,故选A. 14解折：f()+f)<0则n2十n2若，<0，由 6.B因为函数f(x)=ln(x一2a.x+3u)在[1，+o∞)上单调 2∠1 ->0 递增，所以 2 ,解得-1<a≤1.故选B 可释20 1-2a+3a>0 7,解析：因为函数y=f(x)是定义战为R的奇函数， 2-> 所以f(0)=0, 解得x∈(0√2)： 当x>0时，f(x)=logx, 又n 当x<0时，一x>0, (2-r)2-D<0.9(2-)2-<1.故x< 所以f(-x)=log(-x)=一f(x), (2-x2)(2-x）, 所以f(x)=一log(一x), 化简可得x”十x一2<0，解得x∈(-2,1). 若f(a)>1, 综上可得x∈(0,1). 当a>0时，可得loga>1,解得a>2, 故答案为：(0,1). 当a<0时，可得-log(-a)>1,解得-号<a<0, 答案：(0,1) 15.ABD对于A,f(x)=-logx,f(|-x)=-log2|- 当4=0时，可得0>1，显然不成立， x=一logx=f(|x),所以函数f(x)为偶函数，故A 正确： 故a的取值范国为{a|一豆<a<0或a>21. 对于B,若f(a)=|f(b),其中a>0,b>0,a≠b,则f(a)= 故答案为：a-号<a<0或a>21. If(b)=-f(b),-log:a=logb,logza+log,b=log:ab =0,得ab=1,故B正确； 1 答案：{a-2<a<0或a>2) 对于C,函数f(-x+2x)=一log2(-x+2x),由-x2+ 2x>0,解得0<x<2,所以函数f(-x十2x)的定义域为 8.C根据对数函数的定义，只有符合y=logx(a>0且a≠ (0,2),因此在(1,3)上不具有单调性，故C错误： 1)形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，是常数. 对于D,因为0<a<1,所以1十a>1>1一a>0,0<1- 易知，①是指数函数：②中的自变量在对数的底数的位置，不 是对数函数：6③中y=logx,是对数函数：①中y=log.ut a2<1,所以f(1+a)<0<f(1-a),故f(1+a)| lf(1-a)|=1-log:(1+a)|-|-log:(1-a)|=loge(1+ 是对数函数：⑤⑥中函数显然不是对教函数，由此可知只有 a)+log(1一a)=log(1一a)<0,故D正确.枚选ABD. ③④是对数函数，故选C 16.解析：设B(1,2logr1),C(x1log1十3)A(工log。r), 9.B=log:r=log y=logs<-2. D(x2,2logr2),则1ogxg=2logx1·∴.xy=x,又21ogx 则x=2,y=3,x=5, ∴2x=21,3y=3+1,52=5+1， =logx1十3,2 log.ri=logx1+3,即x1=a,.2=a2, 由<一2知k+1<-1,即函数y=x+'在(0，十o∞)上是减 ABCD为正方形，∴.|AB|=|BC.可得a一a=2,解得 a=2或a=一1（舍）. 函数，.5+1<3+H<21,脚5z<3y<2.x,故选B. 答案：2 10.Bf(x》=一(2)+2·2一1，令1=2，则f()=-7+ 21-1=一(1-1)≤0，设g(x)值城为A,因为对任意∈R 1.解桥：当0<u<1时，画数八)在区间[日，号]上是减画 都存在x:∈R使f(x1)=g(xt),所以（一oo,0们二A,设y= ax一4x十1的值城为B,则(0,1门二B,显然当a=0时，上 数，所以1og(号-a)>0,即0<号-a<1. 式成立：当a>0时，4=16-4a≥0解得0<a≤4，当a<0 时=0.8>1即1-≥1底立，旅上a<4,故 又2X合->0，解得<a<号，且a<1 a 选B 故号<a<1: 126 参考答案 当0>1时，函教)在区同[宁，号]上是增画数。 !3.B因为f(x)>0的解集为(-1,3)，故一2x2十bx十c=0的 所以log(1-a)>0, =-1×3, 两个根为一1,3，所以 2 .1 即1-a>1,且2×2-a>0, 2 =-1+3 中 解得a<0,且a<1,此时无解 令g(r)=f(x)十m, 实数a的取值范国是（号1） 则g(x)=-2x2+4x+6十m=-2(x-1)+8+m, 由x∈[一1,0]可得g(r)m=m, 答案：（号1）】 又g(x)≥4在[-1,0]上恒成立，故m≥4. 4.AC由图可知f(1)=a十b十c>0,故结论①正确： 18.解析：令m=log2x,n=logy,则x=12”,y=9”, 由图可知f(一1)=a一b十c<0,故结论②正确： 由题可得16-9=12"，16”-9"=12， 由图可知二次函数图象开口向下，所以a<0,且f(0)=c> 所以（器）”+()广=1.