5.1.2 弧度制（导学案）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

5.1.2 弧度制 导学案 1、 学习目标 1. 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化． 2. 掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式． 3. 体会引入弧度制的必要性． 2、 重点难点 教学重点： 1.弧度制的意义. 2.角度与弧度的互化. 3.弧度制下，弧长和扇形面积公式的运用． 教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。 3、 导入新知 同学们，本节课题目中有弧度二字，大家想到了什么？是否想到了足球射门的弧度、篮球投篮的弧度？我们认知的弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵．而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变． 一、弧度制的概念 量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 问题1　在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？ 我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的．这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制． 如图5.1-9，射线OA绕端点O旋转到OB形成角，在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角． 设，，点P所形成的圆弧的长为．由初中所学知识可知， 于是 ． 探究 问题2　如图5.1-10，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），．在旋转过程中，点Q所形成的圆弧的长为．与的比值是多少？你能得出什么结论？ 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 我们把半径为1的圆叫做单位圆．如图5.1-11，在单位圆O中，的长等于1，就是1弧度的角． 根据上述规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么 其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负．当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于或小于的角．这样就可以得到弧度为任意大小的角． 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。欧拉是明确提出弧度制思想的数学家．1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于弧度，1弧度等于周角的．这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算． 二、角度制与弧度制的相互转化 问题3　根据公式|α|＝，你能得出圆周角的弧度数吗？ 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．因为周角的弧度数是，而在角度制下的度数是360，所以 ，， ． 反过来有 ． 一般地，只需根据 就可以进行弧度与角度的换算了． 4、 应用新知 例4 按照下列要求，把化成弧度： （1）精确值； （2）精确到的近似值． 【变式】化为弧度为（    ） A．– B． C．– D．– 例5 将换算成角度（用度数表示，精确到）． 【变式】下列转化结果正确的是（    ） A．60°化成弧度是 B．－π化成度是－660° C．－150°化成弧度是－π D．化成度是15° 今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数．例如，角就表示是的角；就表示的角的正弦，即． 填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表： 度 弧度 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应（图5.1-12）． 问题3　我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？ 例6 利用弧度制证明下列关于扇形的公式： （1）； （2）； （3）． 显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单了．在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的使得． 【变式】已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 5、 能力提升 题型一　角度与弧度的互化 【例题1】 将下列各角度与弧度互化： 将下表中的角度和弧度互化： 角度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360° 弧度 题型二　利用弧度制表示角 【例题2】把化为的形式是（    ） A． B． C． D． 题型三　扇形的弧长公式与面积公式的应用 【例题3】已知扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝75°，R＝12 cm，求扇形的弧长l和面积； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)弧度制的概念． (2)弧度制与角度制的相互转化． (3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系． (4)弧度制下的扇形的弧长与面积的计算． 2．方法归纳：由特殊到一般、数学运算． 3．常见误区：弧度与角度混用． 7、 作业设计 习题 5.1（第175页） 5.（2）、（4）,6.（1）,9题 练习（第175页） 1．把下列角度化成弧度： （1）； （2） ； （3）． 2．把下列弧度化成角度： （1）； （2）； （3）． 3．用弧度表示： （1）终边在轴上的角的集合； （2）终边在轴上的角的集合． 4．利用计算工具比较下列各对值的大小： （1）和； （2）和． 5．分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m的圆中，的圆心角所对的弧的长度（可用计算工具）． 6．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数． 习题 5.1（第175页） 复习巩固 1．在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： （1）； （2）； （3） （4） 2．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 3．分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合． 4．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？ 5．把下列角度化成弧度： （1） （2） （3） （4） 6．把下列弧度化成角度（第（3）（4）题精确到）： （1）； （2）； （3）1.4； （4）． 综合运用 7．选择题 （1）已知是锐角，那么是（ ） （A）第一象限角 （B）第二象限角 （C）小于的正角 （D）第一或第二象限角 （2）已知是第一象限角，那么是（ ） （A）第一象限角 （B）第二象限角 （C）第一或第二象限角 （D）第一或第三象限角 8．要在半径的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为112 cm，那么圆心角是多少度（可用计算工具，精确到）？ 9．已知弧长50 cm的弧所对圆心角为，求这条弧所在的圆的半径（可用计算工具，精确到1 cm）． 拓广探索 10．