第3章 第9讲 一次函数（课件PPT）-【中考通】2025年中考数学分层学案（河南专用）

2025河南 数学 02 核心考点·分层讲练 01 知识梳理·查漏补缺 03 聚焦河南·感知中招 第三章　函数 第9讲　一次函数 (9～12分) 第一部分　教材考点　分层复习 知识点1　一次函数的概念 1．一次函数：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数． 2．正比例函数：特别地，当b＝①___时，y＝kx(k为常数，k≠0)叫作正比例函数． 0 知识梳理·查漏补缺 知识点2　一次函数的图象与性质 1．图象 草图 k＞0 k＜0 知识梳理·查漏补缺 经过象限 l1：经过第一、二、三象限； l2：经过第②________象限； l3：经过③______________象限 l1：经过第④____________象限； l2：经过第⑤________象限； l3：经过第二、三、四象限 与坐标轴的交点 与x轴交点坐标为⑥_______，与y轴交点坐标为⑦_______ 一、三 第一、三、四 一、二、四 二、四 (0，b) 知识梳理·查漏补缺 2．一次函数的图象与系数的关系 (1)k决定函数图象的走向(增减性)： k＞0 从左向右看，图象呈上升趋势，y随x的增大而⑧______； k＜0 从左向右看，图象呈下降趋势，y随x的增大而⑨______． (2)b决定图象与y轴的交点位置： b＞0 图象交y轴正半轴；b＜0 图象交y轴负半轴； b＝0 图象过原点． 增大 减小 知识梳理·查漏补缺 温馨提示 1.正比例函数的图象关于原点成中心对称. 2.直线y=kx（k≠0）与x轴的夹角（锐角）记为a，则tan a=. 3.一次函数y=kx+b中，自变量每增加1，函数值就增加k. 知识梳理·查漏补缺 (4)函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是___. (5)若点A(－1，y1)，B(3，y2)在函数图象上，则y1____y2. (6)若将函数图象向下平移2个单位长度，则平移后的函数图象的表达式为____________． ＞ y＝－2x＋1 知识梳理·查漏补缺 知识点3　一次函数表达式的确定(待定系数法) (1)设：设出一次函数表达式⑩________________．(若是正比例函数，可设y＝kx) (2)列：找出函数图象上的两个点，代入y＝kx＋b中，得到二元一次方程组． (3)解：解这个二元一次方程组，得到k，b的值． (4)还原：将所求的k，b的值代入所设的函数表达式中即可． y＝kx＋b(k≠0) 知识梳理·查漏补缺 知识拓展　在同一平面直角坐标系中，若直线y1＝k1x＋b1和直线y2＝k2x＋b2平行(不重合)，则k1＝k2，b1≠b2；若直线y1＝k1x＋b1和直线 y2＝k2x＋b2互相垂直，则k1·k2＝－1. 知识梳理·查漏补缺 知识点4　一次函数图象的平移 平移前 平移方向及距离(m＞0) 平移后(k不变) 口诀 y＝kx＋b (k≠0) 向左平移m个单位长度 y＝k(x＋m)＋b 左加右减 上加下减 向右平移m个单位长度 ⑪_______________ 向上平移m个单位长度 y＝kx＋b＋m 向下平移m个单位长度 ⑫_____________ y＝k(x－m)＋b y＝kx＋b－m 知识梳理·查漏补缺 温馨提示　1．图象的平移规律是针对表达式中的x左加右减，表达式等号右侧整体上加下减．注意和点的平移区分开． 2．图象的平移本质上是点的平移．有时可将函数图象的平移先转化为点的平移，再利用待定系数法求出平移后的函数表达式． 知识梳理·查漏补缺 1．(华师八下P50 T1改编)已知函数y＝(m－3)x－2(m是常数)，回答下列问题： (1)当m_____时，y随x的增大而减小； (2)当m_____时，函数图象经过第一、三、四象限． ＜3 ＞3 知识梳理·查漏补缺 2．一题串知识已知一次函数y＝－2x＋3. (1)在如下平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)①y的值随x值的增大而______； ②图象与x轴的交点坐标是_____，与y轴的交点坐标是______； ③当x____时，y＞0. (3)若点(2，m)在函数图象上，则m的值为_____． 减小 (0，3) －1 知识梳理·查漏补缺 3．(北师八上P99 T8改编)一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则k____0，b____0. ＜ ＜ 知识梳理·查漏补缺 4．(人教八下P93例4改编)已知直线l1经过点(3，5)，(－4，－9)． ①直线l1的函数表达式为__________； ②若直线l2与直线l1平行，且经过点(1，2)，则直线l2的函数表达式为_______. y＝2x－1 y＝2x 知识梳理·查漏补缺 考点1　一次函数的图象与性质 典例1　一题串知识 在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A(－3，0)，B(0，4)两点． (1)求直线AB的表达式． 