5.2.1 三角函数的概念（教学设计）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

5.2.1 三角函数的概念 教学设计 1、 教学目标 1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义； 2.根据定义认识函数值的符号，理解诱导公式一； 3.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题； 4.体验三角函数概念的产生、发展过程，领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验。 2、 重点难点 1.教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义； 2.教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。 3、 学情分析&教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第五章《三角函数》，本节课是第3课时，这是节关于任意角的三角函数的概念课. 三角函数是高中范围内继指数函数、对数函数和幂函数之后学习的函数,是函数的一个下位概念,与指对数函数、幂函数属于同一抽象(概括)层次。它是一种重要的基本初等函数,是解决实际问题的重要工具,也是学习数学中其他知识内容的基础。 在初中,学生已学过锐角三角函数,知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。在此基础上,随着角的概念的推广,引入弧度制,相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数,此时它与三角形已经没有什么关系了。任意角的三角函数是研究一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助,这里体现了数形结合的思想,由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数,再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数,直至得到任意角的三角函数的定义,体现了合情推理的思想方法。本节课将围绕任意角三角函数的概念展开,任意角三角函数的概念是本节课的重点,能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键。 4、 学习目标 1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义． 2.掌握利用诱导公式一求给定角的三角函数值并能确定函数值的符号． 5、 导入新知 在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数，下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题，不失一般性，先研究单位圆上点的运动．现在的任务是： 如图5.2-1，单位圆上的点以为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点的位置变化情况． 根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题． 如图5.2-2，以单位圆的圆心为原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为．射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为． 探究 当时，点的坐标是什么？当或时，点的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ 一般地，任意给定一个角，他的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗? 利用勾股定理可以发现，当时，点的坐标是；当或时，点的坐标分别是和．它们都是唯一确定的． 注意点： (1)三角函数值是比值，是一个实数． (2)三角函数值的大小只与角的大小有关． 一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的．所以，点的横坐标、纵坐标都是角的函数，下面给出这些函数的定义． 设是一个任意角，．它的终边与单位圆相交于点． （1）把点的纵坐标叫做的正弦函数（sine function），记作，即 ； （2）把点的纵坐标叫做的余弦函数（cosine function），记作，即 ； （3）把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 ． 可以看出，当时，的终边在轴上，这时点的横坐标等于0，所以无意义，除此之外，对于确定的角，的值也是唯一确定的．所以，也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数（tangent function）． 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数（trigonometic function），通常将它们记为： 正弦函数； 余弦函数； 正切函数． 探究 在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设，把按照锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为，并把按照本节三角函数定义求得的的正弦记为，与相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？ 6、 应用新知 例1 求的正弦、余弦和正切值． 解：在直角坐标系中，作（图5.2-3）．易知的终边与单位圆的交点坐标为．所以， ， ， ． 【变式】已知角的终边经过点，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义，有，结合，解出，可求. 【详解】由题意可得，所以,又，所以，则. 故选：B 反思感悟　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值． (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝，tan α＝. (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论． 例2 如图5.2-4，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为．求证：． 分析：观察图5.2-5，由，根据三角函数的定义可以得到证明． 证明：如图5.2-5，设角的终边与单位圆交于点．分别过点，作轴的垂线，，垂足分别为，，则 ， ， ． 于是 即 因为与同号，所以 即 同理可得 根据勾股定理，．由例2可知，只要知道角的终边上任意一点的坐标，就可以求得角的各个三角函数值，并且这些函数值不会随点位置的改变而改变． 【变式】当角α为第一象限角时，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？怎样表示？ 【答案】答案见解析 【分析】根据三角函数线的定义求解即可. 【详解】如图，过角α的终边与单位圆的交点P向x轴作垂线，垂足为M，则，； 过点A（1，0）作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边交于点T， 根据正切函数的定义与相似三角形的知识，有．    探究 根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入表5.2-1，再将这三种函数的值在各象限的符号填入图5.2-6中的括号. 表5.2-1 三角函数 定义域 例3 求证：角为第三象限角的充要条件是 证明：先证充分性，即如果①②式都成立，那么为第三象限角． 因为①式成立，所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与轴的负半轴重合； 又因为②式成立，所以角的终边只能位于第三象限．于是角为第三象限角． 必要性请同学们自己证明． 【变式】已知且. （1）求角的集合； （2）若，求角终边所在象限； （3）判断的符号. 【答案】（1）；（2）终边在第二象限；（3）. 【分析】（1）由三角函数值的符号可得角的集合； （2）由（1）由不等式的性质可得的范围，可得所在象限； （3）由的象限可得三角函数值的符号，可得乘积的符号． 