第4章 第15讲 特殊三角形（课件PPT）-【中考通】2025年中考数学分层学案（河南专用）

2025河南 数学 02 核心考点·分层讲练 01 知识梳理·查漏补缺 第四章　三角形 第15讲　特殊三角形 (3～16分) 第一部分　教材考点　分层复习 知识点1　等腰三角形的性质与判定 1．性质 (1)边、角：等边对等角，即两腰相等，两个①______相等，如图，AB＝AC，∠B＝∠C. (2)特殊线段：三线合一，即顶角的平分线、底边上的②______、底边上的高互相重合． (3)对称性：是轴对称图形，有1条对称轴(非等边三角形). 底角 中线 知识梳理·查漏补缺 2．判定 (1)边：有两条边③______的三角形是等腰三角形． (2)角：有④________相等的三角形是等腰三角形． 相等 两个角 知识梳理·查漏补缺 知识拓展 垂直平分线 等腰三角形 角平分线＋平行 等腰三角形 知识梳理·查漏补缺 知识点2　等边三角形的性质与判定 1．性质 (1)具有等腰三角形的所有性质． (2)边：三边⑤______，如图，AB＝AC＝BC . (3)角：三个角相等，且每个角都等于⑥______． (4)对称性：是轴对称图形，有3条对称轴． 相等 60° 知识梳理·查漏补缺 2．判定 (1)边：三边都⑦______的三角形是等边三角形． (2)角：三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是60°的⑧______三角形是等边三角形． 相等 等腰 知识梳理·查漏补缺 知识点3　直角三角形的性质与判定 1．性质 (1)角：两个锐角之和等于⑨______． (2)特殊线段：斜边上的中线等于斜边的⑩______，如图1，D是AB中点，则CD＝ AB. (3)特殊边、角关系：30°角所对的直角边等于 斜边的⑪______，如图2，∠A=30°，则BC= AB. 90° 一半 一半 知识梳理·查漏补缺 (4)边：勾股定理，即如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么⑫____________． 2．判定 (1)角：有一个角为⑬______的三角形是直角三角形； 有两个角⑭______的三角形是直角三角形． (2)边：勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足⑮____________，那么这个三角形是直角三角形． a2＋b2＝c2 90° 互余 a2＋b2＝c2 知识梳理·查漏补缺 知识点4　等腰直角三角形的性质与判定 1．性质 (1)具有直角三角形的所有性质． (2)角：两个锐角相等且都等于⑯______． (3)边：两直角边相等，即⑰____________． 45° AB＝BC 知识梳理·查漏补缺 2．判定 (1)角：有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形； 顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形； 有一个角为45°的直角三角形是等腰直角三角形． (2)边：两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形． 3.面积：S=. 知识梳理·查漏补缺 温馨提示　 1．含30°角的直角三角形的三边之比为⑱________．(如图1) 2．等腰直角三角形的三边之比为⑲__________．(如图2) 3．顶角为120°的等腰三角形的三边之比为⑳__________，面积为 ×腰长2.(如图3) 　　　　图1　　　　　　　 图2　　　　　　　　图3 知识梳理·查漏补缺 1．若等腰三角形中有一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为____________． 2．(人教八上P76例1改编)如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC是钝角．点D在底边BC上，连接AD，恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠B的度数是______. 50°或80° 36° 知识梳理·查漏补缺 3．(人教八上P83T14改编)如图，D，E是△ABC的边BC上两点，且BD＝DE＝EC＝AD＝AE，则∠C＝______. 30° 知识梳理·查漏补缺 4．(人教八上P83T10改编)如图，在△ABC中，BC＝7，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为14，则△ABC的周长是____． 21 知识梳理·查漏补缺 5．(北师八下P34T9改编)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ＝a，AD是△ABC的高，则AD＝______. 知识梳理·查漏补缺 6．一题串知识如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D为AB上一个动点，点E为BC的中点，AE，CD交于点O，连接DE. (1)若∠BAC＝40°，CD平分∠ACB，则∠COE＝______. (2)若点D为AB的中点，则DE的长为__. (3)若BC＝6，CD⊥AB，则AE的长为___，CD的长为__，DE的长为___. (4)若∠B＝60°，CD⊥AB，则BC的长为___，BD的长为__，AE的长为________，△ABC的面积为_____. 55° 4 3 5 知识梳理·查漏补缺 核心考点过关 考点1　等腰三角形的性质与判定 1．(2024·内江)如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为_______. 100° 核心考点·分层讲练 2．(2024·云南)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为(　　) C 核心考点·分层讲练 考点2　等边三角形的性质与判定 3．(2024·自贡)如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢(　　) D 核心考点·分层讲练 4．如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PDQ，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动___s. 1 核心考点·分层讲练 考点3　直角三角形的性质与判定 5．(2024·南充)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为(　　) C 核心考点·分层讲练 6．(2024·巴中改编)如图1，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD. (1)求证：点E在线段BD的垂直平分线上． 证明：如图1，连接DE，则DE是Rt△AEC的斜边中线， ∴CD＝DE. 又∵BE＝CD，∴BE＝DE. ∴点E在线段BD的垂直平分线上． 图1 (2)若∠ABD＝20°，则∠A＝_______． 40° 核心考点·分层讲练 图2 等边 核心考点·分层讲练 考点4　等腰直角三角形的性质与判定 7．(2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是(　　) B 核心考点·分层讲练 8．如图，等腰直角三角形ABE与等边三角形ABC的公共边AB＝2，BE交AC于点F，则△FBC的面积为________. 核心考点·分层讲练 高阶思维突破 重难点　特殊三角形的动态问题 典例1　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在直线AC上，AD＝1，过点D作DE∥AB交直线BC于点E，连接BD，点O 是线段BD的中点，连接OE，则OE的长为____________. 提示：①根据题意画出图形， 注意分类讨论；②作辅助线：作 OF⊥BC于F，在Rt△OEF中， 利用勾股定理求解 核心考点·分层讲练 方法总结 求线段长一般方法：勾股定理、相似三角形的性质或锐角三角函数．其中勾股定理或锐角三角函数均需要在直角三角形中求解，故常作辅助线构造直角三角形． 核心考点·分层讲练 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为_______． 6或12 核心考点·分层讲练 2．如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E为边BC上一点，且BE＝2，过点E作EF⊥AC于点F，G为EF的中点，D为边AB上一动点，连接DG.当点D运动到边AB的三等分点时，DG的长为________． 核心考点·分层讲练 典例2　如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，BC＝6，点P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为_______. 提示：两个直角，且E，F为动点，考虑构造直角三 角形斜边中线．连接BP，取BP中点G，连接EG， FG，则△EGF为等腰直角三角形．则EF＝ 即求BP的最小值即可 核心考点·分层讲练 3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，AD∥BC，AD＝2，点E为AC上一动点，连接DE，点F为DE的中点，连接BF，则BF的最小值是_______. 提示：取AD中点M，则MF∥AC，点B为定点，F在射线MF上运 动，垂线段最短，即当BF⊥MF时，BF有最小值 核心考点·分层讲练 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，P是AB边上的一动点，连接CP，M是CP上一点，且∠ACP＝∠CBM，取BC的中点O，则OM＝___，连接AM，则AM的最小值为_____. 提示：AM≥AO－OM 1 核心考点·分层讲练 1∶1∶ 1∶∶2 1∶1∶ a 拓展设问(3)如图2，若E是AB的中点，则△ABC是______三角形，＝___. 2－3 或 3或 EG＝BG＝BP， －1 $$