解：设直线AB的表达式为y＝kx＋b. 核心考点·分层讲练 (2)请在给出的坐标系中画出直线AB，并回答下列问题． ①直线AB经过第____________象限，y随x的增大而______； ②点(2，5)______(填“在”或“不在”)直线AB上． 一、二、三 增大 不在 核心考点·分层讲练 (3)若点M(x1，y1)，N(x2，y2)都在直线AB上，且y1＞y2，则x1____x2. (4)若y的取值范围是0≤y≤6，则x的取值范围是__________. (5)若将直线AB向右平移m个单位长度(m＞0)后，经过点(－1，0)，则m的值为___． ＞ 2 核心考点·分层讲练 拓展设问 (6)在图中画出直线AB关于x轴对称的直线l1，则直线l1的解析式为___________； 核心考点·分层讲练 在图中画出直线AB关于y轴对称的直线l2，则直线l2的解析式为______________. 核心考点·分层讲练 你能总结出一次函数图象关于x轴、y轴对称后解析式的变化规律吗？ 解：y＝kx＋b关于x轴对称→y＝－kx－b； y＝kx＋b关于y轴对称→y＝－kx＋b. 核心考点·分层讲练 (7)点P为坐标系内一点． ①若点P在x轴上，且∠APB＝45°，求点P的坐标． 解：∵点P在x轴上，∴∠POB＝90°. 又∵∠APB＝45°，∴OP＝OB. ∵B(0，4)，∴OB＝4.∴P(－4，0)或(4，0)． 核心考点·分层讲练 ②若点P在y轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点，且以AB为边的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在，点Q的坐标为(－3，－5)或(－3，5)或(3，0)． 核心考点·分层讲练 典例2　一题串考法 —函数与线段、面积(人教八下P 99T 9改编)直线l1：y＝kx＋4与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB. (1)求直线l1的函数表达式． 解：令x＝0，得y＝4，即OB＝4. ∴OA＝4，即A(4，0)． 把A(4，0)代入y＝kx＋4，得4k＋4＝0， 解得k＝－1. ∴直线l1的函数表达式为y＝－x＋4. 核心考点·分层讲练 (2)如图1，直线l2经过点A，与y轴交于点D(0，－2)，点P(x，y)是第一象限内的直线AB上一动点，点Q是第四象限内的直线AD上一点． ①若PQ∥y轴，线段PQ的长为L，求L与x的函数表达式，并写出x的取值范围． 解：设直线AD的函数表达式为y＝ax＋b. 把A(4，0)，D(0，－2)代入， 核心考点·分层讲练 核心考点·分层讲练 解：易得P(x，－x＋4)(0＜x＜4)． 核心考点·分层讲练 核心考点·分层讲练 1．(2024·长沙)对于一次函数y＝2x－1，下列结论正确的是(　　) A．它的图象与y轴交于点(0，－1) B．y随x的增大而减小 C．当x＞ 时，y＜0 D．它的图象经过第一、二、三象限 A 核心考点·分层讲练 2．(2024·通辽)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2(其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2为常数)的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的是(　　) A．b1＋b2＞0 B．b1b2＞0 C．k1＋k2＜0 D．k1k2＜0 A 核心考点·分层讲练 3．(2024·南充)当2≤x≤5时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，则实数m的值为(　　) A．－3或0 B．0或1 C．－5或－3 D．－5或1 A 核心考点·分层讲练 4．(2024·北京)在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝－kx＋3的图象交于点(2，1)． (1)求k，b的值． 解：∵直线y＝－kx＋3过点(2，1)， ∴－2k＋3＝1，解得k＝1. 将(2，1)代人y＝x＋b，得2＋b＝1， 解得b＝－1. 核心考点·分层讲练 (2)当x＞2 时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既大于函数 y＝kx＋b的值，也大于函数y＝－kx＋b的值，直接写出m的取值范围． 解：m≥1. 核心考点·分层讲练 考点2　一次函数的应用 典例3　(2024·长春)区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 小时，再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计)，当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时． 汽车在区间测速路段行驶的路程y(千米)与在此路 段行驶的时间x(时)之间的函数图象如图所示． 