每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积． （1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下来的，而剩余部分的面积为，求与的比值； （2）要使与的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到）？ 11．（1）时间经过4 h（时），时针，分针各转了多少度？各等于多少弧度？ （2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次．你认为这种说法是否正确？请说明理由． （提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t 关于n的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．） 12．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿． （1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度； （2）如果大轮的转速为 180 r/min （转/分），小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1.2 弧度制 导学案 1、 学习目标 1. 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化． 2. 掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式． 3. 体会引入弧度制的必要性． 2、 重点难点 教学重点： 1.弧度制的意义. 2.角度与弧度的互化. 3.弧度制下，弧长和扇形面积公式的运用． 教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。 3、 导入新知 同学们，本节课题目中有弧度二字，大家想到了什么？是否想到了足球射门的弧度、篮球投篮的弧度？我们认知的弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵．而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变． 一、弧度制的概念 量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 问题1　在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示　1度的角等于周角的.圆心角是确定的． 我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的．这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制． 如图5.1-9，射线OA绕端点O旋转到OB形成角，在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角． 设，，点P所形成的圆弧的长为．由初中所学知识可知， 于是 ． 探究 问题2　如图5.1-10，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），．在旋转过程中，点Q所形成的圆弧的长为．与的比值是多少？你能得出什么结论？ 可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关．也就是说，这个比值随的确定而唯一确定．这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角． 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 我们把半径为1的圆叫做单位圆．如图5.1-11，在单位圆O中，的长等于1，就是1弧度的角． 根据上述规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么 其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负．当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于或小于的角．这样就可以得到弧度为任意大小的角． 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。欧拉是明确提出弧度制思想的数学家．1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于弧度，1弧度等于周角的．这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算． 二、角度制与弧度制的相互转化 问题3　根据公式|α|＝，你能得出圆周角的弧度数吗？ 提示　因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．因为周角的弧度数是，而在角度制下的度数是360，所以 ，， ． 反过来有 ． 一般地，只需根据 就可以进行弧度与角度的换算了． 4、 应用新知 例4 按照下列要求，把化成弧度： （1）精确值； （2）精确到的近似值． 解：（1）因为，所以 ． （2）利用计算器有 因此，． 【变式】化为弧度为（    ） A．– B． C．– D．– 【答案】A 【分析】根据弧度与角度的互化公式求解即可. 【详解】由， 即化为弧度为弧度， 故选：A 例5 将换算成角度（用度数表示，精确到）． 解：利用计算器有 因此， 【变式】下列转化结果正确的是（    ） A．60°化成弧度是 B．－π化成度是－660° C．－150°化成弧度是－π D．化成度是15° 【答案】AD 【分析】根据角度制和弧度制互化公式进行逐一判断即可. 【详解】因为，所以选项A正确； 因为，所以选项B不正确； 因为，所以选项C不正确； 因为，所以选项D正确， 故选：AD 今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数．例如，角就表示是的角；就表示的角的正弦，即． 填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表： 度 弧度 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应（图5.1-12）． 问题3　我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？ 提示　半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝，由弧度与角度的换算关系，我们可以知道圆心角α＝. 例6 利用弧度制证明下列关于扇形的公式： （1）； （2）； （3）． 其中R是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，S是扇形的面积． 证明：由公式可得 ． 下面证明（2）（3）． 半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是 ，， 将转换为弧度，得 ， 于是， ． 将代入上式，即得 ． 显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单了．在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的使得． 【变式】已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的面积公式，即可求得此扇形的面积，得到答案. 【详解】由题意，某扇形的半径为，圆心角为， 根据扇形的面积公式，可得 所以此扇形的面积为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式及其应用，其中解答中熟记扇形的面积公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 反思感悟　扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：面积公式：S＝lR＝αR2，弧长公式：l＝αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解． 