【详解】解：（1）， 所以位于第四象限， 角的集合为； （2）由（1）可得； 所以； 终边在第二、四象限， 又，所以终边在第二象限； （3）由（2）知终边在第二、四象限， 当终边在第二象限时，，， 所以 当终边在第四象限时，，， 所以 综上可得， 【点睛】本题考查三角函数值的符号及象限角，属于基础题． 反思感悟　判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． （3）正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等． 由此得到一组公式（公式一）： 由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点转一周，函数值将重复出现. 其中. 利用公式一，可以把球任意角的三角函数值，转化为求（或）角的三角函数值． 例4 确定下列三角函数的符号，然后用计算工具验证： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）因为是第三象限角，所以； （2）因为是第四象限角，所以； （3）因为，而是第一象限角，所以； （4）因为，而的终边在轴上，所以． 请同学们自己完成用计算工具验证． 【变式】若，则为（    ） A． 第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 【答案】D 【分析】根据三角函数在各个象限的符号判断即可. 【详解】因为，所以同号， 在第一象限时， 在第四象限时， 所以是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号. 故选：D. 反思感悟　利用诱导公式一进行化简求值的步骤 (1)定形：将已知的任意角写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中α∈[0,2π)． (2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值． 例5 求下列三角函数值：可以直接利用计算工具求三角函数的值．用计算工具求值时要注意设置角的适当的度量制． （1）（精确到0.001）； （2） （3）． 解：（1） （2）； （3） 【变式】已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程可求出的值，从而可求出角的其它三角函数值. 【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且， 所以， 所以， 由，可知，所以角为第二象限的角，所以， 所以，所以A错误，B正确， 所以，，所以CD正确， 故选：BCD 反思感悟　利用诱导公式一进行化简求值的步骤 (1)定形：将已知的任意角写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中α∈[0,2π)． (2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值． 7、 能力提升 题型一　三角函数的定义及应用 【练习1】已知角α的终边上有一点，其中． (1)判断角是第几象限角； (2)求角的正弦、余弦及正切值． 【答案】(1)第二象限 (2)，， 【分析】（1）根据，判断出点横坐标、纵坐标的正负即可得解； （2）依据三角函数定义即可求得角的正弦、余弦和正切值． 【详解】（1）∵，∴，∴，， 所以点在第二象限，即角α的终边在第二象限； ∴角是第二象限角； （2）∵角的终边上有一点，∴， 即，又 由（1）知，角是第二象限角，所以 所以，． 反思感悟　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值． (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝，tan α＝. (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论． 题型二　判断三角函数值的符号 【练习2】给出下列各三角函数值：①；②；③；④．其中符号为负的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABC 【分析】根据三角函数在各象限的符号即可判断. 【详解】解：对①：因为是第三象限角，所以； 对②：因为是第二象限角，所以； 对③：因为是第二象限角，所以； 对④：因为是第一象限角，所以. 所以符号为负的是①②③， 故选：ABC. 【感悟提升】 1．判断三角函数值符号的步骤 (1)定象限：根据题目给出条件，确定角所在的象限； (2)定符号：根据角所在象限，利用三角函数的定义，最终确定符号． 2．由三角函数值的符号确定角α的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求． 题型三　公式一的应用 【练习3】求下列各式的值： sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°； 解：原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝×＋×＝＋＝. 反思感悟　利用诱导公式一进行化简求值的步骤 (1)定形：将已知的任意角写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中α∈[0,2π)． (2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值． 【感悟提升】公式一的应用策略 (1)公式一可以统一写成f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)的形式． (2)利用它可以把任意角的三角函数值转化为0到2π角的三角函数值，即可把负角的三角函数化为0到2π角的三角函数，亦可以把大于2π角的三角函数化为0到2π角的三角函数，即对角实现负化正、大化小的转化． 8、 课堂总结 1．知识清单： (1)三角函数的定义及求法． (2)三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. (3)诱导公式一． 2．方法归纳：由特殊到一般、转化与化归、分类讨论． 3．常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为. 9、 作业设计 1.练习（第179页）第 1.2.3题；2.练习（第182页）第 1.2.3题 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 练习（第179页） 1．利用三角函数定义，求0，，，的三个三角函数值． 1．解析：；没有意义； ； 没有意义． 0 0 1 0 1 0 0 0 不存在 0 不存在 2．利用三角函数定义，求的三个三角函数值． 2．解析：设角的终边与单位圆的交点是，则，， 即，． 3．已知角的终边过点，求角的三角函数值． 3．解析：点到原点的距离， ． 4．已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1 rad/s．求2 s时点P所在的位置． 学习了三角函数的定义，接下来研究它们的一些性质． 4．解析：答案不唯一．以坐标原点为圆心O，OP所在直线为轴正方向建立平面直角坐标系．2 s时点P所在的位置记为Q．因为点P是在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1 rad/s．所以圆心角．所以2 s时，点P在该平面直角坐标系中的位置为． 练习（第182页） 1．填表： 1．解析： 0 0 1 0 0 2．（口答）设是三角形的一个内角，在，，，中，哪些有可能取负值？ 2．解析：，，当为钝角时，，，即与有可能取负值． 3．确定下列三角函数值的符号： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 3．解析：（1）角的终边在第二象限，； （2）； （3）； （4）； （5）角的终边在第二象限，； （6）． 4．对于①，②，③，④，⑤与⑥，选择适当的关系式序号填空： （1）角为第一象限角的充要条件是 ； （2）角为第二象限角的充要条件是 ； （3）角为第三象限角的充要条件是 ； （4）角为第四象限角的充要条件是 ． 4．解析：（1）①③或①⑤或③⑤； （2）①④或①⑥或④⑥； （3）②④或②⑤或④⑤； （4）②③或②⑥或③⑥ 5．求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）题精确到0.000 1）： （1）； （2）； （3）； （4）． 5．解析：（1）； （2）； （3）； （4）． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$