核心考点·分层讲练 (1)a的值为____． 核心考点·分层讲练 (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时) ∵114＜120，∴这辆汽车减速前没有超速． 核心考点·分层讲练 5．函数建模(2024·广州)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表： 脚长x(cm) … 23 24 25 26 27 28 … 身高y(cm) … 156 163 170 177 184 191 … 核心考点·分层讲练 (1)在图1中描出表中数据对应的点(x，y)． 解：描点如图1所示． 核心考点·分层讲练 (2)根据表中数据，从y＝ax＋b(a≠0)和y＝ (k≠0)中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式(不要求写出x的取值范围)． 解：由(1)，可知描出的点近似在一条直线上，故选一次函数y＝ax＋b(a≠0)． 将(23，156)，(24，163)代入， ∴一次函数的解析式为y＝7x－5. 核心考点·分层讲练 (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8 cm，请根据(2)中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 图2 解：当x＝25.8时，y＝7×25.8－5＝175.6(cm)． 答：这个人的身高约为175.6 cm. 核心考点·分层讲练 6．(2024·包头)如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位： cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 y/cm 6 8.4 10.8 13.2 核心考点·分层讲练 (1)依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由． 解：y＝2.4x＋3.6. 理由如下：由表中的数据，可知x每增加1，y的增加量不变， ∴y是x的一次函数． 设y＝kx＋b(k≠0)． ∴y与x之间的函数表达式为y＝2.4x＋3.6. 核心考点·分层讲练 (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8 cm，求此时碗的数量最多为多少个． 解：由题意，得2.4x＋3.6≤28.8，解得x≤10.5. ∴x的最大整数解为10. 答：碗的数量最多为10个． 核心考点·分层讲练 命题点1　一次函数表达式的确定6年4考 1．(2022·河南T11)请写出一个y随x的增大而增大的一次函数的表达式：__________________. y＝x(答案不唯一) 聚焦河南·感知中招 命题点2　一次函数的应用6年6考 2．(2020·河南T19)暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x(次)，按照方案一所需费用为y1(元)， 且y1＝k1x＋b；按照方案二所需费用为y2(元)，且y2＝k2x. 其函数图象如图所示． 聚焦河南·感知中招 (1)求k1和b的值，并说明它们的实际意义． 解：∵y1＝k1x＋b的图象过点(0，30)和点(10，180)， ∴k1的值为15，b的值为30. k1的实际意义：打六折后每次健身费用为15元． b的实际意义：每张学生暑期专享卡的价格为30元． 聚焦河南·感知中招 (2)求打折前的每次健身费用和k2的值． 解：打折前每次健身费用为15÷0.6＝25(元)． k2＝25×0.8＝20. 聚焦河南·感知中招 (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由． 解：∵k1＝15，b＝30， ∴y1＝15x＋30. ∵k2＝20，∴y2＝20x. 当y1＝y2时，15x＋30＝20x，解得x＝6. 结合函数图象，可知当x＝8时，y1＜y2，即小华暑期前往该俱乐部健身 8次，选择方案一所需费用更少． 聚焦河南·感知中招 3．(2019·河南T20)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元． (1)求A，B两种奖品的单价． 设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为 y元． 答：A奖品的单价为30元，B奖品的单价为15元． 聚焦河南·感知中招 (2)学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的 .请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． ∵15＞0，∴W随a的增大而增大． 又∵a为整数， ∴当a＝8时，W取得最小值，此时30－a＝22. 答：当购买A奖品8个，B奖品22个时最省钱． 聚焦河南·感知中招 ＜ －3≤x≤ y＝－x－4 y＝－x＋4 $$