第4章 第16讲 全等三角形（课件PPT）-【中考通】2025年中考数学分层学案（河南专用）

2025河南 数学 02 核心考点·分层讲练 01 知识梳理·查漏补缺 03 聚焦河南·感知中招 第四章　三角形 第16讲　全等三角形 (3～10分) 第一部分　教材考点　分层复习 知识点　全等三角形的性质与判定 1．定义：能够①__________的两个三角形叫作全等三角形．如平移、翻折、旋转前后的两个图形必然全等． 2．性质：全等三角形的对应边②______，对应角③______． 周长、面积及对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等． 完全重合 相等 相等 知识梳理·查漏补缺 3．判定方法 判定方法 图形 几何语言 三边分别相等的两个三角形全等(基本事实) ∵ ∴△ABC≌△DEF⑤______ BC＝EF SSS 知识梳理·查漏补缺 判定方法 图形 几何语言 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(基本事实) ∵ ∴△ABC≌△DEF⑦______ BC＝EF SAS 知识梳理·查漏补缺 判定方法 图形 几何语言 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(基本事实) ∵ ∴△ABC≌△DEF⑨______ AB＝DE ASA 知识梳理·查漏补缺 判定方法 图形 几何语言 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 ∵ ∴△ABC≌△DEF⑪_______ ∠C＝∠F AAS 知识梳理·查漏补缺 判定方法 图形 几何语言 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ∵ ∴△ABC≌△DEF⑪_____ 温馨提示　(1)“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等． (2)“HL”是判定两个直角三角形全等的特有方法，对于一般三角形不适用． AB＝DE HL 知识梳理·查漏补缺 1．(人教八上P44T11改编)如图，点B，F，C，E在一条直线上，已知BC＝EF，∠B＝∠E，请你添加适当的条件，使得△ABC≌△DEF. (1)若要以“SAS”为依据，需添加条件____________． (2)若要以“ASA”为依据，需添加条件_______________________． AB＝DE ∠ACB＝∠DFE或AC∥DF 知识梳理·查漏补缺 (3)若要以“AAS”为依据，需添加条件____________． (4)若要以“SSS”为依据，需添加条件___________________． (5)当∠B＝∠E＝90°时，若要以“HL”为依据，需添加条件_______ _____． ∠A＝∠D AC＝DF和AB＝DE AC＝ DF 知识梳理·查漏补缺 2．如图，虽然三角形被纸板挡住了一部分，但是小明仍能画出一个能与这个三角形完全重合的三角形，其数学依据是________． ASA 知识梳理·查漏补缺 考点　全等三角形的性质与判定 类型1　平移型 1．(2024·盐城)已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF.若__________，则AB＝CD. 请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件(写序号)，使结论成立，并说明理由． 核心考点·分层讲练 解：选择①CE∥DF. ∵AE∥BF，CE∥DF， ∴∠A＝∠FBD，∠D＝∠ECA. ∵AE＝BF，∴△AEC≌△BFD(AAS). ∴AC＝BD.∴AB＝CD. 选择②CE＝DF，无法证明△AEC≌△BFD，无法得出AB＝CD. 选择③∠E＝∠F，易证△AEC≌△BFD(ASA)，∴AC＝BD. ∴AB＝CD. 核心考点·分层讲练 类型2　轴对称型 2．(2024·苏州)如图，△ABC中，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，大于 BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于点E. (1)求证：△ABD≌△ACD. 证明：由作图，知BD＝CD. ∵AB＝AC，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD(SSS). 核心考点·分层讲练 (2)若BD＝2，∠BDC＝120°，求BC的长． 解：∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD垂直平分BC. ∵∠BDC＝120°，∴∠CBD＝∠BCD＝30°. 核心考点·分层讲练 3．如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E. (1)图中共有___组全等三角形． (2)若AE＝6，CD＝8，则BD的长为____． 3 4 核心考点·分层讲练 类型3　旋转型 4．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． (1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是__________，位置关系是__________． PM＝PN PM⊥PN 核心考点·分层讲练 (2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由． 解：△PMN是等腰直角三角形，理由如下： 由旋转，知∠BAD＝∠CAE. ∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴BD＝CE，∠1＝∠2. 核心考点·分层讲练 ∵N是BC的中点，P是CD的中点，∴PN是△BCD的中位线． ∴PM＝PN.∵PM∥CE，PN∥BD， ∴∠3＝∠2＋∠4，∠5＝∠6. ∵∠8＝∠5＋∠7＝∠6＋∠7， ∴∠MPN＝∠3＋∠8＝∠2＋∠4＋∠5＋∠7＝∠1＋∠4＋∠6＋∠7＝∠ABC＋∠ACB＝90°. ∴∠MPN＝90°.