第3章 第11讲 二次函数的图像与性质（课件PPT）-【中考通】2025年中考数学分层学案（河南专用）

2025河南 数学 02 核心考点·分层讲练 01 知识梳理·查漏补缺 03 聚焦河南·感知中招 第三章　函数 第11讲　二次函数的图象与性质(3～10分) 第一部分　教材考点　分层复习 知识点1　二次函数表达式的三种形式   表达式 使用场景(求函数表达式) 一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 已知图象上任意三个点的坐标 顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 已知图象的顶点坐标或对称轴和最值 交点式 (两根式) y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 已知图象与x轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0) 知识梳理·查漏补缺 知识点2　二次函数的图象与性质 1．图象与增减性：图象是对称轴平行(或重合)于y轴的①________． a＞0，开口向上 a＜0，开口向下 抛物线 知识梳理·查漏补缺 a＞0，开口向上 a＜0，开口向下 在对称轴左侧，y随x的增大而②______； 在对称轴右侧，y随x的增大而③______ 在对称轴左侧，y随 x的增大而④______； 在对称轴右侧，y随x的增大而⑤______ 减小 增大 增大 减小 知识梳理·查漏补缺 2．对称轴：(1)对称轴公式：直线x＝⑥____； (2)对于顶点式y＝a(x－h)2＋k，对称轴为直线⑦______； (3)利用对称性：若x1，x2是图象上关于对称轴对称的两点的横坐标，则对称轴为直线⑧__________. 3．顶点坐标：(1)顶点坐标公式： ； (2)对于顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为⑪________． x＝h (h，k) 知识梳理·查漏补缺 4．最值：a＞0，当x＝h时，y有最⑫____值k； 或当x＝－ 时，y有最小值⑬_______； a＜0，当x＝h时，y有最⑭____值k； 或当x＝－ 时，y有最大值⑮__________. 小 大 知识梳理·查漏补缺 知识点3　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数的关系 1．a决定抛物线的形状和开口方向 a＞0，开口向⑯____； a＜0，开口向下． 越大，抛物线的开口⑰______. 2．a，b共同决定对称轴位置(同左异右) (1)b⑱____0，对称轴为y轴； (2)a，b同号，即ab＞0，对称轴在y轴⑲____侧； (3)a，b异号，即ab＜0，对称轴在y轴⑳____侧． 上 越小 ＝ 左 右 知识梳理·查漏补缺 正半轴 负半轴 知识梳理·查漏补缺 4．b2－4ac决定与x轴交点个数 两个 没有 知识梳理·查漏补缺 5．含系数a，b，c的关系式与0的关系 若出现a＋b＋c，则令x＝1，看纵坐标；若出现a－b＋c，则令x＝－1，看纵坐标； 若出现4a＋2b＋c，则令x＝2，看纵坐标；若出现4a－2b＋c，则令 x＝－2，看纵坐标； 知识梳理·查漏补缺 知识点4　二次函数图象的平移 平移前 平移方向及距离 (m＞0) 平移后 口诀 y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 向左平移m个单位长度 ㉕__________________ 左“＋” 右“－” 向右平移m个单位长度 y＝a(x－h－m)2＋k 向上平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k＋m 上“＋” 下“－” 向下平移m个单位长度 ㉖_________________ y＝a(x－h＋m)2＋k y＝a(x－h)2＋k－m 知识梳理·查漏补缺 1．一题串知识 已知二次函数y＝2x2＋4x＋3. (1)在如下平面直角坐标系中画出函数的大致图象． (2)该二次函数的图象开口向____，与y轴交于点________，对称轴为直线________． (3)该二次函数表达式化为顶点式为________________，顶点坐标为__________. 上 (0，3) x＝－1 y＝2(x＋1)2＋1 (－1，1) 知识梳理·查漏补缺 (4)当x_______时，y随x的增大而减小；当x_______时，y随x的增大而增大． (5)当x＝_____时，y有最小值为___． (6)当－2≤x≤1时，函数值y的取值范围是_________． ＜－1 ＞－1 －1 1 1≤y≤9 知识梳理·查漏补缺 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0). (1)若图象如图1所示，则a____0；ab____0；c____0；b2－4ac____0. 图1 ＜ ＜ ＜ ＝ 知识梳理·查漏补缺 (2)若图象如图2所示，则a____0；ab____0；c____0；2a－b_____0； b2－4ac____0； a－b＋c____0. 图2 ＞ ＞ ＜ ＝ ＞ ＜ 知识梳理·查漏补缺 3．根据下列条件，求抛物线的函数表达式． (1)抛物线的顶点在原点，且过点(2，8)：________． (2)抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点(－1，0)，(0，3)：_______________． (3)抛物线的顶点坐标是(2，1)，且经过点(1，0)：________________． (4)抛物线的顶点坐标是(2，1)，且形状和开口方向与抛物线y＝－2x2相同：__________________． y＝2x2 y＝－x2＋2x＋3 y＝－x2＋4x－3 y＝－2(x－2)2＋1 知识梳理·查漏补缺 考点1　二次函数的图象与性质 1．