()广+()=1 0,对称轴x= -力>1>0→b>0,所以abc<0,故结论③不 2a 正确： 因为函数y=（品）厂+（子）在R上单调递减，所以m 由图可知二次函数图象与x轴有两个交点，所以△=方一 4ac>0→b>4ac,故结论④正确： (品)+()广”=1.得[()门+()》广-1=0. 由图可知对称轴1<一岛<号-3<女<-2，故特论同 正确： 粽上所迷：下而的选项中所有序号结论正确的有①②④⑤. 故选AC. 故答案为： 5.B易知f(x)=一x十m在R上是减函数.依题设，函数 g(x)=x一kx十m在[一1,1]上递减，所以抛物线的对称轴 答案5 合>1，所以>2 小题·真题真练 6.C法1：：f(0)=f(-1)=a>0,由 1.B由函数y=4.2单调递增可知，0<a<1<b,又c=log2 f(n)<0,得一1<m<0, 0.2<0,故b>a>c,选B. .0<m+1<1. 2.C等价转化法由f(x)≥0及y=x十a,y=ln(x十b)单调 递增，可得x十a与ln(x十b)同正、同负或同为零，所以当ln “fx)=(x+2y+a-: 、G+b)=0时x+a=0.即{名0，所以b=a+1,则a2+ :当>一时，函教f化x)递增， .f(m十1)>f(0)>0>f(m). 6-+a+1r-2(e+）'+号>选C 法2：因为fx)图象的对称轴为x=一2·f0)=a>0,所 3.解析：根据题意有 210g2=-.即310g2 1 5 以f(x)的大致图象如图所示， 3 logza 由f(m)<0,得一1<m<0,所以m+1>0, 所以f(m十1)>f(0)>0. 5 20g2-?,设1=log2(a>1),别1>0，故31-27 ! 7.B设)=r,将(2，)代入，得艺=，解得a=-2 ，得1=言u=-1舍去)所以10限2=言所以a=2 5 故f(x)=x2,易知f(.x)在(-o∞，0)上单调递增，在(0，+ ∞)上单调递减，且值拔为(0，十∞)，故A选项错误，B选项 所以a=64. 正确： 答案：64 f(x)=x的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，且f(一r) 第10练二次函数与幂函数 (一x)1=x2=f(x),为偶函数， C,D选项错误： 小题·分层分练 故选B. 1.A:f(x)为函数，∴.a2+2a一2=1→a=1或a=-3: 8.A根据题意，由f(1一x)=f(x)得：f(x)图象的对称轴为 当4=1时，f(r)=x,在(0，十∞)上单调递减： 当4=一3时，f(x)=x4,在(0，十o)上单调递增，不满足题 直线r=合设二次画纸为f儿)=a(r-专)十(a≠0). 意.综上可知4一1.故选A. 2.C图象(1)关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象 因fx)的最大值是8，所以a<0,当x=之时，/（受）=k 限递减，故y=x育满足： 图桑(2)关于y抽对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递 8,即二次画数f)=a(r-号)）广+8a≠0)，由f2)=-1 减，故y=音满足： 得：2)=a(2-）°+8=-1，解得a=-4,则二次画教 图象(3)非奇非偶函数，且不过原，点、第一象很递减，故y= x音满足： fx)=-4(x-之)+8=-4r+4虹+7，故选A 图象(4)关于y轴对称，为偶函数，且过原，点、第一象限递增， !9.C由题意知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x= 故y=x行满足； 2,图象在对称轴左侧对应的函数为减函数， 图象(5)关于原点对称，为奇函数，且过原点，第一象限递增， 又1一2x2<2,1十2.x-x=2-(x一1)2≤2，所以由 故y=京满足： f(1-2x)<f(1十2x-x),得1一2x2>1十2x-x,解得 图象(6)非奇非偶西数，且过原点、第一象限递增，而增长率 一2x0,故选C. 10.B对于A,二次函数开口向下，所以4<0，此时g(x)=x 随x增大递减，故y=r满足： 与图中符合： 图象(7)非奇非偶函数，且过原，点、第一象限递增，而增长率 对于B,二次函数开口向上，所以a>0,此时g(x)=x“在 随r增大递增，故y=x满足： (0,十∞)为增函数，不符合； 故图象对应解析式顺序为⑥①③②⑦①⑤. 对于C,二次函数开口向上，所以a>0,此时g(x)=x“在 故选C. (0,十∞)为增函数，符合： 127