∴△PMN是等腰直角三角形． 核心考点·分层讲练 1.平移型 基本图形 证明思路： ①通过加(减)公共线段得线段相等． ②利用平行线的性质找到对应角相等． 核心考点·分层讲练 2.轴对称型 基本图形 证明思路： ①公共边或线段的和差得线段相等． ②公共角、对顶角、等腰对等角等得对应角相等． 核心考点·分层讲练 3.旋转型 基本图形 证明思路： ①加(减)共顶点的公共角得对应角相等． ②加(减)公共线段得线段相等，或利用平行线的性质找到对应角相等． 核心考点·分层讲练 1．要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是_____米． 20 核心考点·分层讲练 2．(2024·牡丹江)如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D，E，F三点共线，请添加一个条件_____________________，使得AE＝CE.(只添一种情况即可) DE＝EF(或AD＝CF) 核心考点·分层讲练 3．(2024·广州)如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为(　　) C 核心考点·分层讲练 4．新定义 (2024·遂宁)如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 D 核心考点·分层讲练 命题点　全等三角形的性质与判定 6年6考 1．(2024·河南T23)综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 聚焦河南·感知中招 (1)操作判断 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有____(填序号). ②④ 聚焦河南·感知中招 (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； 聚焦河南·感知中招 解：①∠ACD＝∠ACB. 理由如下： 解法一：①过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD， 交CD的延长线于点F，如解图1所示． 图1 聚焦河南·感知中招 ∵四边形ABCD是邻等对补四边形， ∴∠B＋∠ADC＝180° . ∵ ∠ADF＋∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF. ∵∠AEB＝∠AFD＝90°，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADF(AAS).∴AE＝AF. 又∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴CA是∠BCD的平分线． ∴∠ACD＝∠ACB. 聚焦河南·感知中招 ② 若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的长(用含m，n，θ的式子表示) . 解：由①，可知△ABE≌△ADF，∴BE＝DF. ∵AE＝AF，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL). ∴CE＝CF.∴BC＋CD＝CE＋CF＝2CE. ∵∠BCD＝2θ，∴∠ACB＝∠ACD＝θ. 聚焦河南·感知中招 解法二：【提示】①如解图2，延长CB至点M，使BM＝DC，连接AM，证△ABM≌△ADC.②如解图2，过点A作AN⊥BC于点N，则CN＝ 图2 聚焦河南·感知中招 (3)拓展应用 如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长． 聚焦河南·感知中招 　【提示】当AB＝BM时，如解图3所示．当AB＝AN时，如解图4所示，不符合题意，舍去．当AN＝MN时，如解图5所示． 图3 图4 图5 聚焦河南·感知中招 2．(2021·河南T23)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 　　小明：如图1，(1)分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF(点C，E不重合)；(2)分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为G，H；(3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下： 聚焦河南·感知中招 　　小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下：如图2，(1)分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF(点C，E不重合)；(2)连接DE，CF，交点为P； (3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线． …… 任务： (1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是_____ (填序号). ①SSS　②SAS　③AAS　④ASA　⑤HL ⑤ 聚焦河南·感知中招 (2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由． 解：(2)是． 理由如下：连接EF，如解图所示． 由作图，可知OC＝OD，OF＝OE. 又∵∠COF＝∠DOE， ∴△COF≌△DOE(SAS). ∴∠OFC＝∠OED. ∵OF＝OE，∴∠OFE＝∠OEF. ∴∠PFE＝∠PEF.∴PF＝PE. 又∵OP＝OP，∴△FOP≌△EOP(SSS). ∴∠FOP＝∠EOP，即射线OP是∠AOB的平分线． 聚焦河南·感知中招 (3)如图3，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF＝ ＋1.点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长． 聚焦河南·感知中招 $$