一题串知识 已知x与y的几组对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … 核心考点·分层讲练 (1)请在如下平面直角坐标系中描出对应点，并画出函数的大致图象． 核心考点·分层讲练 (2)求出y与x的函数表达式． 解：设y与x的函数表达式为y＝a(x－2)2－1(a≠0). 把(1，0)代入，得a－1＝0.∴a＝1. ∴y与x的函数表达式为y＝(x－2)2－1. (也可设交点式或一般式) 核心考点·分层讲练 (3)若函数图象向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的函数图象的表达式为_______． (4)①若函数图象上的两点A(－2，m)，B关于对称轴对称，则点B的坐标为_________． ②若点C到对称轴的距离为3个单位长度，则点C的坐标为___________ _______． (5)若点(－3，y1)，(5，y2)在函数图象上，则y1_____y2(填“＞”“＜”或“＝”). y＝x2 (6，15) (－1，8)或 (5， 8) ＞ 核心考点·分层讲练 2．(2024·滨州)将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为________． (1，2) 核心考点·分层讲练 考点2　二次函数图象与系数的关系 3．(2024·湖北)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是 (　　) A．a＜0 B．c＜0 C．a－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0 C 核心考点·分层讲练 4．(2024·甘孜州)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②－ ＞0；③当－1＜x＜3时，y＜0.其中所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③　　 C．②③ D．①②③ D 核心考点·分层讲练 5．(2024·泸州)已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为(　　) 提示：开口向上，对称轴在y轴右侧，与x轴有两个交点，交y轴于原点或正半轴 A 核心考点·分层讲练 重难点1　二次函数的对称性 典例1　一题串考法 已知抛物线y＝－ax2＋2ax＋1. (1)抛物线的对称轴是直线______． (2)若该抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，则该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为__________． (3)已知抛物线经过点A(x1，n)，B(x2，n)，则x1＋x2的值为___． (4)已知抛物线与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，则线段CD的长为___． x＝1 (－1，0) 2 2 高阶思维突破 (5)当a＝1时，抛物线为y＝－x2＋2x＋1，如图．点M，N是抛物线上两点，点M到抛物线对称轴的距离为1，点N到抛物线对称轴的距离为2，点Q是抛物线上M，N之间的一个动点(含点M，N)，点Q的纵坐标为yQ，求yQ的取值范围． 高阶思维突破 解：①如解图1所示，若点M，N位于对称轴的同侧，则yQ的取值范围是－2≤yQ≤1； ②如解图2，3所示，若点M，N位于对称轴的两侧，则yQ的取值范围是－2≤yQ≤2. 　　　　　　图1　　　　　　　　图2　　　　　　　　图3 高阶思维突破 重难点2　二次函数的增减性与最值 典例2　一题串考法 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点(1，0)，与y轴交于点(0，3). (1)求抛物线的表达式及顶点坐标． ∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3. ∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴顶点坐标为(2，－1). 高阶思维突破 (2)①若点(－2，y1)，(1，y2)在抛物线上，则y1，y2的大小关系是______. ②若点(－1，y1)，(6，y2)在抛物线上，则y1，y2的大小关系是______． ③若点(－3，y1)，(0，y2)，(5，y3)在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是____________．(用“＜”连接) (3)①当－2＜x＜1时，y的取值范围是__________． ②当－2＜x＜4时，y的最小值是_____，取值范围是____________． ③当y≥3时，x的取值范围是____________． y2＜y1 y1＜y2 y2＜y3＜y1 0＜y＜15 －1 －1≤y＜15 x≤0或x≥4 高阶思维突破 (4)若点M(m，y1)，N(5，y2)在抛物线上，且y1＜y2，求m的取值范围． 解：解法一：把x＝5代入y＝(x－2)2－1，得y2＝8. 令8＝(x－2)2－1，解得x1＝－1，x2＝5. ∵抛物线开口向上，y1＜y2，∴－1＜m＜5. 解法二：∵对称轴为直线x＝2， ∴点N关于对称轴对称的点的横坐标为2×2－5＝－1. ∵抛物线开口向上，y1＜y2，∴－1＜m＜5. 