5、 能力提升 题型一　角度与弧度的互化 【例题1】 将下列各角度与弧度互化： 将下表中的角度和弧度互化： 角度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360° 弧度 【答案】答案见解析 【分析】由，得，，可对角度和弧度互化. 【详解】，故： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 反思感悟　角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．一般情况下，省略弧度单位rad. 题型二　利用弧度制表示角 【例题2】把化为的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将角度化为弧度，运算即可得解. 【详解】由题意，. 故选：A. 【感悟提升】用弧度制表示角的关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用． 题型三　扇形的弧长公式与面积公式的应用 【例题3】已知扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝75°，R＝12 cm，求扇形的弧长l和面积； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解：(1)因为α＝75°＝，所以l＝αR＝12×＝5π(cm)，S＝lR＝30π(cm2)． (2)由已知，得l＋2R＝20， 则l＝20－2R，0<R<10. 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25. 此时l＝10 cm，α＝2 rad. 反思感悟　扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：面积公式：S＝lR＝αR2，弧长公式：l＝αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解． 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)弧度制的概念． (2)弧度制与角度制的相互转化． (3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系． (4)弧度制下的扇形的弧长与面积的计算． 2．方法归纳：由特殊到一般、数学运算． 3．常见误区：弧度与角度混用． 7、 作业设计 习题 5.1（第175页） 5.（2）、（4）,6.（1）,9题 练习（第175页） 1．把下列角度化成弧度： （1）； （2） ； （3）． 1．解析 （1）． （2）． （3）． 2．把下列弧度化成角度： （1）； （2）； （3）． 2．解析：（1）． （2）． （3）． 3．用弧度表示： （1）终边在轴上的角的集合； （2）终边在轴上的角的集合． 3．解析：（1）． （2）． 4．利用计算工具比较下列各对值的大小： （1）和； （2）和． 4．解析 ：（1），，． （2），，． 5．分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m的圆中，的圆心角所对的弧的长度（可用计算工具）． 5．解析 角度制下：，，弧长． 弧度制下：，，弧长． 6．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数． 6．解析 ，即该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为1.2． 习题 5.1（第175页） 复习巩固 1．在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： （1）； （2）； （3） （4） 1．解析：（1），故在范围内与角终边相同的角为，为第二象限角． （2），故在范围内与角终边相同的角为，为第一象限角． （3），故在范围内与角终边相同的角为，为第三象限角． （4），故在范围内与角终边相同的角为，为第四象限角． 2．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 2．解析：（1），在范围内，为，． （2），在范围内，为，． （3），在范围内，为，． （4），在范围内，为，． （5），在范围内，为，． （6），在范围内，为，． （7），在范围内，为，． （8），在范围内，为，． 3．分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合． 3．解析：第一象限角：或； 第二象限角：或； 第三象限角： 或； 第四象限角： 或． 4．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？ 4．解析：不等于1弧度．这是因为长度等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度的角，而等于半径长的弦所对的弧比半径长，所以等于半径长的弦所对的圆心角大于1弧度． 5．把下列角度化成弧度： （1） （2） （3） （4） 5．解析：（1）； （2）； （3）； （4）． 6．把下列弧度化成角度（第（3）（4）题精确到）： （1）； （2）； （3）1.4； （4）． 6．解析：（1）；（2）； （3）； （4）． 综合运用 7．选择题 （1）已知是锐角，那么是（ ） （A）第一象限角 （B）第二象限角 （C）小于的正角 （D）第一或第二象限角 （2）已知是第一象限角，那么是（ ） （A）第一象限角 （B）第二象限角 （C）第一或第二象限角 （D）第一或第三象限角 7．答案：（1）C （2）D 解析：（1）因为，所以，故选C． （2）因为，所以． 当为奇数时，是第三象限角；当为偶数时，是第一象限角．故选D． 8．要在半径的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为112 cm，那么圆心角是多少度（可用计算工具，精确到）？ 8．解析：设． 解法一：由，得，． 解法二：由，得，． 9．已知弧长50 cm的弧所对圆心角为，求这条弧所在的圆的半径（可用计算工具，精确到1 cm）． 9．解析：，所求半径． 拓广探索 10．每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积． （1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下来的，而剩余部分的面积为，求与的比值； （2）要使与的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到）？ 10．解析：设半径为R，扇子的圆心角为，则剩余部分的圆心角为． （1）． （2）由，可得，则． 11．（1）时间经过4 h（时），时针，分针各转了多少度？各等于多少弧度？ （2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次．你认为这种说法是否正确？请说明理由． （提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t 关于n的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．） 11．解析：（1）时针转了，等于弧度；分针转了，等于弧度． （2）不正确．理由：设从午夜零时算起，经过t min分针就与时针重合，n为两针一天内重合的次数． 因为分针旋转的角速度为，时针旋转的角速度为， 所以，所以．时针旋转一天所需的时间为（min）， 令，解得．故时针与分针一天内只会重合22次． 12．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿． （1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度； （2）如果大轮的转速为 180 r/min （转/分），小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？ 12．解析：（1）相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿， 当大轮转动一周时，小轮转动周，即， 小轮转动的角度为． （2）大轮的转速为180 r/min，小轮的转速为． 小轮周上一点每1 s转过的弧度为． 小轮的半径为10.5 cm， 小轮周上一点每1 s转过的弧度为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$