高阶思维突破 (5)当－2≤x≤a时，若y的最大值为15，最小值为－1，求a的取值范围． 解：∵y＝(x－2)2－1，y的最小值为－1，∴a≥2. 令15＝(x－2)2－1，解得x＝－2或x＝6. 又∵－2≤x≤a，∴a的取值范围为2≤a≤6. 高阶思维突破 拓展设问(6)当t－2≤x≤t时，y有最大值24，求t的值． 解：令24＝(x－2)2－1，解得x＝－3或x＝7. ∴t－2＝－3或t＝7，解得t＝－1或t＝7. ∴t的值为－1或7. 高阶思维突破 方法总结　二次函数中比较函数值大小的方法(数形结合) 方法1：利用对称性将点转化到对称轴同侧，再根据增减性比较大小． 方法2：利用点到对称轴的距离． a＞0，离对称轴越远y值越大； a＜0，离对称轴越远y值越小． 方法3(特殊值法)：代入特殊值进行比较． 高阶思维突破 体现探究过程　(2024·广西)课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝x2＋2ax＋a－3的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． (1)老师给出a＝－4，求二次函数y＝x2＋2ax＋a－3的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值． 高阶思维突破 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们求出对应的函数在x取何值时，y有最小值，并写出此时的y值．记录结果，并整理成下表： (注：*为②的计算结果) a … －4 －2 0 2 4 … x … * 2 0 －2 －4 … y的最小值 … * －9 －3 －5 －15 … 高阶思维突破 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x＝－a，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” 高阶思维突破 (2)请结合函数解析式y＝x2＋2ax＋a－3，解释甲同学的说法是否合理？ 高阶思维突破 (3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 高阶思维突破 命题点　二次函数的图象与性质6年4考 1．(2023·河南T9)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数 y＝x＋b的图象一定不经过(　　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D 聚焦河南·感知中招 2．(2019·河南T8)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n的值为(　　) A．－2　 B．－4 C．2 D．4 B 聚焦河南·感知中招 3．(2021·河南T22)如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b交于点A(2，0)和点B. (1)求m和b的值． 解：∵抛物线y＝x2＋mx经过点A(2，0)， ∴4＋2m＝0，解得m＝－2. ∵直线y＝－x＋b经过点A(2，0)， ∴－2＋b＝0，解得b＝2. 聚焦河南·感知中招 (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式 x2＋mx＞－x＋b的解集． 解：当x2－2x＝－x＋2时，解得x1＝－1，x2＝2. ∵点B在y轴左侧，且x＝－1时，y＝－x＋2＝3， ∴点B的坐标为(－1，3). 结合图象，可知不等式x2＋mx＞－x＋b的解集为x＜－1或x＞2. 聚焦河南·感知中招 (3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移 3个单位长度得到点N.若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围． 解：－1≤xM＜2或xM＝3. 聚焦河南·感知中招 4．(2020·河南T21)如图，抛物线 y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点G的坐标． 解：∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与y轴正半轴交于点B， ∴点B的坐标为(0，c)，c＞0. ∵OA＝OB，且点A在x轴正半轴上， ∴点A的坐标为(c，0). ∵抛物线y＝－x2＋2x＋c经过点A， ∴－c2＋2c＋c＝0. 聚焦河南·感知中招 解得c＝3或c＝0(舍去). ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴点G的坐标为(1，4). 聚焦河南·感知中招 (2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围． 解：抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1. ∵点M，N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位 长度， ∴点M的横坐标为－2或4，点N的横坐标为－4或6. ∴点M的纵坐标为－5，点N的纵坐标为－21. 聚焦河南·感知中招 又∵点M在点N的左侧， ∴当点M的坐标为(－2，－5)时，点N的坐标为(6，－21)，此时 －21≤yQ≤4； 当点M的坐标为(4，－5)时，点N的坐标为(6，－21)，此时 －21≤yQ≤－5. 聚焦河南·感知中招 － x＝ － $$